SKKN Rèn luyện cho học sinh lớp 12 kỹ năng sử dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
 TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH LỚP 12
KỸ NĂNG SỬ DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
 Người thực hiện: Trịnh Thị Hiền
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
 THANH HÓA NĂM 2017
MỤC LỤC
MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU........ ....3
 1.1. Lý do chọn đề tài...3
 1.2. Mục đích nghiên cứu.....3
 1.3. Đối tượng nghiên cứu....3
 1.4. Phương pháp nghiên cứu...4
 1.5. Những điểm mới của sáng kiến.....4
 2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ....4
 2.1. Cơ sở lí luận.............................................................................................4
 2.2. Thực trạng vấn đề.........4
 2.3. Các giải pháp thực hiện........5
 2.4. Hiệu quả của sáng kiến...........17
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ ........ 18
 3.1. Kết luận18
 3.2. Kiến nghị.18
1. MỞ ĐẦU.
1.1 Lý do chọn đề tài.
Giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo dục tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và trên thế giới. Chính vì thế vai trò của các bài toán có nội dung thực tế trong dạy học toán là không thể không đề cập đến.
Chủ đề ứng dụng tích phân là một trong những kiến thức cơ bản ở chương trình toán giải tích lớp 12. Việc dạy và học vấn đề này không chỉ giúp học sinh hiểu rõ ý nghĩa hình học, ý nghĩa vật lý của tích phân mà còn cho học sinh thấy được sự liên hệ chặt chẽ giữa toán học với các khoa học khác, với thực tế đời sống và lao động sản xuất. Đồng thời đây cũng là một nội dung thường gặp trong các đề thi học kì, đề thi học sinh giỏi và đề thi trung học phổ thông.
Qua thực tế giảng dạy chủ đề ứng dụng hình học tích phân, tôi thấy học sinh gặp rất nhiều khó khăn. Đặc biệt, để giải quyết được bài toán này học sinh cần trang bị nhiều kiến thức như tính tích phân, thiết lập hàm số, khảo sát và vẽ đồ thị, bài toán tương giaoTrong khi đó các em thường vận dụng công thức một cách máy móc, chưa có sự phân tích, thiếu tư duy thực tế và trực quan, chưa có sự liên hệ giữa các tình huống thực tế với toán học nên các em hay bị nhầm lẫn hoặc không giải được. Khắc phục được khó khăn và sửa chữa được các sai lầm đó là rất cần thiết, giúp cho quá trình giải toán được dễ dàng, thuận lợi và đạt hiệu quả cao. Đồng thời tạo được sự hứng thú, phát triển tư duy, năng lực sáng tạo của học sinh khi học tập môn toán cũng như các môn học khác. Xuất phát từ thực tế đó, tôi lựa chọn đề tài : “Rèn luyện cho học sinh lớp 12 trung học phổ thông kỹ năng sử dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng”.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Đưa ra một số giải pháp, xây dựng các hoạt động và hoạt động thành phần giúp học sinh nắm vững công thức, các phương pháp giải toán và vận dụng linh hoạt các kiến thức đó. Thúc đẩy hứng thú học tập cho học sinh, gây động cơ để học sinh học tập tích cực từ đó góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy hình chủ đề ứng dụng tích phân ở trường trung học phổ thông.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
- Học sinh thực hiện nội dung này là học sinh lớp 12.
- Đối tượng nghiên cứu: Các phương pháp tính diện tích hình phẳng bằng tích phân, các sai lầm thường gặp của học sinh khi giải bài toán này và cách khắc phục.
1.4. Phương pháp nghiên cứu. 
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết: Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài như: sách giáo khoa, tài liệu về phương pháp dạy học toán, sách tham khảo, đề thi khảo sát chất lượng của các trường trung học phổ thông, mạng internet,..
- Phương pháp điều tra quan sát: Tìm hiểu việc nắm bắt bài học của học sinh qua việc vận dụng kiến thức để giải toán và qua các bài kiểm tra, tìm hiểu về việc vận dụng các phương pháp dạy học tích cực ở một số trường phổ thông.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tham gia dự giờ, rút kinh nghiệm trong tổ bộ môn, tham dự các buổi họp chuyên đề, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp.
- Phương pháp thực nghiệm: Tiến hành thực nghiệm ở các lớp 12Đ, 12E,12G trường THPT Hà Trung trong năm học 2016 -2017.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến.
- Phân loại các dạng bài tập tính diện tích hình phẳng theo từng nội dung, chỉ ra các cách giải khác nhau được sử dụng trong bài toán đó.
- Bố sung một số câu hỏi trắc nghiệm khách quan để học sinh nhận diện hình phẳng, khắc sâu công thức tính diện tích.
- Bổ sung một số bài toán ứng dụng của tích phân trong thực tế.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lí luận.
	Ý nghĩa hình học của tích phân đã được sách giáo khoa giải tích 12 nêu rõ:
 - Nếu hàm số liên tục trên đoạn thì diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng là [1].
 - Để tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số liên tục trên đoạn và hai đường thẳng ta có công thức sau: [1].
2.2. Thực trạng vấn đề.
Khi học sinh giải bài toán ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng, các em thường mắc một số lỗi sau:
- Học sinh thường không giải được hoặc giải sai bài toán tính tích phân của hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
- Đối với những hình phẳng mà đề bài chỉ cho giới hạn bởi 2 hoặc 3 đường, học sinh thường lung túng trong việc xác định cận để lấy tích phân.
- Nếu không có hình vẽ thì học sinh thường không hình dung được hình phẳng cần tính diện tích. Do đó thường giải sai hoặc không có phương hướng để giải bài toán.
- Đối với những bài toán đã có sẵn hình ( hoặc học sinh đã vẽ được hình), các em thường vận dụng công thức tính diện tích hình phẳng một cách máy móc, không phát huy tính linh hoạt sáng tạo, đặc biệt là kĩ năng đọc đồ thị để xét dấu biểu thức, kĩ năng chia nhỏ hình phẳng để tính diện tích.
- Khi gặp những bài toán có liên hệ thực tế, học sinh thường không nhìn thấy được mối liên hệ giữa diện tích hình phẳng cần tính với tích phân, không tìm được hàm số phù hợp với hình phẳng cần tính diện tích.
2.3. Các giải pháp thực hiện.
Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tôi đã thực hiện một số giải pháp sau:
- Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt. Đặc biệt là kĩ năng xét dấu biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối, kĩ năng vẽ đồ thị và đọc đồ thị hàm số.
- Xây dựng một hệ thống các ví dụ minh họa có phân tích kèm lời giải chi tiết với các cách khác nhau. Chỉ ra các sai lầm mà học sinh thường gặp phải. Từ đó rèn luyện cho học sinh tính chính xác, linh hoạt trong quá trình giải toán.
- Tăng cường các bài toán có nội dung thực tế để học sinh thấy được ý nghĩa của tích phân trong đời sống, từ đó tạo sự hứng thú cho học sinh khi học tập môn toán.
- Đổi mới trong việc kiểm tra, đánh giá. Ra đề kiểm tra với 4 mức độ nhận thức: nhận biết, thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao để kiểm tra mức độ tiếp thu, kiểm tra năng lực của học sinh và có kế hoạch điều chỉnh.
2.3.1. Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 4 đường trục đường thẳng 
Công thức: Nếu hàm số liên tục trên đoạn thì diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng là [1].
Một số lỗi học sinh thường mắc:
- Sử dụng sai công thức, không đưa hàm số vào trong dấu giá trị tuyệt đối.
- Không xét dấu của trên đoạn không tìm nghiệm của phương trình trên khoảng 
Một số giải pháp:
- Nhắc nhở học sinh sử dụng đúng công thức.
- Củng cố lại cho học sinh cách xét dấu của 
Cách 1: Ta có nhận xét: nếu phương trình có nghiệm phân biệt trên khoảng thì trên mỗi khoảng biểu thức có dấu không đổi. Vậy ta tính tích phân như sau:
+) Giải phương trình Tìm các nghiệm thuộc khoảng 
+) Chia đoạn để tính tích phân.
+) Xét dấu trên từng khoảng để khử dấu giá trị tuyệt đối và tính tích phân.
 	Một số trường hợp đặc biệt, nếu là hàm số bậc nhất ta sử dụng định lí về dấu của nhị thức bậc nhất; nếu là hàm số bậc hai, ta sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai.
Chú ý: ta cũng có thể sử dụng công thức:
Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số trên đoạn để suy ra dấu của 
+) Nếu trên đoạn đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành thì Suy ra 
+) Nếu trên đoạn đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành thì Suy ra 
Các hoạt động củng cố.
Hoạt động 1. Cho học sinh ghi nhớ công thức tính diện tích, nhận diện hình phẳng thông qua một số câu hỏi trắc nghiệm khách quan.
Trích một số câu hỏi trắc nghiệm khách quan:
Câu 1. Cho hàm số có đồ thi như hình vẽ. Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành, hai đường thẳng Gọi là diện tích của Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
 	B. 
 C. 	D. 
Câu 2. Cho hàm số liên tục trên đoạn Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành, hai đường thẳng (như hình vẽ bên). Gọi là diện tích của hình phẳng. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
 A. 	B. C. 	 D. 
Câu 3. Cho hàm số liên tục trên đoạn Gọi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị trục hoành, hai đường thẳng (như hình vẽ bên). Giả sử là diện tích của hình phẳng Chọn 
công thức đúng trong các phương án A, B, C, D dưới đây?
A. 	B. 
C. 	D. [3].
Câu 4: Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường , , , . Đường thẳng chia thành hai phần có diện tích là và như hình vẽ bên. Tìm để .
A. . B. 
C. . D. [3].
 Câu 5. Cho đường tròn tâm I bán kính R tiếp xúc với hai trục tọa độ Ox, Oy như hình vẽ bên. Gọi S là phần diện tích được tô đậm. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
A. .	
B. .	
C. .
D. [3].
Hoạt động 2. Rèn luyện kĩ năng tính diện tích thông qua các ví dụ cụ thể.
Ví dụ 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành, đường thẳng [2].
Phân tích: Hình phẳng cần tính diện tích đã hội tụ đủ bốn đường. Vậy để giải bài toán, ta có ngay công thức tính , chỉ cần xét dấu và sau đó tính tích phân.
Lời giải:
Cách 1. (Xét dấu để khử dấu giá trị tuyệt đối).
Diện tích của hình phẳng cần tính là: 
Ta có vô nghiệm. Suy ra 
Cách 2. ( Dùng đồ thị).
Vẽ đồ thị của hàm số 
Từ đồ thị ta có: 
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là:
 Ví dụ 2. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành, đường thẳng và [1].
Lời giải.
Cách 1. Diện tích cần tìm là: 
Xét dấu trên đoạn [0; 2] ta có và 
Cách 2. (Dùng đồ thị)
Vẽ đồ thị hàm số 
Dựa vào đồ thị ta có trên và trên 
Diện tích cần tìm:
Nhận xét: Phương pháp dùng đồ thị chỉ nên sử dụng đối với các bài toán đã có sẵn hình vẽ.
Ví dụ 3. Tính diện tích của hình phẳng gới hạn bởi đồ thị hàm số trục và đường thẳng 
Lời giải.
Ta có 
Nghiệm không thỏa mãn điều kiện 
Diện tích cần tìm là: 
Đặt 
Vậy 
Nhận xét: Với bài toán này, hình phẳng được cho giới hạn bởi trục , đường thẳng Thực ra đó chính là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số Trong đó chính là hoành độ giao điểm của và 
Chú ý: Đối với hình phẳng giới hạn bởi các đường trục đường thẳng hoặc trục ( không đủ 4 đường), ta cần tìm các đường còn lại từ nghiệm của phương trình 
Ví dụ 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi elip: [1]
Phân tích: Dựa vào tính chất đối xứng của elip, ta nhận thấy hai trục tọa độ chia elip thành bốn phần bằng nhau. Vậy để tính diện tích elip, chỉ cần tính diện tích của một phần đó.
 Cái khó của bài toán là cần tìm phương trình của bốn đường tạo nên hình phẳng cần tính diện tích.
 Ta có: 
 Vậy ta có lời giải như sau:
Lời giải. 
Ta xét phần elip nằm trong góc phần tư thứ nhất. Đó là hình bị giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành, trục tung và đường thẳng 
Vậy . 
Đặt ta có 
	 .
Vậy diện tích elip là 
Nhận xét: Đối với một số hình phẳng, đặc biệt là các hình giới hạn bởi đường tròn, elip, hypebol, parabol,..ta cần tìm phương trình của đường cong. Với elip, nửa đường cong nằm phía trên trục có phương trình nửa đường cong nằm phía dưới trục có phương trình 
Như vậy, với bài toán tính diện tích hình phẳng, cần phải xác định đầy đủ cả 4 đường tạo nên hình phẳng đó rồi mới sử dụng công thức tính diện tích.
2.3.2. Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đường thẳng 
Để tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số liên tục trên đoạn và hai đường thẳng ta có công thức sau: [1].
Chú ý: - Nếu bài toán trở về dạng 1.
 	 - Cần xác định hình phẳng với đầy đủ các đường như trên rồi mới áp dụng công thức.
 	 	 - Việc tính tích phân có thể sử dụng một trong hai cách như trên.
Ví dụ 1. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng 
Phân tích: Hình phẳng trong bài toán bị giới hạn bởi hai đường có dạng: và Vậy cần xác định phương trình của hai đường thẳng rồi mới sử dụng được công thức tính diện tích.
Lời giải:
Cách 1. Phương trình hoành độ giao điểm: 
Vậy hình phẳng đang xét giới hạn bởi đồ thị hàm số đường thẳng Diện tích cần tìm:
Cách 2 ( sử dụng đồ thị). 
Từ đồ thị ta có: 
Ví dụ 2. Gọi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trục hoành và đường thẳng ( hình vẽ bên). Tính diện tích của .
Lời giải. 
Phương trình hoành độ giao điểm: 
Vậy diện tích cần tìm là:
Chú ý: Ta có thể coi hình là hình phẳng giới hạn bởi đường cong đường thẳng trục hoành và đường thẳng Khi đó, diện tích cần tìm là:
Như vậy, với một số bài toán, ta có thể coi hình phẳng cần tính diện tích bị giới hạn bởi các đường đường thẳng Khi đó diện tích cần tìm là: 
Ví dụ 3. Gọi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số ( hình vẽ bên dưới). Tính diện tích của .
Phân tích: Ở bài toán này, sau khi tìm được hoành độ giao điểm ta có công thức tính diện tích hình phẳng: .
 Tuy nhiên để tính được tích phân với hai lần dấu giá trị tuyệt đối không phải là đơn giản. Giả thiết bài toán đã cho đồ thị của các hàm số, vậy ta có thể dựa vào đồ thị để tính diện tích, sẽ vừa đơn giản vừa cho đáp số chính xác. 
Lời giải.
Phương trình hoành độ giao điểm: 
 Diện tích cần tìm là:
 Nhận xét: Ở các bài tập này, học sinh sẽ lung túng khi giải. Cần lưu ý với các em, khi gặp các bài toán có thể vẽ hoặc phác họa được đồ thị thì việc nhận diện hình phẳng và tính diện tích sẽ trở nên dễ dàng hơn.
Bài tập tương tự: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
1.Đồ thị các hàm số 
2. Đồ thị các hàm số đường thẳng và [2]
3. Đường cong , trục hoành và đường thẳng [2]
4. Hai đường cong và [2].
2.3.3. Hình phẳng giới hạn bởi ba đường 
Ví dụ 1. Gọi là hình phẳng giới hạn bởi parabol và các tiếp tuyến của đi qua điểm ( hình vẽ bên). Tính diện tích của .
Lời giải.
Phương trình tiếp tuyến của tại là: 
Phương trình hoành độ giao điểm:
Diện tích cần tìm là:
 Như vậy qua bài toán này cũng cần lưu ý với học sinh, để tính diện tích của những hình phẳng giới hạn từ 3 đường cong trở lên, ta phải sử dụng đồ thị và chia nhỏ hình phẳng để tính diện tích. Đối với mỗi hình phẳng cần chia nhỏ, phải xác định đầy đủ cả 4 đường tạo nên hình phẳng đó.
Ví dụ 2. Gọi là phẳng giới hạn bởi các đường sau: ( hình vẽ bên). Tính diện tích của .
Lời giải.
Phương trình hoành độ các giao điểm:
 Vậy diện tích cần tìm là:
Bài tập tương tự.
1. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đường
thẳng và đường thẳng [2]
2. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số 
3. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi parabol tiếp tuyến với parabol tại điểm và trục tung.
2.3.4. Các bài toán thực tế.
Ví dụ 1. ( Trích đề thử nghiệm thi THPTQG)
Ông An có một mảnh vườn hình Elip có độ dài trục lớn bằng và độ dài trục bé bằng . Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí trồng hoa là 100.000 đồng/ Hỏi ông An cần bao nhiêu
 tiền để trồng hoa trên dải đất đó? ( Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn) [3].
Phân tích: Nhận thấy không thể tính diện tích của dải đất bằng các công thức tính diện tích thông thường. Hơn nữa, do elip và dải đất cần tính diện tích có tính đối xứng, có kích thước nên nếu chọn hệ tọa độ một cách hợp lý, ta sẽ xác định được phương trình của elip và các đường còn lại. Do đó sẽ xác định được công thức tính diện tích hình phẳng.
Lời giải: 
 Chọn hệ trục tọa độ sao cho trục trùng với trục lớn, trục trùng với trục bé, gốc tọa độ trùng với tâm của Elip.
 Từ độ dài trục lớn và trục bé, suy ra phương trình của Elip: 
Suy ra 
 Khi đó dải vườn được xem là hình phẳng giới hạn bởi các đường . Vây diện tích của dải vườn là :
Tính tích phân này bằng cách đổi biến Ta có 
Vậy số tiền là : đồng.
 Nhận xét : Sau khi tìm được phương trình của elip, ta cũng có thể tính diện tích hình phẳng theo một số cách khác. Chẳng hạn hoặc 
Từ bài toán này ta suy ra cách giải của một số bài toán khác có nội dung ứng dụng thực tế của tích phân. 
Ví dụ 2. Một hoa văn trang trí được tạo ra từ miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng cách khoét bỏ đi bốn phần bằng nhau có hình dạng parabol như hình dưới đây. Biết Tính diện tích bề mặt hoa văn đó?[3]
Lời giải.
Ta xét một hình parabol. Chon hệ trục tọa độ sao cho gốc tọa độ trùng , trục nằm trên đường thẳng trục nằm trên 
 Phương trình của parabol : 
 Theo giả thiết ta có : Vậy 
Vậy diện tích hoa văn là : 
Ví dụ 3. Trong Công viên Toán học có những mảnh đất mang hình dáng khác nhau. Mỗi mảnh được trồng một loài hoa và nó được tạo thành bởi một trong
những đường cong đẹp trong toán học. Ở đó có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành từ đường Lemniscate có phương trình trong hệ tọa độ là như hình vẽ bên. Tính diện tích của mảnh đất Bernoulli biết rằng mỗi đơn vị trong hệ trục tọa độ tương ứng với chiều dài mét [3].
Lời giải:
 Gọi là diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất. Ta có: 
 Nhận thấy, là diện tích hình phẳng giới hạn bởi: trục hoành, đường thẳng và Vậy diện tích cần tìm là: 
Bài tập tương tự.
Bài 1. Anh Toàn có một cái ao hình elip với độ dài trục lớn và độ dài trục bé lần lượt là và Anh chia ao ra hai phần theo một đường thẳng từ một đỉnh của trục lớn đến một đỉnh của trục bé (Bề rộng không đáng kể). Phần rộng hơn anh nuôi cá lấy thịt, phần nhỏ anh nuôi cá giống. Biết lãi nuôi cá lấy thịt và lãi nuôi cá giống trong 1 năm lần lượt là đồng và đồngHỏi trong 1 năm anh Toàn có bao nhiêu tiền lãi từ nuôi cá trong ao đã nói trên (Lấy làm tròn đến hàng nghìn) [3].
Bài 5. Một công ty quảng cáo X muốn làm một bức tranh trang trí hình ở chính giữa của một bức tường hình chữ nhật có chiều cao , chiều dài (hình vẽ bên). Cho biết là hình chữ nhật có; cung có hình dạng là một phần của cung parabol có đỉnh I là trung điểm của cạnh AB và đi qua hai điểm C, D. Kinh phí làm bức tranh là 900.000 đồng/. Hỏi công ty X cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó ? [3].
A
B
C
D
F
I
E
N
M
4 m
12 m
6 m
Bài 2. Để trang trí tòa nhà người ta vẽ lên tường một hình như sau:trên mỗi cạnh hình lục giác đều có cạnh là 2 dm là một cánh hoa hình parabol mà đỉnh parabol (P) cách cạnh lục giác là 3 dm và nằm phía ngoài lục giác; 2 đầu mút của cạnh cũng là 2 điểm giới hạn của đường (P) đó. Hãy tính diện tích hình trên (kể cả lục giác ). [3]
Bài 3. Một người có một mảnh vườn hình vuông cạnh 6m như hình vẽ, người đó trồng cỏ trong phần sân tô màu. Tính diện tích cỏ người đó phải trồng. 
Bài 4. Người ta cần trồng hoa tại phần đất nằm phía ngoài đường tròn tâm gốc tọa độ O, bán kính bằng và phía trong của Elip có độ dài trục lớn bằng và độ dài trục nhỏ bằng 2 (như hình vẽ bên). Trong mỗi một đơn vị diện tích cần bón kg phân hữu cơ. Hỏi cần sử dụng bao nhiêu kg phân hữu cơ để bón cho hoa?[3]
 Bài 5.Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hóa có dạng hình parabol. Người ta dự định lắp cửa kính cho vòm cửa này. Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết rằng vòm cửa cao và rộng [3].
2.4. Hiệu quả của sáng kiến.
 Năm học 2016-2017 tôi được giao nhiệm vụ giảng dạy môn Toán ở các lớp : 12Đ, 12E, 12G. Trong ba lớp có hai lớp theo khối A và một lớp theo khối D, đa số học sinh chăm ngoan và có ý thức học, đặc biệt các em rất có hứng thú học và giải toán. Tuy nhiên khi gặp bài toán tính diện tích hình phẳng các em rất lung túng không biết giải thế nào. Sau khi tiến hành thực nghiệm sáng kiến của mình tại các lớp dạy của mình, tôi đã thu được nhiều kết quả khả quan. Hoạt động học tập của học sinh diễn ra khá sôi nổi, đa số học sinh hiểu bài và vận dụng được vào giải toán. Một số học sinh khá giỏi đã biết tự tìm tòi, nghiên cứu thêm ở các đề thi và sách tham khảo để hệ thống hóa, đào sâu kiến thức.
 Kết quả kiểm tra:
Lớp
Điểm yếu
Điểm TB
Điểm khá
Điểm giỏi
Số bài
%
Số bài
%
Số bài
%
Số bài
%
12Đ
1
2,1
6
12,7
20
42,6
20
42,6
12E
5