SKKN Phương pháp phát hiện và chứng minh giả thiết quy nạp toán học

MỤC LỤC
 Trang
I. MỞ ĐẦU 
 1.1.Lí do chọn đề tài 1
 1.2. Mục đích nghiên cứu  1
 1.3.Đối tượng nghiên cứu  1
 1.4.Phương pháp nghiên cứu ... 2
 1.5.Những điểm mới của SKKN.. 2
II. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm  2
 2.1.1. Phương pháp quy nạp.. 2
 2.1.2. Nguyên lí quy nạp toán học .. 2
 2.1.1a) Tiên đề .... 2
 2.1.1b) Định lí  2-3
 2.1.3. Hai bước của nguyên lí quy nạp toán học.. 3-6
 2.1.4. Giai đoạn quy nạp và giả thiết quy nạp.. 6
 Dạng 1: Bài toán tính tổng ... 6-10
 Dạng 2: Xác định công thức của dãy số . 11-12
 2.1.5. Bước quy nạp được xác định trên P(k) .. 13
 2.1.6. Bước quy nạp được xác định trên P(k+1)... 13
 2.1.7. Áp dụng dãy số vào các bài toán thực tiễn... 14
 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN. 15
 2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.. 15
 2.4. Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục 15
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.
 3.1.Kết luận . . 17
 3.2. Kiến nghị  17
I. MỞ ĐẦU.
 1.1.Lí do chọn đề tài : 
 Một phương pháp rất mạnh trong toán học dùng nghiên cứu và chứng minh các giả thuyết là nguyên lý quy nạp toán học . Có vô số các ví dụ trong các môn học ở chương trình phổ thông dùng nguyên lý này để diễn tả và mô tả . Nhưng để hiểu thấu đáo về kỹ thuật áp dụng trong học tập , sáng tạo rất ít sách được bàn tới hoặc có đề cập đến thì cũng chỉ nằm ở mức độ giản đơn. Khi học bộ môn giải tích ở lớp 11 phần lớn học sinh không nắm vững phương pháp chứng minh quy nạp và nguyên lý của bài toán quy nạp một cách cặn kẽ dẫn đến làm toán với chủ đề này không được như ý . Một lớp bài toán là tính tổng , bài toán xác định số hạng tổng quát của một dãy số hay nói khác đi là bài toán tìm kiếm giả thiết quy nạp toán học Như vậy thực tiễn đặt ra là phải có cách nhìn nhận và tiếp cận tốt hơn về bài toán chứng minh quy nạp toán học nói chung và bài toán tìm ra giả thiết quy nạp nói riêng . 
 Thông qua việc trực tiếp giảng dạy và dự giờ của đồng nghiệp tôi nhận thấy kiến thức về phương pháp quy nạp của học sinh lớp 11 còn nhiều hạn chế , các em rất lúng túng và gặp nhiều khó khăn khi giải nhửng bài toán liên quan đến nguyên lý quy nạp , bài toán liên qua đến xây dụng giả thiết quy nạp . Điều đó khiến tôi phải suy nghĩ và tìm tòi phương pháp phù hợp và dễ hiểu đối với trình độ và kiến thức của học sinh . Xuất phát từ tầm quan trọng của nội dung , tính phức tạp hoá gây nên sự trở ngại cho học sinh trong quá trình tiếp cận với phương pháp quy nạp toán học Cùng với việc giúp đỡ học sinh học tập tốt và vận dụng nội dung này trong học toán một cách hiệu quả nhất cũng như với hy vọng giúp học sinh khắc phục những yếu điểm kể trên , nắm vững phương pháp quy nạp , từ đó giúp học sinh giải những bài toán bằng phương pháp quy nạp toán học nói riêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập mộn toán nói chung tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến “Phương pháp phát hiện và chứng minh giả thiết quy nạp toán học ”
1.2. Mục đích nghiên cứu: 
 Xuất phát từ tầm quan trọng của phương pháp chứng minh quy nạp toán học , tính phức tạp của việc áp dụng nguyên lý quy nạp toán học gây nên trở ngại cho học sinh trong quá trình tiếp cận . Cùng với sự tích luỹ kinh nghiệm có được của bản thân qua những năm giảng dạy . Kết hợp với những kiến thức mà tôi đã lĩnh hội được trong chương trình Đại học toán nên tôi mạnh dạn chọ đề tài này.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
 Khi học sinh học chủ đề “phương pháp quy nạp toán học” những kiến thức sau học sinh thường thấy khó là:
Nguyên lí quy nạp toán học 
Giai đoạn quy nạp và giả thiết quy nạp
 Phát hiện giả thiết quy nạp
 Hai bước của nguyên lý quy nạp toán học
1.4.Phương pháp nghiên cứu: 
 Xây dựng khung phương pháp chung cụ thể , rõ ràng . Trên cơ sở đó đưa ra
những bài toán liên quan đến áp dụng nguyên lý quy nạp toán học phù hợp với
 hoạt động năng lực , tư duy và kĩ năng vận dụng kiến thức của học sinh để giải quyết triệt để những vướng mắc của học sinh gặp phải.
Phương pháp phân tích ,tổng hợp
Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
II. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
 Phương pháp quy nạp rất hay được dùng trong nghiên cứu khoa học cũng như trong quá trình học tập môn toán ở trường THPT . Vì lí do đó nên chúng ta phải hiểu phương pháp quy nạp thế nào đó và đặc biệt là áp dụng thế nào để nhận được điều chân lí của toán học. 
 Với mục đích giúp cho học sinh thấy rằng toán học là rất gần gũi với cuộc sống xung quanh, hoàn toàn rất thực tế và việc tiếp thu các kiến thức toán ở nhà trường không chỉ để thi cử mà nó còn là những công cụ đắc lực để giúp các em giải quyết các vấn đề, tình huống đơn giản trong thực tế.
2.1.1. Phương pháp quy nạp.
 Để chứng minh mệnh đề liên quan đến số tự nhiên là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được thì có thể làm như sau:
Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với .
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kì (gọi là giả thiết quy nạp ) , chứng minh rằng nó cũng đúng với Đó là phương pháp quy nạp toán học , hay còn gọi tắt là phương pháp quy nạp. [2]
 Người ta thường phân biệt hai hình thức suy luận , đó là suy diễn và quy nạp.
“ Suy diễn hay còn gọi là phép suy diễn là đi từ cái chung đến cái riêng , từ tổng quát đến cụ thể” , “còn quy nạp hay còn gọi là phép quy nạp lại đi từ cái riêng đến cái chung , từ cụ thể đến tổng quát”. [2]
2.1.2. Nguyên lí quy nạp toán học.
 Để ngắn gọn ta kí hiệu một khẳng định toán học là , ở đây là một biến số Người ta thường đưa về dạng mệnh đề:
 “Với mọi (trong một tập S nào đó ),”. Trong sáng kiến này ta lấy là những số tự nhiên . S là tập các số tự nhiên ( bao gồm toàn bộ các số nguyên dương). Ta sử dụng một tính chất rất quan trọng của tập số tự nhiên , thường người ta công nhận như một tiên đề (được gọi là tiên đề thứ tự ). 
2.1.2a) Tiên đề: 
 Trong một tập hợp khác rỗng của những số tự nhiên có một phần tử nhỏ nhất.
Cho mỗi số tự nhiên ứng với một khẳng định . Ví dụ , với 1 ta cho tương ứng khẳng định P(1): “ Số 1 là số lẻ”, số 2 cho tương ứng với :”Số 2 là là một số chẵn”;Bằng tương ứng như vậy chúng ta tạo ra dãy khẳng định riêng Nguyên lý quy nạp toán học cho ta một phương pháp kiểm tra khẳng định đúng hoặc sai với mọi . Nguyên lý quy nạp toán học được thể hiện qua định lí sau. [1]
2.1.2b) Định lí: 
 Cho là một số nguyên dương và là mệnh đề có nghĩa với mọi số tự nhiên . Nếu
là đúng và
Nếu đúng , thì cũng đúng với mỗi số tự nhiên , khi đó mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên . [1]
Chứng minh: 
 Ta sẽ chứng minh định lí bằng phương pháp phản chứng. Giả sử ngược lại , mệnh đề khẳng định trong định lí không đúng với một số tự nhiên nào đó . Nghĩa là tồn tại một số tự nhiên , mà không đúng . Ta lấy số tự nhiên nhỏ nhất mà không đúng (điều này thực hiện được do tiên đề thứ tự). Theo điều kiện A), ta có bất đẳng thức , từ đó suy ra . Từ bất đẳng thức vừa lập và cách chọn số tự nhiên suy ra là đúng , nhưng nó không kéo theo được đúng cho số tiếp theo . Điều này trái với giả thiết B).
 Xuất phát từ mệnh đề khẳng định với các trường hợp riêng , chẳng hạn như các số 1,2, hoặc 3 có thể nảy sinh giả thiết mệnh đề đúng đúng với mọi số tự nhiên Sau đó để chứng minh giả thiết của ta vừa xây dựng người ta lí luận theo nguyên lí quynạp toán học . Theo định lí trên phương pháp này gồm hai bước , thứ nhất ta kiểm tra khẳng định một tính chất với , gọi là bước cơ sở ; sau đó chứng minh rằng nếu với mỗi, thoả mãn tính chất đã biết , thì suy ra cũng có tính chất ấy , gọi là bước quy nạp . Kết luận là có tính chất đã cho với mọi . Cách chứng minh theo quy nạp toán học là tránh cho ta phải kiểm tra vô hạn bước các khẳng định của mệnh đề.
2.1.3. Hai bước của nguyên lý quy nạp toán học.
 Như ta đã biết nguyên lý quy nạp toán học gồm hai phần , việc kiểm tra cả hai cần được sáng tỏ khi áp dụng nguyên lý . Nếu ta bỏ đi một trong hai điều kiện kiểm tra đó , thì ta sẽ nhận được những kết quả sai. Thông qua các ví dụ sau để minh hoạ và hiểu thấu đáo điều này hơn.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên đều bằng số tự nhiên
 liền sau [1]. 
Lời giải: 
Ta chứng minh theo phương pháp quy nạp toán học .
Giả thiết rằng mệnh đề đúng với số tự nhiên nào đó , nghĩa là 
 .
Ta sẽ chứng minh đẳng thức sau đúng
Thật vậy , theo giả thiết quy nạp cộng hai vế đảng thức với 1 , ta nhận được 
Như vậy khẳng định đúng với thì nó đúng với , do đó mệnh đề bài toán đúng với mọi số tự nhiên .
Hệ quả của bài toán này là tất cả các số tự nhiên đều bằng nhau . Điều này thật vô lí Vậy cách chứng minh sai ở đâu? Dễ dàng thấy ngay trong chứng minh áp dụng nguyên lý quy nạp toán học nhưng bỏ qua kiểm tra .
Điều kiện A) và B) trong định lí ở mục 2.1.1b) có một ý nghĩa đặc biệt.
Điều kiện A) tạo ra cơ sở để thực hiện quy nạp.
Điều kiện B) đưa ra nguyên tắc cho việc mở rộng vô hạn trên cơ sở điều kiện A) Nguyên tắc đi từ trường hợp riêng này sang trường hợp riêng khác ; từ đến . Trong ví dụ 1 này ta không kiểm tra điều kiện A) của định lí ở mục 2.1.1b), nên không tạo ra cơ sở để thực hiện quy nạp , vì vậy không có nghĩa gì khi thực hiện kiểm tra điều kiện B) của định lí này, thực chất là không có gì để mở rộng cả. 
Ta xét thêm ví dụ sau:
Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên bất đẳng thức sau đúng
 . [2]
Lời giải:
Giả thiết bất đẳng thức đúng với , với là một số tự nhiên nào đó , nghĩa là ta có:
 . (1.1)
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức (1) đúng với 
 (1.2)
Thật vậy , là một số không nhỏ hơn 2 với mọi số tự nhiên . Ta cộng vế trái của (1.1) với và cộng vế phải của (1.1) với 3 . Ta nhận được
 .
Nghĩa là 
 .
Bài toán đã được giải xong.
 Tất nhiên ví dụ này cũng mắc sai lầm như ví dụ trước do không kiểm tra bước cơ sở . Thực chất của cách chứng minh trên là bất đẳng thức đúng với , nếu nó đúng với Điều này không suy ra bất đẳng thức đúng với ít nhất một giá trị nào của , chứ chưa nói tới với mọi số tự nhiên .
 Như ta có thể thử với bất đẳng thức sai . Với thì bất đẳng thức đúng . Giá trị số tự nhiên nhỏ nhất bất đẳng thức (1) đúng (điều kiện A) với và lặp lại cách chứng minh ở trên từ giả thiết (1) đúng với suy ra nó đúng với ( điều kiện B) . Vì vậy theonguyên lý quy nạp toán học ta có kết luận bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên - chứ không phải với mọi số tự nhiên n như đề bài ra).
 Trong việc áp dụng phương pháp quy nạp toán học mà chỉ chứng minh điều kiện A) của định lí ở mục 2.1.1 b) thì mới chỉ đưa ra bước cơ sở để quy nạp chứ không có nguyên tắc nào để mở rộng cơ sở đó . Để minh chứng cho điều này ta xét ví dụ sau: 
Ví dụ 3: Chứng minh rằng nhứng giá trị của hàm số với là những số nguyên tố. [1]
Lời giải: Ta tính 
Ta có thể tính toán tiếp tục giá trị của cho tới , tất cả giá trị này đều là số nguyên tố . Nhưng với ta có .
Kết quả không phải là số nguyên tố , nên kết luận của bài toán là không đúng .
 Như vậy ta thấy một mệnh đề có thể đúng với 40 trường hợp riêng , nhưng không đúng với mọi trường hợp nói chung. [4]
Ví dụ 4: Đa thức , với là số tự nhiên dương . Đa thức này liên quan đến bài toán hình học chia đường tròn ra thành n phần bàng nhau , nên đa thức này được rất nhiều lĩnh vực toán học nghiên cứu và đề cập đến . Đặc biệt các nhà toán học quan tâm tới vấn đề phân tích đa thức này thành các thừa số là các đa thức với hệ số nguyên , liệu điều đó còn đúng với mọi n? [1]
Lời giải: 
Bằng cách khai triển các trường hợp riêng , các nhà toán học nhận thấy rằng tất cảc các hệ số trong các thừa số được khai triển có giá trị tuyệt đối không quá 1 . Chẳng hạn:
Những cố gắng chứng minh điều nghi ngờ đúng với mọi n của các nhà toán học không thành công . Một thời gian sau , nhà toán học Nga V.Ivanov(năm 1941) chỉ ra rằng với đa thức , điều nghi ngờ chỉ đúng với các trường hợp nhỏ hơn 105. Vì với n=105 , một thừa số của là
Thừa số này không có tính chất của các đa thức mà các nhà toán học muốn.
Ví dụ 5: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n mệnh đề sau đây đúng :” Nếu a và b là những số tự nhiên dương , mà thì [1]
Lời giải:Bước cơ sở: Với mỗi n kí hiệu là mệnh đề của bài toán đã cho . Rõ ràng là đúng , vì nếu , thì hai số và b phải bằng nhau và bằng 1. ( do a và b là số tự nhiên dương).
Bước quy nạp: Giả sử là đúng . Nếu a và b là những số tự nhiên sao cho . Ta xét hai số khi đó , từ đó suy ra , vì giải thiết là đúng , do đó , nghĩa là cũng đúng . Theo nguyên lý quy nạp toán học đúng với mọi số tự nhiên n.
Hệ quả: Cho và là hai số tự nhiên bất kì . Ta chứng minh được , mà k là một số tự nhiên . Theo ví dụ trên đúng với mọi n , thì nó cũng đúng với . Từ đó suy ra , nghĩa là tất cảc các số tự nhiên đều bằng nhau. Thật vô lý!
 Trong ví dụ trên cách chứng minh sai ở đâu? Ta xem lại toàn bộ cách chứng minh và nguyên lý quy nạp toán học . Bước quy nạp trong chứng minh không nhắc tới điều kiện , bước quy nạp chuyển tiếp từ sang . Thực tế trong tính toán chứng minh không đảm bảo .
 Trên đây là những ví dụ minh chứng cho việc chứng minh bằng phương pháp quy nạp phải tuân thủ nghiêm ngặt nguyên lý quy nạp toán học gồm hai phần - việc kiểm tra cả hai cần được thực hiện đầy đủ.
2.1.4. Giai đoạn quy nạp và giả thiết quy nạp .
 Phương pháp quy nạp toán học rất hay được áp dụng trong nghiên cứu và tìm tòi trong toán học , các nghành khoa học . Để hiểu cách áp dụng phương pháp quy nạp cho đầy đủ , ta xem xét một số ví dụ sau đây như một phép “suy luận có lý” mà G.Polya đã đề cập.
Dạng 1: Bài toán tính tổng
Phương pháp chung: 
Sử dụng phương pháp quy nạp bằng việc thực hiện các bước :
Bước 1: Viết một vài tổng đầu tiên , từ đó dự đoán cho công thức.
Bước 2: Chứng minh công thức dự đoán bằng phương pháp quy nạp.
Ví dụ 6: 
Cho trước một số tự nhiên n. Hãy tìm tổng các số tự nhiên .
Lời giải: 
Ta kí hiệu là tổng phải tìm , nghĩa là . 
Ta hy vọng là tìm ra công thức ngắn gọn để tính tổng trên , công thức đó giúp ta tính nhanh , gọn hơn là phải thực hiện lần lượt các phép cộng trong tổng . Ta cũng biết đây là cấp số cộng , học sinh đã biết về cấp số này , thì ta có thể có ngay công thức tính tổng . Nhưng ở đây ta muốn minh hoạ quá trình áp dụng nguyên lí quy nạp toán học nên những điều đã biết về cấp số cộng ta bỏ qua, coi như chưa biết. 
Ta tính tổng với một vài số tự nhiên liên tiếp , chẳng hạn bắt dầu từ 1.Những kết quả tính toán của các trường hợp riêng ta xếp vào bảng:
1
2
3
4
5
6
1
3
6
10
15
21
Mục đích của ta là tìm được quy luật chung ( khẳng định chung), với bảng trên , mỗi số tự nhiên ở hàng trên trong bảng cho ta tương ứng với các số ở hàng dưới ; Tìm ra quy luật của một bài toán phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố: sự khéo léo trong quan sát , sự nhạy cả dự đoán và kiểm tra của ta ; từ các kinh nghiệm đã trải qua trong tính toán các bài toán tương tự , từ khả năng liên hệ bài toán tương tự với điều kiện mới,
 Trên bảng trên ta dễ thấy quy luật : Tích của hai số liên tiếp ở hàng trên bằng 2 lần số đầu tiên tương ứng ở hàng dưới . Thật vậy 1.2=2.1, 2.3=2.3 , 3.4=2.6 , 4.5=2.10, 5.6=2.15. Như vậy giai đoạn quy nạp của chúng ta đã thành công – đó là tìm quy luật với các trường hợp riêng 
 Tiếp tục một cách tự nhiên là mở rộng quy luật trên cho bảng với các số tự nhiên bất kì . Ta đưa ra giả thiết thích hợ với quy luật vừa tìm được . Đặt .(*) 
Một giả thiết ta đã làm như vậy được gọi là giải thiết quy nạp. Nhưng câu hỏi đặt ra là đẳng thức (*) có đúng với mọi hay không? Rõ ràng nếu (*)đúng với mọi số tự nhiên thì bằng cách thay bằng ta sẽ có đẳng thức :
 (**)
Trái lại , giả thiết (*) là đúng với mọi 
Điều này không có cách nào khác là phải áp dụng nguyên lý quy nạp toán học. Nghĩa là ta phải kiểm tra những điều kiện A) và B) của định lí trên - ở mục 2.1.1b)
Bước cơ sở: Với công thức (*) đúng ( nó còn đúng cho cả ).
Bước quy nạp: Bây giờ chúng ta chứng minh cho công thức (*)đúng cho cả điều kiện B). Với mục đích đó ta giả thiết công thức (*)đúng với một số nào đó và sẽ chứng minh đẳng thức (*)đúng với . Ta biến đổi:
Kết quả là (*)đúng với . Theo nguyên lý quy nạp toán học công thức (*) đúng với mọi 
Tóm lại , qua ví dụ đơn giản trên ta thấy các bước quá trình tìm tòi và chứng minh nguyên lý quy nạp toán học. 
 Ví dụ 7: Tính tổng 
 với [1] 
Lời giải: Việc trước tiên ta phải tìm ra công thức giả thiết quy nạp cho tổng trên Ta tính :
Chúng ta có thể đưa ra giả thiết rằng 
 . (2) 
Bước cơ sở : Như đã kiểm tra ở trên 
Bước quy nạp: Gỉa thiết (1) đúng với số tự nhiên nào đó . Khi đó
Nhưng ,suy ra 
 .
Từ kết quả vừa tính và bước cơ sở suy ra giả thiết quy nạp (2) là đúng với mọi số tự nhiên [4]
Ví dụ 8: Tính tổng
 với [1]
Lời giải:
Ta phân tích : Số lượng số hạng của tổng là ; trừ số hạng đầu tiên , còn lại các số hạng khác đề có dạng ( 
Ta tính
Do từ các biểu thức của ta có thể đưa ra giải thiết
 (3)
Bước cơ sở: Với , công thức (2) đúng như đã kiểm tra ở trên.
Bước quy nạp: Gỉa sử (3) đúng với số tự nhiên nào đó . Khi đó 
 =
Đẳng thức (3) cũng đúng với . Như vậy từ nguyên lý quy nạp toán học đẳng thức (3) đúng với mọi .
Ví dụ 9: Tính tổng của n số lẻ tự nhiên đầu tiên. [3]
Lời giải: 
Ta kí hiệu tổng phải tìm là :
 .
Để xây dựng giả thiết quy nạp toán học ta tính tổng ở một số giá trị được liệt kê trong bảng sau:
1
2
3
4
5
6
1
4
9
16
25
36
Bây giờ phụ thuộc vào sự quan sát của ta và kinh nghiệm trên kết quả riêng để dự đoán mệnh đề tổng quát chung . Dễ thấy các số ở hàng đều là số chính phương : .
Như vậy ta có thể đươa ra giả thiết chung là 
 (4)
Ta sẽ chứng minh (4) đúng với mọi số tự nhiên n.
Bước cơ sở: Với , tổng chỉ có một số hạng ; biểu thức ,với n=1 , như vậy (4) đúng.
Bước quy nạp: Gỉa sử (4) đúng với n=k , . Ta sẽ chứng minh (4) đúng với .
 Thật vậy 
Ví dụ 10: Tính tổng bình phương của n số tự nhiên đầu tiên. [2] 
Lời giải: 
Ta tiến hành tìm công thức cho giả thiết quy nạp . Đặt
 .
Ta hãy tìm một số giá trị của tổng khi cho n=1,2,3,4,5,6.
1
2
3
4
5
6
1
5
14
30
55
91
Nhìn vào bảng trên ta khó có thể tìm ra quy luật chug cho . Với thông tin ít ỏi như vậy không cho kết quả gì, nhưng với kinh nghiệm ta có thể liên hệ với các ví dụ đã iải và so sánh những số trong ví dụ 6 và chìa khoá tìm ra quy luật chung cho bảng sau:
1
2
3
4
5
6
1
5
14
30
55
91
1
3
6
10
15
21
Dòng cuối cùng trong bảng ta có thể viết lại :
. Bây giờ ta có thể đưa ra giả thiết rằng .
Từ kết quả trong ví dụ 6 , ta có: 
 Vậy (5)
Ta chứng minh (5) đúng với mọi số tự nhiên n bằng phương pháp quy nạp toán học.
Bước cơ sở: Bằng cách xây dựng trên ( 5) đúng với n=1.
Bước quy nạp: Gỉa sử (5) đúng với số tự nhiên nào đó. Ta sẽ chứng minh rằng nó cũng đúng với , nghĩa là 
Thật vậy,
 =.
Như vậy bài toán được giải xong. 
Bài tập tương tự: 
Tính tổng bằng cách xây dựng giả thiết và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học các tổng sau:
 1)
 2) 
 3) 
 4) . [4]
Dạng 2: Xác định công thức của dãy số 
Phương pháp chung: 
Sử dụng phương pháp quy nạp bằng việc thực hiện các bước :
Bước 1: Viết một vài số hạng đầu của dãy , từ đó dự đoán cho công thức .
Bước 2: Chứng minh công thức dự đoán bằng phương pháp quy nạp.
Ví dụ 11: Cho dãy số xác định như sau:
Xãc định công thức tính theo n. [4]
Lời giải:
Ta có :
Dự đoán . (6)
Ta đi chứng minh dự đoán trên bằng phương pháp quy nạp toán học , thật vậy:
 , tức công thức (6) đúng với n = 1.
Giả sử công thức (6) đúng với n = k, tức là . Ta đi chứng minh nó cũng đúng với n = k+1.
Thật vậy:
 , tức là (6) đúng với n = k+1.
Vậy , ta có 
Ví dụ 12: Cho dãy số với và dãy số xác định như sau: .
Xác định công thức tính . [4]
Lời giải:
Bằng phân tích và áp dụng phương pháp quy nạp ta có .
Mặt khác , ta có biểu diễn:
 .
Từ đó , ta nhận được:
Cộng theo vế các đẳng thức trên , ta được:
Ví dụ 13: Cho dãy số xác định như sau: 
Xác định công thức tính . [4]
Lời giải: 
Ta có:
Từ đó, ta dự đoán .(7)
Ta chứng minh dự đoán trên bằng phương pháp quynạp toán học , thật vậy:
(7) đúng với n = 1.
Giả sử (7) đúng với n = k , tức là . Ta chứng minh 
 , thật vậy:
Do 
Vậy, ta luôn có .
Bài tập tương tự:
1)Cho dãy số xác định như sau :
 . Xác định công thức tính .
2) Cho dãy số xác định như sau:
 . Xác định công thức tính .
3) Cho dãy số xác định như sau: