SKKN Phương pháp giải một số hệ phương trình thường gặp đối với học sinh trung học phổ thông

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 2
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP ĐỐI VỚI HỌC SINH TRUNG
 HỌC PHỔ THÔNG
Người thực hiện: Nguyễn Xuân Dũng
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HÓA NĂM 2019
MỤC LỤC
Trang
1. Mở đầu..............................................................................................
2
1.1. Lí do chọn đề tài.
2
1.2. Mục đích nghiên cứu..
2
1.3. Đối tượng nghiên cứu, phạm vi đề tài
2
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
2
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.........................................................
3
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 
3
2.1.1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ..
3
2.1.2 Hệ phương trình đối xứng loại 1.. 
2.1.3 Hệ phương trình đối xứng loại 2   
2.1.4 Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai hai ẩn 
2.1.5 Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai .. 
2.1.6 Biểu thức liên hợp. . 
2.1.7. Phương pháp đánh giá ..  
2.1.8 Phương pháp hàm số .. .. 
3
3
4
4
5
5
6
2.2. Thực trạng của vấn đề.
6
2.2.1. Thực trạng vấn đề.
6
2.2.2. Kết quả của thực trạng
 6
2.3. Giải quyết vấn đề ...
6
2.3.1 Phương pháp chia hai vế các phương trình của hệ cho ẩn hoặc 
 cụm ẩn 
2.3.2 Phương pháp cộng trừ đại số . 
2.3.3 Phương pháp nhân liên hợp. 
2.3.4 Phương pháp phân tích một phương trình của hệ thành nhân tử 
2.3.5 Phương pháp xem một phương trình của hệ là một phương trình bậc hai. 
2.3.6 Phương pháp rút thế ẩn hoặc cụm ẩn hoặc hằng số. 
2.3.7 Phương pháp đặt ẩn phụ   2.3.8 Phương pháp sử dụng hàm số . 
2.3.9 Phương pháp đánh giá . 
6
8
9
11
12
13
15
16
16
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm	2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
17
3. Kết luận, kiến nghị...........................................
18
Tài liệu tham khảo................................................................................. 
Phụ lục
1.Mở đầu
1.1. Lý do chọn đề tài
 Chuyên đề hệ phương trình là một phần quan trọng của chương trình Toán ở bậc THPT, nó thường gặp trong các kì thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng, thi học sinh giỏi các cấp. Mặc dù học sinh được cọ sát phần này khá nhiều, song phần lớn các em vẫn thường lúng túng trong quá trình tìm ra cách giải. Nguyên nhân là vì: Thứ nhất, hệ phương trình là mảng kiến thức phong phú và khó, đòi hỏi người học phải có tư duy sâu sắc, có sự kết hợp nhiều mảng kiến thức khác nhau, có sự nhìn nhận trên nhiều phương diện. Thứ hai, sách giáo khoa trình bày phần này khá đơn giản, các tài liệu tham khảo đề cập đến phần này khá nhiều chưa phân loại dựa trên cái gốc của bài toán nên khi học, học sinh chưa có sự liên kết, định hình và chưa có cái nhìn tổng quát về hệ phương trình. Thứ ba, đa số học sinh đều học một cách máy móc, chưa có thói quen tổng quát bài toán và tìm ra bài toán xuất phát, chưa biết được bài toán trong các đề thi do đâu mà có nên khi người ra đề chỉ cần thay đổi một chút là đã gây khó khăn cho các em. Chính vì vậy bản thân đã chọn đề tài “Phương pháp giải một số hệ phương trình thường gặp đối với học sinh trung học phổ thông ” để nghiên cứu.
1.2. Mục đích nghiên cứu 
 Nghiên cứu các cách giải một bài toán về hệ phương trình trong chương trình toán bậc THPT. Từ đó tổng hợp thành các phương pháp cần thiết hay được áp dụng khi giải hệ phương trình.
 Tìm ra và tổng hợp được các phương pháp cơ bản được áp dụng để giải hệ phương trình trong chương trình môn Toán bậc THPT, áp dụng vào giải thành thạo các bài toán về hệ trong các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng, thi học sinh giỏi các cấp.
1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.
 Nghiên cứu và giải các bài toán hệ phương trình đại số, hệ phương trình mũ và lôgarit, hệ phương trình lượng giác.
 Nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp quốc gia và quốc tế, các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng. Các kỉ yếu, hội thảo chuyên đề về công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, của các trường chuyên trên cả nước.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
	Khi thực hiện đề tài này tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu:
Phương pháp nghiên cứu lí luận: tìm kiếm, nghiên cứu các tài liệu.
Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: khảo sát, thống kê, phân tích, so sánh số liệu.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
 2.1.1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
2.1.1.1. Định nghĩa: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là 
 (1)
Trong đó là hai ẩn; các chữ số còn lại là hệ số.
Nếu cặp số đồng thời là nghiệm của hai phương trình của hệ thì được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (1).
Giải hệ phương trình (1) là tìm tập nghiệm của nó.
2.1.1.2. Phương pháp giải
Phương pháp rút thế.
Phương pháp cộng, trừ đại số. 
Phương pháp dùng đồ thị.
Phương pháp dùng định thức. 
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình 
2.1.2. Hệ phương trình đối xứng loại 1
2.1.2.1. Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình có dạng 
Trong đó là các đa thức đối xứng với 
2.1.2.2. Phương pháp giải
Đưa hệ phương trình về dạng 
Trong đó
Với điều kiện .
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình 
2.1.3. Hệ phương trình đối xứng loại 2
2.1.3.1. Định nghĩa: Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình có dạng 
Trong đó là các đa thức không đối xứng với 
2.1.3.2. Phương pháp giải
Trừ vế theo vế hai phương trình của hệ ta được phương trình 
Viết phương trình trên về dạng 
Suy ra hoặc .
Hệ phương trình đã cho tương đương với hai hệ phương trình
Hoặc
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình 
2.1.4. Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai hai ẩn
2.1.4.1 Định nghĩa: Hệ phương trình gồm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai hai ẩn là hệ phương trình có dạng
2.1.4.2. Phương pháp giải
Từ phương trình bậc nhất của hệ rút một ẩn theo ẩn còn lại thế vào phương trình bậc hai.
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình 
2.1.5. Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai
2.1.5.1 Định nghĩa: Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai là hệ phương trình có dạng 
2.1.5.2 Phương pháp giải
Cách 1. Kiểm tra với có thỏa mãn hệ phương trình không, đặt thế vào hệ và chia vế cho vế của hệ ta tìm được và từ đó tìm được .
Cách 2. Khử hệ số hạng chứa hoặc ở một phương trình của hệ sau đó rút thế.
Cách 3. Khử hệ số tự do các phương trình của hệ đưa về dạng
.
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình 
2.1.6. Biểu thức liên hợp
Hai biểu thức và gọi là hai biểu thức liên hợp với nhau. 
Khi đó ta có 
Hai biểu thức và gọi là hai biểu thức liên hợp với nhau.
Khi đó ta có 
Hai biểu thức và gọi là hai biểu thức liên hợp với nhau.
Khi đó ta có 
Tổng quát: Hai biểu thức và gọi là hai biểu 
 thức liên hợp với nhau. 
Khi đó với là số tự nhiên.
Ví dụ 6: Giải hệ phương trình 
2.1.7. Phương pháp đánh giá 
Một số bất đẳng thức thường sử dụng 
 với mọi giá trị của , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
 với mọi giá trị của , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
 với mọi giá trị của dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
Cho và thì
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
Cho không âm thì 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
 với mọi giá trị của dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
 với mọi giá trị của dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
Ví dụ 7: (đề thi Đại học khối A, năm 2014). Giải hệ phương trình 
2.1.8. Phương pháp hàm số
Tính chất 1. Nếu là hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng thì phương trình nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
Tính chất 2.Nếu là hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng thì phương trình tương đương với mọi thuộc 
Ví dụ 8: Giải hệ phương trình 
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.2.1. Thực trạng của vấn đề 
 Trong quá trình giảng dạy học sinh khá giỏi ,ôn thi học sinh giỏi, ôn luyện thi đại học – cao đẳng , tôi nhận thấy phần hệ phương trình đại số là học sinh tương đối gặp khó khăn trong cách giải, không biết phải sử lý tình huống như thế nào trên nền kiến thức cơ bản các em đã biết. 
2.2.2. Kết quả của thực trạng
 Nếu trang bị cho các em những kỹ năng ,tình huống cơ bản, từ đó giúp mỗi học sinh tự đúc kết kinh nghiệm riêng cho bản thân mình thì khi có vấn đề mới thì các em sẽ giải quyết được một các nhanh chóng và cho lời giải tương đối đẹp.
 Từ thực trạng và kết quả trên, để công việc giải toán hệ phương trình đại số của học sinh đạt hiệu quả tốt hơn tôi mạnh dạn cải tiến phương pháp giảng dạy với đề tài :“ Phương pháp giải hệ một số hệ phương trình thường gặp đối với học sinh trung học phổ thông ”.
2.3. Giải quyết vấn đề
 Một bài hệ phương trình có rất nhiều hướng giải nhưng mấu chốt của bài toán là tìm hướng biến đổi ban đầu như thế nào. Đó là điều quan trọng nhất và nó quyết định công việc giải tiếp theo, giống như mở một sợ dây mà tìm được nốt thắt. Do đó để giải thành công một bài hệ phương trình tác giả đã đưa ra một số phương pháp cơ bản trong quá trình giải hệ. 
2.3.1 Phương pháp chia hai vế các phương trình của hệ cho ẩn hoặc cụm ẩn
Ví dụ 2.3.1 (đề thi Đại học khối B, năm 2009). Giải hệ phương trình 
Lời giải. Với thì hệ trở thành 
 Hệ trên vô nghiệm.
Với thì hệ trở thành 
Hệ phương trình trên tương đương với hệ sau
Đặt 
 (*)
 Hệ phương trình trên tương đương với hệ sau
Từ phương trình thứ nhất ta có thế vào phương trình thứ hai ta có 
Giải phương trình trên ta có hoặc .
Với thì theo cách đặt (*) ta có 
Hay 
Hệ phương trình trên tương đương với hệ 
Ta thấy hệ phương trình trên vô nghiệm.
Với thì theo cách đặt (*) ta có 
Hệ trên tương đương với hệ phương trình sau
Giải hệ trên ta được và hoặc và 
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt và .
Nhận xét. Ta thấy nhờ chia vế của mỗi phương trình cho ẩn, mà ta có thể đưa một hệ phương trình phức tạp thành một hệ phương trình đơn giản, cho lời giải nhanh chóng, bài toán được giải quyết. So với giải bằng cách thông thường rút thế ẩn hoặc ẩn từ phương trình thứ nhất thế vào phương trình thứ hai được một phương trình bậc bốn phức tạp thậm trí không giải được.
2.3.2 Phương pháp cộng trừ đại số 
Ví dụ 2.3.2 (đề thi chuyên Lam Sơn, năm 2006). Giải hệ phương trình 
Lời giải. Trừ vế phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai ta được 
Phương trình trên tương đương với 
Giải phương trình trên ta được hoặc 
Hệ đã cho tương đương với hai hệ 
 (I)
Hoặc (II) 
Ta có (I) tương đương với hệ 
Giải hệ trên ta được và hoặc và 
Ta có (II) tương đương với hệ 
Từ phương trình thứ nhất ta có 
Thế vào phương trình thứ hai ta được
Phương trình vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt và 
Nhận xét. Nhờ trừ vế mà ta thu được mối quan hệ giữa các ẩn, nên có thể giải quyết được bài toán một cách ngắn gọn. So với cách giải thông thường rút ẩn từ phương trình thứ hai thế vào phương trình thứ nhất rất phức tạp, khó khăn trong quá trình biến đổi.
2.3.3 Phương pháp nhân liên hợp.
Ví dụ 2.3.3.1 (đề thi Đại học khối B, năm 2014). Giải hệ phương trình 
 (x,y∈R)
Lời giải. Điều kiện
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với phương trình 
Hay 
Do
Nên phương trình trên trở thành hoặc 
Với thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có 
Với thay vào phương trình thứ hai của hệ ta có 
 (1)
Giải phương trình (1).
Điều kiện 
Ta có phương trình tương đương với phương trình 
Hay
Suy ra .
Khi đó giải phương trình trên ta có hoặc 
Kết hợp với điều kiện ta có suy ra 
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt và 
Ví dụ 2.3.3.2 (đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa năm 2018). 
Giải hệ phương trình 
Lời giải. Điều kiện 
Nhận thấy nếu thì từ phương trình thứ nhất suy ra 
Thay vào phương trình thứ hai ta thấy không thỏa mãn. 
Vậy với điều kiện thì ta có 
Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với phương trình 
Hay
Suy ra
 (1)
Với điều kiện đã cho phương trình thứ hai của hệ tương đương 
Xét hàm số 
trên nửa khoảng thì ta có
Ta có suy ra 
Ta có bảng biến thiên sau 
Từ bảng biến thiên ta có 
Vậy nên ta có
Do đó từ phương trình (1) ta có thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được
Giải phương trình trên kết hợp với thì ta có hoặc 
Thử lại điều kiện, ta có hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt
 và 
2.3.4 Phương pháp phân tích một phương trình của hệ thành nhân tử 
Ví dụ 2.3.4 (đề thi Đại học khối A, năm 2011). Giải hệ phương trình 
Lời giải. Ta có phương trình thứ hai tương đương với 
 hay hoặc .
Với thì từ phương trình thứ nhất ta có . 
Giải phương trình này ta được hay hoặc 
Khi thì khi thì 
Với thì từ phương trình thứ nhất ta có 
Hay 
Phân tích thành nhân tử ta được 
Suy ra hoặc 
Với ta đã xét ở trên.
Với suy ra thế vào ta được 
 hoặc 
Khi thì 
Khi thì 
Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm phân biệt 
2.3.5 Phương pháp xem một phương trình của hệ là một phương trình bậc hai
Ví dụ 2.3.5 (đề thi Đại học khối B, năm 2013). Giải hệ phương trình 
Lời giải. Điều kiện 
Phương trình thứ nhất của hệ có thể viết thành
 (1)
Xem phương trình (1) là phương trình bậc hai ẩn còn ẩn là tham số. 
Giải phương trình này ta được hoặc 
Với thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được
Nhân biểu thức liên hợp ta được
Do
Nên giải phương trình trên ta được hoặc 
Khi thì khi thì 
Với thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được
Nhân biểu thức liên hợp ta được
Do 
Nên phương trình tương đương với suy ra 
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt và 
Nhận xét. Nhờ xem phương trình thứ nhất của hệ là phương trình bậc hai ẩn còn ẩn là tham số thì ta có thể nhanh chóng tìm ta mối quan hệ giữa các ẩn. Từ đó bài toán được giải quyết. Nếu không dùng phương trình bậc hai thì rất khó phân tích thành nhân tử và tìm nhân tử chung.
2.3.6 Phương pháp rút thế ẩn hoặc cụm ẩn hoặc hằng số.
Ví dụ 2.3.6.1 (đề thi Đại học khối B, năm 2008). Giải hệ phương trình 
Lời giải. Hệ phương trình tương đương với hệ sau 
Từ phương trình thứ hai, thế vào phương trình thứ nhất ta được
Khai triển và rút gọn ta được phương trình 
 Giải phương trình trên ta được hoặc 
Với không thỏa mãn hệ phương trình. 
Với thì 
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 
Nhận xét. Nhờ rút cụm ẩn ở phương trình thứ hai thế vào phương trình thứ nhất ta được một phương trình bậc bốn ẩn giải được. Bài toán đã được giải quyết xong và cho lời giải ngắn gọn.
Ví dụ 2.3.6.2 (đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa, năm 2008). 
Giải hệ phương trình 
Lời giải. Hệ phương trình tương đương với hệ sau 
Thế phương trình thứ nhất vào phương trình thứ hai ta được phương trình 
Phân tích thành phương trình 
Giải phương trình trên ta được hoặc hoặc hoặc 
Với thì phương trình thứ nhất suy ra 
Với thì phương trình thứ nhất suy ra 
Với suy ra thế vào phương trình thứ nhất ta có 
Giải phương trình trên ta được hoặc 
Khi thì , khi thì 
Với suy ra thế vào phương trình thứ nhất ta có 
Giải phương trình ta được hoặc 
Khi đó suy ra hoặc 
Khi thì 
Khi thì 
Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm phân biệt 
 và 
2.3.7 Phương pháp đặt ẩn phụ.
Ví dụ 2.3.7 Giải hệ phương trình 
Lời giải. Hệ phương trình tương đương với hệ 
Đặt 
Hệ trở thành 
Từ phương trình thứ nhất suy ra thế vào phương trình thứ hai ta được
Giải phương trình trên ta được hoặc 
Với và suy ra và 
Với và suy ra và 
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt và 
Nhận xét. Nhờ đặt ẩn phụ mà ta có thể giải bài toán này một cách nhanh chóng so với cách giải thông thường rút thế sẽ rất khó khăn, vì khi đó phương trình thu được có nghiệm xấu.
2.3.8 Phương pháp sử dụng hàm số
Ví dụ 2.3.8 (đề thi Đại học khối A, năm 2013). Giải hệ phương trình 
 (x,y∈R)
Lời giải. Điều kiện 
Từ phương trình thứ hai ta có suy ra 
Đặt thì 
Phương trình thứ nhất trở thành 
 (1)
Xét hàm số liên tục và xác định trên 
Ta có
 với mọi 
Nên hàm số đồng biến trên 
Do đó (1) tương đương với nghĩa là thế vào phương trình thứ hai của hệ ta được
 (2)
Xét hàm số trên 
Ta có đúng với mọi 
Mà nên (2) có hai nghiệm phân biệt hoặc 
Với thì với thì 
Vậy hệ phương trình có nghiệm hai nghiệm phân biệt và 
2.3.9 Phương pháp đánh giá
Ví dụ 2.3.9 ([4]). Giải hệ phương trình 
Lời giải. Hệ phương trình tương đương với 
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta thấy
 Nếu thì nên phương trình thứ hai vô nghiệm.
Nếu thì nên phương trình thứ hai vô nghiệm.
Nếu thì nên phương trình thứ hai thỏa mãn.
Vậy hệ có nghiệm duy nhất 
Nhận xét. Đây là một bài toán khó, nếu rút thế theo cách thông thường sẽ ra một phương trình bậc chín rất phức tạp, thậm chí không giải được, qua sử dụng kỹ năng đánh giá ta đã giải quyết nhanh chóng được bài toán và cho kết quả rất ngắn gọn.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
 Đề tài đã được áp dụng thường xuyên ở các lớp kết quả đạt được tương đối tốt, học sinh đã giải quyết được rất nhiều bài toán về hệ phương trình đại số , các em đã thích dần với bài tập giải hệ phương trình đại số, học tập hăng say và tích cực hơn rất nhiều tạo cho các em một niềm tin khi giải toán, góp phần nâng cao kết quả thi đại học và học sinh giỏi cấp tỉnh bộ môn Toán.
Đề tài đã được các thành viên trong tổ Toán góp ý và đánh giá tốt, đề tài đã được các thầy cô áp dụng rộng rãi với các đối tượng học sinh lớp mình phụ trách, đem lại hiệu quả rất thiết thực trong giảng dạy bộ môn Toán ở Trường THPT hiện nay.So với cách làm cũ không chỉ giải các hệ phương trình bình thường, không giúp cho các em thấy được dạng quên thuộc, những kỷ năng cần thiết nào . Nếu trang bị cho các em những kỹ năng cần thiết thì nhìn vào bài toán giải hệ phương trình thì các em đã phần nào thấy được cách giải.
 Trong năm học 2015 -2016, 2016 -2017, 2017 -2018, 2018-2019 tôi đã thực nghiệm đề tài của mình ở các lớp 12A1,12A2 và12C4, 12C6 kết quả cụ thể như sau:
 Loại
Đối tượng
Loại giỏi
Loại khá
Loại trung bình
Loại yếu
Áp dụng thường xuyên ở lớp 12 A1
20 %
50 %
30 %
0 %
Áp dụng thường xuyên ở lớp 12 A2
15 %
50 %
30 %
5 %
Không áp dụng thường xuyên ở lớp 12C4
0 %
30 %
50 %
20 %
Không áp dụng thường xuyên ở lớp 12C6
0 %
20 %
55 %
25%
 3. Kết luận và kiến nghị :
 Đề tài đã đưa ra một số phương pháp thường gặp khi giải một bài toán về hệ phương trình trong chương trình toán học THPT qua các kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh, Quốc gia và tuyển sinh Đại học và Cao đẳng. Xây dựng và chọn lọc các ví dụ minh họa sinh động . 
Đề tài sẽ góp phần hình thành những kỹ năng giải toán cần thiết cho các học sinh THPT và là tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi thiết thực đối với các thầy cô giáo dạy toán bậc THPT, để từ đó nâng cao chất lượng giảng dạy và học tập, tạo niềm tin, khuyến khích sự say mê khám phá vẻ đẹp của Toán. 
 Công tác nghiên cứu khoa học ở các cấp cần được phát huy hơn nữa, để công tác dạy và học ngày càng đạt hiệu quả cao. Để có những bài giảng hay ,sáng kiến đổi mới trong giảng dạy bộ môn Toán, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, phù hợp với sự phát triển của Đất nước.
 Cần tăng cường công tác sinh hoạt Tổ nhóm chuyên môn để trao đổi về chuyên môn,xây dựng các tiết dạy phù hợp với từng đối tượng học sinh, phải xem sinh hoạt Tổ nhóm chuyên môn là công việc để trau dồi về chuyên môn, tự học tập lẫn nhau giúp nhau cùng tiến bộ.
 Đề tài đã được các đồng nghiệp góp ý chân thành.Để đề tài thực hiện tốt thì cần có những buổi sinh hoạt, xêmina về toán học để các em học sinh bày tỏ quan điểm của mình cũng như tự giúp các em phát hiện ra sai lầm của nhau thông qua các bài giải 
 Đề tài chắc chắn không tránh khỏi những thiếu xót và để hoàn thiện hơn nữa tác giả rất mong được sự bổ xung và góp ý chân thành của các đồng nghiệp./.
XÁC NHẬN CỦA
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 25 tháng 05 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của tôi viết, không sao chép nội dung của người khác.
Tác giả
Nguyễn Xuân Dũng.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Phan Đức Chính, Lê Thống Nhất, Đào Tam, Vũ Dương Thụy (1993), Các bài giảng luyện thi môn toán tập hai, nhà xuất bản Giáo dục.
[2] Phạm Kim Chung, Dương Văn Sơn, Đào Văn Trung (2014), Rèn luyện kỹ năng và tư duy giải toán hệ phương trình, nhà xuất bản ĐHQG Hà Nội.
[3] Đặng Thành Nam (2014), Kỹ thuật giải nhanh hệ phương trình, nhà xuất bản ĐHQG Hà Nội.
[4] Báo toán học và tuổi trẻ.
[5] Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, Quốc gia, Quốc tế, đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng môn Toán.
[6]. Đề minh họa thi THPT quốc gia năm 2018 của Bộ GD&ĐT.
[7]. Đề thi thử THPT quốc gia của c