SKKN Rèn luyện kỹ năng khai thác bài toán thông qua Chuyên đề cộng, trừ phân số theo quy luật Toán 6

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
PHÒNG GD&ĐT THỌ XUÂN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG KHAI THÁC BÀI TOÁN 
THÔNG QUA CHUYÊN ĐỀ CỘNG, TRỪ PHÂN SỐ 
THEO QUY LUẬT TOÁN 6
Người thực hiện: Nguyễn Thị Thúy Loan
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Xuân Lập – Thọ Xuân 
SKKN thuộc lĩnh vực môn: Toán
THANH HÓA NĂM 2017
Mục lục
 Trang
1. MỞ ĐẦU.
1
1.1. Lý do chọn đề tài.
1
1.2.Mục đích nghiên cứu. 
2
1.3. Đối tượng nghiên cứu
2
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
2
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm. 
2
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
3
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề. 
4
I. Tính tổng các dãy số viết theo quy luật: 
5
II. Ứng dụng cộng, trừ phân số theo quy luật vào giải các bài toán tìm x, bất đẳng thức 
11
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường. 
16
3. KẾT LUẬN, ĐỀ XUẤT.	
17
1. MỞ ĐẦU.
1.1. Lý do chọn đề tài.
 Toán học là một môn khoa học giữ vai trò rất quan trọng trong nền khoa học tự nhiên. Toán học giúp học sinh phát triển năng lực tư duy, óc sáng tạo, có cái nhìn tổng quát, chính xác, khoa học. Hình thành kỹ năng học toán nói riêng là một quá trình phức tạp khó khăn, phải phối hợp , đan xen, lồng ghép các biện pháp sư phạm hài hoà. Để có kỹ năng phải qua quá trình luyện tập. Việc luyện tập có hiệu quả, nếu biết khai thác nội dung học tập từ kiến thức ban đầu sang một nội dung tương tự, giúp học sinh lặp đi lặp lại nhiều lần trong nhiều tình huống khác nhau nhằm rèn luyện cũng cố, khắc sâu kiến thức, phát triển năng lực tư duy và óc sáng tạo cho học sinh. 
 Để thực hiện được mục tiêu đào tạo học sinh trở thành người lao động tự chủ, năng động và sáng tạo, việc bồi dưỡng năng lực và sáng tạo cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng của nhà trường. Từ việc học sinh giải các bài tập SGK, học sinh có thể từng bước giải các bài tập nâng cao, những bài toán hay và khó. Để từ đó phát triển năng lực, tư duy, óc sáng tạo, óc phân tích tổng hợp.Từng bước bồi dưỡng đào tạo nhân tài cho đất nước, thực hiện tốt mục tiêu giáo dục của Đảng ta trong thời kì công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nước.
Là giáo viên dạy môn toán trong trường phổ thông, tôi ý thức được rằng. Toán học là môn học tự nhiên, nó có vai trò vô cùng quan trọng trong sự phát triển tư duy của con người, nó là chìa khoá để con người khám phá ra các lĩnh vực khác như tin học, vật lý, hoá học, y học... 
Sau nhiều năm trực tiếp giảng dạy môn toán và bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi đã không ngừng học hỏi nâng cao tay nghề, học hỏi đồng nghiệp và những người có kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi. Đặc biệt qua các kỳ thi học sinh giỏi do huyện tổ chức thì hầu như đề thi học sinh giỏi toán 7; 8; 9 các năm đều có dạng toán cộng, trừ phân số theo quy luật. Mặc dù ở lớp 6 không tổ chức thi cấp huyện, nhưng dạng toán này lại có từ lớp 6, nếu các em được học, được bồi dưỡng thì đây lại là nền tảng quan trọng có ý nghĩa thiết thực trong việc dạy học môn toán, nhằm nâng cao chất lượng dạy học, tạo nguồn học sinh khá giỏi trong những năm tiếp theo. Bản thân tôi nhận thấy các bài toán về cộng, trừ phân số viết theo quy luật nội dung xuyên suốt chương trình toán THCS. Đây là dạng bài toán tương đối khó đối với học sinh lớp 6. Học sinh khó hiểu khi đứng trước dạng bài toán này, học sinh còn lúng túng, chưa định ra phương pháp giải bài tập (chưa tìm ra quy luật của dãy số). Trong khi đó dạng toán này trong sách giáo khoa lớp 6 chỉ đưa ra một vài bài toán dạng sao (*), không đưa ra phương pháp giải cụ thể, bắt buộc học sinh tự vận dụng kiến thức của mình. Dạng toán “Dãy phân số viết theo quy luật” là dạng toán tương đối khó đối với học sinh lớp 6, tổng hợp nhiều kiến thức, đối với học sinh phải phân tích, phán xét, nhận dạng nhanh bài toán để đưa ra quy luật của dãy số. Đặc biệt là những bài tập nâng cao rất đa dạng, phong phú, mỗi bài có một sắc thái riêng. Làm thế nào để học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề, khai thác phát triển được những bài tập này là một việc làm không dễ chút nào, buộc học sinh phải suy nghĩ, phát hiện vấn đề, nhưng làm thế nào để học sinh tự tìm tòi phát hiện vấn đề? Nếu giáo viên làm thay cho học sinh thì coi như không giải quyết được vấn đề gì, mà quan trọng nhất là tự học sinh định hướng đúng cách giải qua mỗi bài tập khó.
 Đây không chỉ là vấn đề trăn trở của riêng tôi mà còn là của tất cả đồng nghiệp đang mang trên mình trách nhiệm to lớn của người Thầy. Qua thực tế nhiều năm giảng dạy môn toán và bồi dưỡng học sinh giỏi, bản thân tôi đã đúc kết được nhiều kinh nghiệm, trong đó nổi trội là kinh nghiệm rèn luyện kỹ năng khai thác bài toán thông qua chuyên đề cộng, trừ phân số theo quy luật toán 6 là nền tảng có ý nghĩa vô cùng quan trọng trong việc dạy và học môn toán. Vì vậy tôi đã mạnh dạn trình bày kinh nghiệm của mình về “Rèn luyện kỹ năng khai thác bài toán thông qua chuyên đề cộng, trừ phân số theo quy luật toán 6”, để nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường THCS. 
1.2.Mục đích nghiên cứu.
- Đánh giá thực trạng kỹ năng khai thác bài toán thông qua chuyên đề cộng, trừ phân số theo quy luật toán. 
- Đề xuất một số kỹ năng giải toán cộng, trừ phân số theo quy luật nhằm nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi cho học sinh lớp 6 làm nền tảng cho những năm tiếp theo.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Rèn luyện kỹ năng khai thác bài toán thông qua chuyên đề cộng, trừ phân số theo quy luật cho học sinh khá giỏi khối 6, nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi ở trường THCS.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
 Đúc kết kinh nghiệm qua nhiều năm giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi tôi đưa ra phương pháp nghiên cứu như sau.
Dự thảo nội dung nghiên cứu.
Xây dựng đề cương nghiên cứu.
Thu thập xử lý thông tin: Đọc và nghiên cứu tài liệu.
Khảo sát thực tế.
Tìm hiểu thái độ học sinh đối với việc học tập bộ môn.
Hướng dẫn học sinh chủ động lĩnh hội và sử dụng tri thức toán học thông qua chuyên đề “ Cộng, trừ phân số theo quy luật”.
Học hỏi đồng nghiệp có kinh nghiệm.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
 Xuất phát từ mục tiêu Giáo dục trong giai đoạn hiện nay là phải đào tạo ra con người có trí tuệ phát triển, giàu tính sáng tạo và có tính nhân văn cao. Định hướng này đã được pháp chế hoá trong luật giáo dục điều 24 mục II đã nêu ''Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động sáng tạo của học sinh, phải phù hợp với đặc điểm của từng môn học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh"
“Phương pháp giải các bài toán cộng, trừ dãy phân số viết theo quy luật” với mục đích định ra hướng giải quyết bài toán, phương pháp nhận biết, nhận dạng, phương pháp giải đối với một dãy số nhất định. Đặc biệt còn đưa ra cho học sinh phương pháp phân tích bài toán một cách nhanh chóng, đọc ra được quy luật của dãy số nhanh nhất, hợp lí nhất. Để bồi dưỡng học sinh giỏi đạt kết quả cao thì không chỉ kiến thức sách giáo khoa, mà học sinh cần được học các chuyên đề nâng cao, ở nhiều dạng toán với mỗi loại, nếu chúng ta chỉ dạy mà không đi sâu khai thác phát triển bài toán thì chỉ sau một thời gian ngắn khi gặp lại đa số học sinh quên cách giải, như vậy việc học sẽ không mang lại kết quả cao. Tuy nhiên trong quá trình dạy toán và bồi dưỡng học sinh giỏi với mỗi chuyên đề mà giáo viên đi sâu hướng dẫn học sinh biết khai thác phát triển bài toán sẽ mang lại kết quả cao. Chính vì vậy cần phải khai thác phát triển bài toán đối với từng chuyên đề.
Nội dung đề tài này góp phần nâng cao kiến thức, tư duy toán học, khả năng phân tích, tính toán cho học sinh, đồng thời giúp cho giáo viên lựa chọn phương pháp hợp lí, phù hợp với từng bài, từng đối tượng học sinh góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, đào tạo nhân tài cho đất nước.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
 Là một giáo viên dạy môn Toán ở trường THCS, qua quá trình thực tế dạy toán và nhiều năm bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi thấy với những năm chưa áp dụng cách khai thác phát triển bài toán cho từng chuyên đề, thì kết quả thi học sinh giỏi cấp huyện rất thấp, năm học 2012 – 2013 trong đề thi học sinh giỏi cấp huyện toán 8 có một bài về phân số theo quy luật thì học sinh trường tôi chưa làm được, kết quả thi học sinh giỏi còn hạn chế. Năm học 2014 – 2015 tôi được phân công dạy môn toán 6, bản thân tôi nghỉ rằng mình cần phải đổi mới cách dạy môn toán để nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi, mà nền tảng là các em phải nắm chắc kiến thức từ lớp 6. Thực tế đa số học sinh nhìn chung đều chưa khai thác được cách giải bài toán cộng, trừ phân số theo quy luật, nhất là chứng minh những bài toán hay và khó. Nhiều khi học sinh cứ mò mẫm, lúng túng, bế tắc trước các bài toán kể cả học sinh khá giỏi. Thầy giáo thường giải mẫu sẵn các bài toán từ dễ đến khó cho học sinh chứ chưa phân tích dẫn dắt học sinh phát hiện ra quy luật, hướng giải quyết bài toán, không dẫn dắt các bước đi cần thiết, ngắn gọn, đơn giản mà có kết quả nhanh và hấp dẫn. Đây cũng là một câu hỏi còn bỡ ngỡ. 
	Năm học 2014 – 2015 sau một một bài kiểm tra môn số học 6 (tiết 96 - kiểm tra chương III) trong bài kiểm tra tôi có ra một bài tập khó dành cho 10 học sinh khá giỏi của khối là 
	Tính tổng: a, 
	 b, 
	Kết quả bài kiểm tra thu được như sau: 
 Tổng số học sinh được kiểm tra: 10 học sinh.
* Đối với bài a.
 + Có 4 học sinh (chiếm 40,0 %) biết cách trình bày lời giải bài toán .
 + Có 3 học sinh (chiếm 30,0%) trình bày lời giải bài toán đó còn lúng túng.
 + Có 3 học sinh (chiếm 30,0%) không định hướng được cách làm
* Đối với bài b.
 + Có 0 học sinh (chiếm 0,0 %) phát hiện và giải quyết bài toán tổng quát từ bài toán cụ thể và biết cách trình bày lời giải bài toán đó.
 + Có 1 học sinh (chiếm 10,0%) biết tìm ra bài toán tổng quát từ bài toán cụ thể trình bày lời giải bài toán đó còn lúng túng.
 + Có 2 học sinh (chiếm 20,0%) biết tìm ra bài toán tổng quát từ bài toán cụ thể nhưng không biết cách trình bày lời giải bài toán đó. 
 + Có 7 học sinh (chiếm 70,0%) không định hướng được cách làm.
 Kết quả trên cho thấy kỹ năng phát hiện vấn đề, khai thác tổng quát hóa bài toán trong quá trình giải toán của học sinh còn rất hạn chế. Nhưng nếu có kỹ năng tổng quát hóa bài toán sẽ giúp cho học sinh phát huy được tính tích cực, chủ động, sáng tạo, năng lực tư duy của mình. Đồng thời sau khi chứng minh được bài toán tổng quát, giúp học sinh có cái nhìn sâu rộng hơn, khái quát hơn và có phương pháp giải một lớp các bài toán cùng dạng. Đứng trước thực trạng trên tôi quyết định chọn nghiên cứu đề tài : “Rèn luyện kỹ năng khai thác bài toán thông qua chuyên đề cộng, trừ phân số theo quy luật toán 6”, để củng cố thêm cho nghiệp vụ giảng dạy của mình. Cũng qua đề tài này tôi có thể tự học, tự vươn lên góp phần nhỏ bé về sức lực trong sự nghiệp trồng người.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
 Khảo sát chất lượng, tìm hiểu nguyên nhân và biện pháp nâng cao chất lượng dạy và học.
 Ôn tập, củng cố các kiến thức cơ bản về thực hiện các phép tính và các kiến thức bổ trợ.
 Từ việc đưa ra những bài toán cụ thể, mang tính đơn lẻ, có tính chất dễ dàng lĩnh hội giáo viên đặt học sinh vào tình huống bài toán tổng quát của những bài toán đơn lẻ đó là gì. Từ đó giáo viên dẫn dắt để học sinh phát hiện bài toán, trong trường hợp tổng quát hơn và có nhu cầu chứng minh bài toán tổng quát đó.
 Người thầy phải tổ chức tốt các hoạt động dạy học trên lớp tạo cho học sinh hứng thú học tập, say mê nghiên cứu khám phá ra những điều mới lạ về kiến thức, giúp cho học sinh có niềm vui của sự khám phá.
 Đề tài này trình bày đòi hỏi phải giải quyết một số vấn đề sau:
1. Khai thác đề bài, cách tìm lời giải bài toán dẫn đến việc nắm được quy luật của dãy số.
2. Từ việc khai thác trên nêu ra được phương pháp giải một bài toán cụ thể.
3. Đưa ra bài toán tổng quát.
4. Nêu ứng dụng của phương pháp. 
 Trên cơ sở các bài toán cụ thể ở các dạng toán đó tôi hướng dẫn các em cách giải bài toán, từ đó hướng dẫn các em tìm ra bài toán tổng quát và cách giải tổng quát bài toán đó. 
 Ở đề tài này chỉ đề cập đến một chuyên đề dạng cộng, trừ phân số theo quy luật gồm hai phần đó là tính tổng dãy số theo quy luật và ứng dụng tính tổng dãy số theo quy luật vào toán tìm x, chứng minh đẳng thức, tính giá trị biểu thức... Đây là những bài toán hay và khó trong chương trình lớp 6. Ứng với 10 bài toán điển hình từ đơn giản đến phức tạp làm dẫn chứng cho dạng toán nêu trên.
 Với mỗi bài toán tôi đều hướng dẫn tạo ra các tình huống có vấn đề để học sinh suy nghĩ tự tìm ra cách giải quyết bài toán và từ đó có thể tổng quát hóa bài toán và khắc sâu cách giải từ 1 đến 4 bài tập để học sinh tự luyện. Thông qua các bài toán có các bước phân tích lí do: "tại sao lại nghĩ ra quy luật bài toán đó?". Thậm chí có những bài toán phải tìm ra quy luật thì mới tìm ra lời giải bài toán. Tuy nhiên với mỗi bài toán có lời giải ngắn gọn và hay là một vấn đề phải đầu tư suy nghĩ.
 Tuỳ từng bài toán cụ thể chúng ta có những cách hướng dẫn, gợi cho học sinh nghĩ đến quy luật nào, phải làm gì để tạo ra bài toán có quy luật, để có thể đưa đến những cách giải hay và độc đáo. Song công việc sáng tạo này không thể tuỳ tiện. Việc tìm ra quy luật, tạo ra quy luật phải luôn tuân theo các phép biến đổi đã học. Với những bài toán này thì việc phát hiện và giải quyết vấn đề cũng như khai thác, tổng quát bài toán là rất quan trọng và làm thế nào để học sinh tự làm được những việc này? Đó là những hướng nghiên cứu của đề tài này.
 Sau đây tôi sẽ đưa ra một số dạng bài tập để khai thác phát triển bài toán như sau. 
I. Tính tổng các dãy số viết theo quy luật:
Loại toán tìm tổng của một dãy số viết theo quy luật, trong đó thường có 3 phân số đầu là số cụ thể còn các phân số sau cùng cho ở dạng tổng quát. Để làm dạng toán này ta cần nhận xét, so sánh giữa tử và mẫu, các tử (hay các mẫu) với nhau, giữa phân số cụ thể và tổng quát để tìm ra cách viết quy luật của phân số rồi dần dần tìm ra cách giải.
Để làm dạng toán này người ta dùng phương pháp khử liên tiếp các số hạng.
1. Bài toán 1 : Tính tổng sau: 
S = 
* Phân tích bài toán: Khi gặp bài toán này chúng ta có thể quy đồng rồi thực hiện phép tính được không ? Cách giải này vô cùng khó khăn. Vậy có cách giải nào khác chăng ? Chúng ta hãy quan sát tử và mẫu của bài toán. Bài toán này là tổng của các phân số có tử là 1 còn mẫu của các phân số là 1.2; 2.3; 3.4; ...100.101.
Như vậy mẫu của các phân số là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp. Cách giải bài toán này là biến đổi mỗi phân số đã cho thành hiệu của 2 phân số, biến dãy tính cộng thành dãy tính cộng và trừ.
Chẳng hạn: = ; ; . ; = 
Mục đích là ta đi triệt tiêu các số hạng đối nhau. Đây chính là chiếc chìa khóa vàng để giải bài toán này đấy.
* Cách giải:
S = 
 = 
* Từ bài toán trên GV có thể hướng dẫn HS đưa ra bài toán tổng quát sau: 
Tính tổng: S = 
 = 
*Bài tập áp dụng
Bài 1: Tính tổng 
Với bài tập 1 thì 100% các em làm được.
Bài 2: Tính tổng 
Với bài tập 2 này thì có 8 em làm tốt, 2 em còn lúng túng trong cách giải chưa phát hiện ra quy luật. Vì vậy tôi đưa ra câu hỏi “làm thế nào để đưa bài toán 2 về dạng bài toán 1”. Lúc này các em đã phát hiện ra cách làm: Đặt thừa số chung là 5. Ngoài ra các em còn phát hiện ra cách làm khác là:
Bài 3: Tính tổng 
 Với bài tập 3 thì chỉ có 9 em phát hiện ra quy luật, còn 1 em chưa phát hiện ra quy luật. Vì vậy tôi đã hướng dẫn các em tách 2 = 1.2; 6 = 2.3 ...
	Trên đây là những bài toán có quy luật, mẫu là tích 2 số tự nhiên liên tiếp . Vậy khi gặp các bài toán mà mẫu số là tích 2 số tự nhiên không liên tiếp nhưng cách đều thì ta làm như thế nào?
2. Bài toán 2: Tính tổng: 
* Phân tích bài toán :
Ta thấy P là tổng của các phân số có tử là 2, còn mẫu của các phân số là tích của 2 số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị, do đó ta có thể viết mỗi phân số đó là hiệu của 2 phân số, phân số bị trừ có tử là 1 và mẫu là thừa số thứ nhất, phân số trừ có tử là 1 và mẫu là thừa số thứ 2.
VD: ; ; ;  ; 
Vậy là nốt thắt bài toán đã được mở, nên ta dễ dàng tính được tổng đã cho
* Cách giải:
P= = = 
+ Bài toán tổng quát:
Tính tổng: P= 
 == 
*Bài tập áp dụng
Bµi 1: TÝnh tæng:
 A = + + + ...+ 
	Với bài 1 có 9 học sinh làm đúng còn 1 học sinh chưa nghĩ ra cách giải, các em chưa phát hiện ra khoảng cách giữa 2 số ở mẫu là 2 nhưng tử là 1. Vì vậy muốn làm được thì phải nhân tử và mẫu của mỗi số hạng của A với 2 rồi đặt ra ngoài. 
	Sau khi đã nắm được cách làm bài tập 1 rồi thì việc giải quyết các bài tập 2; 3; 4; 5 rất đơn giản, dễ dàng và 100% các em đã làm tốt các bài tập sau.
Bµi 2: B = + + + ... + 
Bµi 3: C = + + + ... + 
Bµi 4: D = + + + ... + 
Bµi 5: Tính tổng:S= (Với n N)
Hướng dẫn giải
S = =
= 
= = = 
 Đối với những bài toán chưa cho trước quy luật mẫu số mà cần yêu cầu tư duy cao hơn mới tìm ra quy luật thì sao?
 3. Bài toán 3: TÝnh tæng
 M = 
 * Phân tích bài toán: Ta nhận thấy mẫu các số hạng trong tổng kia phân tích thành tích thì không có quy luật nào cả nên không áp dụng được công thức. Vậy làm thế nào đưa bài toán này về bài toán có quy luật. Nếu nhân cả tử và mẫu của mỗi số hạng trong tổng với 2 (không làm thay đổi giá trị của phân số) thì sẽ dễ dàng viết viết được các mẫu theo quy luật. Đây chính là mấu chốt của bài toán. Nhân cả tử và mẫu của M với 2, khi đó.
 = 
 =2. = 2.
 * Bài tập áp dụng:
Bài 1. Tính tổng 	 
Với bài tập này 100% làm được (nhân cả tử và mẫu của mỗi số hạng trong tổng A với 2 thì sẽ dễ dàng viết được các mẫu theo quy luật). 
Bài 2. Tính tổng	 
 Với bài tập này có 9 em làm tốt, còn 1 em chưa biết cách biến đổi và tìm ra quy luật là đặt ra ngoài (các mẫu đều chia hết cho 2) từ đó tìm ra quy luật dãy số.
Đối với những bài toán phức tạp hơn, việc đưa về bài toán có quy luật lại càng khó. Vậy khi gặp bài toán đó thì giáo viên phải hướng dẫn như thế nào để học sinh có thể tự tìm ra quy luật bài toán.
4. Bài toán 4: Tính tổng
 E = 
 * Phân tích bài toán: Đây là bài toán lạ, hay và khó, học sinh rất khó khăn trong việc xác định quy luật. Làm thế nào để đưa về bài toán có quy luật, đó chính là hướng đi của bài toán. Học sinh biết nhân cả tử và mẫu của mỗi số hạng trong tổng với 5 (không làm thay đổi giá trị của phân số ) thì sẽ dễ dàng đưa từ bài toán lạ về bài toán quen thuộc. Vậy là cánh cửa bài toán đã mở ra. 
Khi đó ta có.
E = = ()
 = 5() = 
 = 
 * Bài tập áp dụng:
Bài 1. Tính tổng 	
Khi cho học sinh làm bài này thì có 8 HS làm tốt còn 2 HS còn lúng túng chưa biết nhân cả tử và mẫu của mỗi số hạng trong tổng M với 3 rồi đặt 3 ra ngoài.
Bài 2. Tính tổng	
Sau khi được định hướng hướng dẫn cách làm bài 1 thì 100% học sinh đã làm tốt bài toán 2 đấy các em đã biết (nhân cả tử và mẫu của mỗi số hạng trong tổng N với 4 rồi đặt 4 ra ngoài). Mấu chốt của bài toán là học sinh biết vận dụng chọn nhân với số nào cho hợp lý.
Với những bài toán mà quy luật mẫu số là tích của 3 số liên tiếp ta làm như thế nào?
 5. Bài toán 5: 
Tính tổng 
 * Phân tích bài toán: Ta thấy các phân số trong tổng B đều có tử là 1 còn mẫu của các phân số là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp. Ta viết mỗi số hạng của tổng thành hiệu của hai số sao cho số trừ của nhóm trước bằng số bị trừ của nhóm sau. Ta tách phân số bị trừ có tử là 1 còn mẫu là tích 2 số tự nhiên liên tiếp đầu, phân số trừ có tử cũng là 1 còn mẫu là tích 2 số tự nhiên liên tiếp sau ( có 1 số giữa trùng nhau).Vậy là tia sáng giải bài toán đã lóe lên rồi đấy.
Ta thấy: 
Tổng quát ta có thể áp dụng: 
* Cách giải:
B= 
 = +++
 = 
 == ====
* Bài toán tổng quát:
B= =
==
 * Bài tập áp dụng:
 Tính tổng 	
 	Qua bài tập này đa số học sinh đã giải tốt và các em rất yêu thích môn toán. 
 6. Bài toán 6: 
 Tính tổng B=
 	* Phân tích bài toán: Sau khi đã giải xong các bài toán trên, khi gặp bài toán này, tôi nghĩ rằng học sinh không còn sợ khi gặp những bài toán tương đối phức tạp như thế này nữa. Trái lại các em sẽ rất hăng say để khám phá ra cách giải bài