SKKN Rèn luyện tư duy cho học sinh khối 12 thông qua hệ thống các bài tập vận dụng cao chủ đề hàm số ẩn

1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài.
Như ta đã biết Bộ Giáo dục từ năm học 2016-2017 đã quyết định chuyển đổi hình thức thi môn Toán từ tự luận sang trắc nghiệm, nghĩa là phạm vi kiến thức ngoài độ rộng của vấn đề, các câu hỏi còn xoáy vào rất nhiều khía cạnh khác nhau với nhiều cách hỏi khác nhau ở cùng một giả thiết và ngày càng xuất hiện những câu hỏi mới, lạ và hóc búa. Chỉ xét riêng chương 1 của Giải tích lớp 12, đây là một chương có nhiều vấn đề quan trọng và rất rộng, xuyên suốt mạch kiến thức của cả hình học lẫn giải tích của các chương khác. Nhiều học sinh cảm thấy kiến thức mênh mông biển sở, không thâu tóm được vấn đề và từ đó chán nãn mất tự tin trong quá trình học tập. Bản thân là một giáo viên dạy lớp 12A1 và 12A12 trường THPT Yên Định 1, đối tượng học sinh của tôi chủ yếu là học sinh có học lực mức khá đó là điều thuận lợi. Tuy nhiên học sinh đứng trước một vấn đề đó là việc học cuối cấp của các em là rất nhiều, các em vừa phải học ôn thi đại học vừa phải học các môn ôn thi tốt nghiệp nên thời gian rất hạn chế. Do vậy học sinh khó có sự khái quát, tổng hợp vấn đề từ đó khó hiểu được bản chất bài toán điều đó dẫn đến tình trạng học trước quên sau và rơi vào tình trạng bị loạn kiến thức, yếu về kĩ năng. Chính vì vậy bản thân tôi rất trăn trở với những khó khăn mà các em gặp phải. Làm sao để hệ thống được kiến thức, phương pháp giải để giúp các em hệ thống được mạch kiến thức từ đó giúp học sinh bớt khó khăn hơn trong quá trình ôn tập. Chính vì vậy bản thân tôi lựa chọn đề tài để thực hiện đó là: “Rèn luyện tư duy cho học sinh khối 12 thông qua hệ thống các bài tập vận dụng cao chủ đề hàm số ẩn”. Đó cũng là tên đề tài mà tôi đã chọn để nghiên cứu.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Phân loại và phân dạng các bài tập phát triển tư duy cho học sinh theo từng vấn đề khác nhau và rèn luyện kĩ năng giải toán theo các vấn đề đó giúp học sinh hệ thống kiến thức và để ôn tập tốt phần hàm số của chương trình lớp 12 từ đó tạo hứng thú, động lực và phương pháp để các em ôn tập tốt ở các chương sau. 
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đề tài viết về một mảng kiến thức phần hàm số thuộc chương trình giải tích lớp 12 THPT và hướng tới đối tượng học sinh 12A1,12A12 có học lực từ trung bình đến khá, giỏi ở trường THPT Yên Định 1.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Phương pháp thực hành: Soạn và thiết kế chuyên đề theo phương pháp định hướng năng lực, tiến hành thực nghiệm tại lớp 12A1,12A12 năm học 20187-2019.
Sử dụng phương pháp giảng giải, phương pháp hợp đồng làm việc, phương pháp thực nghiệm (nghiên cứu và trực tiếp giảng dạy ở lớp 12A1, 12A12). Ngoài ra còn sử dụng các phương pháp:
	- Phương pháp quan sát (công việc dạy-học của các giáo viên và học sinh).
	- Phương pháp đàm thoại, phỏng vấn (lấy ý kiến của các giáo viên và học sinh thông qua trao đổi trực tiếp).
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
	Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá trình phát triển. Con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh nhu cầu tư duy, khi đứng trước một khó khăn cần phải khắc phục. Để giúp các em học sinh học tập tốt hơn, người giáo viên cần tạo cho học sinh hứng thú học tập. Cần cho học sinh thấy được nhu cầu nhận thức là quan trọng, con người muốn phát triển cần phải có tri thức, cần phải học hỏi và tổng hợp kiến thức cho riêng mình. Theo luật giáo dục Việt Nam có viết: “Phương pháp giáo dục phổ thông cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức, tác động đến tính cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập của học sinh”.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Hình thức thi trắc nghiệm môn Toán với những bài toán liên quan đến hàm số cụ thể học sinh bấm máy tính để chọn đáp án, do đó bản chất kiến thức toán không được áp dụng. Chính vì vậy bộ giáo dục và đào tạo khi xây dựng đề thi đã chú trọng nhiều hơn dạng toán học sinh phải vận dụng bản chất kiến thức Toán vào bài thi. 
	Ban đầu khi gặp dạng toán hàm số ở mức độ cơ bản trong sách giáo khoa Giải Tích 12 Nâng Cao thì học sinh có thể suy luận được. Khi bài toán mức độ yêu cầu vận dụng thì học sinh lúng túng và không có định hướng giải bài toán một cách chủ động.
	Đề thi THPT Quốc Gia năm học 2016-2017, 2017-2018, đề minh họa năm học 2017-2018,2018-2019 có những câu về hàm số ẩn ở mức độ vận dụng thậm chí ở mức độ vận dụng cao. Trong quá trình giảng dạy học sinh tôi nhận thấy các em còn gặp nhiều khó khăn trong cách nhận dạng, phương pháp giải và kĩ năng giải. 
	Kiến thức rộng, câu hỏi đa dạng, có rải rác trong các đề thi thử của các trường, khó tổng hợp. Nhiều học sinh cảm thấy chán nãn và mệt mỏi.
2.3. Giải quyết vấn đề.
PHẦN I. TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
Loại 1. Cho đồ thị, bảng biến thiên của Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số 
Phương pháp giải:
Bước 1: Tính . 
Bước 2: Giải bất phương trình hoặc 
Bước 3: Dựa vào đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số kết luận tập nghiệm. Từ đó chỉ ra khoảng đơn điệu của hàm số 
Bài tập vận dụng:
Ví dụ 1: (Cho đồ thị) Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên dưới. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A. 	B. 
C. 	D. 
Lời giải. Dựa vào đồ thị, suy ra 
Ta có Xét 
Vậy nghịch biến trên các khoảng và Chọn C.
Ví dụ 2: Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên. Đặt Mệnh đề nào dưới đây sai ?
	A. Hàm số đồng biến trên khoảng 
	B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 
	C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 
	D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 
Lời giải. Ta có 
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C.
Ví dụ 3: (Cho bảng biến thiên) Cho hàm số có bảng biên thiên như hình vẽ
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
	A. 	B. 	C. 	D. 	
Lời giải. Dựa vào bảng biến thiên, suy ra và 
Ta có 
Xét 
= 
= 
Đối chiếu các đáp án, ta chọn C.
Loại 2: Cho đồ thị Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số 
Phương pháp giải: 
	Bước 1: Tính 
	Bước 2: Vẽ đồ thị trên cùng hệ trục tọa độ
	Bước 3: Dựa vào vị trí tương đối giữa hai đồ thị để kết luận.
Bài tập vận dụng
Ví dụ 1: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên Đồ thị hàm số như hình bên dưới
Đặt khẳng định nào sau đây là đúng ?
	A. B. C. 	D. 
Lời giải. Ta có 
Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng (như hình vẽ bên dưới).
Dựa vào đồ thị, suy ra 
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên Chọn C.
Ví dụ 2: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên Đồ thị hàm số như hình bên dưới
Hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây ?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Ta có 
Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hàm số và đường thẳng (như hình vẽ bên dưới).
Dựa vào đồ thị, suy ra 
	Lập bảng biến thiên (hoặc ta thấy với thì đồ thị hàm số nằm phía trên đường thẳng nên hàm số đồng biến trên Chọn B.
Loại 3. Cho biểu thức Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số 
Phương pháp giải
	Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số 
	Bước 2: Tìm hàm số bằng cách thay x bởi 
	Bước 3: Giải bất phương trình hoặc 
Bài tập vận dụng
Ví dụ 1: Cho hàm số có đạo hàm với mọi Hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Ta có 
Xét Chọn B.
Ví dụ 2: Cho hàm số có đạo hàm với mọi Hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Ta có 
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn D.
Loại 4. Cho biểu thức Tìm để hàm số đồng biến, nghịch biến.
Phương pháp giải
	Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số 
	Bước 2: Giải bất phương trình hoặc 
	B. Bài tập vận dụng
Ví dụ 1: Cho hàm số có đạo hàm với mọi Có bao nhiêu số nguyên để hàm số đồng biến trên khoảng ?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Ta có 
Xét Để hàm số đồng biến trên khoảng khi và chỉ khi 
 . Vậy Chọn B.
Ví dụ 2: Cho hàm số có đạo hàm với mọi Có bao nhiêu số nguyên dương để hàm số đồng biến trên khoảng ?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Chọn B. Từ giả thiết suy ra 
Ta có Để hàm số đồng biến trên khoảng khi và chỉ khi 
Ta có Vậy suy ra 
Loại 5. Cho bảng xét dấu của đạo hàm. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số 
Phương pháp giải
- Đây là dạng toán xét tính đơn điệu của hàm số cho bởi công thức trong đó ta đã biết dấu của và là một hàm cụ thể. Hướng giải là tính đạo hàm , từ dấu của và dấu của ta đưa ra kết luận phù hợp với bài toán.
Bài tập vận dụng
Ví dụ 1. Cho hàm số có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Ta có Xét dấu của và ta có bảng:
Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng Do đó ta chọn D.
Ví dụ 2. Cho hàm số có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải: Ta có Xét dấu của và ta có bảng:
Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng Do đó ta chọn D
PHẦN II: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Loại 1. Cho đồ thị Hỏi số điểm cực trị của hàm số 
Phương pháp giải
Để giải quyết dạng bài tập này học sinh cần nắm chắc cách tìm khoảng đơn điệu của hàm số 
Bài tập vận dụng
Dạng 1: Số điểm cực trị của hàm số không chứa giá trị tuyệt đối
Ví dụ 1: Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị hàm số Số điểm cực trị của hàm số là 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Ta thấy đồ thị hàm số có điểm chung với trục hoành nhưng chỉ cắt thực sự tại hai điểm là và Nghiệm là các nghiệm bội chẵn của phương trình qua đó không đổi dấu.
Bảng biến thiên
Vậy hàm số có điểm cực trị. Chọn A.
Nhận xét: Số điểm cực trị của hàm số bằng số nghiệm bội lẻ của phương trình 
Dạng 2: Số điểm cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 
Phương pháp giải:
	Để giải quyết bài toán loại này học sinh cần nắm vững cách vẽ đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và biết biến đổi đồ thị.
	Nắm vững kết quả sau:
Số điểm cực trị của hàm số bằng số điểm cực trị của hàm số cộng số nghiệm bội lẻ của phương trình .
Số điểm cực trị của hàm số bằng hai lần số điểm cực trị dương của hàm số cộng 1.
Số điểm cực trị của hàm số bằng số điểm cực trị hàm số .
Số điểm cực trị của hàm số bằng số điểm cực trị của các hàm số , . 
Số điểm cực trị của hàm số dạng bằng . Trong đó: n là số điểm cực trị của hàm số , m là số điểm cực trị dương (với ) của hàm số, q là số giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành trong đó có điểm có hoành độ dương.
Ví dụ 1: Cho hàm số Đồ thị của hàm số như hình vẽ bên dưới
Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Từ đồ thị hàm số ta thấy cắt trục hoành tại điểm có hoành độ dương (và điểm có hoành độ âm) có điểm cực trị dương. Suy ra có điểm cực trị có điểm cực trị (vì tịnh tiến lên trên hay xuống dưới không ảnh hưởng đến số điểm cực trị của hàm số). Chọn C.
Ví dụ 2: Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có điểm cực trị ?
	A. 	B. 	C. 	D. Vô số.
Lời giải. Từ đồ thị hàm số ta thấy cắt trục hoành tại điểm có hoành độ dương (và điểm có hoành độ âm) có điểm cực trị dương. Suy ra có điểm cực trị có điểm cực trị với mọi (vì tịnh tiến sang trái hay sang phải không ảnh hưởng đến số điểm cực trị của hàm số). Chọn D.
Ví dụ 3: Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có điểm cực trị ?
	A. 	B. 	C. 	D. Vô số.
Lời giải. Từ đồ thị ta có Suy ra bảng biến thiên của 
Yêu cầu bài toán hàm số có điểm cực trị dương (vì khi đó lấy đối xứng qua ta được đồ thị hàm số có đúng điểm cực trị).
Từ bảng biến thiên của suy ra luôn có điểm cực trị dương tịnh tiến (sang trái hoặc sang phải) phải thỏa mãn
= Tịnh tiến sang trái nhỏ hơn đơn vị 
= Tịnh tiến sang phải không vượt quá đơn vị 
Suy ra Chọn B.
Ví dụ 4: Cho hàm số có đạo hàm với mọi Có bao nhiêu số nguyên để hàm số có điểm cực trị ?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Do tính chất đối xứng qua trục của đồ thị hàm thị hàm số nên yêu cầu bài toán có điểm cực trị dương. 	
Xét 
Do đó có hai nghiệm dương phân biệt 
 Chọn B.
Ví dụ 5. Cho hàm số thỏa mãn. Số điểm cực trị của hàm số bằng
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải: Chọn A. Hàm số (là hàm số bậc ba) liên tục trên .
Ta có , , .
và nên .
Do đó, phương trình có đúng nghiệm dương phân biệt trên .
Hàm số là hàm số chẵn. Do đó, hàm số có 5 điểm cực trị. 
Vậy hàm số có 11 điểm cực trị.
Loại 2. Cho bảng biến thiên của hàm Hỏi số điểm cực trị của hàm 
Ví dụ 1. Cho hàm số xác định, liên tục trên và có bảng biến thiên như sau
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây ?
	A. .	B. .	C. .	D. . 
Lời giải. Ta có 
Do đó điểm cực tiểu của hàm số trùng với điểm cực tiểu của hàm số 
Vậy điểm cực tiểu của hàm số là Chọn C.
Ví dụ 2. Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới
Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Ta có 
.
Vậy có duy nhất nghiệm bội lẻ nên hàm số có điểm cực trị. Chọn B.
Loại 3. Cho đồ thị Hỏi số điểm cực trị của hàm số 
Ví dụ. Cho hàm bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tất cả các giá trị thực của tham số để hàm số có điểm cực trị là 
	A. hoặc B. hoặc C. hoặc 	D. 
Lời giải. Nhận xét: Số điểm cực trị của hàm số bằng với 
= là số điểm cực trị của hàm 
= là số giao điểm của với trục hoành (không tính các điểm trùng với ở trên)
Áp dụng: Vì hàm đã cho có điểm cực trị nên cũng luôn có điểm cực trị.
Do đó yêu cầu bài toán số giao điểm của đồ thị với trục hoành là . 
Để số giao điểm của đồ thị với trục hoành là , ta cần
= Tịnh tiến đồ thị xuống dưới tối thiểu đơn vị 
= Hoặc tịnh tiến đồ thị lên trên tối thiểu đơn vị Vậy hoặc Chọn A.
Loại 4. Cho biểu thức Tìm để hàm số có điểm cực trị
Ví dụ 1. Hàm số có đúng ba điểm cực trị là và Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị ?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Từ giả thiết suy ra Ta có 
Vì có hai nghiệm đơn và một nghiệm bội lẻ nên có điểm cực trị. Chọn A.
Ví dụ 2. Cho hàm số với là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của để hàm số có điểm cực trị.
	A. 	B. 	C. 	D. 	
Lời giải. Chọn C. 
Ta có Hàm số có điểm cực trị hàm số có hai cực trị dương có hai nghiệm dương phân biệt 
PHẦN 3: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM HOẶC NGHIỆM ĐÚNG TRÊN TẬP K CHO TRƯỚC
Loại 1. Tìm điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng trên D
Phương pháp giải
 Bước 1: Cô lập tham số m đưa về một trong bốn dạng sau
	 Bước 2: Khảo sát hàm số trên D
 Bước 3: Tìm max hoặc min của trên D.
 Bước 4: Dựa vào đặc điểm bài toán kết luận về tham số m.
Lưu ý: Xét bất phương trình đúng với mọi 
Trong trường hợp đơn điệu ( không đổi dấu ) trên và hàm liên tục trên thì yêu cầu bài toán trở thành .
 Trong trường hợp đạt giá trị lớn nhất tại điểm thì yêu cầu bài toán trở thành 
Bài tập vận dụng
Ví dụ (Đề minh họa 2019). Cho hàm số . Hàm số có bảng biến thiên như sau
Bất phương trình đúng với mọi khi và chỉ khi
A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Ta có: .
Xét hàm số , ta có: .
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy thì , nê, . Hàm số nghịch biến trên và liên tục trên . Suy ra: . Do đó: .
Loại 2: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm trên D
Phương pháp giải
Bước 1: Cô lập tham số m đưa về dạng sau 
	 Bước 2: Đặt và đánh giá chặt 
	 Bước 3: Khảo sát hàm số trên K
 Bước 4: Tìm max hoặc min của trên K.
 Bước 5: Dựa vào đặc điểm bài toán kết luận về tham số m.
Bài tập vận dụng
Ví dụ. Cho hàm số xác định trên và có đồ thị như hình bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để phương trình: có nghiệm.
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải. Đặt .
Do đó phương trình có nghiệm phương trình có nghiệm trên đoạn .
Dựa vào đồ thị đã cho ta thấy: phương trình có nghiệm với . Vậy .
PHẦN 4. TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Bài toán: Tìm tiệm cận thông qua đồ thị của hàm số hoặc bảng biến thiên
Phương pháp: Học sinh nắm vững khái niệm và cách tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số cụ thể:
	Bài tập vận dụng: 
Ví dụ 1: Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ dưới. Đồ thị hàm số có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
0
1
2.
3
Lời giải: . Do vậy rút gọn . Vậy đồ thị có hai tiệm cận đứng.
Ví dụ 2: Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ dưới. Tìm tất cả giá trị m để đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận đứng?
Lời giải: Xét phương trình . Vì tử luôn khác không với mọi x nên để đồ thị hàm số có 3 đường tiệm cận đứng thì phương trình trên có 3 nghiệm phân biệt . Chọn C
Ví dụ 3: Cho hàm số bậc ba có bảng biến thiên như hình vẽ. Đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
1.	B. 2. 	C. 3. 	D. 4.
Lời giải: Phương trình 
Phương trình . Vậy đồ thị hàm số có 4 đường tiệm cận đứng. Chọn D.
2.4. Hiệu quả của SKKN.
	 Sau thời gian ôn luyện thi THPT Quốc Gia ở các năm học. Trong quá trình tham khảo các đề thi : THPT Quốc Gia năm 2017, 2018; Các đề minh họa của các năm học, các tài liệu liên quan trên mạng.
 	Quá trình tìm hiểu khó khăn của học sinh khi giải dạng toán hàm ẩn. Bản thân tôi suy nghĩ và nghiên cứu tìm giải pháp tháo gỡ khó khăn cho học sinh , khắc phục lối dạy học truyền thụ một chiều, rèn luyện nếp tư duy cho người học. Do đó tôi xây dựng đề tài trên cho học sinh lớp 12. Định hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh; bồi dưỡng khả năng tự học, sáng tạo; khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế; đem lại sự say mê, hứng thú học tập cho các em.
 Tôi mong đề tài được các đồng nghiệp, những người đam mê dạy và học toán ghi nhận và được giới thiệu rộng rãi, góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy phù hợp với thực tiễn về sự thay đổi căn bản và toàn diện của ngành giáo dục.
Lớp
Sĩ số
Tỉ lệ điểm
Giỏi
Khá
TB
Yếu
12A1
44
25%
25%
27%
23%
12A12
44
12%
37%
46%
5%
	- Được đồng nghiệp đánh giá cao. Một số thầy, cô giáo trong trường dạy khối 12 đã áp dụng vào giảng dạy và thu được hiệu quả rất tích cực.
3. Kết luận, kiến nghị.
3.1. Kết luận: Bài viết trên đã thể hiện rất rõ ràng ý tưởng của tôi. Mong rằng nó là một ý tưởng có ích cho các thầy, cô giáo trong việc soạn bài và dạy ôn tập cho học sinh. 
3.2. Kiến nghị: 
- Đối với nhà trường:
Nhà trường tạo điều kiện về trang thiết bị dạy học, để giáo viên có điều kiện tìm tòi và thực hiện các phương pháp dạy học mới.
- Đối với tổ, nhóm chuyên môn:
Tăng cường trao đổi chuyên môn, đặc biệt là các thành viên trong nhóm chuyên môn tích cực chia sẻ các phương pháp dạy học, phương pháp giải bài tập mới, hiệu quả để đồng nghiệp trao đổi, đánh giá, hoàn thiện hơn và vận dụng vào dạy học.
 XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
 Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh nghiệm của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
 Người viết SKKN
 Mạch Quang Tài
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Đề thi thử của các trường THPT, của các sở GD&ĐT trong cả nước ở các năm 
 học 2016 – 2017 và 2017 – 2018. 
2. Các đề minh họa, đề thi của BGD ở các năm học 2016 – 2017 và 2017 – 2018 .
3. 218 bài tập hàm ẩn, trang Diễn đàn toán học.
----------------------------------------------------------------
DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN.
Họ và tên tác giả: Mạch Quang Tài
Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Yên Định 1- Yên Định- Thanh Hóa.
TT
Tên đề tài SKKN
Cấp đánh giá xếp loại
Kết quả đánh giá xếp loại
Năm học đánh giá xếp loại
1
Các phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cô si để giải bài toán bất đẳng thức.
Sở GD&ĐT
C
2006-2007
2
Sử dụng phương pháp véc tơ để giải toán hình học lớp 11.
Sở GD&ĐT
B
2008-2009
3
Rèn luyện kĩ năng tính góc trong không gian.
Sở GD&ĐT
B
2015-2016
4
Hình thành phương pháp và rèn luyện tư duy cho học sinh thông qua các bài toán tính khoảng cách trong không gian.
Sở GD&ĐT
B
2016-2017
* Liệt kê tên đề tài theo thứ tự năm học, kể từ khi tác giả được tuyển dụng vào Ngành cho đến thời điểm hiện tại.