SKKN Rèn luyện tư duy thông qua giải một số bài toán hình học bằng nhiều cách cho học sinh lớp 8 trường THCS Nga Điền

Mục lục
Mục lục
trang 1
1. Mở đầu:
1.1. Lý do chọn đề tài
trang 2
1.2. Mục đích nghiên cứu
trang 3
1.3. Đối tượng nghiên cứu
trang 3
1.4. Phương pháp nghiên cứu
trang 4
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
trang 4
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
trang 4
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
trang 5
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
trang 17
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận.
trang 19
3.2. Kiến nghị.
trang 19
Phụ lục.
Tài liệu tham khảo
trang 20
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Một trong những yêu cầu đặt ra của cải cách là phải đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, dưới sự tổ chức hướng dẫn của giáo viên. Học sinh tự giác, chủ động tìm tòi, phát hiện và giải quyết nhiệm vụ nhận thức và có ý thức vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức đã học vào bài tập và thực tiễn, trong đó có đổi mới dạy học môn toán. Trong trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học. Quá trình giải toán đặc biệt là giải toán hình học là quá trình rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp tìm tòi và vận dụng kiến thức vào thực tế. Thông qua việc giải toán thực chất là hình thức để củng cố, khắc sâu kiến thức rèn luyện được những kĩ năng cơ bản trong môn toán.
Trong hoạt động dạy học theo phương pháp đổi mới, giáo viên cần giúp học sinh chuyển từ thói quen thụ động sang thói quen chủ động. Muốn vậy GV cần chỉ cho HS cách học, biết cách suy luận, biết tự tìm lại những điều đã quên, biết cách tìm tòi để phát hiện kiến thức mới. Các phương pháp thường là những quy tắc, quy trình nói chung là các phương pháp có tính chất thuật toán. Tuy nhiên cũng cần coi trọng các phương pháp có tính chất tìm đoán. Học sinh cần được rèn luyện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự, quy lạ về quen. Việc nắm vững các phương pháp nói trên tạo điều kiện cho học sinh có thể đọc hiểu được tài liệu, tự làm được bài tập, nắm vững và hiểu sâu các kiến thức cơ bản đồng thời phát huy được tiềm năng sáng tạo của bản thân và từ đó học sinh thấy được niềm vui trong học tập.
Là một giáo viên toán trong quá trình tự học bồi dưỡng thường xuyên về đổi mới phương pháp dạy học hiện nay bản thân cũng nhận thấy được yêu cầu trên là rất phù hợp và thiết thực. Trong quá trình dạy học giải toán giáo viên phải biết hướng dẫn, tổ chức cho học sinh tìm hiểu vấn đề phát hiện và phân tích mối quan hệ giữa các kiến thức đã học trong một bài toán để từ đó học tìm được cho mình phương pháp giải quyết vấn đề trong bài. Chỉ trong quá trình giải toán tiềm năng sáng tạo của học sinh được bộc lộ và phát huy, các em có được thói quen nhìn nhận một sự kiện dưới những góc độ khác nhau, biết đặt ra nhiều giả thuyết khi phải lý giải một vấn đề, biết đề xuất những giải pháp khác nhau khi xử lý một tình huống.
Về khách quan cho thấy hiện nay năng lực học toán của học sinh còn rất nhiều thiếu sót đặc biệt là quá trình vận dụng các kiến thức đã học vào bài tập và thực tiễn. Tỷ lệ học sinh yếu kém còn cao các em luôn có cảm giác học hình khó hơn học đại số. Tình trạng phổ biến của học sinh khi làm toán là không chịu nghiên cứu kĩ bài toán, không chịu khai thác và huy động kiến thức để làm toán.
Trong quá trình giải thì suy luận thiếu căn cứ hoặc luẩn quẩn, trình bày cẩu thả, tuỳ tiện 
Về phía giáo viên phần lớn chưa nhận thức đầy đủ về ý nghĩa của việc dạy giải toán. Hầu hết GV chưa cho HS làm toán mà chủ yếu giải toán cho học sinh, chú ý đến số lượng hơn là chất lượng. Trong quá trình dạy học giải toán GV ít quan tâm đến việc rèn luyện các thao tác tư duy và phương pháp suy luận. Thông thường GV thường giải đến đâu vấn đáp hoặc giải thích cho học sinh đến đó, không những vậy mà nhiều GV coi việc giải xong một bài toán kết thúc hoạt động. GV chưa thấy được trong quá trình giải toán nó giúp cho học sinh có được phương pháp, kĩ năng, kinh nghiệm, củng cố, khắc sâu kiến thức mà còn bổ sung nguồn kiến thức mới phong phú mà tiết dạy lý thuyết mới không thể có được.
Trong quá trình công tác bản thân tôi không ngừng học tập nghiên cứu và vận dụng lý luận đổi mới vào thực tế giảng dạy của mình. Qua quá trình tập huấn, được sự cộng tác của đồng nghiệp và sự chỉ đạo của ban giám hiệu nhà trường tôi đã tiến hành nghiên cứu và vận dụng quan điểm trên vào công tác giảng dạy của mình và thấy rất có hiệu quả.
Xuất phát từ những lý do trên tôi đã chọn đề tài nghiên cứu. Đề tài mang tên: “Rèn luyện tư duy thông qua giải một số bài toán hình học bằng nhiều cách cho học sinh lớp 8 trường THCS Nga Điền”.Với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn toán theo tinh thần đổi mới.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
 	Đây là đề tài rộng và ẩn chứa nhiều thú vị bất ngờ thể hiện rõ vẻ đẹp của môn Hình học và đặc biệt nó giúp phát triển rất nhiều tư duy của học sinh, nếu vấn đề này tiếp tục được khai thác hàng năm và được sự quan tâm góp ý của các thầy cô thì chắc hẳn nó sẽ là kinh nghiệm quý dành cho việc dạy học sinh khá giỏi. Vì đây là đề tài rộng nên trong kinh nghiệm này chỉ trình bày một vài bài tập của môn Hình lớp 8. 
Chỉ có thể thấy được sự thú vị của những bài toán này trong thực tế giảng dạy, những bài toán cơ bản nhưng cũng có thể làm cho một số học sinh khá lúng túng do chưa nắm được những bài toán cơ bản. Khi đi sâu tìm tòi những bài toán cơ bản ấy không những học sinh nắm sâu kiến thức mà còn tìm được vẻ đẹp của môn Hình. Vẻ đẹp đó được thể hiện qua những cách giải khác nhau, những cách kẻ đường phụ, những ý tưởng mà chỉ có thể ở môn Hình mới có, làm được như vậy học sinh sẽ yêu thích môn Hình. Đó là mục đích của bất kì giáo viên dạy ở môn nào cần khêu gợi được niềm vui, sự yêu thích của học sinh ở môn học đó. Nhưng mục đích lớn nhất trong việc dạy học là phát triển tư duy của học sinh và hình thành nhân cách cho học sinh. Qua mỗi bài toán học sinh có sự nhìn nhận đánh giá chính xác, sáng tạo và tự tin qua việc giải bài tập Hình đó là phẩm chất của con người mới.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
 Đối tượng chính là học sinh lớp 8 trường THCS Nga Điền nhằm rèn luyện tư duy thông qua giải một số bài toán hình học bằng nhiều cách. Khi nhìn một bài toán dưới nhiều góc độ thì học sinh đó sẽ tự tin hơn, thích thú hơn với môn học, yếu tố đó rất quan trọng trong quá trình tự học, nó giúp quá trình rèn luyện hình thành tư duy cho học sinh tốt hơn.
1.4. phương pháp nghiên cứu:
	Để hoàn thành đề tài tôi đã sử dụng kết hợp nhiều phương pháp cụ thể là:
- Nghiªn cøu kü ch­¬ng tr×nh SGK, ®äc thªm sách tham khảo (ch­¬ng tr×nh cò vµ míi)
- §iÒu tra t×nh h×nh häc sinh khi lµm c¸c bµi to¸n 
- Dïng ph­¬ng ph¸p kiÓm nghiÖm th«ng qua viÖc ra ®Ò kiÓm tra 
- Trao ®æi víi c¸c ®ång nghiÖp, häc hái kinh nghiÖm
 Ngoài ra tôi còn sử dụng một số phương pháp khác.
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
Do tư duy là thuộc tính của tâm lí, tư duy hình thành và phát triển theo từng giai đoạn trong quá trình trưởng thành của con người. Tư duy đặc biệt phát triển mạnh ở giai đoạn thanh, thiếu niên. Vì vậy giáo viên cần phải quan tâm đến phương pháp giảng dạy nhằm phát triển tư duy cho học sinh một cách tốt nhất. Tất cả các môn học đều phát triển tư duy cho học sinh nhưng môn toán có vai trò quan trọng hơn cả. Giải bài tập toán là lúc học sinh được thể hiện kĩ năng, tính sáng tạo, phát triển óc tư duy. 
Các bài tập Hình trong sách giáo khoa rất đa dạng nhưng làm sao để cho phần lớn các học sinh khá và trung bình nhớ lâu, hiểu vấn đề đó mới là quan trọng. Do đặc điểm của môn Hình khó, phải tư duy trừu tượng và kèm thêm việc vẽ hình phức tạp nên GV phải tạo cho học sinh kĩ năng vẽ hình và hướng dẫn học sinh tư duy dựa trên những bài toán cơ bản.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Qua quá trình công tác giảng dạy, tôi thấy:
- Đa số HS, sau khi tìm được một lời giải đúng cho bài toán thì các em hài lòng và dừng lại, mà không tìm lời giải khác, không khai thác thêm bài toán, không sáng tạo gì thêm nên không phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân.
- HS còn học vẹt, làm việc rập khuôn, máy móc. Từ đó dẫn đến làm mất đi tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân.
- HS yếu toán nói chung và yếu hình học, đặc biệt là yếu về giải bài toán có vẽ thêm yếu tố phụ nói riêng chủ yếu là do kiến thức còn hổng, lại lười học, lười suy nghĩ, lười tư duy trong quá trình học tập.
- Không ít HS thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập chưa cao.
- Học không đi đôi với hành, làm cho bản thân HS ít được củng cố, khắc sâu kiến thức, ít được rèn luyện kĩ năng để làm nền tảng tiếp thu kiến thức mới, do đó năng lực cá nhân không được phát huy hết.
- Một số GV chưa thực sự quan tâm đến việc khai thác bài toán trong các tiết dạy nói riêng cũng như trong công tác dạy học nói chung.
- Việc chuyên sâu một vấn đề nào đó, liên hệ được các bài toán với nhau, khai thác một bài toán sẽ giúp cho HS khắc sâu được kiến thức. Quan trọng hơn là nâng cao được tư duy cho các em HS, giúp HS có hứng thú hơn khi học toán.
Trong quá trình dạy tôi đã khảo sát học sinh lớp 8A đầu năm và thu được kết quả như sau:
 Kếtquả 
 Lớp
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu, kém
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
8A(43)
0
0
10
23,2
16
37,3
17
39,5
	Trước thực trạng trên đòi hỏi phải có các giải pháp trong phương pháp dạy và học sao cho phù hợp
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
 	Qua những bài toán mà HS đã giải được, tôi định hướng cho các em tư duy, tập trung nghiên cứu thêm về lời giải, về kết quả bài toán đó. Bằng các hình thức như:
 	- Kiểm tra kết quả. Xem xét lại các lập luận.
	- Nghiên cứu, tìm tòi, . . . với việc tập trung giải quyết các vấn đề như: Liệu bài toán còn có cách giải khác hay không? Có thể thay đổi dữ kiện bài cho để đề xuất bài toán mới không? Bài toán đã cho có liên quan với các bài toán nào khác không? . . ..
	Trong đề tài này, tôi xin minh hoạ bằng cách khai thác, tìm nhiều lời giải cho một số bài tập hình học lớp 8. Nhằm giúp HS thấy được cái hay, cái đẹp, sự thú vị trong học toán nói chung và trong học hình học nói riêng. Từ đó, giúp HS tự tin, tích cực, sáng tạo hơn trong học toán; giúp HS thêm yêu thích, nâng cao chất lượng, kết quả học tập môn toán.
Bµi to¸n 1: Chứng minh rằng: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là một tam giác cân. 
Tìm tòi: 
Xét DABC có đường trung tuyến AM đồng thời 
là đường phân giác (Hình 1)
Ta sẽ chứng minh DABC cân tại A, tức là: 
DABC phải có : AB = AC hoặc 
Như vậy, ta có hai hướng để chứng minh DABC cân. 
 Lời giải:
- Hướng 1: DABC có AB = AC. 
 + Với kiến thức lớp 7, nếu sử dụng các trường hợp
bằng nhau của tam giác thì ta có các cách giải sau: 
Cách 1:(Hình 2 )
Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho AM=MD. 
 Khi đó : DACM=DDBM (c.g.c)
 vì MB = MC(gt), ( đối đỉnh),
 AM = MD(cách vẽ)
Từ đó, suy ra: AC=DB (1); (2).
 Mà (gt) (3).
Từ (2) và (3) suy ra: 
 Do đó có DBAD cân tại B. suy ra: AB = DB (4). 
 Từ (1) và (4) suy ra: AB = AC 
Cách 2: Chứng minh bằng phản chứng.
 	Giả sử : AB >AC(Hình 3)
Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với AM 
cắt AB tại F, cắt AC tại E .
Khi đó : DAFM = DAEM(g.c.g) vì ; 
 AM chung; .
Từ đó, suy ra: FM = CM (5)
Dễ thấy : DBMF=DCME(c.g.c) vì BM = CM(gt);
 ; FM=EM (theo(5)).
Do đó, suy ra: , mà hai góc này là hai góc so le trong nên suy ra
BF// CE. Điều này mâu thuẫn với BF và EC cắt nhau tại A.
Chứng tỏ điều giả sử là sai.
 	Giả sử : AB <AC chứng minh tương tự, cũng dẫn đến mâu thuẫn. Chứng tỏ điều giả sử sai.
Vậy AB=AC (đpcm).
Cách 3: Chứng minh bằng phản chứng . 
 	Giả sử :AB >AC (Hình 4)
Trên cạnh AB lấy điểm H sao cho AH = AC.
Khi đó : DAHM = DACM(c.g.c) vì AM chung; ; AH = AC(cách vẽ).
suy ra: (1); MH = MC (2);
Mà MB = MC(gt) (3).
 Do đó, từ (2) và(3) suy ra: MB = MH 
Þ DBMH cân tại M 
Þ (4)
Từ (1) và (4) ta có :
 (Hai góc kề bù) 
Mâu thuẫn với DABC có: 
 Do vậy, điều giả sử sai.
 	Giả sử: AB < AC chứng minh tương tự
 cũng dẫn đến mâu thuẫn.
Do đó AB=AC. Vậy DABC cân tại A.
Cách 4: (Hình 5)
Vẽ MI ^ AB, MK ^AC
Ta có: MI = MK ( tính chất tia phân giác của một góc) 
Khi đó: D AMI = DAMK (cạnh huyền – góc nhọn)
(do , , AM chung)
 suy ra: AI = AK (1)
 DBMI = DCMK ( cạnh huyền – cạnh góc vuông)
(do , MI = MK, MB = MC ) 
 suy ra: BI = CK (2)
 Từ (1) và (2) ta có : AI+BI=AK+CK hay AB = AC 
Vậy DABC cân tại A.
*Với kiến thức lớp 8, ta có các cách giải sau.	
Cách 5: (Hình 6)
Trên tia đối của tia AB lấy điểm P sao cho AP = AB (1). 
 Xét DCBP có AP = AB, BM = MC (gt)
Þ AM là đường trung bình của DCBP.
 do đó có AM //CP Þ (hai góc đồng vị) (2)
 (hai góc so le trong)(3)
 mà (gt) (4)
 Từ (2), (3), (4) suy ra 
Þ DACP cân tại A Þ AP =AC (5)
 Từ (1) và (5) ta có : AB = AC hay DABC cân.
 Cách 6 : (Hình 7) Chứng minh bằng phản chứng .
 	Giả sử AB > AC .
 Trên cạnh AB lấy điểm Q sao cho AQ = AC. 
 Gọi N là giao điểm của QC với AM.
Ta có: DAQN = DACN (c.g.c) vì 
AQ=AC (cách dựng); (gt); AN chung.
suy ra QN = CN mà BM = CM (gt)
Þ MN là đường trung bình của DQCB Þ MN//BQ
Điều này mâu thuẫn với QB và MN cắt nhau tại A.
 	Giả sử: AB < AC chứng minh tương tự
 cũng dẫn đến mâu thuẫn.
 Vậy AB = AC hay DABC cân.
Cách 7:(Hình 8)
Trên tia đối của tia AM lấy điểm O sao cho: 
AM = OM 
 Xét tứ giác ABOC có 
MB = MC (gt), MA = MO ( cách vẽ)
Þ ABOC là hình bình hành
 mặt khác AO là đường phân giác của góc BAC
Þ ABOC là hình thoi 
Þ AB = AC Þ DABC cân.
Cách 8:(Hình 5) (Phương pháp diện tích )
 	Từ hình 5, ta có DABM và DACM có chung 
đường cao hạ từ đỉnh A và có hai cạnh
đáy BM, CM bằng nhau, nên SABM = SACM (1)
 mà SABM =AB.MI ; SACM=AC.MK (12)
 Từ (1) và (2) suy ra AB.MI =AC.MK 
hay AB.MI = AC.MK (3)
 Mặt khác MI = MK(tính chất tia phân giác của một góc )
 Do đó từ (3) suy ra AB = AC hay DABC cân.
Cách 9: (Hình 1)
(Vận dụng tính chất đường phân giác của tam giác).
 Vì AM là đường phân giác của tam giác ABC nên có:
 Mặt khác AM là đường trung tuyến của DABC
 nên MB = MC Þ 
 từ đó có Þ AB = AC hay DABC cân.
- Hướng 2: DABC có .
Cách 10:(hình 5)
Vẽ MI ^ AB, MK ^AC
Ta có: MI = MK ( tính chất tia phân giác của một góc) 
Khi đó :
 D AMI = D AMK (cạnh huyền – góc nhọn)
(do MI = MK, , AM chung)
 suy ra: AI=AK 
 D BMI = DCMK ( cạnh huyền – cạnh góc vuông) 
(do MI = MK , MB = MC( gt)) 
 suy ra AI + IB = AK + KC 
hay AB = AC hay DABC cân. 	
Nhận xét : Qua bài toán này chúng ta thấy nếu khéo léo trong việc vẽ thêm hình phụ và vận dụng kiến thức hợp lí ta có thể tìm được nhiều lời giải cho một bài toán.
Bài toán 2: Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến CD. Trên tia đối của tia BA lấy điểm K sao cho BK = BA. Chứng minh rằng 
Tìm tòi: 
Từ yêu cầu của bài toán là chứng minh giúp điều đó giúp học sinh nghĩ ngay đến kiến thức về đường trung bình của tam giác. Với hình vẽ như bài ra đã cho thì chứng minh không phải là điều dễ dàng. Tuy thế nếu ta không chứng minh CD là đường trung bình của tam giác nào đó chứa cạnh CK thì ta thử chứng minh độ dài đoạn thẳng CD bằng nửa độ dài một cạnh nào đó mà cạnh ấy lại bằng CK hoặc CD bằng độ dài một cạnh nào đó mà cạnh này lại bằng nửa độ dài đoạn thẳng CK. Với suy nghĩ như trên chúng ta có thể đi vào giải bài toán trên bằng một số cách sau:
Lời giải:
Với việc vận dụng kiến thức trong tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên bằng nhau, ta có thể tạo ra đường trung tuyến BE. Dễ dàng chứng minh được BE là đường trung bình của tam giác ACK.
Cách 1: (Hình 1)
Gọi E là trung điểm của AC.
Có BE là đường trung bình của D AKC 
Xét D BDC và D CEB có:
BD = CE (vì mà AB = AC); 
Cạnh BC chung
 (vì D ABC cân tại A);
Vậy D BDC = D CEB (c.g.c);
Suy ra CD = BE (hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
Ta có thể tạo ra các tam giác bằng nhau,
 như cách giải sau đây.
Cách 2: (Hình 2) 
Gọi H là trung điểm của KC. 
Ta có BH là đường trung bình của D AKC 
Xét D BDC và D BHC có: BD = BH (vì mà AB = AC)
 (vì mà 
 ( so le trong do BH//AC) )
 BC cạnh chung
Vậy D BDC = D BHC (c.g.c)
Suy ra CH = DC (hai cạnh tương ứng)(1)
Mà H là trung điểm của KC nên 
Từ (1) và (2) suy ra: 
 Chúng ta cũng có thể tạo ra một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng CK và việc chứng minh CD bằng nửa đoạn thẳng đó tương đối dễ dàng:
Cách 3: (hình 3) 
 	Trên tia đối của tia CA lấy điểm M 
sao cho CA = CM
Þ CD là đường trung bình của D ABM
Þ 
Xét D KBC và D MCB có
BC cạnh chung; (vì cùng bù với ) 
KB = MC (vì KB = AB; MC = AC; AB = AC);
Þ D KBC = D MCB (c.g.c)
Þ KC = MB (hai cạnh tương ứng) (2).
Từ (1) và (2) suy ra: 
Cách 4: (hình 4)
Trên tia đối của tia CB lấy điểm N 
sao cho CB = CN
Ta có: DC là đường trung bình của DABN
Þ (1)
Có ,
mà Þ 
Xét D KBC và D ACN có 
BC = CN;(c/m trên) 
KB = AC (cùng bằng AB)
ÞD KBC = D ACN (c.g.c) 
Þ CK = AN (hai cạnh tương ứng)(2); 
Từ (1) và (2) suy ra:
Cách 5: (hình 5)
Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của BC và BK
Có DP là đường trung bình của D ABC
DP // AC Þ (Hai góc đồng vị)
Theo giả thiết ( D ABC cân tại A);
Mà 
Þ 
Xét D QBP và D DPC có:
QB = DP; (chứng minh trên);
BP = CP (cùng bằng 
ÞD QBP = D DPC (c.g.c)Þ DC = QP(1)
Mặt khác QP là đường trung bình của D KBC nên 
Từ (1) và (2) suy ra: 
Cách 6: (Hình 6). 
Gọi E và O lần lượt là trung điểm của AC và KC
Þ OE là đường trung bình của D ACK
 Nên mà AK = 2AB = 2AC 
Þ OE = AB = AC
Xét D CDA và D OCE có:
AD = CE (cùng bằng OE = CA;
 đồng vị do OE//AD) 
Vậy D CDA = D OCE (c.g.c) 
Þ OC = CD (1)
Mặt khác O là trung điểm CK nên 
Từ (1) và (2) suy ra 
Cách 7: (hình 7)
Gọi P và O lần lượt là trung điểm của BC và CK
Þ DP là đường trung bình của D ABC nên 
Và OP là đường trung bình của D CBK nên 
Theo bài ra, ta có BK = AB= AC nên DP = OP;
 (so le trong do OP//DB); 
và ( 2 góc đồng vị do DP//AC)
Þ Þ 
Xét D DPC và D OPC có:
 DP = OP (c/m trên); (c/m trên);
Cạnh PC chung
Vậy D DPC = D OPC (c.g.c) 
Nên OC = CD mà 
Cách 8: (hình 8)
Trên tia đối của tia DC lấy điểm F 
sao cho DF = DC; 
Xét D BDF và D ADC có: DF = DC; 
DA = DB; (hai góc đối đỉnh); 
suy ra: D BDF = D ADC (c.g.c)
Þ BF = AC 
mà AC = AB = BK nên BF = BK 
Ta lại có: (hai góc trong 
cùng phía bù nhau do BF // AC); 
 và (hai góc kề bù) 
mà (DABC cân tại A) Þ 
Xét D FBC và D KBC có: FB = KB (c/m trên); ; BC cạnh chung;
Vậy D FBC = D KBC (c.g.c) => FC = CK
 Suy ra 2CD = CK 
Cách 9: (hình 9)
Từ B kẻ đường thẳng song song với CK cắt AC tại O 
Xét D AKC có BA = BK(gt); BO// KC
Þ BO là đường trung bình của D AKC
Xét D BDC và D COB có:
BD = CO (vì 
Cạnh BC chung
 (vì D ABC cân tại A);
Vậy D BDC = D COB (c.g.c);
Suy ra CD = BO (hai cạnh tương ứng)(2)
Từ (1) và (2) 	
Cách 10: (hình 10)
Trên tia đối của tia BC lấy điểm F 
sao cho BF = BC. Nối FK. Gọi I là trung điểm của FK.
Xét D FBK và D CBA có: 
FB = CB (cách vẽ); (hai góc đối đỉnh); AB = KB (giả thiết)
nên D FBK = D CBA (c.g.c)
 Þ FK = AC 
mà AB = AC => FK = AB 
Þ Þ FI = DB(1)
Theo bài ra, ta có: 
 mà 
( doD FBK = D CBA (c.g.c))
Þ
Xét D BCD và D FBI có: 
BC = FB; (c/m trên);
 BD = FI (theo (1));
Vậy D BCD = D FBI (c.g.c) 
Þ BI = CD (3)
Mặt khác do I và B lần lượt là trung điểm của FK và FC 
Þ IB là đường trung bình của D KFC
Þ 
Từ (3) và (4) suy ra: 
Bài toán 3: Cho hình vuông ABCD. M là điểm trong hình vuông sao cho . Chứng minh rằng tam giác ABM đều.
Tìm tòi: 
D DMC cân tại A ()Þ DM = MC và 
Mặt khác ta có: 
Xét DADM và DBCM có: AD = BC( ABCD là hình vuông); ; DM = MC
Do đó D ADM = D BCM ( c.g.c) => AM = BM 
Þ D ABM cân tại M
Như vậy để chứng minh D ABM đều, chỉ câ