SKKN Rèn kĩ năng tìm hai số biết mối quan hệ giữa ước chung lớn nhất với bội chung nhỏ nhất của chúng cho học sinh lớp 6

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
PHÒNG GD&ĐT THỌ XUÂN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
RÈN KĨ NĂNG TÌM HAI SỐ BIẾT MỐI QUAN HỆ GIỮA ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VỚI BỘI CHUNG NHỎ NHẤT CỦA CHÚNG CHO HỌC SINH LỚP 6.
 Người thực hiện: Phạm Thị Huê
 Chức vụ: Giáo viên
 Đơn vị công tác: Trường THCS Lam Sơn – Thọ Xuân
 SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
`
THANH HOÁ NĂM 2016
I. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài.
Trong chương trình toán THCS, đặc biệt là chương trình số học 6, sau khi học các khái niệm, kiến thức về ước chung lớn nhất (ƯCLN), bội chung nhỏ nhất (BCNN) chúng ta sẽ gặp dạng toán tìm hai số tự nhiên biết một số yếu tố có liên quan đến ƯCLN, BCNN hoặc biết mối quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN với BCNN - đây là một dạng toán khó. Trong quá trình giảng dạy môn Toán 6 tôi nhận thấy: Trong chương trình sách giáo khoa không đề cập đến dạng toán này, có chăng chỉ ở một vài bài tập nhỏ trong sách bài tập. Còn sách tham khảo đã có một số bài dạng này, tuy nhiên các sách này viết chưa lôgic, rời rạc riêng lẻ từng bài. Trong giảng dạy chính khóa, giáo viên và học sinh cũng không có thời gian đề cập đến. Do đó, khi gặp dạng toán này học sinh chưa định hướng được phương pháp giải cụ thể và việc nhận dạng bài tập để phân tích đề bài “áp dụng kiến thức lí thuyết đã biết” còn nhiều hạn chế. Trong khi đó dạng toán này lại xuất hiện nhiều trong các kỳ thi, trong chương trình giải toán qua mạng internet và đặc biệt là trong các kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh.
 	Với thời gian hạn chế mà tài liệu tham khảo lại nhiều, làm sao để các em có thể hiểu được, vận dụng được những kiến thức cơ bản nâng cao về ƯCLN, BCNN, giải được những bài toán khó này? Điều đó đòi hỏi giáo viên phải biết tổ chức, hướng dẫn các em hệ thống những vấn đề lý thuyết, biết tổng hợp, phân loại các dạng toán thường gặp, tìm ra các phương pháp giải sao cho hiệu quả nhất; khi giải các bài toán học sinh phải vận dụng các kiến thức của môn học từ đó khơi dậy tính hứng thú cho học sinh trong học tập. Đặc biệt hơn là dạng toán mà tôi nói ở trên là một phương tiện giúp học sinh phát triển tư duy lôgíc, rèn luyện các kỹ năng phân tích, tổng hợp để phát triển và bồi dưỡng những em có năng khiếu toán học là nhân tài tương lai cho đất nước.
Để giúp các em không gặp khó khăn, lúng túng khi đứng trước dạng toán này và qua nghiên cứu tài liệu tham khảo, thực hiện từng tiết dạy đặc biệt qua quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi nhiều năm tôi đã nghiên cứu và tìm ra một vài biện pháp để tổ chức bồi dưỡng học sinh khối 6 đạt kết quả. 
 	Vì vậy, tôi xin đưa ra kinh nghiệm của bản thân: “Rèn kĩ năng tìm hai số biết mối quan hệ giữa ước chung lớn nhất với bội chung nhỏ nhất của chúng cho học sinh lớp 6” để trao đổi cùng các bạn đồng nghiệp. Tuy nhiên trong phạm vi bài viết này tôi không có tham vọng đề cập hết các khía cạnh của dạng toán này mà chỉ đề cập đến một số dạng bài mà học sinh thường gặp.
2. Mục đích nghiên cứu.
 	Đề xuất các biện pháp rèn kĩ năng tìm hai số biết mối quan hệ giữa ước chung lớn nhất với bội chung nhỏ nhất của chúng cho học sinh lớp 6 nhằm nâng cao chất lượng dạy học môn Toán 6 nói riêng, nâng cao chất lượng giáo dục học sinh nói chung.
3. Đối tượng nghiên cứu
Biện pháp tổ chức rèn luyện kĩ năng tìm hai số biết mối quan hệ giữa ước chung lớn nhất với bội chung nhỏ nhất của chúng cho học sinh lớp 6 đạt hiệu quả cao.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu và thực tiễn thực hiện từng tiết dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6 trong nhiều năm.
- Thu thập kết quả kiểm tra đánh giá việc thực hiện đề tài qua từng năm học. 
- Thảo luận nhóm chuyên môn.
II. NỘI DUNG
1. Cơ sở lí luận
Kỹ năng là năng lực hay khả năng của học sinh thực hiện thuần thục một hay một chuỗi hành động trên cơ sở hiểu biết (kiến thức hoặc kinh nghiệm) nhằm tạo ra kết quả mong đợi. Kỹ năng học được do quá trình lặp đi lặp lại một hoặc một nhóm hành động nhất định nào đó. Kỹ năng luôn có chủ đích và định hướng rõ ràng.
Trong toán học, kỹ năng là khả năng giải các bài toán, thực hiện các chứng minh đã nhận được. Kĩ năng trong toán học quan trọng hơn nhiều so với kiến thức thuần túy, so với thông tin trơn. Truyền thụ tri thức, rèn luyện kĩ năng là nhiệm vụ quan trọng hàng đầu của bộ môn toán trong nhà trường phổ thông. 
Kỹ năng tìm hai số biết mối quan hệ giữa ước chung lớn nhất với bội chung nhỏ nhất của học sinh được hình thành một cách có ý thức do quá trình luyện tập giải các bài toán về ƯCLN, BCNN trên nền tảng kiến thức cơ bản mà có. 
Cũng như bất cứ một kỹ năng nào, kĩ năng tìm hai số biết mối quan hệ giữa ước chung lớn nhất với bội chung nhỏ nhất của học sinh lớp 6 được hình thành nhanh hay chậm, bền vững hay lỏng lẻo đều phụ thuộc vào khát khao, quyết tâm, năng lực tiếp nhận của các em, cách luyện tập kỹ năng đó. Dù hình thành nhanh hay chậm thì kỹ năng đó cũng đều trải qua những bước sau đây:
- Hình thành mục đích, động cơ học tập. Nếu học sinh mong muốn hoàn thiện kỹ năng tính tìm hai số biết mối quan hệ giữa ước chung lớn nhất với bội chung nhỏ nhất để phấn đấu trở thành học sinh khá, giỏi một cách quyết liệt, học sinh sẽ nhanh có được kỹ năng đó.
- Lên kế hoạch chi tiết để hoàn thiện nhóm các kỹ năng cần thiết để phục vụ cho mục đích trên.
- Cập nhật kiến thức liên quan đến kỹ năng tìm hai số biết mối quan hệ giữa ước chung lớn nhất với bội chung nhỏ nhất thông qua việc tự học trong sách giáo khoa, tài liệu tham khảo, các buổi học trên lớp, học bồi dưỡng,  
- Luyện tập kỹ năng tìm hai số biết mối quan hệ giữa ước chung lớn nhất với bội chung nhỏ nhất. Học sinh có thể luyện tập thường xuyên và liên tục ngay trong các giờ học trên lớp hoặc ở nhà 
- Ứng dụng và hiệu chỉnh. Để có kỹ năng tìm hai số biết mối quan hệ giữa ước chung lớn nhất với bội chung nhỏ nhất học sinh phải ý thức giải tốt các bài toán số học trong quá trình học tập ở lớp, ở nhà. 
2. Thực trạng vấn đề
2.1. Đối với giáo viên
- Dạng toán phối hợp giữa ƯCLN của các số với BCNN của chúng là một dạng toán khó dành bồi dưỡng học sinh giỏi nên trong chương trình sách giáo khoa (SGK) rất ít, còn trong các sách tham khảo, sách nâng cao rất nhiều. Tuy nhiên, các tài liệu trên chỉ là những tài liệu tham khảo, giúp giáo viên có thể chuyển đổi một phần thành giáo án mang đi giảng dạy cho học sinh của mình, song chưa có tài liệu nào hệ thống lô gic và phương pháp giải về dạng toán này đủ để đáp ứng nhu cầu ngày càng cao về kiến thức cho học sinh cũng như các kinh nghiệm giải Toán về ƯCLN và BCNN nhằm nâng cao chất lượng dạy học Toán 6. 
- Với thời lượng 45 phút trên lớp không đủ để giáo viên hướng dẫn giải quyết dạng bài tập này.
- Một bộ phận giáo viên nắm kiến thức phần này chưa được sâu nên cũng ảnh hưởng đến việc đi sâu nghiên cứu dạng bài tập này. 
- Qua tìm hiểu tôi nhận thấy khi dạy phần này một số giáo viên chỉ mới hướng dẫn học sinh làm từng bài tập cụ thể một cách rời rạc chưa chú ý phân loại có hệ thống dạng bài tập cho học sinh. Để từ đó hướng cho học sinh có cách giải một dạng bài tập cụ thể.
2.2. Đối với học sinh
- Do thời lượng của chương trình và do đây là dạng toán nâng cao nên học sinh chưa chú trọng, tìm tòi nếu không có hướng dẫn của giáo viên.
- Một bộ phận học sinh chưa ham học, chưa tự giác trong học tập, ngại học dạng bài tập khó.
- Khả năng tư duy toán học của học sinh lớp 6 còn hạn chế. 
- Học sinh chưa xác định rõ phương pháp giải các dạng bài toán này như thế nào hoặc còn mắc sự sai lệch trong nhận dạng loại bài tập này.
2.3. Kết quả của thực trạng
 	Từ thực tế trên để đánh giá đúng khả năng hiểu biết và vận dụng kiến thức đã học để làm bài tập dạng tìm hai số biết mối quan hệ giữa ƯCLN và BCNN của chúng, trước khi thực hiện đề tài tôi đã tiến hành khảo sát đối với đội tuyển học sinh giỏi lớp 6 cấp trường từ năm học 2013–2014 đến năm học này và kết quả thu được như sau:
Năm học
Sĩ số
Giỏi
Khá
Trung bình
Ghi chú
SL
%
SL
%
SL
%
2013- 2014
15
2
13
3
20
10
67
2014-2015
14
2
14
4
29
8
57
2015- 2016
14
3
21
4
29
7
50
 	Kết quả trên cho thấy rằng, hầu hết các em học sinh khá giỏi chưa chủ động, tự giác, chưa có phương pháp tự học tốt nên chưa nắm được các dạng toán và phương pháp giải các dạng toán về ƯCLN, BCNN đặc biệt dạng toán tìm hai số. Do đó, để tiếp tục khẳng định giá trị thực tế của đề tài, trong năm học này tôi đã đề xuất với Ban giám hiệu Nhà trường và tổ chuyên môn cho tôi tiếp tục được phụ trách đội tuyển toán 6 để áp dụng đề tài. Sau khi học xong học kì I năm học 2015 – 2016 tôi đã cho các em làm bài kiểm tra kiểm nghiệm lại đề tài, hình thức khảo sát ra đề kiểm tra 45 phút để tổ chuyên môn duyệt. Báo cáo với Ban giám hiệu Nhà trường tổ chức cho đội tuyển làm bài khảo sát vào thời gian ngoài giờ học chính khóa (cụ thể vào buổi chiều học bồi dưỡng).
 Sau ba năm nghiên cứu và thử nghiệm tôi thấy đề tài của mình đem lại hiệu quả thiết thực, được đồng nghiệp đánh giá cao (kết quả tôi tổng hợp trong mục kết luận của đề tài). 
 	3. Giải pháp thực hiện
 	Qua thực tế giảng dạy môn toán 6 ở trường trung học cơ sở (THCS), tham khảo, nghiên cứu tài liệu kết hợp với các tiết dự giờ thăm lớp của đồng nghiệp tôi đã rút ra được kinh nghiệm để bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6.
 	Để hình thành kĩ năng giải các dạng bài tập cho học sinh tôi kết hợp giữa việc dạy lí thuyết trên lớp với các bài tập điển hình liên quan trong sách giáo khoa, sách bài tập. Dựa vào đặc điểm đề bài giáo viên phân loại các bài tập, hướng dẫn HS giải mẫu và làm các bài tập cùng dạng.
 	Sau khi chọn, phân từng dạng bài, tôi thực hiện theo các giải pháp sau:
Giải pháp 1: Cho học sinh nắm vững cơ sở lý thuyết
Giải pháp 2: Chọn bài tập điển hình của dạng đó có trong sách bài tập hoặc sách tham khảo cho học sinh phân tích đề tìm phương pháp giải và cùng học sinh (HS) giải mẫu những bài cơ bản để cho học sinh nắm được trình tự các bước để làm bài tập (giáo viên chốt lại phương pháp giải chung)
 	Các dạng toán: - Tìm hai số biết ƯCLN và BCNN.
 - Tìm hai số biết ƯCLN hoặc BCNN.
 - Tìm hai số biết tổng (hoặc hiệu) và ƯCLN hoặc BCNN.
 - Tìm hai số biết thương và ƯCLN hoặc BCNN.
 - Toán tổng hợp.
Giải pháp 3: Giáo viên ra các bài tập tương tự hoặc với mức độ cao hơn để học sinh luyện tập ngay tại lớp, giáo viên chuẩn lại kiến thức và phần trình bày cho học sinh (giải pháp 2 và giải pháp 3 tôi lồng vào nhau khi thực hiện đề tài).
Giải pháp 4: Giáo viên ra các bài tập của dạng cho học sinh làm ở nhà (có thể thu vở của vài học sinh để chấm lấy điểm, tạo hưng phấn cho học sinh luyện tâp, hình thành kĩ năng).
Sau đây tôi xin trình bày cụ thể việc tổ chức thực hiện các giải pháp trong đề tài: 
3.1. Cung cấp cho học sinh các kiến thức có liên quan.
a) Kiến thức ở sách giáo khoa toán 6 có liên quan.
- Bội – Ước: Nếu có số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b ta nói a là bội của b, còn b là ước của a.
* Ước chung (ƯC): Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.
* Bội chung (BC): Bội chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.
* ƯCLN của 2 hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ƯC của các số đó.
* Hai hay nhiều số có ƯCLN bằng 1 gọi là các số nguyên tố cùng nhau.
b) Kiến thức nâng cao:
* Cho ƯCLN (a, b) = d. Nếu chia a và b cho d thì thương của chúng là những số nguyên tố cùng nhau.
* Mối quan hệ đặc biệt giữa ƯCLN của hai số a, b (kí hiệu (a,b)) và BCNN của hai số a, b (kí hiệu [a, b]) với tích của hai số a và b là:
 a . b = (a, b) . [a, b]. 
	 (*)
Chứng minh: Đặt (a, b) = d a = md và b = nd với m, n N, (m, n) = 1
 	Từ (I) ab = mnd2; [a, b] = mnd (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd2 = ab. 
Vậy ab = (a, b) [a, b].
* BCNN(k.a, k.b) = k.BCNN(a; b) với mọi a, b, c N*.
* Nếu ab m mà (a, m) = 1 thì b m.
	GV cần lưu ý cho học sinh:
- Muốn tìm ước chung của các số đã cho, ta có thể tìm các ước của ƯCLN của các số đó.
- ƯCLN của n số a1, a2, ..., an ký hiệu là ƯCLN(a1, a2, ..., an) hay (a1, a2, ..., an)
- BCNN của n số a1, a2, ..., an ký hiệu là BCNN(a1, a2, ..., an) hay [a1, a2, ..., an]
- Muốn tìm bội chung của các số đã cho, ta có thể tìm các bội của BCNN 
của các số đó.
- Nếu ta nhân hay chia (trường hợp chia hết) cả hai số với cùng một số tự nhiên khác 0 thì ƯCLN của chúng cũng nhân hay chia với số đó.
- Khi chia BCNN của nhiều số cho mỗi số đó ta được các thương là những số nguyên tố cùng nhau.
- Nếu a m và a n thì a BCNN(m, n). Từ đó suy ra:
- Nếu một số chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau thì nó cũng chia hết cho tích của chúng.
- Nếu một số chia hết cho các số nguyên tố cùng nhau đôi một thì nó chia hết cho tích của chúng.
3.2. Hướng dẫn giải một số bài toán mẫu:
Dạng 1: Biết (a, b) và [a, b] tìm a và b.
Bài 1: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết (a, b) = 15; [a, b] = 300
 	GV Hướng dẫn sử dụng công thức: a.b = (a, b) . [a, b] và sử dụng định nghĩa ước chung của hai số cùng tính chất về ƯCLN của chúng: Cho ƯCLN (a, b) = d. Nếu chia a và b cho d thì thương của chúng là những số nguyên tố cùng nhau. Từ đó lập mối quan hệ giữa hai thương rồi suy ra a và b.
Giải: Áp dụng công thức: a.b = (a, b).[a, b] ab = 300.15 = 4500	(1)
* Do vai trò của a, b như nhau, không mất tính tổng quát ta giả sử a < b. Vì (a, b) = 15 nên a = 15m, b = 15n, với m, n Î N* và (m, n) = 1, m < n (2)
	Từ (1) suy ra: 15m . 15n = 4500 nên m . n = 20 (3) 
 	Đến đây, để tính được a, b thì phải tính được m, n. Vậy HS phải biết kết hợp (2) và (3) tìm ra m, n (nghĩa là m, n là ước của 20 và là cặp số nguyên tố cùng nhau). Từ đó tính được a và b.
	Kết hợp (1), (2) và (3) ta lập bảng biểu thị mối quan hệ giữa a, b, m và n như sau:
m
n
a
b
1
20
15
300
4
5
60
75
 Vậy 2 số tự nhiên a và b cần tìm là: 15 và 300; 60 và 75
Nhận xét: Ta thấy: ƯCLN(a,b) = ƯCLN(b,a); BCNN(a, b) = BCNN(b, a) nên ta có thể hoán đổi vị trí của a, b cho nhau. Nói cách khác a và b có vai trò 
như nhau trong bài toán. 
 GV chú ý hướng dẫn HS kết hợp điều kiện để lập bảng biểu thị mối quan hệ giữa hai thương m, n rồi tìm a, b để gọn và không nhầm.
 	 GV thay đổi một điều kiện của đề bài, tương tự cách suy nghĩ và hướng giải bài tập trên, HS làm tiếp dạng biết tích của hai số a, b và [a, b] hoặc (a, b).
Dạng 2: Biết tích của 2 số a và b và [a, b] hoặc (a, b).
Bài 2: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: ab = 216 và (a, b) = 6
 	Tương tự như bài toán trên HS lập luận để lập bảng biểu thị mối quan hệ 
giữa m, n, a và b
 	Giải 
 Do vai trò của a, b như nhau, không mất tính tổng quát ta giả sử a b.
Vì (a, b) = 6 a = 6m; b = 6n với m, n Î N*, (m, n) = 1 và m < n (1) 
 Khi đó ab = 6m.6n = 36mn. 
 Theo đề ra: ab = 216 nên 216 = 36mn mn = 6 (2)
Kết hợp (1) và (2) ta lập bảng xét các giá trị tương ứng giữa m, n, a và b như sau:
m
n
a
b
1
6
6
36
2
3
12
18
	Vậy 2 số tự nhiên a và b cần tìm là: 6 và 36; 12 và 18
Nhận xét: - Do vai trò của a, b như nhau nên ta có thể kết luận bài toán như sau: Cặp số (a, b) cần tìm: (6; 36) ; (36; 6) ; (12; 18) ; (18; 12) 
- Ta có thể áp dụng phương pháp giải này cho bài toán tìm hai số biết tích và BCNN của chúng.
Bài 3: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: ab = 180; [a, b] = 60
 	 Tương tự dạng trên: bài toán có 3 yếu tố a.b, (a, b), [a, b], trong bài này biết hai yếu tố a.b, [a, b], HS thường lúng túng khi đề bài cho BCNN, GV gợi cho các em là lúc cần sử dụng công thức a.b = (a, b) . [a, b] để tìm ƯCLN(a, b), đưa bài toán về dạng ban đầu.
Giải: 
Từ a.b = (a,b) . [a, b] (a, b) = 
 	Do vai trò của a, b như nhau, không mất tính tổng quát ta giả sử a b, vì (a, b) = 3 nên a = 3m, b = 3n với m, n Î N*(m, n) = 1 và m < n.(1) 
 	Suy ra a.b = 3m . 3n = 9mn vì ab = 180 nên 180 = 9mn mn = 20.(2)
 	Từ (1) và (2) ta lập bảng biểu thị mối quan hệ giữa m, n, a và b như sau:
m
n
a
b
1
20
3
60
4
5
12
15
	Vậy 2 số tự nhiên a và b cần tìm là: 3 và 60; 12 và 15.
Nhận xét: Ta có thể áp dụng phương pháp giải này cho bài toán tìm hai số biết tổng, hiệu, thương và BCNN hoặc ƯCLN của chúng.
 	Dạng 3: Biết tổng hoặc hiệu của 2 số a, b và [a, b] hoặc (a, b)
Bài 4: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết a + b = 128 và (a, b) = 16
 	Đề bài đã thay điều kiện tích của hai số bằng tổng của hai số, HS thường gặp khó khăn vì các em đang quen sử dụng công thức a.b = (a, b).[a, b]. GV chỉ rõ cho HS điều kiện tích đã thay thành tổng, hãy viết công thức tổng quát của a, b rồi thay vào điều kiện tổng, thực hiện bình thường như các bài tập trên.
Giải: 
Do vai trò của a, b như nhau, không mất tính tổng quát ta giả sử a < b khi đó a = 16m; b = 16n với m, n Î N*, (m, n) = 1 và m < n. (1)
 Vì a + b = 128 nên 16m + 16n = 128 16 (m + n) = 128 m + n = 8 (2) 
	Từ (1) và (2) ta lập bảng xét các giá trị tương ứng của m, n, a và b như sau:
m
n
a
b
1
7
16
112
3
5
48
80
	Vậy 2 số tự nhiên a và b cần tìm là: 16 và 112; 48 và 80
Bài 5: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết a + b = 42 và [a, b] = 72.
	Giải 
 Đặt (a, b) = d suy ra a = md, b = nd với m, n Î N*; (m, n) = 1. 
 Do vai trò của a, b như nhau, không mất tính tổng quát ta giả sử a < b, khi đó m < n. 
 Ta có: a + b = d(m + n) = 42	(1)
	 [a, b] = dmn = 72	(2)
 	Từ (1) và (2) d Î ƯC (42, 72) mà ƯCLN (42, 72) = 6 d Î Ư(6)
 nên d Î {1; 2; 3; 6}.
 	Lần lượt thay các giá trị của d vào (1) và (2) để tính m, n ta thấy chỉ có d = 6 là thoả mãn.
	Suy ra: m + n = 7 và m . n = 12
	Chỉ có m = 3 và n = 4 là thoả mãn. Khi đó a = 18 và b = 24. Vậy 2 số tự nhiên a và b cần tìm là: 18 và 24.
 Nhận xét: Ta có thể không cần lập bảng xét các giá trị của m, n, a và b mà 
chỉ cần lập luận, thay và tìm giá trị thỏa mãn. Tuy nhiên, việc lập bảng xét các 
giả trị tương ứng cho ta thấy gọn và không bị nhầm lẫn. 
Bài 6: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: 
a, b < 200 và a - b = 90; (a, b) = 15.
Giải: Vì (a, b) = 15 nên a = 15m, b = 15n với (m, n) = 1 và m > n
 Ta lại có a – b = 9015 (m – n) = 90 m – n = 6
 	Đến đây HS thường gặp khó khăn vì nghĩ rằng không thể tìm hết giá trị của m, n thỏa mãn điều kiện đề cho, do các em quên mất điều kiện a, b < 200. Giải quyết tiếp như sau:
 Do a = 15m < 200 nên m < 14.
Lập bảng:
m
n
a
b
13
7
195
105
11
5
165
75
7
1
105
15
	Vậy hai số tự nhiên cần tìm là: a = 195	a = 165	a = 105
	b = 105	b = 75	b = 15
 Nhận xét: Trong dạng bài này a và b có vai trò khác nhau vì a – b = 90, nếu hoán đổi vị trí a và b cho nhau thì b – a 90. Do đó, ta cần xét hết các giá trị của n, m, a, b (HS thường nhầm lẫn vì kết luận a và b như các bài tập trên). 
Bài 7: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết a – b = 7 và [a, b] = 140
Giải: 
 Đặt (a, b) = d suy ra a = md, b = nd với m, n Î N*; (m, n) = 1
	 Do đó: a – b = d (m – n) = 7 (1) (a > b m > n)
	 Áp dụng công thức: a.b = (a,b) . [a, b] suy ra [a, b] = = 
	 [a, b] = mnd = 140 (2)
 	HS thường vướng mắc trong việc kết hợp được hai điều kiện trên để tìm ra mối quan hệ của m, n và d, do đó trong quá trình giảng dạy GV cần cho học sinh phân tích kết hợp các điều kiện tìm mối quan hệ đó. GV hướng dẫn HS tiếp tục như sau: 
 Từ (1) và (2) d Î ƯC (7, 140) mà ƯCLN (7, 140) = 7 
 d Î Ư(7) = {1, 7}.
Thay các giá trị của d và (1) và (2) để tính m, n ta được kết quả duy nhất: 
d = 7 và m – n = 1 ; khi đó 
 	Vậy 2 số tự nhiên cần tìm là: a = 35; b = 28
Dạng 4: Biết thương của a, b và ƯCLN hoặc BCNN
Bài 8: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết và (a, b) = 5
 	Tương tự bài toán ở dạng 2, HS làm được bài toán biết thương của hai số.
Hướng dẫn: 
Do (a, b) = 5 a = 5m, b = 5n với m, n Î N*, (m, n) = 1 
nên .
Vì (m,n) = 1 nên m = 13, n = 5. Khi đó a = 13.5 = 65; b = 5.5 = 25.
	Vậy 2 số cần tìm là: a = 65; b = 25
Nhận xét: Ta có thể áp dụng phương pháp giải này cho bài toán tìm hai số biết thương và BCNN của chúng.
Bài 9: Tìm 2 số tự nhiên a và b biết: và [a, b] = 140
Giải: 
Đặt (a, b) = d a = m.d, b = nd với (m, n) = 1 và m, n Î N*
	Vì (m,n) = 1 m = 4; n = 5
	Áp dụng công thức: a.b = (a,b) . [a, b] suy ra [a, b] = = 
	 [a, b] = mnd = 140 (2)
 140 = 4.5.d
 140 = 20.d
 d = 7
	 Khi đó a = 4.7 = 28; b = 5.7 = 35
	 Vậy 2 số cần tìm là a = 28; b = 35
Nhận xét: Từ cách giải các dạng toán trên, ta có thể giải bài toán tổng hợp tìm hai số biết thêm một hoặc nhiều điều kiện liên quan.
Dạng 5: Toán tổng