SKKN Rèn luyện cho học sinh kỹ năng sử dụng khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng để giải quyết một số dạng toán hình tọa độ phẳng

Së GI¸O DôC Vµ §µO T¹O THANH HO¸
Tr­êng THPT BA §×NH - HUYÖN NGA S¥N
 -----š›&š›-----
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG SỬ DỤNG KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH TỌA ĐỘ PHẲNG.
Người thực hiện: Mai Thị Hiền
Chức vụ: Giáo viên 
Đơn vị công tác: Tổ Toán - Tin
SKKN thuộc môn: Toán
 THANH HÓA NĂM 2016
MỤC LỤC
Nội dung
Trang
I. MỞ ĐẦU.
1
1. Lý do chọn đề tài.
1
2. Mục đích nghiên cứu.
1
3. Đối tượng nghiên cứu.
1
4. Phương pháp nghiên cứu.
1
II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI.
1
1. Cơ sở lý luận.
1
2. Thực trạng.
2
3. Giải pháp và tổ chức thực hiện.
2
Dạng 1. Sử dụng khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong một số bài toán hình tọa độ phẳng khi bài toán cho điểm đã có tọa độ và thỏa mãn tính chất nào đó.
2
Dạng 2. Sử dụng khoảng cách từ một điểm đến một đường trong một số bài toán liên quan đến diện tích.
6
Dạng 3. Sử dụng khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường trong một số bài toán viết phương trình tiếp tuyến đường tròn.
11
Dạng 4. Sử dụng khoảng cách trong các bài toán tìm tập hợp điểm cách đều đường thẳng cho trước.
14
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
17
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.
17
1. Kết luận.
17
2. Kiến nghị.
18
I. MỞ ĐẦU.
1. Lý do chọn đề tài.
Phần hìnhtọa độ phẳng thường được dùng để ra đề thi THPT quốc gia và thi học sinh giỏi cấp tỉnh. Để giải được phần hình học phẳng,học sinh phải nắm chắc các tính chât hình phẳng đã được học ở cấp 2 và biết vận dụng những kiến thức đó để giải quyết từng dạng toán.Trong chương trình toán THPT phần hình phẳng được trình bày trong sách giáo khoa 10 nhưng chủ yếu là những dạng toán đơn giản và chưa thành hệ thống.Tuy nhiên những bài toán hình phẳng trong các đề thi THPT quốc gia và thi học sinh giỏi thường rất khó. Chính vì vậy tạo cho học sinh vận dụng kiến thức để giải quyết từng dạng bài tập là rất cần thiết.
Xuất phát từ những lý do trên tôi mạnh dạn đề xuất một mảng toán nhỏ trong phần hình tọa độ phẳng. Đó là : “Rèn luyện cho học sinh kỹ năng sử dụng khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng để giải quyết một số dạng toán hình tọa độ phẳng”.
2. Mục đích nghiên cứu.
Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích phục vụ cho việc dạy học hình học tọa độ phẳng trong chương trình THPT.
3. Đối tượng nghiên cứu.
Một số dạng toán liên quan đến khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường trong mặt phăng với hệ trục tọa độ Oxy
4. Phương pháp nghiên cứu.
Đề tài sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, quy lạ về quen.
II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI.
1. Cơ sở lý luận.
- Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong sách giáo khoa 10: Cho đường thẳng d có phương trình ax + by + c = 0 và M(x0; y0). Khoảng cách từ M đến d bằng 
- Các công thức tính diện tích hình vuông, chữ nhật, hình thang, đặc biệt là công thức S∆ABC =d(A; BC).BC.
- Điều kiện để một đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (C) có tâm I, bán kính R là d(I; d) = R
2. Thực trạng.
Hình học tọa độ phẳng là một mảng kiến thức khó đối với học sinh THPT. Để giải quyết được một bài toán hình phẳng học sinh phải vận dụng các tính chất hình phẳng ở cấp 2. Rất nhiều học sinh xác định đây là phần khó và không học phần này. Học sinh chưa liên hệ từ lý thuyết đến bài tập. Để phát huy được sự tìm tòi sáng tạo và năng lực tư duy của học sinh, giáo viên cần hệ thống bài tập và giải quyết theo từng mảng kiến thức. Trong toàn bộ phần hình tọa độ phẳng thì có thể phân thành nhiều mảng kiến thức.Hiện tại tôi thấy rất ít tài liệu viết về dạng toán sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến 1 đường thẳng trong sách giáo khoa 10.Trong phạm vi bài viết của mình tôi xin trình bày 4 dạng toán liên quan đến khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong hình tọa độ phẳng.
3. Giải pháp và tổ chức thực hiện.
Dạng 1. Sử dụng khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng trong một số bài toán hình tọa độ phẳng khi bài toán cho điểm đã có tọa độ và thỏa mãn tính chất nào đó.
Trong một số bài toán về đa giác phẳng cho 1 điểm có tọa độ ở các vị trí như đỉnh đa giác, tâm, trọng tâm, trung điểm, điểm chia đoạn thẳng  thì có thể nghĩ đến tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng đã cho phương trình hoặc lập được phương trình để khai thác tiếp bài toán.
Ví dụ 1:(Đề tuyển sinh đại học khối A năm 2012).
Cho hình vuông ABCD, M là trung điểm BC; N thuộc cạnh CD sao cho NC = 2ND; M().Đường thẳng AN có phương trình: 2x – y – 3 = 0. Tìm tọa độ A.
Địnhhướng: 
A
D
C
B
M
K
N
Ta đã tham số hóa tọa độ A, mà M có tọa độ nên nghĩ đến việc tính độ dài AM thì sẽ tìm được A. Nhận thấy và chứng minh được MK ^ AN nên sử dụng d(M; AN) để tính AM.
Giải:
Gọi cạnh hình vuông là a.
Ta có 
 ; ; 
AM2 = AK2 + KM2ÛDAKM vuông cân tại K.
Þ MK = d(M; AN) = Þ
Mà AÎ AN nên A(x; 2x – 5) Þ
Từ đó suy ra A(1; -1) hoặc A(4; 5)
Ví dụ 2:Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ 0xy, cho hình vuông ABCD, gọi M, N là trung điểm của AB, CD. Biết M; đường thẳng BN có phương trình: 2x + 9y – 24 = 0. Tìm tọa độ A, B biết xB< 0.
Định hướng:M có vị trí đặc biệt là trung điểm đoạn thẳng AB và đường thẳng BN đã cho phương trình nên ta đi tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng BN để khai thác tiếp.
Giải:
A
B
C
D
N
M
H
Gọi cạnh hình vuông là a, ta có:
ÞÞ
Þ
Gọi với b < 0.
Þ b = - 1Þ B (- 1; 4)
Do M là trung điểm AB nên A(0; 0).
Vậy A(0; 0); B(-1; 4).
Ví dụ 3:Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ 0xy,Cho hình vuông ABCD có A(1; 1); M thuộc cạnh CD sao cho MD = 2MC; biết phương trình đường thẳng BM là x + 3y – 19 = 0. Tìm tọa độ C, biết C thuộc đường thẳng d: x – y = 0.
Định hướng: Cho tọa độ A là một trong các đỉnh của hình vuông và biết phương trình đường thẳng MB nên ta tính d(A; BM), mặt khác đã tham số hóa tọa độ C nên hướng đến việc tính độ dài AC tức là tính độ dài cạnh hình vuông.
A
D
C
B
H
M
Giải:
Gọi cạnh hình vuông là a.
Þ S∆ABM = 
Mà S∆ABM =
Þ a = 5. Þ
Do C Î d nên C(c; c) Þ
Þ C(- 4; - 4) hoặc C(6; 6)
Ví dụ 4:Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy,cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 15, đường thẳng AB có phương trình: x – 2y = 0, trọng tâm ∆ BCD là. Tìm tọa độ A, B, C, D biết yB> 3.
Định hướng.
A
D
C
B
I
G
H
Bài toán cho tọa độ G có vị trí đặc biệt là trọng tâm ∆BCD và cho phương trình đường thẳng AB nên có thể tính d(G;AB). Vì cho diện tích hình chữ nhật nên sẽ liên quan đến độ dài các cạnh, từ khoảng cách vừa tính sẽ suy ra độ dài các cạnh.
Giải:
Þ
Gọi B(2b; b)
Đường thẳng GH có phương trình: 2x + y – 15 = 0 
Þ H(6; 3)
Mà HB =AB = nên
Þ b = 4Þ B(8; 4)
BA = 3BHÞ A(2; 1)
AG =ACÞ C(7; 6)
BA = DCÞ D(1; 3)
Vậy A(2; 1); B(8; 4); C(7; 6); D(1; 3)
Một số bài toán tương tự:
1.Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy,cho hình vuông ABCD có M là trung điểm BC; đường thẳng DM có phương trình x – y – 2 = 0 và C(3; -3). Biết A Î d: 3x + y – 2 = 0. Tìm tọa độ A, B, D.
2.Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy,cho I(1; -1) là tâm của một hình vuông, một trong các cạnh của nó có phương trình: x – 2y + 12 = 0. Viết phương trình các cạnh còn lại.
3.Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy,cho hình vuông ABCD có A(- 1; 2). Goi M, N lần lượt là trung điểm của AD; DC; K = BN ∩ CM. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp ∆ BMK biết BN có phương trình: 2x + y – 8 = 0 và xB> 2.
4.Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy,cho hình vuông ABCD có phương trình AD: 3x – 4y – 7 = 0. E là điểm bên trong hình vuông sao cho ∆ EBC cân và= 1500. Viết phương trình đường thẳng AB biết E(2; -4).
5.Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâmI(; 0); đường thẳng AB có phương trình: x – 2y + 2 = 0 và AB = 2AD. Tìm tọa độ A, B, C, D biết A có hoành độ âm.
6.Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy,cho hình chữ nhật ABCD có C thuộc d: x – 2y – 1 = 0, đường thẳng BD có phương trình: 7x – y – 9 = 0. E(-1; 2) thuộc cạnh AB sao cho EB = 3EA. Tìm tọa độ A, B, C, D biết B, C có tung độ dương.
7.Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có D(3; 4); gọi M là trung điểm AD; đường thẳng CM có phương trình: 2x – y + 1 = 0. Biết B Î d: 3x + y + 3 = 0 và xB< 0; yCÎ Z. Tìm tọa độ A, B, C, D.
8.Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy,cho (C): x2 + y2 – x – 9y + 18 = 0; A(4; 1); B(3: -1). Gọi C; D thuộc (C) sao cho ABCD là hình bình hành. Viết phương trình đường thẳng CD.
9. Hình thang ABCD vuông tại A; D có AB = AD 0.
Dạng 2:Sử dụng khoảng cách từ một điểm đến một đường trong một số bài toán liên quan đến diện tích.
 Một số bài toán cho diện tích của tam giác, tứ giác đặc biệt hoặc yêu cầu tính diện tích thì có thể tính khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường và coi khoảng cách đó là độ dài 1 cạnh, đặc biệt 
Ví dụ 1:(Đề tuyển sinh đại học khối B năm 2009).Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy,cho ∆ABC cân tại A(-1;4); đỉnh B, C thuộc đường thẳng x – y – 4 = 0. Xác định tọa độ B, C biết S∆ABC = 18 biết xB<2.
Định hướng: Điểm A biết tọa độ và BC biết phương trình nên tính d(A;BC); vấn đề còn lại là tính BC theo một tham số nào đó. Để ý giả thiết ∆ABC cân tại A nên chân đường cao H hạ từ A xuống BC cũng là trung điểm BC, mà H tìm được tọa độ từ đó có được BC = 2BH và sử dụng công thức diện tích.
Giải: 
A
BB
C
H
Ta có 
Đường cao AH có phương trình: x + y – 3 = 0
Þ
Vì B ∈BC nên B (t; t – 4) với t < 2
Þ
Lại có
Û
Û
Þ	Þ
Vậy ;
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy,cho hình thang ABCD vuông tại A ; B có diện tích bằng 50; đỉnh C (2 ; -5);AD = 3 BC, đường thẳng AB qua M (-;0) ; AD qua N (-3 ; 5). Viết phương trình đường thẳng AB biết AB không song song với các trục tọa độ.
Định hướng: Vì AB không song song với các trục tọa độ nên có thể giả sử n (1;b) là pháp tuyến của AB tức là phương trình đường thẳng AB chỉ phụ thuộc tham số B và đường thẳng AD cũng viết theo B. Đỉnh C đã cho tọa độ vậy nên quy diện tích theo d (C; AB) rồi đưa diện tích hình thang theo tham số b.
Giải:
Do AB không song song các trục tọa độ nên giả sử n(1;b) là pháp tuyến của AB suy ra đường thẳng AB có phương trình:
 x + by + = 0
Þ Đường thẳng AD có phương trình : b(x + 3) – (y – 5) = 0
Ta có 
Û b = hoặc b =
Vậy phương trình đường thẳng AB là 4x – 3y + 2 = 0 hoặc 6x + 8y + 3 = 0.
Ví dụ 3:(Đề thi thử THPT QG năm học 2014-2015 trường THPT Ba Đình).Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy,cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 16 và các đường thẳng AB, BC, CD, DA lần lượt đi qua các điểm M (4; 5) ; N (6; 5) ; P (5; 2) ; Q (2; 1). Tìm tọa độ A, B, C, D biết xB nguyên.
Định hướng: Do 4 đường thẳng chứa 4 cạnh của hình chữ nhật đã biết đi qua 4 điểm cho trước nên khi viết được phương trình 1 cạnh thì suy ra các cạnh còn lại; độ dài 1 cạnh của hình chữ nhật có thể coi là khoảng cách từ 1 điểm thuộc 1 cạnh đến cạnh đối diện, do đó ta xét đến khoảng cách đó và khia thác diện tích hình chữ nhật
Giải: 
Đường thẳng AB có phương trình : a(x – 4) + b(y – 5) = 0 vớia2 + b2 >0
Suy ra BC có phương trình: b(x – 6) – a(y – 5 ) =0
=
Với b = - a, chọn a = 1, b = -1
Þ AB: x – y + 1 = 0; BC: x + y – 11 = 0
 CD: x – y – 3 = 0; DA: x + y – 3 = 0
Þ A (1; 2); B (5; 6) ; C (7; 4) ; D (3; 0)
Với b = -3a; chọn a =1, b = -3
ÞAB : x – 3y + 11 = 0; BC : x + y – 11 = 0
Þ(Loại)
Vậy A (1; 2); B (5; 6) ; C (7; 4) ; D (3; 0)
Ví dụ 4:Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy,cho ∆ABC có trọng tâm G(2; 2). Các điểm E(1; 4); F(5; -3) lần lượt đối xứng với tâm I của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC qua các đường thẳng BC; CA. Tính diện tích ∆ABC biết AB qua K(3; 0).
Định hướng:
B
A
C
F
E
I
•
G
Sau khi vẽ hình nhìn thấy ngay AB = 2MN = EF.	
Mặt khác đề bài cho đường thẳng AB qua K và 
AB//EF nên ta hướng đến S∆ABC =AB.d(C; AB) 
mà d(C; AB) = 3d(G; AB) nên tính được S∆ABC.
Giải:
Ta có AB = 2MN = EF =; EF (4; -7)
Mà AB//EF 
Nên AB có phương trình 7x + 4y – 21 = 0
Lại có d(C; AB) = 3d(G; AB) =
Do đó S∆ABC =AB.d(C; AB) = (đvdt)
Các bài tương tự
1.Trong mặt phẳng tọa độ với hệ trục tọa độ Oxy,cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC : x + y + 1 = 0. G(1; 4) là trong tâm.
∆ABC ; E (0 ; -3) thuộc đường cao kẻ từ D của ∆ACD. Tìm tọa độ các đỉnh hình bình hành biết SAGC = 6 ; yA>0
2. Cho P (-2 ; 1) ; d: 4x – 3y + 7 = 0. Viết phương trình đường tròn qua P à cắt d theo đường kính MN sao cho S∆PMN =.
3.Cho hình thang ABCD có 2 đường thẳng Ab, CD biết B(3; 3), C(5; -3); AC ∩ BD = I; I thuộc đường thẳng 2x + y – 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng AD biết CI = 2BI; S∆ABC = 12; xI> 0; xA< 0.
4. Cho ∆ABC có A(- 3; 4), đường phân giác trong AD có phương trình: x + y – 1 = 0 và tâm đường tròn ngoại tiếp I(1; 7). Lập phương trình đường thẳng BC biết S∆ABC = 4S∆IBC.
5. Cho hình chữ nhật ABCD có AB, AD tiếp xúc với (C): (x + 2)2 + (y – 3)2 = 4; AC cắt (C) tại và N Î Oy; biết xA 0, S∆AND = 10. Xác định tọa độ A, B, C, D.
6. Cho ∆ABC có phương trình BC là x – 2y + 3 = 0, S∆ABC = 15. Trọng tâm G(4; 1), điểm E(3; -2) thuộc đường cao hạ từ A của ∆ABC. Tìm tọa độ A, B, C.
7. Cho ∆ABC có A(3; 4); B(1; 2), C Î d: x + 2y + 1 = 0. S∆GAB = 3 với G là trọng tâm ∆ABC. Tìm C.
8. Cho ∆ABC có diện tích bằng; A(2; -3); B(3; -2); trọng tâm G thuộc đường thẳng 3x – y – 8 = 0. Tìm C.
9. Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD = 3AB, C(-3; -3), trung điểm AD là M(3; 1), AB =; S∆BCD = 18; xD nguyên dương. Tìm tọa độ B.
10. Cho hình thang cân ABCD có diện tích bằng 18, đáy lớn CD thuộc đường thẳng x – y + 2 = 0; AC ^ BD và AC ∩ BD = I(3; 1). Viết phương trình đường thẳng BC biết xC< 0.
11. Cho ∆ABC có A(1; 0) và 2 đường cao kẻ từ B, C có phương trình: x – 2y + 1 = 0; 3x + y + 1 = 0. Tính S∆ABC.
12. Cho ∆ABC biết H(5; 5); I(5; 4) lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, đường thẳng chứa cạnh BC có phương trình x + y – 8 = 0. Tính diện tích ∆ABC.
13. Cho ∆ABC có trực tâm H(5; 5); phương trình đường thẳng chứa cạnh BC là x + y – 8 = 0. Biết đường tròn ngoại tiếp ∆ABC đi qua 2 điểm M(7; 3); N(4; 2). Tính diện tích ∆ABC.
14. Cho hình chữ nhật ABCD; M(-2; 0); N(6; -2); P(-1; -1); Q(0; -6) lần lượt thuộc các đường thẳng AB; BC; CD; DA. Tính diện tích hình chữ nhật đó biết AB = 2BC và diện tích đó lớn hơn .
15. Cho A(1 ; 0); B(-2 ; 4); C(-1 ; 4); D(3 ; 5), đường thẳng d: 3x – y – 5 = 0. Tìm M ∈ d sao cho∆MAB và∆MCD có diện tích bằng nhau.
16. Cho ∆ABC có trọng tâm G(1;); đường thẳng AB, AC lần lượt có phương trình: 4x – 3y + 5 = 0 ; 2x + y – 5 = 0. Tính diện tích ∆ABC.
17. Cho ∆ABC có B(4; -5); phương trình đường cao kẻ từ A và trung tuyến kẻ từ B là x – 3y – 7 = 0; x + y + 1 = 0. Tìm tọa độ A, C biết SABC = 16.
18. Cho hình thang ABCD vuông tại A và D có AB = 2AD; CD = 3AD; Đường thẳng BD có phương trình x – 2y + 1 = 0. Đường thẳng AC đi qua M(4; 2). Tìm tọa độ A biết diện tích hình thang ABCD bằng 10 và A có hoành độ nhỏ hơn 2.
19.Cho tam giác ABC có diện tích bằng 2; phương trình đường thẳng AB là x – y = 0. M(2; 1) là trung điểm BC. Tìm tọa độ N.
20. Cho D: x + y + 2 = 0 và (C): x2 + y2 – 4x – 2y = 0. Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc D. Qua M kẻ các tiếp tuyến MA, MB đến (C). Tìm M biết SMAIB = 10.
Ví dụ 4: Cho ∆ABC có trọng tâm G(2; 2). Các điểm E(1; 4); F(5; -3) lần lượt đối xứng với tâm I của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC qua các đường thẳng BC; CA. Tính diện tích ∆ABC biết AB qua K(3; 0).
Định hướng:
Sau khi vẽ hình nhìn thấy ngay AB = 2MN = EF.	
Mặt khác đề bài cho đường thẳng AB qua K và AB//EF nên ta hướng đến S∆ABC =AB.d(C; AB) mà d(C; AB) = 3d(G; AB) nên tính được S∆ABC.
Giải:
Lại có d(C; AB) = 3d(G; AB) =
Do đó S∆ABC =AB.d(C; AB) = (đvdt)
Dạng 3: Sử dụng khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường trong một số bài toán viết phương trình tiếp tuyến đường tròn.
Kiến thức sử dụng: Đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (C) tâm I bán kính R khi và chỉ khi d(I; d) = R.
Ví dụ 1: Cho (C): x2 + y2 – 6x + 2y + 6 = 0 và M(1; 3). Viết phương trình các tiếp tuyến ME; MF đến (C) với E, F là tiếp điểm.
Định hướng:
Vì các tiếp tuyến đi qua M nên vấn đề chỉ cần tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng. Điều kiện cần và đủ để một đường thẳng là tiếp tuyến giúp ta giải quyết vấn đề đó.
Giải:
(C) có tâm I(3; -1); bán kính R = 2.Gọi d là 1 tiếp tuyến kẻ từ M của (C)
Phương trình đường thẳng d là a(x – 1) + b(y – 3) = 0, 
d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi d(I; d) = 2
•
F
I
M
E
Û
Û4ab – 3b2 = 0
Nếu b = 0, chọn a = 1 Þ Phương trình của d: x – 1 = 0
Nếu, chọn a = 3, b = 4 Þ Phương trình của d: 3x + 4y – 15 = 0
Vậy phương trình các tiếp tuyến ME; MF là x – 1 = 0; 3x + 4y – 15 = 0
Ví dụ 2: Cho (T): (x – 1)2 + (y + 1)2 = 2; A(0; -4); B(4; 0). Tìm C; D sao cho ABCD là hình thang (AB//CD) và đường tròn (T) nội tiếp hình thang đó.
Định hướng:
Vì đường thẳng AB viết được phương trình nên phương trình đường thẳng CD chỉ phụ thuộc 1 tham số. Hơn nữa các cạnh hình thang tiếp xúc với (T) nên khoảng cách từ tâm đường tròn đến các cạnh đó bằng bán kính. Từ đó giúp ta viết được phương trình các cạnh hình thang và giải quyết yêu cầu bài toán.
B
A
Giải:
•I
(T) có tâm I(1; -1); bán kính R =
Đường thẳng AB có phương trình: x – y – 4 = 0
C
D
Þ Đường thẳng CD có phương trình: 
x – y – c = 0 (c ≠ -4)
CD tiếp xúc (T) Û d(I; CD) = 
ÛÛ c = 0.
Þ Đường thẳng CD có phương trình: x – y = 0.
Đường thẳng AB có phương trình: ax + b(y+4) = 0 với a2 + b2> 0
AD tiếp xúc với (T) Û d(I; AD) =
Û
(Loại do ADº AB)
Û a2 – 6ab - 7b2 = 0
Þ Phương trình AD là 7x + y + 4 = 0
Þ
Vậy ; 
Ví dụ 3(Đề tuyển sinh đại học khối B năm 2012).
Cho (C1): x2 + y2 = 4; (C2): x2 + y2 - 12x + 18 = 0 và đường thẳng d: x – y – 4 = 0. Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc (C2), tiếp xúc với d và cắt (C2) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB^d.
Định hướng:
Để ý rằng, bán kính của (C) là R = d(I; d).
Do vậy chỉ cần tìm I mà I thuộc (C2) nên ta chỉ cần tìm thêm 1 phương trình nữa. Lại có AB ^ OI nên IO//d. Suy ra phương trình OI.
O
B
A
I
d
Giải:
O(0; 0) là tâm (C1).
Gọi I là tâm của (C). 
Ta có AB ^ OI. Mà AB^d.
Þ d//OI
Þ Phương trình OI là: y = x
Þ Tọa độ I là nghiệm của hệ: ÞI(3; 3)
Vì (C) tiếp xúc d nên 
Vậy phương trình đường tròn (C) là: (x – 3)2 + (y – 3)2 = 8.
Ví dụ 4: lập phương trình đường tròn nội tiếp ∆ABC với A(-2; 3); B(; 0); C(2; 0).
Định hướng:
Ta nhận thấy các đường thẳng AB, AC, BC đều lập được phương trình, do đó để lập phương trình đường tròn chỉ cần tìm tâm I thì sẽ tìm được bán kính. Mà d(I; AB) = d(I; BC) = d(I; AC) nên tìm được I.
Giải:
Phương trình AB: 4x + 3y – 1 = 0; BC: y = 0; AC: 3x + 4y – 6 = 0.
Gọi I(a; b). Ta có d(I; AB) = d(I; BC) = d(I; AC).
ÛÞ (C): 
Một số bài tập tương tự 
1. Cho (C): x2 + y2 + 4x + 4y – 17 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết:
a)Tiếp tuyến đi qua A(3; 6).
b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng 3x – 4y – 2016 = 0
2. Cho (C): x2 + y2 - 2x - 6y + 6 = 0 và M(2; 4). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc K = -1.
3. Cho (C): x2 + y2 + 2mx – 2(m – 1)y + 1 = 0. Tìm m để (C) tiếp xúc với ∆: x + y + 1 + 2 = 0
4. Cho (C): x2 + y2 - 2x + 2y - 3 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến cắt các tia Ox; Oy tại A, B sao cho S∆OAB = 4
5. Cho M (1; 2); N (3; -4); đường thẳng d: x + y – 3 = 0. Viết phương trình đường tròn qua 2 điểm M, N và tiếp xúc với d.
6. Cho ∆ABC vuông cân tại A (1; 2). Viết phương trình đường tròn (T) ngoại tiếp ∆ABC biết d: x – y – 1 = 0 tiếp xúc với (T) tại B.
7. Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với d1: 4x – 3y – 12 = 0;
	d2: 4x + 3y – 12 = 0 và Oy.
8. Lập phương trình đường tròn (C) biết tâm I thuộc ∆: x + y + 5 = 0 và tiếp xúc với d: x + 2y + 1 = 0 tại A (3; -2).
9. ChoD:x-y=0 và đường tròn (C) có bán kính cắt ∆ tại A, B sao cho AB = 42. Tiếp tuyến của (C) tại A, B cắt nhau tại M thuộc tia Oy. Tìm M.
10. Cho (C) có phương trình x2 + (y-1)2 = 1. Chứng minh mỗi điểm M (m; 3) trên đường thẳng y = 3 luôn tìm được 2 điểm T1, T2 là tiếp tuyến của (C).
11. Cho (C) có phương trình: (x-1)2 + (y+2)2 = 9 và đường thẳng d: 3x – 4y + m = 0. Tìm m để trên d có duy nhất 1 điểm P mà từ đó kẻ được 2 tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B là tiếp điểm) sao cho PA ⊥ PB.
12. Cho (C): (x – 2)2 + y2 = và hai đường thẳng D1: x