SKKN Rèn luyện cho học sinh kỹ năng phối hợp các phương pháp để giải một số dạng bài tập trắc nghiệm khách quan trong chương trình môn Toán lớp 12

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG PHỐI HỢP CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TNKQ TRONG
 CHƯƠNG TRÌNH MÔN TOÁN LỚP 12.
I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
Năm 2017 là năm đầu tiên Bộ GD&ĐT đưa hình thức trắc nghiệm vào bài thi môn toán trong kỳ thi THPT Quốc gia. Vì vậy giáo viên và học sinh còn nhiều bỡ ngỡ với cách dạy học, cách làm bài thi trắc nghiệm. Trong khi đó tài liệu chuyên sâu về phương pháp dạy, học, kỹ thuật làm bài thi trắc nghiệm còn rất hạn chế. Do đó, trong công tác giảng dạy, tôi phải liên tục cập nhật, điều chỉnh phương pháp dạy cho phù hợp với xu hướng ra đề mới. Với mong muốn cải thiện, nâng cao chất lượng của học sinh, và chia sẻ, học hỏi kinh nghiệm với đồng nghiệp tôi đã tìm tòi, thực nghiệm và viết nên đề tài này.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Giúp học sinh biết khai thác và sử dụng máy tính nhằm nâng cao hiệu quả làm bài thi. Đề tài này bước đầu xây dựng cho các em phương pháp tư duy máy tính, một phương pháp tư duy giúp học sinh hiểu rõ bản chất của một số vấn đề như : Nghiệm của phương trình (bất phương trình) là gì ? Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số là gì ? Hàm số đồng biến, nghịch biến trên khoảng K nghĩa là gì ?...Về xa hơn, đề tài muốn khơi gợi cho học sinh tình yêu khoa học kỹ thuật, biết sử dụng các thiết bị công nghệ hiện đại phục vụ đời sống và công tác nghiên cứu khoa học.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là : Các học sinh đang học lớp 12 THPT. Trong đó đặc biệt là hướng tới các học sinh trung bình, trung bình khá. Tuy nhiên học sinh khá, giỏi mới là đối tượng phát huy tối đa hiệu quả của đề tài.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Sử dụng phương pháp nghiên cứu : Tự tìm tòi, khám phá, đưa vào thực nghiệm và đúc rút thành kinh nghiệm. 
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Trong thời đại nhân loại đang bước vào cuộc cách mạng công nghiệp lần thứ 4, con người cần phải không ngừng thích ứng với tình hình mới nhằm chiếm lĩnh các kiến thức KHKT tiên tiến, hiện đại. Vì vậy giáo dục cần tạo ra sản phẩm là những con người năng động, sáng tạo, dám làm, dám chịu trách nhiệm,Trong lộ trình cải cách toàn diện nền giáo dục nước nhà, việc đổi mới khâu tổ chức các kỳ thi, trong đó có việc chuyển từ hình thức làm bài tự luận sang hình thức làm bài trắc nghiệm là một khâu rất quan trọng vì nó giúp chúng ta đánh giá được học sinh trên diện rộng một cách khách quan, toàn diện, nhanh chóng và chính xác.
Trong kì thi THPT Quốc gia năm học 2016 – 2017, lần đầu tiên đề thi môn toán được ra bằng các câu hỏi trắc nghiệm khách quan. Theo cấu trúc thì một đề thi có 50 câu với thời gian 90 phút, trung bình là 1,8 phút/1 câu. Như vậy, học sinh ngoài việc phải nắm vững các kiến thức cơ bản, các phương pháp giải toán thì một điều rất quan trọng là kỹ năng làm bài, trong đó phải biết khai thác các tính năng của máy tính cầm tay, coi máy tính vừa là một công cụ hỗ trợ, vừa là một phương pháp giải toán hiệu quả.
Phương pháp tư duy tự luận có ưu điểm là kết quả được đảm bảo chính xác tuyệt đối, phù hợp với học sinh giỏi và nhược điểm là : phải huy động nhiều kiến thức, kỹ năng nhất là phải nắm vững các phương pháp giải đa dạng 
Phương pháp tư duy máy tính (tư duy thuật toán) có ưu điểm là : tốc độ xử lí nhanh, tính toán chính xác, cần ít phương pháp, dễ hiểu, dễ làm, phù hợp với đa số học sinh. Tuy nhiên nhược điểm là trong một số trường hợp kết quả của bài toán không đảm bảo tuyệt đối.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Trong thực tiễn giảng dạy, tôi thấy nhiều em học sinh vẫn còn mang nặng tư duy tự luận, vì 2 năm học trước ít được va chạm với các đề thi trắc nghiệm. Do đó khi làm bài thi các em còn mất khá nhiều thời gian hoặc không thể làm ra được đáp án cho một số bài toán về phương trình, về hàm số, các em chưa biết kết hợp một cách linh hoạt các phương pháp giải toán, dẫn đến tốc độ làm bài chưa cao. Qua việc nghiên cứu các kỹ thuật sử dụng máy tính, tôi thấy rằng có một số dạng toán nếu sử dụng tư duy máy tính thì thời gian làm bài có thể ít hơn nhiều lần so với làm bài theo tư duy tự luận, nhưng một số dạng toán lại không nên sử dụng máy tính, vì độ chính xác của phương pháp tư duy máy tính không phải lúc nào cũng tuyệt đối.
NỘI DUNG CỤ THỂ
BÀI TOÁN 1 : PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ, LOGARIT
I. PHƯƠNG TRÌNH 
Bài toán tổng quát : Cho phương trình f(x) = 0
Các dạng câu hỏi thường gặp:
DẠNG 1. Nghiệm của phương trình là : A.  B.  C.  D. 
Phương pháp giải tối ưu : Sử dụng máy tính với chức năng thử giá trị vào một biểu thức : CALC
DẠNG 2. Số nghiệm của phương trình là : A.  B.  C.  D. 
Phương pháp 1: Phương pháp tự luận (PPTL)
Cách 1 : Giải trực tiếp bằng pp biến đổi, đặt ẩn phụ,(theo kiểu tự luận)
Cách 2 : Sử dụng đạo hàm lập bảng biến thiên
Phương pháp 2 : Phương pháp sử dụng máy tính cầm tay (PPMT)
 Cách 1 : Sử dụng chức năng shift SOLVE : 
 	- Ghi vào máy f(X)
	- Nhấn lần lượt các phím : shift SOLVE ( X = ? ) Ta nhập một giá trị X thuộc tập xác định. “=”. Máy cho ta nghiệm X1 (nếu có) (ta lưu X1 vào phím A bằng cách nhấn shift STO A)
 - Ghi vào máy f(X) : (X – A) rồi lại nhấn shift SOLVE ( máy hỏi X ? cho X giá trị khác X1) nhấn “ =” Nếu pt có nghiệm thứ hai thì máy sẽ cho nghiệm X2 ta lưu vào phím B, rồi lại ghi vào máy f(X) : ((X – A)(X – B)). Cứ làm như vậy ta sẽ lấy hết các nghiệm của phương trình.
Chú ý rằng ta chỉ áp dụng được cách này trong trường hợp phương trình có vài ba nghiệm mà thôi.
Cách 2. Sử dụng chức năng TABLE 
	- Nhấn các phím mode 7
	- Ghi biểu thức f(X)
	- Chọn điểm đầu START : a (điểm thuộc tập xác định), điểm cuối END : b, bước nhảy : c. Chú ý rằng b – a chia hết cho c và thương bé hơn 20. Khi đó máy hiện lên bảng giá trị của f(X) từ a đến b tại các bước nhảy. 
Nếu f(X0) = 0 tại bước nhảy X0 thì X0 là một nghiệm
Nếu f(X1) và f(X2) trái dấu và hàm liên tục trên [X1;X2] thì f(X) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (X1;X2).
Chú ý : Nếu phương trình có nghiệm rất sát nhau thì phương pháp này sẽ gặp khó khăn. Vì ta phải chia thành nhiều khoảng nhỏ.
Ví dụ 1. Tổng các nghiệm của phương trình: là :
	A. 0	B. 1	C. 	D. 2
Phân tích lời giải : Rõ ràng bài này ta không thể thử nghiệm vào phương trình để chọn đáp án được. Ta phải tìm các nghiệm của nó. 
Cách thứ nhất : Giải theo phương pháp tự luận, ta chia hai vế cho 9x, rồi đặt ẩn phụ quy về phương trình bậc hai, giải được t rồi tìm nghiệm x, lấy tổng các nghiệm so với đáp án. Ta sẽ chọn được đáp án đúng là A.
Cách thứ hai : Ta sử dụng phím TABLE của máy tính như sau :
 - Bước 1 : Chọn MODE 7. 
 - Bước 2 : Ghi hàm f(X) = 
 - Bước 3 : Nhập các giá trị của x : Ta chọn điểm đầu START là -9 , điểm kết thúc END là 10, bước nhảy STEP là 1 
	Khi đó máy hiện lên bảng giá trị của hàm f(X) ( máy chỉ tính tối đa tại hai mươi điểm thôi) và ta thấy f(X) = 0 tại hai điểm X = 1 và X = -1. Từ đó chọn đáp án A.
Bình luận : Ở cách giải thứ nhất, đòi hỏi học sinh phải nhớ : phương pháp chia đặt ẩn phụ, có kỹ năng biến đổi lũy thừa, biết giải phương trình bậc hai, phương trình logarit cơ bản. Đối với học sinh khá, giỏi thì cách này dễ thực hiện nhưng phương pháp này sẽ gây nhiều khó khăn cho những học sinh trung bình.
Cách thứ hai : Chỉ cần học sinh biết sử dụng chức năng phím TABLE, chọn điểm đầu, điểm cuối, bước nhảy và quan sát để đưa ra kết quả là xong. Như vậy, kỹ năng cần huy động là ít hơn và kết quả cho nhanh hơn. Tuy nhiên hạn chế của phương pháp này là có thể bị sót nghiệm.
Ví dụ 2. Giải phương trình . Ta có tích các nghiệm bằng:
	A. -18	B. 6	C. -6	D. -2.
(Trích chuyên đề LTĐH – Võ Văn Chinh)
Phân tích : Đây là một bài tương tự bài trên nhưng phức tạp hơn. Nhiều học sinh nếu không nắm vững các phương pháp giải tự luận sẽ lúng túng không biết giải phương trình này như thế nào. Có em sẽ dùng chức năng SHIFT SOLVE để giải trực tiếp phương trình. Nhưng sử dụng chức năng này đôi khi máy cũng mất nhiều thời gian và ta cũng không kiểm soát được số nghiệm của phương trình. 
Cách 1. Phương pháp tự luận 
 - Bước 1 : Chia hai vế cho và đặt .
 - Bước 2 : Quy về phương trình bậc 2 ẩn t
 - Bước 3 : Giải được t = 3 hoặc t = 1. Giải ẩn x ta được 3 nghiệm 1, -3, -2. Đáp án B.
Cách 2. Phương pháp sử dụng máy 
 ĐK xác định 
 - Bước 1 : Chọn MODE 7. 
 - Bước 2 : Ghi hàm f(X) = 
 - Bước 3 : Nhập các giá trị của x : Ta chọn điểm đầu START là -3 , điểm kết thúc END là 15, bước nhảy STEP là 1 
	Đọc kết quả màn hình ta thấy f(X) = 0 tại ba điểm -3, -2, 1 và quan sát đáp án thấy có B thỏa mãn. 
Bình luận : 
 Nếu làm bằng PPTL thì đối với học sinh khá, giỏi là từ 3 phút đến 5 phút, học sinh trung bình không làm được
 Nếu làm bằng PPTN : học sinh khá giỏi chỉ mất khoảng 1 phút, học sinh trung bình cần khoảng 2 đến 3 phút.
Ví dụ 3. Hỏi phương trình có bao nhiêu nghiệm phân biệt ?
 A. 2.	 B. 1. 	 C. 3. 	D. 4.
(Đề minh họa lần 3 của Bộ GD&ĐT )
Lời giải 
Cách 1. Theo phương pháp tự luận
Đặt , x > -1. Lập bảng biến thiên ta có kết quả phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Cách 2. Sử dụng máy tính với chức năng Shift SOVLE
 - Nhập biểu thức 
 - Nhấn Shift SOLVE 
 - Máy hỏi ( X ?) cho giá trị ban đầu 1 = 
Máy cho ta nghiệm thứ nhất X1, lưu giá trị vào A. Tiếp tục ghi f(X) : (X – A) rồi nhấn Shift SOLVE 3 = ta được nghiệm X2,lưu giá trị này vào phím B. Ta lại ghi f(X) : ((X – A)(X – B)) nhấn Shift SOLVE 3 = ta được nghiệm X3, lưu vào C. Sau đó ta ghi 
f(X) : ((X – A)(X – B)(X – C)), dùng lệnh Shift SOLVE 3 = ta thấy máy không cho ra nghiệm. Như vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm.
Bình luận : Đây là một bài trong đề thi minh họa lần 3 của Bộ GD&ĐT. Qua lần cho các em thi thử tôi thấy rằng : Những học sinh giỏi thì đa số làm được bằng PPTL, học sinh khá có 20% làm được bằng PPTL, 60 % làm được bằng PPMT, 20% làm mò.
Ví dụ 4. Số nghiệm của phương trình: là:
	A. 0	B. 1	C. 2	D. 4
(Trích chuyên đề LTĐH – Võ Văn Chinh)
Lời giải :
Cách 1. Phương pháp tự luận - Bước 1 : Đặt điều kiện cho x
 - Bước 2 : Biến đổi phương trình
 - Bước 3 : Đặt ẩn phụ , giải phương trình bậc 2 ẩn t, kết quả : pt có hai nghiệm
Phương pháp sử dụng máy (cách 2)
 - Điều kiện x > 0. 
 - Bước 2 : Ghi hàm : f(X) = 
 - Bước 3 : Nhập các giá trị của X : Ta chọn điểm đầu START là 0 , điểm kết thúc END là 19, bước nhảy STEP là 1 
Quan sát màn hình ta thấy f(X) đổi dấu khi X chạy từ 1 đến 2, nên f(X)= 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (1;2), f(10) = 0 nên có nghiệm X = 10.
Để tăng độ tin cậy ta có thể chọn START là 0,5; END là 10; STEP là 0;5 để kiểm tra
Ta thấy phương trình chỉ có hai nghiệm. Vậy đáp án (C).
Bình luận : Nếu sử dụng PPTL Bài này yêu cầu kỹ năng biến đổi logarit khá phức tạp. Đối với học sinh khá giỏi cũng mất khoảng 3 – 4 phút. Học sinh trung bình khó mà làm được (dù là có thời gian). Tuy nhiên nếu học sinh nào biết sử dụng máy tính thuần thục thì sẽ làm được trong thời gian khoảng 3 phút.
Ví dụ 5. Phương trình có một nghiệm duy nhất thuộc khoảng nào dưới đây?
	A. 	B. 	C. 	D. 
(Trích chuyên đề LTĐH – Võ Văn Chinh)
Phân tích lời giải :
Đối với loại toán này thì pp giải tối ưu là sử dụng PPMT (TABLE)
Chọn MODE 7. Ghi vào màn hình f(X) = 
Chọn START -3/2 END 3 STEP 0,5 
Ta có ngay kết quả f(1) = 0. Do đó đáp án là C.
Bình luận : Nếu bài này một học sinh dùng PPMT thì hết khoảng 45 giây. Nếu dùng PPTL hết khoảng 1 phút 30 giây.
 DẠNG 3. Biết tổng, tích hoặc một biểu thức liên hệ giữa các nghiệm là :
 A.  B.  C.  D. 
Khi gặp dạng này, ta có thể lựa chọn PPTL (cách 1) hoặc sử dụng máy tính tùy năng lực của học sinh.
Ví dụ 6. Giải phương trình . Ta có tổng các nghiệm là:
	A. 	B. -1	C. .	D. 3
Lời giải : 
Phương pháp tự luận (cách 1)
Phương trình tương đương với 
Đặt ta được 
Suy ra tổng hai nghiệm là 
Phương pháp sử dụng máy (cách 2) : Trước hết nhận thấy ĐK x > 0 
- Vào MODE 7
- Ghi vào màn hình 
- Cho START 0 END 10 STEP 0,5 
Ta thấy f(X) đổi dấu trong khoảng (1;2)
Ta khảo sát giá trị của hàm trong khoảng này bằng cách nhấn AC để nhập START 1 END 2 STEP 0,1 
Ta thấy f(X) đổi dấu trong (0,3;0,4) và (1,5;1,6). Nên tổng các nghiệm có thể nằm trong(1,8;2,0). Để chắc ăn ta khảo sát thêm các khoảng từ 2 đến 6 với STEP 0,2 ta thấy f(X) không đổi dấu. Vậy KQ là C.
Bình luận : Bài này là một bài toán chứa cả mũ và logarit. Do đó để giải bằng PPTL học sinh cần nắm vững các phép biến đổi mũ và logarit, phương trình mũ và logarit cơ bản. Vì vậy nó phù hợp cho đối tượng học sinh khá, giỏi. Tuy vậy nếu một học sinh khá sử dụng PPMT thì thời gian vẫn ít hơn là sử dụng PPTL. Nếu học sinh trung bình biết sử dụng máy tính thành thạo vẫn giải được bài này và thời gian khoảng 3 phút.
Ví dụ 7. Phương trình có hai nghiệm là x1, x2 khi đó 
	A. 72	B. 27.	C. 77	D. 90
Phân tích :
Đối với bài toán này ta có thể lựa chọn một trong hai phương pháp 
Phương pháp tự luận 
- Đặt ẩn phụ đưa phương trình về dạng 
- Giải được . Vậy A là đáp án của bài toán.
Phương pháp trắc nghiệm : Ta sử dụng TABLE như sau
- Chọn MODE 7
- Ghi vào máy : 
- Chọn START 1 END 100 STEP 5
Ta thấy f(X) đổi dấu trong (6;11) và f(81) = 0 do đó |x1 – x2| nằm trong (70;75) kết quả là A.
Bình luận : Hai phương pháp này cho kết quả nhanh gần như nhau. Song nếu biết quan sát độ lớn của nghiệm ta sẽ chọn điểm END lớn, bước nhảy lớn sẽ cho kết quả nhanh chóng. 
Ví dụ 9. Phương trình .
A. Có 1 nghiệm duy nhất.	 B. Vô nghiệm.
C. Có 2 nghiệm phân biệt.	 D. Có nhiều hơn 2 nghiệm.
Phân tích lời giải
Phương pháp tự luận 
	Nếu quyết định làm bằng PPTL và không biết cách xử lí thì đây là một bài có thể gây lúng túng cho rất nhiều học sinh. Ta đặt đưa phương trình về 
Đưa phương trình về dạng . Tiếp theo xét hàm , có có nghiệm duy nhất nên phương trình có tối đa hai nghiệm, mà t = 0, t = 1 là hai nghiệm
Từ đó phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.
Phương pháp trắc nghiệm (cách 1 – Shift SOLVE)
- Ghi vào máy: 
- Nhấn shift SOLVE 1 = (máy cho nghiệm X = 1)
- Ghi tiếp tục shift SOLVE 1 = ( ta được nghiệm X= 4)
- Ghi shift SOLVE 1 = (chờ mãi chẳng thấy kết quả) tức phương trình chỉ có hai nghiệm X = 1, X = 4. Đáp án C.
Bình luận : PPMT vẫn cho ta lời giải đơn giản hơn và cho kết quả nhanh hơn trong bài này.
Ví dụ 10. Số nguyên dương m lớn nhất để phương trình có nghiệm là
	A. 20	B. 	C. 30	D. 35
Phân tích : Đây là một phương trình chứa tham số mà nếu ta làm bằng PPTL thì sẽ gặp nhiều khó khăn. Bởi vì ta phải đặt ẩn phụ, tìm miền giá trị của ẩn phụ rồi chuyển về phương trình bậc hai có điều kiện của nghiệm. Sau đó dùng hàm để xử lí khá dài dòng không phù hợp cho một bài trắc nghiệm. Phương pháp sử dụng máy tính cầm tay sẽ là tối ưu. 
PPTL : đặt ta thấy . Phương trình 
. Có 
 . Từ đó m nguyên lớn nhất để phương trình có nghiệm là m = 25.
 Chọn B.
PPMT: ta thấy điều kiện 
- Chọn MODE 7
- Ghi biểu thức (thử m = 35 trước): 
- Chọn START -1 END 1 STEP 0,2 
- Nhấn phím = máy cho bảng giá trị của hàm. 
Ta thấy f(x) không đổi dấu nên loại m = 35
- Nhấn phím AC để thử m = 30 với điểm đầu, điểm cuối và bước nhảy như cũ ta thấy hàm vẫn không đổi dấu. Do đó loại m = 30.
- Nhấn phím AC để thử m = 25 ta thấy phương trình có nghiệm x = 1. 
Vậy m = 25 là giá trị cần tìm.
Bình luận : Bài toán này nếu định hướng cách giải bằng máy ngay từ đầu thì thời gian hoàn thành là khoảng 2,5 đến 3 phút vẫn nhanh hơn PPTL.
DẠNG 4. Tìm số các số nguyên m để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó
Phương pháp tối ưu : 
	- Nếu rút được m thì ta sử dụng phương pháp máy tính kết hợp với phương pháp tự luận
	- Nếu không rút được m thì ta sử dụng phương pháp tự luận
Ví dụ 11. Số các số nguyên m để phương trình có nghiệm là
	 A. 19 B. 20 C. 23 D. 25
Phân tích lời giải : 
	Rõ ràng ta có thể phân ly được m và x bằng cách tách ghép và rút m ta được :
 ĐK : 
- Chọn MODE 7
- Ghi biểu thức 
- Chọn START -1 END 1 STEP 0.125
Ta thấy minf(X) 
Mặt khác ta thấy > 0 nên hàm số liên tục trên tập xác định. Vậy số các giá trị nguyên của m để phương trình có nghiệm là 20. Đáp án B.
Ví dụ 12. Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong đoạn để phương trình có nghiệm duy nhất ?
 A. 	 B. 	 C. 	D.
(Đề minh họa của Bộ GD&ĐT lần 03)
Phân tích lời giải :
Ta thấy phương trình chỉ chứa một loại bậc của m nên ta sử dụng kết hợp hai phương pháp
- ĐK x > -1.
- Phương trình 
- Ta sẽ sử dụng máy tính để lập bảng biến thiên của hàm f(x) trên (-1; +∞)\{0}
- Chọn MODE 7
- Ghi biểu thức 
- Chọn START -1 END 0 STEP 0,2
 Ta thấy f(x) chạy từ 0 đến - ∞. Chọn START 0 END 9 STEP 0,5
Ta thấy f(x) chạy từ +∞ giảm đến 4, rồi tăng lên +∞. Từ đó phương trình có nghiệm duy nhất khi m < 0 hoặc m = 4. Theo đề ra m thuộc [-2017; 2017]. Do đó có 2018 số m thỏa mãn. Đáp án C. 
DẠNG 5. Tập các giá trị của m để phương trình f(x) = m có nghiệm (hoặc nghiệm thỏa mãn tính chất nào đó) là [a;b] ( khoảng, nửa khoảng). Khi đó a + b (hoặc một biểu thức liên hệ của a và b) là 
 A.  B.  C.  D. 
Phương pháp tối ưu : Phương pháp máy tính
Ví dụ 12. Tập các giá trị của m để phương trình có nghiệm là [a;b]. Khi đó a + 9b bằng
 A. 1 B. 6 C. -3 D. -5
Phân tích lời giải : Thoạt nhìn ta nghĩ rằng bài này phải giải bằng phương pháp tự luận nhưng thực ra bài này sử dụng máy tính mới là phương pháp tối ưu.
Ý tưởng sử dụng máy tính đó là ta đi tìm max, min của biểu thức ở vế phải bằng cách chia nhỏ tập xác định để tìm giá trị xấp xỉ của a và b. Từ đó suy ra đáp án.
Nhận xét : Tập xác định [-1;1]
- Chọn MODE 7
- Ghi vào máy : 
- Chọn START -1 END 0,9 STEP 0,1
Quan sát kỹ bảng giá trị của f(X) ta sẽ thấy minf(X)~ -11,93, maxf(X) ~ 1,44
Thoát khỏi máy MODE 1 và tính -11,93 + 9x 1,44 ta được kết quả xấp xỉ 1
Vậy A là đáp án của bải toán.
Bình luận : Rõ ràng đây là một cách giải độc đáo đặc thù của bài tập TNKQ. 
II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Bài toán tổng quát : Cho bất phương trình hoặc 
Các dạng câu hỏi thường gặp
DẠNG 1. Tập nghiệm của bất phương trình là :
 A.  B.  C.  D. 
Ví dụ 1. Tập nghiệm của bất phương trình:
A.(-1; 0)	B. 	C. 	D. 
Phân tích lời giải :
Đây là dạng dễ nhất trong các bài toán về bất phương trình. Phương pháp giải tốt nhất là sử dụng máy tính với phím CALC
- Ghi biểu thức 
- Nhấn phím CALC. Sau đó thử đáp án
- Nhấn phím -0,5 = (kq 78) (loại A, C) = -3 = (kq -8,4 < 0) (loại D)
Vậy đáp án là B.
DẠNG 2. Tập nghiệm của bất phương trình là hoặc,,. Khi đó một biểu thức liên hệ giữa a và b là :
A.  B.  C.  D. 
Phương pháp : Sử dụng MODE 7, chia tập xác định thành các đoạn nhỏ để kiểm tra giá trị của f(X) và xác định tập nghiệm xấp xỉ của bất phương trình suy ra giá trị gần đúng của a, b. Từ đó chọn đáp án
Ví dụ 2. Tập nghiệm của bất phương trình:là [a;b] khi đó a + 2b bằng 
	 A. -1 B. 6 C. 10 D. 7
PPMT : 
- Đk : hoặc 
- Chọn MODE 7
- Ghi 
- Chọn START -5 END 1 STEP 1 ta thấy f(X) đều âm.
- Nhấn phím AC chọn START 3 END 10 STEP 1 ta thấy f(3) = 36, f(4) < 0, f(5) < 0,
Như vậy tập nghiệm nằm trong [3;4)
- Nhấn AC chọn lại START 3 END 4 STEP 0,1 ta thấy f(X) không âm trên [3;3,5]
Từ đó a = 3, b = 3,5. Kết quả a + 2b = 10 đáp án C.
Bình luận : Thời gian hoàn thành khoảng 2 phút. 
DẠNG 3. Số nghiệm nguyên của bất phương trình là :
 	A.  B.  C.  D. .
Ví dụ 3. Số nghiệm nguyên của bất phương trình:
 A. 3	B. 2	C. 0	D. 1
Phân tích lời giải
Nếu sử dụng PPTL : Ta sẽ đưa BPT về dạng hàm đại diện . Từ đó suy ra rồi giải BPT ta được . Vậy BPT có 3 nghiệm nguyên.
Nếu sử dụng PPMT : Ghi vào máy 
Chọn START -5 END 10 STEP 1 ( máy cho ngay kết quả) ba nghiệm.
Bình luận : Ta thấy rằng để sử dụng được phương pháp tự luận thì học sinh phải biết đưa về dạng hàm đại diện và không phải học sinh nào cũng làm được điều này. Tuy nhiên với đặc thù là tìm nghiệm nguyên thì phương pháp máy tính có thể áp dụng cho nhiều đối tượng (kể cả học sinh trung bình) với kết quả nhanh chóng. Như vậy PPMT vẫn chiếm ưu thế trong bài toán dạng này.
Bài toán tương tự : Số nghiệm nguyên của bất phương trình là:
A. 	B. 	C. 	D. 11
------------------------------------------------------------------------------------
BÀI TOÁN 2 : GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Với công cụ máy tính cầm tay, chúng ta có một vũ khí lợi hại để giải quy