SKKN Rèn kỹ năng giải phương trình chứa căn thức bậc hai cho học sinh khá giỏi lớp 9 ở trường THCS Phú Nhuận

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA 
PHÒNG GD&ĐT NHƯ THANH
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 RÈN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA 
CĂN THỨC BẬC HAI CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI 
LỚP 9 Ở TRƯỜNG THCS PHÚ NHUẬN
Người thực hiện: Lê Thị Thanh Tân
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Phú Nhuận
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HOÁ NĂM 2019
MỤC LỤC
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài:
Trong trường phổ thông, môn Toán chiếm một vị trí khá quan trọng, nó là nền tảng cho các môn học tự nhiên khác. Đây là một môn học rất hấp dẫn và liên quan đến chúng ta trong cuộc sống hàng ngày. Song nó đòi hỏi người học phải có sự say mê và tính sáng tạo thì mới chiếm lĩnh được những điều lí thú mà toán học dành cho.
Trong số những bài toán được đề cập trong chương trình Đại số bậc THCS, tôi nhận thấy bài tập "Giải phương trình" chiếm một thời lượng lớn, nó xuyên suốt chương trình học. Điều đó khẳng định vai trò và vị trí của phương trình là đối tượng nghiên cứu trung tâm của môn Đại số.
Thực tế khi giảng dạy về bài tập: "Giải phương trình" đặc biệt là "phương trình chứa căn thức bậc hai" ở lớp 9 trường THCS Phú Nhuận năm học qua, tôi nhận thấy rằng:
1, Học sinh lúng túng khi giải bài toán chứa căn thức bậc hai, có em chỉ biết giải bằng một cách là bình phương hai vế, còn có em cảm thấy sợ khi gặp trường hợp khác không xác định được hướng giải cho bài toán.
2, Học sinh thường mắc phải những sai lầm khi giải là không tìm điều kiện xác định cho bài toán, không kiểm tra giá trị tìm được với điều kiện ban đầu,...
Với mong muốn giúp các em có phương pháp giải dạng bài tập "Giải phương trình chứa căn thức bậc hai", khắc phục được những sai lầm thường gặp khi giải phương trình, tôi mạnh dạn chọn đề tài: "Rèn kĩ năng giải phương trình chứa căn thức bậc hai cho học sinh khá giỏi lớp 9 ở trường THCS Phú Nhuận".
1.2. Mục đích nghiên cứu:
- Đề tài này có tác dụng giúp cho học sinh học về chuyên đề "giải phương trình chứa căn thức bậc hai" tốt hơn, tránh được những sai sót khi làm bài tập. Trang bị cho học sinh một số kiến thức nhằm nâng cao năng lực học môn Toán, giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo và làm công cụ giải bài tập trong chuyên đề "giải phương trình vô tỉ" sau này.
- Giải đáp được những thắc mắc, sửa chữa những sai lầm hay gặp khi giải phương trình chứa căn thức bậc hai.
- Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phương pháp cơ bản để xác định chính xác hướng đi và giải thành công bài tập về "phương trình chứa căn thức bậc hai" trong chương trình Toán THCS.
- Gây được hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong SGK, sách tham khảo, giúp học sinh tự giải được một số bài tập hay và khó về phương trình chứa căn thức bậc hai, đặc biệt trong các kỳ thi häc sinh giỏi, thi vào THPT.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
- Tập trung nghiên cứu về việc "Rèn kĩ năng giải phương trình chứa căn thức bậc hai cho học sinh khá giỏi lớp 9".
- Một số phương trình chứa căn bậc hai và cách giải.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết.
- Phương pháp điều tra viết người điều tra có thể nắm được thông tin học tập bộ môn toán 9 tại thực tiễn.
- Phương pháp vấn đáp.
- Phương pháp suy luận.
- Phương pháp tìm tòi.
- Phương pháp đàm thoại.
- Phương pháp thống kê và xử lí dữ liệu: Sau khi điều tra, khảo sát thực tế học sinh làm các bài toán giải phương trình chứa căn thức bậc hai chưa áp dụng đề tài, từ đó so sánh với kết quả học sinh giải toán khi đã áp dụng đề tài.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận:
Trong việc thực hiện mục tiêu giáo dục thì nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh khá giỏi được coi là một trong những nhiệm vụ trọng tâm, nó đòi hỏi cả một quá trình hết sức công phu và gian khó, tuy nhiên rất vinh dự. Học sinh khá, giỏi khẳng định chất lượng mũi nhọn của mỗi đơn vị giáo dục còn thước đo về trí tuệ và danh dự cho cả một nền giáo dục. Làm tốt nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh khá giỏi của mỗi giáo viên, của mỗi nhà trường chính là thực hiện tốt nhiệm vụ bồi dưỡng nhân tài, tạo nguồn cho các cấp học cao hơn và đóng góp cho Đất nước những hiền tài trong tương lai.
Khi giảng dạy bộ môn Đại số lớp 9, chúng ta gặp bài toán về phương trình chứa căn thức bậc hai có những bài tập rất đơn giản nhưng không phải học sinh nào cũng giải được. Thực tế cho thấy phương trình chứa căn thức bậc hai là một dạng toán khó đối với học sinh cấp THCS, kể cả những học sinh khá giỏi cũng gặp khó khăn hoặc mắc phải sai lầm khi giải dạng toán này. Điều mong muốn của tôi là làm sao để học sinh không sợ, không mắc sai lầm khi giải phương trình chứa căn thức bậc hai và có thể "hóa giải" dạng bài tập này, giúp các em có những phương pháp giải chung hiệu quả. Chính vì thế, tôi mạnh dạn đưa ra những phương pháp giải phương trình chứa căn thức bậc hai cho học sinh với hy vọng các em sẽ bớt khó khăn khi học dạng toán này, với những dẫn dắt cẩn thận, tỉ mỉ và những lưu ý mà các em dễ mắc sai lầm khi giải toán về phương trình chứa căn bậc hai.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
"Giải phương trình chứa căn thức bậc hai" là một dạng khó, đa số các em không làm được vì không nghĩ ra cách giải. Hơn nữa các em lại lười suy nghĩ nên gặp dạng toán này các em rất lúng túng không xác định được cách giải, khi giải thường mò mẫm dẫn đến thiếu điều kiện, biến đổi không tương đương, bài giải không chặt chẽ. Chính vì vậy bộ phận học sinh không giải được dạng toán này ngày càng nhiều hơn.
Trước khi áp dụng đề tài, tôi đã tiến hành khảo sát một nhóm học sinh có học lực khá giỏi của lớp 9A, năm học 2018 - 2019.
Thời gian khảo sát: Tháng 9 năm năm 2018.
Nội dung khảo sát: Yêu cầu học sinh giải bài tập sau:
Giải các phương trình sau: 	a, = x – 2
	b, 
	c, x2 - = 3
	d, 
Kết quả khảo sát 12 học sinh có học lực khá, giỏi lớp 9A năm học 2018-2019:
Số HS
điểm 9 - 10
điểm 7 - 8
điểm 5 - 6
điểm dưới 5
SL
%
SL
%
Sl
%
SL
%
12
0
0%
1
8%
4
34%
7
58%
Từ kết quả trên cho thấy phương trình chứa căn thức bậc hai là dạng toán mà kể cả những học sinh khá giỏi cũng gặp khó khăn, cũng mắc phải sai lầm khi giải, cũng không tìm được hướng để giải quyết. Làm sao để học sinh giải phương trình chứa căn bậc hai thành thạo, làm sao để các em không còn sợ và không mắc sai lầm khi giải phương trình chứa căn thức bậc hai. Từ mong muốn đó, tôi mạnh dạn đưa ra đề tài: Rèn kĩ năng giải phương trình chứa căn thức bậc hai cho học sinh khá giỏi lớp 9 -Trường THCS Phú Nhuận với hy vọng học sinh sẽ bớt khó khăn khi học dạng toán này.
2.3. Các giải pháp và biện pháp tổ chức thực hiện.
2.3.1. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
Để giải quyết tốt vấn đề nêu trên, tôi đã yêu cầu học sinh cần nắm vững các kiến thức cơ bản liên quan cần sử dụng để giải dạng bài tập này.
* Khái niệm phương trình chứa căn thức bậc hai:
Phương trình chứa căn thức bậc hai là phương trình chứa ẩn trong dấu căn bậc hai.
Ví dụ: = x – 1
* Các bước giải phương trình chứa căn thức bậc hai:
Tìm điều kiện xác định.
Biến đổi đưa phương trình về dạng đã học.
Giải phương trình vừa tìm được.
So sánh kết quả với tập xác định và kết luận.
* Kiến thức về hằng đẳng thức, các phép biến đổi căn bậc hai, một số phương pháp giải phương trình, các bất đẳng thức,.....
* Các phương phương pháp giải phương trình chứa căn thức bậc hai thường gặp.
- Phương pháp nâng lên luỹ thừa.
- Phương pháp đưa phương trình về dạng A2 +B2 = 0.
- Phương pháp đưa phương trình về dạng A2 =B2 (tức là A2-B2 =0).
- Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.
- Phương pháp đặt nhân tử chung.
- Phương pháp dùng biểu thức liên hợp.
- Phương pháp dùng bất đẳng thức.
2.3.2. Áp dụng dạy một số phương pháp giải phương trình chứa căn thức bậc hai cho học sinh khá giỏi lớp 9 và lưu ý một số sai lầm HS thường mắc phải.
2.3.2.1. Phương pháp nâng lên luỹ thừa:
Tôi nhận thấy vận dụng phương pháp rèn luyện để trở thành kỹ năng là một yếu tố cần thiết phải hình thành cho HS. Phương pháp nâng lên luỹ thừa có thể vận dụng vào giải ph­¬ng tr×nh chứa căn thức bậc hai ở c¸c dạng sau:
2.3.2.1.a. Áp dụng giải ph­¬ng tr×nh dạng: (1)
Cách giải
- Tìm ĐKXĐ .
- ĐK bình phương hai vế của phương trình (1) ta được (*).
- Giải phương trình (*) chọn nghiệm thích hợp và kết luận nghiệm của phương trình (1).
Ví dụ 1: Giải phương trình = x – 1 (1) (Sách bài tập Toán 9).
Học sinh đã giải như sau: ĐKXĐ: 
Ta có = x – 1
 hoặc 
Vậy phương trình (1) có nghiệm là x=0 và x=3
Tôi đã yêu cầu học sinh: 1.Tìm lỗi sai lời giải trên. (Học sinh không tìm được)
Tôi tiếp tục yêu cầu: 2. Thay giá trị tìm được của ẩn vào phương trình. Lúc này học sinh đã phát hiện được lời giải bài toán trên sai bởi có một giá trị x= 0 không thỏa mãn.
Vậy nguyên nhân sai do đâu ?
Giá trị vế trái của phương trình như thế nào? (học sinh xác định là không âm)
Giá trị vế phải của phương trình phải thế nào? (học sinh xác định là không âm)
Tôi khẳng định phải có điều kiện cho vế phải của phương trình: 
Học sinh mắc sai lầm khi phương trình tr×nh chỉ đặt điều kiện cho biểu thức dưới dấu căn rồi bình phương 2 vế, tôi lưu ý HS: "Trước khi bình phương 2 vế của phương trình phải đặt điều kiện để hai vế của phương trình không âm".
Tôi yêu cầu học sinh giải lại phương trình trên kết quả là lời giải chính xác.
Nghiệm của phương trình (1) là (vì x = 0 loại)
Tiếp tục yêu cầu học sinh tự khẳng định việc nắm bắt bằng việc giải ví dụ 2
Ví dụ 2: Giải phương trình : = 	(1)
- Điều kiện xác định : (*)
- Bình phương 2 vế của phương trình (1) ta được :
 (2)
Ph­¬ng tr×nh (2) có nghiệm là: 
Kết hợp với điều kiện (*) của phương trình ta có nghiệm của phương trình ®· cho là : 
Phương trình (1) còn có thể giải theo cách khác được không? (Học sinh băn khoăn). Hãy quan sát nhân tử chung có ở 2 vế của phương trình? Lúc này học sinh nhận biết được phương trình đưa được về phương trình tích.
Ta có : 
GV khẳng định cách giải này sẽ được tìm hiểu thêm.
2.3.2.1.b. Áp dụng giải phương trình dạng : 
Cách giải:
- Tìm điều kiện xác định của phương trình 
- Áp dụng phương pháp nâng lên luỹ thừa để khử dấu căn:
Ví dụ: Giải phương trình :
 (1)
Học sinh tiến hành ngay bình phương hai vế phương trình (1), có em tìm không tìm được ĐKXĐ dẫn đến không dám bình phương 2 vế.
Nguyên nhân mắc phải sai lầm là chưa biến đổi phương trình (1) về phương trình nên việc tìm tập xác định có thể không chặt chẽ và phức tạp. Từ tình huống này HS thấy được cần phải biến đổi phương trình (1) về phương trình (2) rồi mới tìm điều kiện xác định cho phương trình, khi đó mới thực hiện nâng lên luỹ thừa. Tôi yêu cầu học sinh thực hành giải ví dụ trên.
- ĐKXĐ của phương trình 
Phương trình (1) 
	(3)
Điều kiện của phương trình (3) là: 
Điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình (1) là: 
Bình phương 2 vế của phương trình (3) ta được :
( chọn )
Vậy nghiệm của phương trình (1) là 
Hiệu quả đầu tiên tôi nhận được là học sinh của mình đã tự giải quyết chính xác điều kiện của phương trình (3) và thấy được sự cần thiết phải đưa phương trình về dạng cơ bản.
2.3.2.1.c. Áp dụng giải phương trình dạng : 
Cách giải : - Điều kiện xác định 
 - Vận dụng phương pháp nâng lên luỹ thừa.
Từ các yêu cầu của hai ví dụ trên hãy giải phương trình sau:
Ví dụ: Giải phương trình : 	(1)
- Điều kiện xác định : 	 (2)
- Bình phương hai vế phương trình (1)ta được:
 (3)
ĐK . Bình phương hai vế phương trình (3) ta được:
 4(-x2 + 15x - 50) = x2 - 8x + 16
 5x2 - 68x + 216 = 0 (4)
Giải phương trình (4) ta được nghiệm: x1 = ; x2 = 
Thỏa mãn điều kiện nghiệm của phương trình (1)
Vậy nghiệm của phương trình (1) là: x1 = ; x2 = 
Với bài giải trên học sinh đã nắm được cách giải, đã khắc phục các lỗi trong trình bày xong vẫn còn chi tiết chưa xử lí được là điều kiện của ẩn : thỏa mãn để hai vế của phương trình (3) không âm. Do vậy chỉ cần kiểm tra điều kiện xác định thỏa mãn để hai vế của phương trình (3) đều không âm rồi bình phương hai vế phương trình (3).
Tôi lưu ý học sinh: có những phương điều kiện xác định thỏa mãn để hai vế của phương trình (3) không âm khi đó chỉ cần kiểm tra và tiếp tục bình phương hai vế của phương trình (3). Như vậy, lời giải sẽ không dài dòng, giảm nhầm lẫn và mất ít thời gian. Lời giải có thể bổ sung là
Rõ ràng điều kiện thì hai vế của phương trình (3) không âm.
Bình phương 2 vế phương trình (3) ta được: 5x2 - 68x + 216 = 0
Từ đó học sinh sẽ khắc sâu được những vấn đề lô gic cần lưu tâm khi giải một bài toán.
2.3.2.1.d) Áp dụng giải phương trình dạng: + = + 
Cách giải:
+ Điều kiện tập xác định:
+ Vận dụng phương pháp nâng lên luỹ thừa
Ví dụ: Giải phương trình : + - - = 0 (1)
 Giải
Phương trình (1) + = + 
- Điều kiện xác định : x (2)
- Bình phương 2 vế ta được phương trình : - = -2
Để lời giải chặt chẽ và tránh được sai sót ta biến đổi phương trình về dạng:
 + 2 = 
Kiểm tra điều kiện x hai vế của phương trình đã không âm chưa?
Học sinh thường bỏ qua điều này dẫn đến lời giải dài dòng, phức tạp.
Dễ thấy với x hai vế của phương trình không âm, ta tiếp tục bình 
phương 2 vế của phương trình, được phương trình mới : = -x (3)
Điều kiện để phương trình (3) có nghiệm là x 0 (4)
Kết hợp điều kiện (2) và (4) ta suy ra nghiệm của phương trình là x = 0
Học sinh thường không nhìn ra điều này mà lại tiếp tục bình phương 2 vế của phương trình (3). Như vậy lời giải rất dài dòng và không cần thiết.
Tóm lại, phương pháp nâng lên luỹ thừa thường được sử dụng vào giải một số dạng phương trình chứa căn thức bậc hai quen thuộc nêu trên. Song trong quá trình giảng dạy tôi chú ý đến việc tìm điều kiện tồn tại căn thức, đây là vấn đề mà học sinh hay mắc sai lầm, chủ quan khi sử dụng phương pháp này. Đồng thời học sinh cần rèn luyện để có kĩ năng vận dụng biến đổi trong một số cách giải khác nữa.
Bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau:
a, 
b, 
2.3.2.2. Phương pháp đưa phương trình về dạng A2 +B2 = 0
Cách giải: - Biến đổi đưa phương trình về dạng A2 +B2 = 0
- Để có A2 +B2 = 0 
Giới thiệu cách giải này với học sinh tôi đã yêu cầu các em nhớ lại các hằng đẳng thức bình phương một tổng, một hiệu và vận dụng thành thạo.
Ví dụ: Giải phương trình sau: 
- ĐKXĐ: 
Vậy: Phương trình có nghiệm là x=-1
Từ ví dụ trên ta thấy khi đưa phương trình về dạng A2 +B2 = 0 học sinh cần có kĩ năng biến đổi để đưa biểu thức về hằng đẳng thức bình phương của một tổng hoặc bình phương của một hiệu.
Học sinh đã có kĩ năng hằng đẳng thức, cách giải này các em dễ phát hiện, dễ biến đổi, dễ làm. Do vậy khi định hướng tôi yêu cầu học sinh quan sát xem có thể đưa phương trình về dạng tổng các bình phương được không nếu không đưa được thì mới chọn cách giải khác.
Bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau:
a, 
b, 
2.3.2.3. Phương pháp đưa phương trình về dạng A2 = B2 (tức là A2 - B2 =0).
Ngoài phương pháp đã nêu trên khi giải các phương trình chứa căn thức bậc hai tôi yêu cầu học sinh biến đổi hai vế về dạng bình phương rồi chuyển về phương trình tích,...
Ví dụ 1: Giải phương trình : 4x2 + 8x = (1)
- Điều kiện xác định : x 
Tôi yêu cầu học sinh biến đổi đưa hai vế của phương trình về dạng bình phương một tổng hoặc một hiệu cụ thể như sau:
- Cộng hai vế của phương trình (1) với biểu thức 2x +6
(1) 
Trường hợp 1: Xét pt: (2)
Điều kiện xác định của phương trình (2): x 
Bình phương hai vế phương trình (2) ta được: 
, thỏa mãn phương trình (2)
Trường hợp 2: Xét pt: 
 (3)
Điều kiện xác định của phương trình (3) x 
Bình phương hai vế phương trình (3) ta được: 
, thỏa mãn phương trình (3)
Vậy phương trình có hai nghiệm:, 
Ví dụ 2: Giải phương trình: x4 + - 2008 = 0
GV yêu cầu học sinh biến đổi tương tự ví dụ trên. Ta phải quan tâm vế phải trước, để đưa vế phải về bình phương cần cộng thêm gì? (Cần cộng thêm biểu thức x2 + ). Ta biến đổi phương trình đã cho về dạng:
x4 = - + 2008
 x4 + x2 + = x2 + 2008 - + 
 (x2 + )2 = ( - )2
- Xét x2 + = - 
- Xét x2 + = +
Bài toán đã quay về bài toán quen thuộc học sinh tự giải quyết.
Cách giải này dễ nhận thấy, dễ biến đổi. Do vậy khi hướng dẫn học sinh tôi quan sát xem có thể đưa phương trình về dạng A2 = B2 được không nếu không đưa được thì mới chọn cách giải khác.
Bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau:
a, 
b, 
2.3.2.4. Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
Khi áp dụng cách giải này tôi yêu cầu học sinh phải biến đổi biểu thức dưới dấu căn về dạng bình phương một tổng hoặc bình phương một hiệu sau đó áp dụng hằng đẳng thức . Khi đó bài toán trở về bài toán giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối đã học.
Ví dụ : Giải phương trình
 + = 5 (1)
Cần biến đổi hai biểu thức dưới dấu căn về dạng bình phương cụ thể là
Khi đó ta có: + = 5
 + = 5
Biểu thức dưới dấu căn không âm, các căn thức luôn xác định với mọi giá trị của biến khi đó điều kiện xác định của phương trình là gì?
Học sinh sẽ xác định: Điều kiện xác định của phương trình là mọi x R
Phương trình (1) + = 5 (2)
Lập bảng xét dấu vế trái của phương trình (2)
x
 4 5
x - 4
- 0 + | +
x - 5
- | - 0 +
VT = |x - 4| + |x - 5|
4 - x + 5 - x | x - 4 + 5 - x | x - 4 + x - 5
+ Với x <4 thì phương trình (2) 4 – x + 5 – x = 5
 -2x = - 4
 x = 2 (chọn)
+ Với 4 thì phương trình (2) x - 4 + 5 – x = 5
 0x = 4 (vô lí)
Vậy phương trình (2) vô nghiệm
+ Với x >5 thì phương trình (2) x – 4 + x – 5 = 5
 2x = 14
 x = 7 (chọn)
Vậy phương trình (1) có nghiệm là x1 = 2 , x2 = 7
Phương pháp này phù hợp với phương trình mà biểu thức dưới dấu căn có dạng bình phương của một tổng hay một hiệu và nó giúp cho học sinh tìm được tập nghiệm của phương trình một cách nhanh, gọn và chính xác.
Bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau:
a, 
b, 
2.3.2.5. Phương pháp đặt nhân tử chung:
Đối với phương pháp đặt nhân tử chung tôi hướng dẫn học sinh biến đổi đưa về phương trình tích A.B=0. Từ đó giải từng phương trình A=0 hoặc B=0.
Ví dụ : Giải phương trình sau: 
Bài toán trên với sự xuất hiện của các căn thức: từ đó học sinh sẽ nghĩ đến việc nhóm nhân tử chung và đưa về phương trình tích cụ thể là:
ĐK: 
Phương trình đã cho tương đương với: 
Giải phương trình: ta được x = 4048135
Giải phương trình: ta được x = -5
Vậy phương trình có nghiệm là: x = 4048135; x = -5
Thông qua ví dụ trên tôi hướng dẫn học sinh thông thường khi sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung các em cần nhìn nhận được nhân tử chung để biến đổi từ đó sẽ đưa bài toán về dạng rất đơn giản, dễ biến đổi và ít sai sót. Cách giải này rất hay gặp do vậy cần phải luyện nhiều để có kĩ năng tốt.
Bài tập vận dụng: Giải các phương trình sau:
a, 
b, 
2.3.2.6. Phương pháp đặt ẩn phụ:
Sai lầm của học sinh là khi gặp phương trình phức tạp, phương trình không quen thuộc thì hoang mang, không tự tin tìm hướng đi tiếp nữa. Song dùng phương pháp đặt ẩn phụ sẽ chuyển một phương trình phức tạp về phương trình đơn giản, từ phương trình không có cách biến đổi về phương trình đã có cách biến đổi dễ dàng... Cụ thể như sau:
Ví dụ 1: Giải phương trình : + - = 2 (1)
- Điều kiện xác định : 
- Đặt ẩn phụ : + = t (2). Điều kiện : t 
Học sinh thường mắc sai lầm là không đặt điều kiện cho ẩn phụ t, cần chú ý rằng điều kiện của t cũng là điều kiện có nghiệm của phương trình (1).
Tôi đã phát huy tính sáng tạo của học sinh bằng cách đặt câu hỏi: tại sao lại đặt ẩn phụ như vậy ?
Với các điều kiện của ẩn x và ẩn t ta bình phương 2 vế của (2):
t2 = x +1 + 3 - x + 2 t2 = 4 + 2
 = (3)
Thay (2) và (3) vào phương trình (1) ta được phương trình:
t2 - 2t = 0 t(t - 2) = 0 t = 0 hoặc t = 2
- Với t = 0 phương trình (1) vô nghiệm
- Với t = 2, ta có : + = 2 (4)
Với điều kiện xác định của phương trình (1) ta bình phương 2 vế của phương trình (4), ta được:
4 + 2 = 4
 = 0
 (x + 1)(3 – x) = 0
 x= -1 hoặc x = 3 (thoã mãn điều kiện của (1))
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là : x1 = -1, x2 = 3
Ví dụ 2: Giải phương trình 
 (Đề thi HSG huyện Nông Cống năm học 2017-2018)
ĐKXĐ: x>0 hoặc x<-1
Ta có: 
Đặt suy ra 
Ta được phương trình (Thỏa mãn)
Theo cách đặt ta được: (thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy: Phương trình có nghiệm x=1
Ví dụ 3: Giải phương trình: 
 (Đề thi HSG Huyện Như