SKKN Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua việc trình bày một số phương pháp giải bất phương trình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 1
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH 
THÔNG QUA VIỆC TRÌNH BÀY MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH
 Người thực hiện: Trần Thị Hiếu
 Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn
 SKKN thuộc môn: Toán
THANH HOÁ NĂM 2018
Mục lục
Nội dung
Trang
1. Mở đầu 
2
1.1 Lý do chọn đề tài 
3
1.2 Mục đích nghiên cứu 
3
1.3 Đối tượng nghiên cứu 
3
1.4 Phương pháp nghiên cứu 
3
1.4.1 Nghiên cứu lý luận 
3
1.4.2 Điều tra quan sát 
3
1.5 Những điểm mới của SKKN 
3
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
4
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 
4
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 
4
2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để
 giải quyết vấn đề 
4
 A. Phương pháp biến đổi tương đương
5
 1. Kỹ thuật nâng luỹ thừa 
5
 2. Kỹ thuật đưa về bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối 
6
 3. Kỹ thuật dùng hằng đẳng thức- Phép nhân liên hợp
7
 B. Phương pháp đặt ẩn phụ
8
 1. Kỹ thuật đặt một ẩn phụ. 
8
 2. Kỹ thuật đặt hai ẩn phụ đưa về bất phương trình thuần nhất 
9
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, 
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 
10
2.4.1 Mục đích kiểm chứng sư phạm 
10
2.4.2 Nội dung kiểm chứng sư phạm 
10
2.4.3 Tổ chức kiểm chứng sư phạm 
11
2.4.4 Đánh giá kết quả kiểm chứng sư phạm 
11
2.4.4.1 Kết quả định tính 
11
2.4.4.2 Kết quả định lượng 
11
3. Kết luận, kiến nghị 
13
3.1 Kết luận
13
3.2 Kiến nghị
13
Tài liệu tham khảo 
14
1. Mở đầu
1.1 Lý do chọn đề tài
	Giải bài tập toán học có vai trò quan trọng trong môn toán, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc, phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ. 
	Việc giải một bài toán là một quá trình mò mẫm, tìm tòi dựa trên hiểu biết của người giải toán. Có người phải mò mẫm rất lâu, thử hết cách này đến cách khác, trong khi có người lại có thể tìm được cách giải rất nhanh. Vậy đâu là bí quyết cho kỹ năng giải toán nhanh gọn và chính xác? Cách rèn luyện chúng như thế nào? Những con đường mà người giải toán có thể trải qua để đi đến các lời giải thoả đáng là gì? 
	Trong giai đoạn hiện nay, việc đổi mới phương pháp dạy học chủ yếu theo hướng hoạt động hoá người học với phương châm "Học tập trong hoạt động và bằng hoạt động". Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh là một yêu cầu của việc đổi mới phương pháp dạy học hiện nay. 
	Trong chương trình môn toán, bất phương trình được đưa vào từ cấp 2 và xuyên suốt trong chương trình môn toán trường phổ thông. Nó có vai trò quan trọng và làm cơ sở để nghiên cứu về các kiến thức toán học có liên quan.
	Trong chương trình toán THPT, bất phương trình được thể hiện dưới các hình thức chủ yếu: Các bất phương trình thông thường, các bất phương trình vô tỷ, các bất phương trình chứa hàm mũ, hàm lôgarit. Việc giải thành thạo các bất phương trình thể hiện khả năng lựa chọn công cụ, sự linh hoạt và sáng tạo trong suy luận và phân tích bài toán.
 Mặt khác, thực trạng hiện nay là kĩ năng giải toán của học sinh đang còn rất yếu, các em học một cách thụ động, lười suy nghĩ, bắt trước nhiều hơn là sáng tạo, tư duy logic của các em chưa được rèn dũa, chưa biết tìm tòi, khai thác giả thiết, xâu chuỗi kiến thức để đi đến tìm hướng giải bài toán...
	Từ những lý do đã nói trên với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy và học toán, tôi chọn đề tài nghiên cứu là: 
"Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua việc trình bày một số phương pháp giải bất phương trình "
1.2 Mục đích nghiên cứu
	Xác định nội dung và phương pháp rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trên cơ sở trình bày các phương pháp giải bất phương trình, nhằm góp phần nâng cao hiệu quả của việc dạy và học môn toán.
. Làm rõ các khâu tìm lời giải và giải bài toán nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh.
. Xây dựng các phương pháp giải bất phương trình theo hướng rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh.
. Xây dựng các ví dụ và bài tập vận dụng nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh. 
1.3 Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 10 THPT
1.4 Phương pháp nghiên cứu
1.4.1 Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu về lý luận dạy học, phương pháp dạy học để hiểu rõ tầm quan trọng của việc giải bài tập toán. Nghiên cứu về SGK, sách tham khảo về bất phương trình để thấy được vị trí và tầm quan trọng của bất phương trình, những vấn đề về nội dung và phương pháp giảng dạy bất phương trình. 
1.4.2 Điều tra quan sát 
+ Thực tiễn dạy học giải bất phương trình ở trường THPT 
+ Những khó khăn và sai lầm của học sinh khi giải bất phương trình.
1.5. Những điểm mới của SKKN: Bổ sung phương pháp đặt ẩn phụ qui về bất phương trình thuần nhất.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Theo tâm lý học thì kỹ năng là khả năng vận dụng kiến thức (Khái niệm, cách thức, phương pháp ) để giải quyết một nhiệm vụ mới. Thực chất của sự hình thành kỹ năng là hình thành cho học sinh nắm vững một hệ thống phức tạp các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ những thông tin chứa đựng trong bài tập, trong nhiệm vụ và đối chiếu chúng với những hành động cụ thể.
	Muốn vậy, khi hình thành kỹ năng (chủ yếu là kỹ năng học tập) cho học sinh cần: 
- Giúp học sinh biết cách tìm tòi để tìm ra yếu tố đã cho, yếu tố phải tìm và mối quan hệ giữa chúng.
- Giúp học sinh hình thành một mô hình khái quát để giải quyết các bài tập, các đối tượng cùng loại.
- Xác lập được mối liên quan giữa bài tập mô hình khái quát và các kiến thức tương ứng.
Chúng ta không thể có một thuật giải tổng quát để giải mọi bài toán. Ngay cả đối với những lớp bài toán riêng biệt cũng có trường hợp có, có trường hợp không có thuật giải. Tuy nhiên, trang bị những hướng dẫn chung, gợi ý cách suy nghĩ tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán lại là có thể và cần thiết. 
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Bài toán giải bất phương trình nói chung và bất phương trình vô tỉ nói riêng luôn là một bài toán khó đối với đa số học sinh THPT đặc biệt là đối với học sinh có lực học khá trở xuống. 
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 
Sau đây ta có thể nêu phương pháp chung để tìm lời giải các bài toán: 
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài, phân tích và nghiên cứu đề bài. Đây là một yêu cầu quan trọng và quyết định trong việc tìm lời giải bài toán.
Bước 2: Tìm cách giải. Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: Dựa vào việc phân tích các giả thiết, các điều kiện của bài toán hay liên hệ các giả thiết... 
Bước 3: Trình bày cách giải. Từ cách giải đã được phát hiện, sắp xếp các việc phải làm thành một chương trình gồm các bước theo một trình tự nhất định và thực hiện các bước đó. 
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải. Nghiên cứu khả năng ứng dụng kết quả của lời giải, nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn đề, từ đó sáng tạo ra bài toán mới
	Sau đây tác giả xin giới thiệu một số phương pháp giải Bất phương trình
A. PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
 1. Kỹ thuật nâng luỹ thừa (thường áp dụng với với luỹ thừa bậc 2 và bậc 3)
ND: B1: tìm TXĐ của BPT
 B2: Luỹ thừa hai vế(khi luỹ thừa bậc 3 không cần đk, khi luỹ thừa bậc 2 cần đk hai vế không âm)
Ví dụ 1 : Giải các bất phương trình sau:
a. (1) b. (2)
Giải.
 a. Điều kiện . 
Với điều kiện trên (1) tương đương với Kết hợp với điều kiện ta được 
 Vậy BPT có tập nghiệm 
 b. Điều kiện . Với đk trên BPT tương đương với 
Vậy BPT có tập nghiệm .
 Nhận xét: Từ ví dụ này ta có thể đưa ra một phương pháp chung để giải những bất phương trình tương tự: Chuyển vế, luỹ thừa hai vế và phân tích theo các biểu thức trong dấu căn. 
 2. Kỹ thuật đưa về bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
 ND: * Phương pháp này áp dụng được lớp bất phương trình mà các biểu thức dưới dấu căn là các bình phương đúng.
* Nhiều phương trình mà các biểu thức dưới dấu căn không phải là các bình phương đúng, nhưng qua phép biến đổi nào đó có thể đưa về được các bình phương đúng.
* Sau khi tìm hiểu về phương pháp này, ta có thể nhận dạng phương pháp một cách máy móc, đó là những bất phương trình mà biểu thức dưới dấu căn có vẻ khá phức tạp, nhưng nếu để ý kỹ ta sẽ phát hiện ra điều đặc biệt nằm sau sự phức tạp đó. Điều đặc biệt đó chính là các bình phương đúng hay qua sự biến đổi đưa về được các bình phương đúng.
Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 
Giải. ĐKXĐ: 
* Để ý các biểu thức dưới dấu căn, ta thấy được:
 Và 
Khi đó bất phương trình trên tương đương với:
Do còn 
· Nếu thì bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình:
 Kết hợp với ta được nghiệm của bất phương trình là 
· Nếu thì bất phương trình tương đương với: ( luôn đúng). Suy ra là nghiệm của bất phương trình.
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là 
* Nhận xét: Ở ví dụ 2, nếu giải thông thường bằng cách bình phương hai vế để đưa về phương trình tương đương thì ta sẽ thu được một PT phức tạp, giải rất khó khăn. Vì vậy, việc đưa về phương trình chứa giá trị tuyệt đối là hợp lý và nó khẳng định tính hiệu quả của phương pháp này đối với các dạng PT tương tự.
3. Kỹ thuật dùng hằng đẳng thức- Phép nhân liên hợp.
 ND: - Vận dụng hằng đẳng thức, phép nhân liên hợp để thu gọn BPT về dạng đơn giản.
- Chú ý biểu thức liên hợp: a – b là a + b dùng khử căn bậc hai
 a – b là dùng khử căn bậc 3
 a + b là dùng khử căn bậc 3.
Ví dụ 3: Giải các BPT sau:
Giải: a) ĐK: 
Kết hợp với điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là 
b) Bằng cách nhân lượng liên hợp bất phương trình (2) tương đương
Lại thực hiện phép nhân liên hợp
 Để có nghĩa thì 
Do 
Nên 
 hoặc 
Giải (I) 
Giải hoặc 
Vậy bất phương trình có tập nghiệm là 
B. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ
 1. Kỹ thuật đặt một ẩn phụ.
 ND: Đặt một biểu thức chứa biến bởi một ẩn phụ nào đó sau đó biểu diễn các biểu thức còn lại qua ẩn phụ rồi đưa BPT về BPT với ẩn mới. BPT mới là BPT dễ giải hơn BPT cũ.
Ví dụ 4. Giải các BPT sau:
a. 
b. 
Giải.
a) 
Đặt 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là khoảng 
b) Điều kiện: 
Đặt 
Kết hợp với ta được 
Suy ra 
So sánh với điều kiện, bất phương trình có tập nghiệm là nửa khoảng 
2. Kỹ thuật đặt hai ẩn phụ đưa về bất phương trình thuần nhất
 ND: * Học sinh nắm vững thế nào là bất phương trình thuần nhất và cách giải BPT thuần nhất.
 * Biết cách biểu diễn một đa thức theo các đa thức khác
* Để đưa được về bất phương trình thuần nhất ta cần nhận ra được những mối liên hệ giữa các biểu thức trong căn và biểu thức ngoài dấu căn hoặc mối liên hệ giữa các biểu thức trong dấu căn.
* Để dùng phương pháp này ta đặt hai ẩn phụ và bất phương trình thu được thường là bất phương trình thuần nhất bậc hai đối với hai ẩn phụ đó. 
Ví dụ 5: Giải bất phương trình: 
Giải. ĐKXĐ: 
Bất phương trình đã cho tương đương với
Đặt và ta có: 
Đây là BPT thuần nhất bậc hai hai ẩn.
Xét hai trường hợp :
Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là :
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
2.4.1 Mục đích kiểm chứng sư phạm
 -Vận dụng phương pháp tìm lời giải bài toán nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua hệ thống các phương pháp giải bất phương trình vô tỷ.
- Kiểm nghiệm tính hiệu quả của việc sử dụng các ví dụ trong các phương pháp giải bất phương trình vô tỷ nhằm rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh. 
2.4.2 Nội dung kiểm chứng sư phạm
	Kiểm chứng sư phạm tiến hành trong khoảng thời gian giảng dạy môn toán lớp 10 trường THPT Hậu Lộc 1 năm học 2017-2018.
2.4.3 Tổ chức kiểm chứng sư phạm 
	* Tác giả chọn đối tượng kiểm chứng là lớp 10A3 với 48 học sinh và lớp đối chứng là 10A9 với 47 học sinh. Qua điều tra thì thấy trình độ 2 lớp này là tương đương. 
	* Tác giả dựa vào các khâu "Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua hệ thống các phương pháp giải bất phương trình vô tỷ", soạn giáo án kiểm chứng và trực tiếp dạy kiểm chứng sư phạm. 
	* Cho học sinh lớp dạy kiểm chứng sư phạm và lớp đối chứng làm bài kiểm tra cùng đề. Chấm bài kiểm tra, thống kê điểm làm cơ sở để đánh giá. 
2.4.4 Đánh giá kết quả kiểm chứng sư phạm 
2.4.4.1. Kết quả định tính 
	Qua các giờ kiểm chứng cho thấy học sinh tiếp thu khá tốt các phương pháp giải bất phương trình vô tỷ mà giáo viên đã trình bày. Trong tiết học không khí học tập sôi nổi và hào hứng.
2.4.4.2. Kết quả định lượng
	Sau thời gian thực hiện các giờ dạy kiểm chứng, cho hai lớp làm bài kiểm tra sau đây với thời gian 1 tiết: 
	Câu 1: Giải bất phương trình: . 
 Câu 2: Giải bất phương trình: 
	Câu 3: Giải bất phương trình: 
 Nhận xét cách làm bài của học sinh:
	+ Lớp đối chứng có 29 học sinh mắc sai lầm khi sử dụng phép biến đổi tương đương sau khi bình phương hai vế ở câu 1. Lớp kiểm chứng có 10 học sinh mắc sai lầm này 
	+ Câu 2, phần lớn học sinh hai lớp làm đúng câu 2.
 + Lớp đối chứng có 1 học sinh làm đúng câu 3, lớp kiểm chứng có 6 học sinh làm đúng câu này
Bảng thống kê và tỷ lệ % (yếu- kém, trung bình, khá- giỏi) thu được sau khi chấm bài kiểm tra
Bảng 1: Thống kê điểm bài kiểm tra.
Điểm
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
số bài
Lớp kiểm chứng 10A3
1
1
5
9
13
12
4
3
48
Lớp đối chứng 10A9
4
4
9
12
8
9
1
47
* Điểm trung bình bài kiểm tra của lớp kiểm chứng: = 7,02
* Điểm trung bình bài kiểm tra của lớp đối chứng: = 6,00
Bảng 2: Thống kê tỷ lệ % (yếu - kém, trung bình, khá - giỏi)
Xếp loại(điểm )
Yếu - kém 
Trung bình 
Khá -giỏi 
Lớp kiểm chứng 10A3
4,17% (2 bài )
 56,25%(27 bài)
39,42%(19 bài )
Lớp đối chứng 10A9
17,02 %(8 bài )
61,7%(29 bài )
21,28 %(10 bài )
Qua đó cho thấy chất lượng làm bài kiểm tra của lớp kiểm chứng cao hơn so với lớp đối chứng. Điều đó chứng tỏ rèn luyện kỹ năng giải bài tập toán cho học sinh là bước quan trọng và cần thiết. 
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận
Nội dung Đề tài "Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua việc trình bày các phương pháp giải bất phương trình vô tỷ". Qua quá trình nghiên cứu, từ những kết quả thu được tôi có thể kết luận. 
- Đề tài đã góp phần làm sáng tỏ nội dung: "Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh trong dạy học giải bài tập toán"	
- Đề tài đã xây dựng được một hệ thống các phương pháp giải bất phương trình giải vô tỷ và lớp các ví dụ minh hoạ cho từng phương pháp theo hướng rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh.
- Những nghiên cứu lý luận và thực tiễn đã chứng tỏ rằng giả thuyết khoa học của Đề tài là chấp nhận được. 
3.2. Kiến nghị: không.
 Trên đây là sáng kiến kinh nghiệm do tôi nghiên cứu, không sao chép của người khác, nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
 Hậu lộc, tháng 05 năm 2018
 Xác nhận của thủ trưởng đơn vị Người thực hiện
 Trần Thị Hiếu 
Tài liệu tham khảo
[1] Nguyễn Thái Hoè, Dùng ẩn phụ để giải toán, NXBGD, 2004.
[2] Nguyễn Thái Hoè, Rèn luyện tư duy qua việc giải bài tập toán NXBGD, 1995.
[3] Lê Văn Hồng (Chủ biên), Lê Ngọc Lan, Nguyễn Văn Thàng, Tâm lý học lứa tuổi và tâm lý học sư phạm, Hà Nội, 1995.
[4] Phan Huy Khải, Toán nâng cao cho học sinh Đại số THPT tập 1, NXBHN, 2001. 
[5] Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học môn Toán, NXBĐHSP, 2003 
[6] G.Polia, Giải bài toán như thế nào, NXBGD, 1997. 
DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Trần Thị Hiếu
Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Toán 
Đơn vị công tác: Trường THPT Hậu Lộc 1
TT
Tên đề tài SKKN
Cấp đánh giá xếp loại
Kết quả đánh giá xếp loại
Năm học đánh giá xếp loại
1
"Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh thông qua việc trình bày một số phương pháp giải hệ phương trình "
Ngành GD cấp tỉnh; Tỉnh Thanh Hóa
C
2012-2013