SKKN Rèn kỹ năng tính nhanh, tính nhẩm các phép tính về phân số cho học sinh tham gia câu lạc bộ "Em yêu toán’’ ở trường tiểu học Hà Ngọc

MỤC LỤC
STT
NỘI DUNG
TRANG
1
 I. PHẦN MỞ ĐẦU
1
2
1. Lí do chọn đề tài1. Lí do chọn đề tài1. Lí do chọn đề tài
1
3
2. Mục đích nghiên cứu
1
4
3. Đối tượng nghiên cứu
1
5
4. Phương pháp nghiên cứu
2
6
 II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2
7
1. Cơ sở lí luận
2
8
2. Thực trạng việc dạy tính nhanh, tính nhẩm cho học sinh tham gia câu lạc bộ em yêu toán ở trường tiểu học Hà Ngọc
3
9
2.1. Thực trạng
3
10
2.2. Kết quả của thực trạng trên
3
11
3. Các giải pháp rèn kĩ năng tính nhanh, tính nhẩm các phép tính về phân số cho học sinh tham gia câu lạc bộ em yêu toán ở trường tiểu học Hà Ngọc.
4
12
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
17
13
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
17
14
1. Kết luận
17
15
2. Kiến nghị
18
16
Tài liệu tham khảo
19
17
Danh mục các đề tài SKKN đã được hội đồng đánh giá xếp loại cấp phòng GD&ĐT, cấp sở GD&ĐT và các cấp cao hơn xếp loại từ C trở lên.
20
I. PHẦN MỞ ĐẦU.
1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Môn Toán có một vị trí rất quan trọng trong hệ thống các môn học ở trường tiểu học. Kiến thức kỹ năng của môn Toán được ứng dụng nhiều vào đời sống hằng ngày của con người. Mặt khác nó còn rất cần thiết đối với các môn khác và còn là cơ sở để các em học tiếp môn Toán ở lớp trên.
	Môn Toán ở tiểu học còn bồi dưỡng, phát triển trí tuệ, trí thông minh suy nghĩ độc lập, linh hoạt và sáng tạo. Hình thành cho các em cách nhìn sự vật, hiện tượng trong thực tiễn theo quan điểm duy vật biện chứng. Từ đó giúp các em phát triển toàn diện. Môn Toán ở bậc tiểu học có rất nhiều nội dung, trong đó có nội dung tính nhanh và tính nhẩm. Việc học cách tính nhanh và tính nhẩm được đưa vào chương trình Toán ngay từ lớp 1 nhằm giúp các em có cách tính toán tìm ra kết quả ngắn gọn nhất và nhanh nhất. Các em biết so sánh, đối chiếu phân tích tổng hợp từ đó hình thành trí thông minh và năng lực sáng tạo. Việc tính nhanh tính nhẩm có thể coi là con đường thuận lợi và nhanh nhất trong trường hợp có thể và cho phép.
	Tác dụng của việc tính nhanh tính nhẩm không những chỉ giải quyết các vấn đề ngay trong môn Toán mà còn góp phần giúp học sinh học tốt các môn học khác. Mặt khác từ việc trả lời ngắn gọn chính xác, rõ ràng các câu hỏi, cách giải quyết các bài toán có lời văn....góp phần làm cho vốn từ ngữ của các em thêm sinh động và trong sáng hơn.
	Trong thực tế cuộc sống, việc vận dụng cách tính nhanh, tính nhẩm là rất cần thiết và phù hợp vì không thể lúc nào ta cũng có thể đặt bút để tính toán từng bước được. Chính vì vậy trong các đề thi học sinh giỏi ở tiểu học thường có 1, 2 câu tính nhanh. Các kiểu bài tính nhanh yêu cầu sử dụng kiến thức cơ bản một cách hợp lý.
	Trong các dạng bài tính nhanh thì dạng tính nhanh về phân số là khó nhất vì nó không chỉ vừa vận dụng tính nhanh đối với số tự nhiên mà còn phải phân tích rút gọn phân số nữa.
	Với những lý do đã nêu ở trên, tôi quyết định chọn đề tài: Rèn kỹ năng tính nhanh, tính nhẩm các phép tính về phân số cho học sinh tham gia câu lạc bộ "Em yêu toán’’ ở trường tiểu học Hà Ngọc làm nội dung nghiên cứu.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
Tôi viết sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích nêu ra những biện pháp đã làm để đúc rút kinh nghiệm cho bản thân mình trong quá trình giảng dạy những học sinh tham gia câu lạc bộ "Em yêu toán” phần tính nhanh, tính nhẩm phân số đồng thời chia sẻ với đồng nghiệp những việc mình đã làm nhằm nâng cao hiệu quả dạy học môn toán phần tính nhanh, tính nhẩm phân số cho học sinh tham gia câu lạc bộ “Em yêu toán” của trường tiểu học Hà Ngọc. Đồng thời nhận được những lời góp ý từ cán bộ quản lí nhà trường, hội đồng khoa học để tôi phát huy những mặt tích cực, điều chỉnh những thiếu sót trong quá trình giảng dạy.
 3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.
- Đề tài này nghiên cứu về vấn đề: Rèn các kỹ năng tính nhanh, tính nhẩm phân số cho học sinh.
- 10 Học sinh có tố chất về môn toán tham gia câu lạc bộ “Em yêu toán” của trường tiểu học Hà Ngọc. 
 4. PHƯƠNG PHÁP GHIÊN CỨU.
Để đạt hiệu quả trong quá trình nghiên cứu, tôi đã sử dụng những phương pháp nghiên cứu sau: 
- Phương pháp nghiên cứu lí luận. 
- Phương pháp điều tra, quan sát.
- Phương pháp thử nghiệm. 
- Phương pháp kiểm tra, thống kê kết quả. 
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm. 
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN.
	* Cơ sở lí luận về tâm sinh lí:
Môn Toán ở tiểu học có nhiệm vụ giúp học sinh thông qua các hoạt động học tập toán để phát triển đúng mức một số khả năng trí tuệ và thao tác tư duy quan trọng nhất như: so sánh, phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá, cụ thể hoá, lập luận có căn cứ. Bước đầu làm quen với các chứng minh đơn giản.... Nó còn giúp học sinh hình thành tác phong học tập và làm việc có suy nghĩ, có kế hoạch, có kiểm tra, có tinh thần hợp tác, độc lập và sáng tạo, có ý chí vượt khó khăn, cẩn thận kiên trì.
* Cơ sở lí luận về nội dung chương trình môn toán ở tiểu học:
Do đặc điểm của học sinh tiểu học, nội dung chương trình toán được cấu trúc sắp xếp theo 5 mạch kiến thức cơ bản đồng tâm, càng lên cao kiến thức đó càng đi sâu và củng cố mở rộng hơn. Do vậy vấn đề dạy tính nhanh, tính nhẩm ở từng lớp cũng được nâng cao lên dần. Nội dung, chương trình SGK Toán 4 nói chung học sinh đã được học đầy đủ các yêu cầu kiến thức của cấp học. Các em được học và thực hiện thành thạo các phép tính về phân số... có khả năng vận dụng tính nhanh, tính nhẩm vào tính giá trị biểu thức một cách nhanh gọn.
	Tính nhanh, tính nhẩm ở tiểu học là vấn đề phức tạp đối với học sinh nó đòi hỏi sự thông minh, sáng tạo và linh hoạt. Do đó không phải học sinh nào cũng có thể thao tác nhanh được, nhất là đối với học sinh trung bình và học sinh yếu.
	Trong tính nhanh, tính nhẩm không phải các dạng ra đều khó đối với trình độ của học sinh, nếu giáo viên hướng dẫn cách làm tốt hoặc học sinh thuộc qui tắc, nắm được cách làm là từ đó có thể giải quyết được dễ dàng. Đối với các dạng bài tính nhanh đòi hỏi mỗi học sinh phải nắm được, hiểu được bản chất và giá trị riêng của mỗi bài toán. Tuy nhiên việc tính nhanh, tính nhẩm không phải bài nào cũng có thể áp dụng các công thức đã học mà có những dạng là một dãy số có quy luật hay là số đặc biệt như , ... Vì vậy giáo viên thường xuyên cho học sinh luyện tập thì khi nhìn qua là các em có thể đọc ngay được kết quả hay hình dung được cách làm.
	Việc dạy tính nhanh, tính nhẩm phân số cho học sinh là rất cần thiết và quan trọng nhằm phục vụ tốt cho dạy môn Toán của giáo viên và việc nắm bắt kiến thức một cách nhanh gọn, khoa học của học sinh tiểu học.
2. THỰC TRẠNG VIỆC DẠY TÍNH NHANH, TÍNH NHẨM CHO HỌC SINH THAM GIA CÂU LẠC BỘ EM YÊU TOÁN Ở TRƯỜNG TIỂU HỌC HÀ NGOC.
2.1. Thực trạng :
a) Nhà trường : 
Ban giám hiệu luôn quan tâm và có hướng chỉ đạo đúng đắn về công tác bồi dưỡng học sinh giỏi để tham gia giao lưu các câu lạc bộ cấp huyện, cấp tỉnh. Tuy nhiên, trong 2 năm học gần đây do Sở GD&ĐT Thanh Hoá, PGD&ĐT Hà Trung không tổ chức thi giao lưu cấp huyện nên nhà trường cũng có phần chưa được quan tâm đúng mức. 
Việc phát hiện và bồi dưỡng học sinh có khả năng học tốt môn toán được thực hiện ngay tại lớp, nhà trường không cử giáo viên dạy chuyên sâu. Chính vì thế mà mỗi giáo viên đứng lớp phải dạy đủ 23 tiết theo với quy định, vừa phải lo chất lượng đại trà vừa phải tham gia bồi dưỡng nên chất lượng mũi nhọn chưa được đảm bảo.
 Công tác bồi dưỡng học sinh giỏi tham gia câu lạc bộ còn số ít giáo viên tham gia, chưa tạo thành phong trào chung cho toàn trường. 
Giáo viên chưa được bồi dưỡng chuyên sâu về phương pháp bồi dưỡng câu lạc bộ nên chưa có nhều kinh nghiệm. Việc bồi dưỡng chỉ mang tính chiến lược.
Một số giáo viên chưa chú trọng bồi dưỡng học sinh, chưa thấy được vị trí quan trọng của các bài toán về phân số, chính vì vậy khi dạy giáo viên không mở rộng kiến thức cho học sinh nên học sinh không hệ thống được nội dung kiến thức, không phân định được rõ dạng bài để khắc sâu cách giải.
- ë ch­¬ng tr×nh m«n to¸n líp 4, néi dung ph©n sè vµ c¸c phÐp tÝnh vÒ ph©n sè ®­îc ®­a vµo d¹y häc kú II. Võa lµm quen, häc kh¸i niÖm ph©n sè c¸c em ph¶i häc ngay c¸c phÐp to¸n vÒ ph©n sè, råi gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ ph©n sè cho nªn c¸c em c¶m thÊy ®©y lµ mét néi dung khã, khi båi d­ìng c¸c bµi to¸n khã vÒ ph©n sè nhiÒu em c¶m thÊy " sî "gi¶i c¸c bµi to¸n vÒ ph©n sè.
- ViÖc vËn dông c¸c tÝnh chÊt cña ph©n sè, c¸c qui t¾c tÝnh chËm.
- C¸c tÝnh chÊt cña c¸c phÐp tÝnh vÒ ph©n sè trõu t­îng nhiÒu häc sinh khã nhËn biÕt, mèi quan hÖ gi÷a c¸c thµnh phÇn trong c¸c phÐp tÝnh vÒ ph©n sè nhiÒu häc sinh kh«ng ph¸t hiÖn ®­îc do kh¶ n¨ng quan s¸t ch­a nhanh.
b) Học sinh:
Các em chỉ có đầy đủ sách hướng dẫn học còn sách tham khảo thì rất ít em có.
Các em nắm vững kiến thức cơ bản nhưng khi vận dụng vào giải toán nâng cao thì còn hạn chế.
Khi học đến phần phân số các em thấy khó hơn học về số tự nhiên. Các em dễ nhầm lẫn giữa thực hiện các phép tính như cộng các phân số với nhân các phân số. Chính vì vậy, khi dạy các bài toán khó về phân số nhiều em thấy “sợ” thậm chí hay bỏ cuộc.
Bên cạnh đó, trình độ dân trí chưa cao nên đa số phụ huynh không giúp được con khi con có vướng mắc kiến thức lúc ở nhà.
2. 2. Kết quả của thực trạng: 
Với 10 học sinh tham gia câu lạc bộ “Em yêu toán” của nhà trường năm học 2016-2017 này, tôi đã cho các em khảo sát 3 bài toán dạng tính nhanh, tính nhẩm. Kết quả khảo sát của các em như sau: 
Tổng
Điểm 9-10
Điểm 7-8
Điểm 5-6
Điểm < 5
10 em
Số lượng
Tỉ lệ
Số lượng
Tỉ lệ
Số lượng
Tỉ lệ
Số lượng
Tỉ lệ
1 em
10%
2 em
20%
3 em
30%
4 em
40%
2. KÕt qu¶ cña thùc tr¹ng.
Víi 10 häc sinh khèi líp 4 n¨m häc tr­íc 2006 - 2007 vµ ®Ò kiÓm tra chÊt l­îng häc sinh giái cÊp tr­êng .
Bµi to¸n vÒ ph©n sè ®­îc häc sinh gi¶i quyÕt víi kÕt qu¶ nh­ sau: 
Giái
Kh¸
Trung b×nh
YÕu
Sè l­îng
TØ lÖ
Sè l­îng
TØ lÖ
Sè l­îng
TØ lÖ
Sè l­îng
TØ lÖ
1 em
10%
2 em
20%
3 em
30%
4 em
40%
Từ những thực trạng nêu trên, là người trực tiếp tham gia phụ trách câu lạc bộ “Em yêu toán” của nhà trường, tôi nhận thấy cần phải giúp học sinh học tốt những kiến thức về phân số. Tôi đã nghiên cứu tài liệu để tìm ra cho mình một số giải pháp để dạy cho học sinh làm tốt dạng toán về phân số. 
Kiến thức về phân số rất nhiều nhưng tôi chỉ xin nêu một số kinh nghiệm về "Tính nhanh, tính nhẩm các phép tính về phân số" cho học sinh. 
3. CÁC GIẢI PHÁP RÈN KỸ NĂNG TÍNH NHANH, TÍNH NHẨM CÁC PHÉP TÍNH VỀ PHÂN SỐ CHO HỌC SINH THAM GIA CÂU LẠC BỘ EM YÊU TOÁN Ở TRƯỜNG TIỂU HỌC HÀ NGỌC.
Giải pháp 1: Giúp học sinh củng cố, khắc sâu, hệ thống hoá kiến thức đã học về phân số.
Để học sinh nắm được kiến thức nâng cao, trước tiên các em phải nắm được kiến thức cơ bản, sau đó nâng cao dần từ mức độ đơn giản, từng bước cho các em làm quen với kiến thức nâng cao rồi tiến hành luyện tập, ôn tập thì giải các bài toán nâng cao mới trở thành kỹ năng của các em được. 
Với giải pháp này, từ 1 bài toán cụ thể, tôi dạy cho các em nắm được công thức tổng quát để vận dụng vào giải các bài toán khác nhau.
Ví dụ một số tính chất cụ thể như sau: 
 - Phân số bằng nhau. 
 ; (với b, d > 0) ( ¹ )
 - Tính chất giao hoán trong phép cộng (hoặc phép nhân) phân số:
 (với b, g, d > 0) ( ¹ )
- Tính chất kết hợp trong phép cộng (hoặc phép nhân) phân số:
 ( ¹ )
Sách giáo khoa toán 4 ( ¹ )
Tính chất một số nhân với một tổng : ( ¹ )
 v.v.v..
Còn rất nhiều kiến thức khác nữa nhưng trên đây tôi chỉ nêu một vài ví dụ để minh chứng cho cách làm của mình.
 Sau khi giúp học sinh nắm vững kiến thức cơ bản rồi, tôi cho các em vận dụng vào những bài tập từ dễ đến khó.
Ví dụ 1 : Tính nhanh :
 ( ² )
Ở ví dụ này nếu học sinh không nắm vững tính chất giao hoán của phép cộng phân số thì học sinh sẽ làm theo cách qui đồng mẫu số các phân số thì bài làm sẽ lâu, các số lớn dễ dẫn đến nhầm lẫn.
Ví dụ 2 : Tính :
	 ( ² )
Ta có : (hoặc )
Nên : 
	 = 	 1 + 1 + 1
	 =	 3
Ví dụ này còn có một cách khác như thay 
Ví dụ 2 có phần khó hơn ví dụ 1, các em phải nhận biết được cách đổi chỗ các số hạng và biết thay hoặc 
Giải pháp 2: Giúp học sinh phân thành các dạng toán điển hình. ( ³)
	Khi phân thành các dạng toán điển hình để dạy, tôi cũng tiến hành từ dạng dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. Căn cứ vào mức độ tiếp thu của đối tượng học sinh trường tiểu học Hà Ngọc, tôi thường phân thành các dạng như sau: 
Tuyển chọn 400 bài toán lớp 5 ( ² )
Rèn luyện và nâng cao kĩ năng giải toán cho học sinh tiểu học
( Quyển 2) ( ³)
 - Tính tổng các phân số có tử số bằng nhau và có:
+ Mẫu số này gấp 2,3,4 lần mẫu số kia.
+ Mẫu số là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp. 
+ Mẫu số là tích của 2 số chẵn liên tiếp.
+ Mẫu số là tích của 2 số lẻ liên tiếp.
- Tử số bằng hiệu của 2 số tự nhiên của mẫu số đó (hoặc có thể phân tích phân số thành hiệu 2 phân số)
- Các chữ số ở tử số và mẫu số được viết lặp lại theo một thứ tự nhất định.
- Phân số mà tử số và mẫu số đều là 1 biểu thức có nhiều phép tính.
- Chứng minh một dãy số bao gồm các phép tính về phân số không phải là số tự nhiên.
- Phân tích số của tử số và mẫu số để tạo thành phân số có số của tử số giống số của mẫu số.
- So sánh một dãy số bao gồm các phép tính về phân số với một số tự nhiên.
Giải pháp 3: Rèn kĩ năng tính nhanh, tính nhẩm một số dạng toán điển hình cho học sinh tham gia câu lạc bộ “Em yêu toán”. 
Với từng dạng bài cụ thể, tôi thường tiến hành như sau: 
Dạng 1: Tính tổng các phân số có tử số bằng nhau và có mẫu số đứng trước gấp 2,3 hoặc 4 lần mẫu số đứng sau.
Ví dụ 1: Tính nhanh : ( ³)
	Với ví dụ đơn giản này, tôi cho học sinh nhận xét để nêu được quy luật của dãy số là: Các phân số đều có tử số bằng 1 và mẫu số của phân số sau gấp đôi mẫu số của phân số liền trước.
	Vậy: Các em có thể áp dụng kiến thức cơ bản để làm bài toán này được không? Tôi thấy nhiều học sinh giơ tay xung phong, tôi cho một học sinh lên trình bày. Các em có thể có cách làm như sau:
Như vậy là học sinh đã biết cách quy đồng mẫu số các phân số đã cho để có cùng mẫu số là 32, rồi cộng các phân số đã quy đồng. Đối với học sinh tiểu học thì đây cũng có thể gọi là cách tính nhanh. Tuy nhên, để phát triển trí thông minh cho các em, tôi hướng dẫn học sinh trình bày theo các cách khác như sau:
Cách 1: 
Sau khi học sinh đã tự làm được cách 1, tôi hướng dẫn học sinh nhận xét để làm cách khác nhanh hơn.
Rèn luyện và nâng cao kĩ năng giải toán cho học sinh tiểu học
( Quyển 2) ( ³)
Cách 2: Ta thấy:
 Nên: 
Cách 3: Ta thấy
 = 
Cách 4:
Đặt S = 
 S × 2 = 2 × ()
 = 1+ 
 S × 2 - S = 
 S = 
Với mỗi bài toán như vậy, tôi đưa ra nhiều cách giải khác nhau để hướng dẫn các em, sau đó cho các em luyện tập với những ví dụ tương tự. Khi đã thuần thục rồi, các em có thể chọn 1 trong các cách để giải bài toán.
* Biến đổi nâng cao hơn so với bài đã học.
Sau khi các em nắm chắc cách giải ở dạng toán này, tôi đưa ra cho các em làm những bài ở dạng tổng quát hơn.
Ví dụ: Tính nhanh ( ³)
+ ..... + 
Ta thấy:
..............
Vậy: + ..... + = 
Tính tổng sau bằng cách nhanh nhất:
Ta có: 
Vậy: Tính tổng sau bằng cách nhanh nhất:
Ta có: 
Vậy: Trường hợp mẫu số đứng sau gấp 3 hoặc 4 lần mẫu số đứng trước. Tôi hướng dẫn cho học sinh làm theo cách 4: (đặt S là dãy phân số đó, sau đó tìm S × 3, S × 4, lấy S × 3 - S, hoặc S × 4 - S) là sẽ ra kết quả nhanh hơn.
Ví dụ: Tính nhanh 
 ( ³)
- Nhận thấy mẫu số của phân số đứng sau gấp 3 lần mẫu số của phân số đứng trước. Ta đặt:
S = 
S × 3 = 3 x ()
S × 3 = 
S × 3 – S = 
S × 2 = = 
S = : 2 = 
- Các ví dụ khác tôi hướng dẫn học sinh tiến hành tương tự, tôi thấy các em nắm bài rất chắc.
Dạng 2: Tính tổng các phân số có tử số bằng nhau và có mẫu số là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp. 
Ví dụ 2: Tính nhanh : ( ³)
Tôi cho học sinh nhận xét để nêu được quy luật của dãy số trên là: Các phân số đều có tử số bằng 1 và mẫu số là tích của hai số tự nhiên liên tiếp.
Ta nhận thấy: 
Nên: 
	 = 
	Như vậy, đối với dạng toán có quy luật như trên ta có thể phân tích mỗi phân số thành một phép trừ hai phân số. Sau đó viết lại biểu thức rồi tính kết quả bằng cách trừ đi số đó rồi cộng với số đó. Kết quả còn lại số đầu tiên trừ đi số cuối cùng.
Đối với dạng toán này, tôi nhấn mạnh cho học sinh: Khi các mẫu số được phân tích thành tích của hai số tự nhiên liên tiếp thì tử số bao giờ cũng bằng 1. Nếu tử số là số khác thì phải biến đổi về dạng các tử số là 1.
Ví dụ: Tính nhanh:
 ( ³)
= 5× ()
= 
= 5× ( )
= 5× ( )
= 5× = 
Sau khi học sinh hiểu và nắm được cách giải toán giáo viên có thể tăng thêm các phân số theo qui luật trên.
* Biến đổi nâng cao hơn so với bài đã học:
	Sau khi học sinh nắm được dạng toán 2, tôi ra các bài khác để học sinh nhận ra bài đã học.
Ví dụ : Tính nhanh:
a) ( ³)
b) ( ³)
	Nếu như học sinh hiểu bài ở dạng 2 thì học sinh sẽ nhận ra ngay dạng toán vừa học xong. Các em dễ dàng nhẩm được:
a) 
 = 
b) 
= 
 * Phát huy trí thông minh của học sinh qua hệ thống bài tập nhẩm (nhẩm nhanh)
Ví dụ: 
a) 
b) 
c) 
	Muốn nhẩm nhanh được kết quả thì các em phải phải nắm vững các bài toán quy luật ở dạng 2, đồng thời nhận ra được chỗ khác ở bài toán này là các số đứng đầu dãy số không thuộc quy luật dãy số. Do đó các em sẽ nhẩm kết quả của các số thuộc quy luật dãy số rồi cộng với số không thuộc quy luật. Học sinh nhẩm ngay ra kết quả thì các em đã nắm bài tốt.
a) = 
 (Vì = = )
b) 
c) 	
Dạng 3: Tính tổng các phân số có tử số bằng nhau và có mẫu số là tích của 2 số chẵn hoặc lẻ liên tiếp. 
Ví dụ 1: Tính nhanh : ( ² )
Ta nhận thấy :
Nên : 
	 = 
Qua thực tế khi dạy dạng này, khi phân tích thành hiệu hai phân số, rất nhiều em nhầm lẫn như sau:
Ví dụ : . Chính vì thế, khi gặp dạng này tôi thường nhấn mạnh cho các em nhớ từng bước: 
Bước 1 : Phân tích mẫu số thành tích của hai số tự nhiên theo quy luật ( lúc này tử số giữ nguyên)
Bước 2 : Phân tích thành hiệu của hai phân số ( lúc này tử số bằng 1)
Đối với dạng toán này, tôi nhấn mạnh cho học sinh: Khi các mẫu số được phân tích thành tích của hai số chẵn hoặc hai số lẻ liên tiếp thì tử số bao giờ cũng bằng 2. Nếu tử số là số khác thì phải biến đổi về dạng các tử số là 2. 
Ví dụ 2: Tính nhanh : ( ² )
Ở ví dụ này học sinh phải biết nhân cả biểu thức với để có tử số bằng 2:
= = =
Ví dụ 3: Tính nhanh: 
 ( ² )
Dạng bài tập này học sinh phải biết tách tử số thành 22 để có :
	 = =
 	 = = 
	Như vậy với dạng toán nêu trên học sinh phải nắm vững qui luật của dãy số đã cho từ đó vận dụng vào từng bài tập.
Ví dụ 4: Tính nhanh: ( ² )
Dạng 4: Các chữ số ở tử số và mẫu số được viết lặp lại theo một thứ tự nhất định.
Ví dụ 1:	 ( ² )
	Giúp học sinh nhận xét các tử số và mẫu số là các số tự nhiên mà mỗi chữ số được lặp lại theo thứ tự nhất định.
- Giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích các số ở tử số và mẫu số:
	1313 = 13 101
	1212 = 12 101
	373737 = 37 10101
	393939 = 39 10101
	108108 = 108 1001
	109109 = 109 1001
- Tiến hành làm bài:
	 = = 
 Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức sau : 
Tương tự ví dụ 1, tôi hướng dẫn học sinh tìm cách rút gọn các phân số trong tổng bằng cách chia cả tử và mẫu số cho số tự nhiên nào thì lúc này các em tìm ngay ra được là chia cả tử và mẫu số cho số tự nhiên 101 và lúc này bài toán trở lại các dạng mà các em đã quen thuộc và giải một cách dễ dàng. 
Ta có: 
 Như vậy ở dạng toán này phải biết phân tích tử số, mẫu số thành tích của 2 số trong đó 1 số sẽ là số: 101 ; 10101 ; 1010101;..hoặc 1001; 1001001;...100010001;..
(Đã dạy học sinh ở bài rút gọn phân số)
Trong trường hợp các em không nhớ cách phân tích thành tích của hai số thì tôi sẽ hướng dẫn các em một thủ thuật đó là: lấy tử hoặc mẫu của phân số chia cho 1 cặp số tự nhiên lặp lại là ra số cần phân tích.
Ví dụ: Đối với phân số , các em không biết phân tích thế nào, tôi hướng dẫn học sinh như sau: Lấy 213213213 : 213 = 1001001
Vậy = 
Dạng 5: Phân số mà tử số và mẫu số đều là 1 biểu thức có nhiều phép tính.
	Cùng với các dạng toán nêu trên, dạng toán này đòi hỏi sự vận dụng nhiều kiến thức vào 1 bài toán yêu cầu học sinh phải nhận xét nhanh, biết phân tích số, áp dụng các qui tắc các tích chất của số tự nhiên,...
Do tích chất phức tạp của tử số và mẫu số nên ở dạng toán này học sinh phải nhớ được các dạng kiến thức cơ bản