SKKN Phương pháp giải các bài toán về dẫy số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
PHÒNG GD&ĐT THỌ XUÂN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ DẪY SỐ
Người thực hiện: Nguyễn Trí Lợi
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Thọ Xương
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HOÁ NĂM 2019
MỤC LỤC
TT
NỘI DUNG
TRANG
1
Mở đầu
2
1.1
Lí do chọn đề tài
2
1.2
Mục đích nghiên cứu
2
1.3
Đối tượng nghiên cứu
2
1.4
Phương pháp nghiên cứu
3
2
Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
3
2.1
Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
3
2.2
Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
3
2.3
Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
4
2.4
Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
15
3
Kết luận, kiến nghị
15
3.1
Kết luận
15
3.2
Kiến nghị
15
1. MỞ ĐẦU
1.1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
 Toán học chiếm vị trí quan trọng trong chương trình học phổ thông nói chung, ở bậc THCS nói riêng. Dạy toán là dạy cho học sinh các phương pháp suy luận khoa học mang tính logic. Học toán tức là rèn luyện khả năng tư duy và ứng dụng nhằm trang bị những vốn kiến thức hoàn chỉnh. Chính vì vậy việc giải các bài toán là phương tiện giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng. Trong chương trình Toán phổ thông có rất nhiều dạng toán khác nhau dành cho các đối tượng học sinh khá giỏi. Nhưng không phải dạng toán nào mà giáo viên đưa ra học sinh cũng đều nắm kiến thức và vận dụng được ngay, nhất là đối với học sinh lớp 6,7 mức độ tiếp thu và khả năng tư duy còn nhiều hạn chế. Vì vậy, người giáo viên cần làm cho học sinh tiếp cận nhiều bài toán ở cùng dạng, đó chính là hình thức giảng dạy theo chuyên đề. Từ đó các em sẽ dần được trang bị hoàn chỉnh về mặt kĩ năng, kĩ xảo trong việc giải toán.
 Qua những năm học tập cũng như giảng dạy, tôi nhận thấy có một nội dung kiến thức tương đối quan trọng đó là: "Dãy số", các bài tập đưa ra được trải dài ở các khối lớp học. Mặt khác, trong quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh thường rất ngại mỗi khi có bài toán dãy số đến n phần tử, đôi khi gặp bài toán phức tạp lại không biết bắt đầu từ đâu.
 Do tính đa dạng của Toán học thật khó để đúc kết được các nguyên tắc, dựa vào đó mà tìm ra các "chìa khóa" để giải quyết được mọi vấn đề nêu ra. Tôi thiết nghĩ dạng toán này được khai thác triệt để, thì phạm vi ảnh hưởng của nó cũng như tác dụng là khá lớn.
 Chính vì vậy, tôi mạnh dạn sưu tầm các bài tập để trình bày chuyên đề ''Phương pháp giải các bài toán về dãy số'' dành cho các đối tượng học sinh khá, giỏi ở các khối lớp 6 -7. Trong khuôn khổ cho phép xin trình bày trong phạm vi khối lớp 6, 7. Vì đây là cơ sở quan trọng trong việc hình thành sáng tạo cho học sinh học các lớp cao hơn, bậc cao hơn.
1.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
 ''Phương pháp giải các bài toán về dãy số'' với mục đích định hướng, phương pháp nhận biết, nhận dạng, phương pháp giải đối với một dãy số nhất định từ đó hình thành cách giải tổng quát. Ngoài ra còn đưa ra cho học sinh phương pháp phân tích bài toán một cách nhanh chóng, đọc ra được quy luật của dãy số nhanh nhất, hợp lí nhất.
 Nội dung của đề tài này góp phần nâng cao kiến thức, tư duy toán học, khả năng phân tích, tính toán cho học sinh, đồng thời giúp cho giáo viên lựa chọn phương pháp hợp lí, phù hợp với từng bài, từng đối tượng học sinh để giúp cho giáo viên và học sinh giải quyết tốt vấn đề này
1.3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 
 Học sinh lớp 6, 7 trường THCS
1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
 - Tham khảo tài liệu: Tìm tòi, hệ thống các kiến thức thu thập được.
- Đúc rút kinh nghiệm giảng dạy qua dự giờ, kiểm tra học sinh, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy và kiểm tra trên nhiều đối tượng học sinh, kiểm tra nhiều lần bằng nhiều hình thức khác nhau.
- Tổng hợp các phân tích thu thập được
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM :
 Nghị quyết Hội nghị lần thứ 8, Ban chấp hành Trung ương khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo đã chỉ rõ: “ Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực”. 
 Trong nhà trường phổ thông, môn Toán giữ một vị trí hết sức quan trọng vì:
 + Môn Toán là môn học công cụ.
 + Môn Toán góp phần phát triển nhân cách.
 Như vậy, phát triển tư duy Toán học nói chung và tư duy Dãy số nói riêng là góp phần quan trọng vào hình thành phẩm chất, năng lực con người Việt Nam trong thời đại mới.
2.2. THỰC TRẠNG VÂN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SKKN
 Qua thực tế giảng dạy bồi dưỡng học sinh khá giỏi, tôi thấy được thực trạng và vấn đề cần quan tâm đó là: Nội dung dạy học sinh khá giỏi chưa bảo đảm tính logíc, giáo viên khi nghiên cứu tài liệu tham khảo thấy bài nào hay thì chọn để dạy cho học sinh chứ chưa phân dạng, loại trong mỗi mạch kiến thức, về phương pháp giải các bài toán nâng cao chưa hợp lí, có những phương pháp chưa phù hợp với điều kiện tâm lí và năng lực tiếp thu của học sinh; về phía chuyên môn chưa có tài liệu nào chỉ đạo cụ thể về nội dung và phương pháp dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Toán để giáo viên lấy đó làm cơ sở. Học sinh chưa có một phương pháp tư duy logic để giải quyết các dạng bài toán nhanh nhất. Chính vì vậy để từng bước nâng cao chất lượng học sinh giỏi mà tôi đang trực tiếp giảng dạy, tôi đã đưa ra nội dung đề tài ''Phương pháp giải các bài toán về dãy số''. 
Bài toán về dãy số thường có trong thi học kì, thi học sinh giỏi 6, 7; thậm chí có cả trong thi học sinh giỏi lớp 9, thi vào 10. Học sinh phải sử dụng rất nhiều kiến thức, kỹ năng và thường chỉ những học sinh giỏi mới có thể thực hiện được.
Từ thực trạng trên dẫn đến:
 - Học sinh thường ngại học, nhìn thấy bài toán về dãy số rắc rối học sinh không biết bắt đầu từ đâu.
 - Các tài liệu có rất nhiều, nhưng viết dàn trãi ở các vấn đề, có rất ít tài liệu viết chỉ dành mình chuyên đề về dãy số.
2.3. GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
 Các bài toán được trình bày ở chuyên đề này được phân ra hai dạng chính:
 - Dạng thứ nhất: Dãy số với các số hạng là số nguyên cách đều và không cách đều
 - Dạng thứ hai: Dãy số với các số là phân số
 Sau đây là một số bài tập được phân thành các thể loại, trong đó đã phân thành hai dạng trên:
 1. Toán về số nguyên
 1.1. Dãy số mà các số hạng cách đều
Bài 1. Tính tổng A = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99
	Nhận xét: Nếu học sinh nào có sự sáng tạo sẽ thấy ngay tổng: 
A = 1 + (2 + 3 + 4 + ... + 98 + 99). Ta thấy tổng trong ngoặc gồm 98 số hạng, nếu chia thành các cặp ta có 49 cặp nên tổng đó là: (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (51 + 50) = 49.101 = 4949, khi đó A = 1 + 4949 = 4950
	Chú ý: Tổng A gồm 99 số hạng, nếu ta chia các số hạng đó thành các cặp (mỗi cặp có 2 số hạng thì được 49 cặp và dư 1 số hạng, cặp thứ 49 thì gồm 2 số hạng nào? số hạng dư là bao nhiêu?), đến đây học sinh sẽ bị vướng mắc.
 Ta có thể tính tổng B theo cách khác như sau:
	Cách 2:
 A = 1 + 2 + 3 + ... + 97 + 98 + 99
 +
 A = 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1
2A = 100 + 100 + ... + 100 + 100 + 100
	 2A = 100.99 A = 50.99 = 4950 
Bài 2 . Tính B = 1 + 3 + 5 + ... + 997 + 999
 Giải
	Cách 1: Từ 1 đến 1000 có 500 số chẵn và 500 số lẻ nên tổng trên có 500 số lẻ. Áp dụng bài trên ta có B = (1 + 999) + (3 + 997) + ... + (499 + 501) = 1000.250 = 250.000 (Tổng trên có 250 cặp số)
	Cách 2: Ta thấy: 
1
=
2.1
-
1
3
=
2.2
-
1
5
=
2.3
-
1
...
999
=
2.500
-
1
 Quan sát vế phải, thừa số thứ 2 theo thứ tự từ trên xuống dưới ta có thể xác định được số các số hạng của dãy số B là 500 số hạng. 
 Áp dụng cách 2 của bài trên ta có: 
B = 1 + 3 + ... + 997 + 999
 +
B = 999 + 997 + ... + 3 + 1
2B = 1000 + 1000 + ... + 1000 + 1000
 2B = 1000.500 C = 1000.250 = 250.000
 Qua các ví dụ trên, ta rút ra một cách tổng quát như sau: 
 Cho dãy số cách đều u1, u2, u3, ... un (*), khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp của dãy là d, khi đó số các số hạng của dãy (*) là: (1)
số các số hạng=(số hạng cuối- số hạng đầu): khoảng cách rồi cộng thêm 1
 Tổng các số hạng của dãy (*) là (2)
Đặc biệt từ công thức (1) ta có thể tính được số hạng thứ n của dãy (*) là : 	un = u1 + (n - 1)d
	Hoặc khi u1 = d = 1 thì S1 = 1 + 2 + 3 + ... + n 
 1.2. Dãy số mà các số hạng không cách đều.
Bài 1. Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 +  + n.(n + 1)
 Giải
 Cách 1: Ta thấy mỗi số hạng của tổng trên là tích của hai số tự nhiên liên tiếp, khi đó:
	Gọi a1 = 1.2 3a1 = 1.2.3 3a1= 1.2.3 - 0.1.2
 a2 = 2.3 3a2 = 2.3.3 3a2= 2.3.4 - 1.2.3
	 a3 = 3.4 3a3 = 3.3.4 3a3 = 3.4.5 - 2.3.4 
 ..
 an-1 = (n - 1)n 3an-1 =3(n - 1)n 3an-1 = (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n - 1)n 
	 an = n(n + 1) 3an = 3n(n + 1) 3an = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)
 Cộng từng vế của hai đẳng thức trên ta có:
	 3(a1 + a2 +  + an) = n(n + 1)(n + 2)
	 3 = n(n + 1)(n + 2) A = 
 Cách 2: Ta có 
 3A = 1.2.3 + 2.3.3 +  + n(n + 1).3 
 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(3 - 1) +  + n(n + 1)[(n - 2) - (n - 1)] 
 = 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 +  + n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1) 
 = n(n + 1)(n + 2) 
 A = 
Tổng quát hoá ta có:
 k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = 3k(k + 1). Trong đó k = 1; 2; 3; 
	Ta dễ dàng chứng minh công thức trên như sau:
 k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = k(k + 1)[(k + 2) - (k - 1)] = 3k(k + 1) 
Bài 2. Tính D = 12 + 22 + 32 +  + n2
 Nhận xét: Các số hạng của bài 1 là tích của hai số tự nhiên liên tiếp, bài này là tích của hai số tự nhiên giống nhau. 
 Do đó ta chuyển về dạng bài tập 1, ta có:
 A = 1.2 + 2.3 + 3.4 ++ n.(n + 1) = 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) ++ n.(1 + n) 
 = 12 + 1.1 + 22 + 2.1 + 32 + 3.1 +  + n2 + n.1
 = (12 + 22 + 32 +  + n2 ) + (1 + 2 + 3 +  + n). 
 Mặt khác theo bài tập 1 ta có:
 A = và 1 + 2 + 3 +  + n = 
 D = 12 + 22 + 32 +  + n2 =- = 
 1.3. Một số bài tập dạng khác
Bài 1. So sánh A và B, biết
 A = 1 + 2 + 22 + 23 +  + 250
 B = 2 
 Giải
	Cách 1: 
 Ta thấy: A = 1 + 2 + 22 + 23 +  + 250 (1)
 2A = 2 + 22 + 23 +  + 250 + 251 (2)
 Trừ từng vế của (2) cho (1), ta có: 
 2A - A = 2 + 22 + 23 +  + 250 + 251 - (1 + 2 + 22 + 23 +  + 250)= 251 - 1
 Hay A = 251 - 1
 Vậy: A< B
	Cách 2:
 Ta có: A = 1 + 2 + 22 + 23 +  + 250 = 1 + 2(1 + 2 + 22 + 23 +  + 249) 
 = 1 + 2(A - 250) = 1 + 2A - 251 A = 251 - 1
 Vậy: A< B
Bài 2. Tính giá trị của biểu thức : S = 1 +3 + 32 + 33 +  + 32000 (1)
 Giải
	Cách 1: Áp dụng cách làm của bài 1:
 Ta có: 3S = 3 + 32 + 33 +  + 32001 (2) 
 Trừ từng vế của (2) cho (1) ta được:
 3S - 2S = (3 + 32 + 33 +  + 32001) - (1 +3 + 32 + 33 +  + 32000)
 Hay: 2S = 32001 - 1 S = 
	Cách 2: Tương tự như cách 2 của bài 1:
 Ta có: S = 1 + 3(1 +3 + 32 + 33 +  + 31999) = 1 + 3(S - 32000) = 1 + 3S - 32001
	 2S = 32001 - 1 S = 
Tổng quát hoá ta có:
	 Sn = 1 + q + q2 + q3 +  + qn (1)
	 Khi đó ta có: 
 Cách 1: qSn = q + q2 + q3 +  + qn+1 (2)
 Trừ từng vế của (2) cho (1), ta có: (q - 1)S = qn+1 - 1 S = 
 Cách 2: Sn = 1 + q(1 + q + q2 + q3 +  + qn-1) = 1 + q(Sn - qn)
	 = 1 + qSn - qn+1 qSn - Sn = qn+1 - 1 
 Hay: Sn(q - 1) = qn+1 - 1 S = 
Bài 3. Tính giá trị của biểu thức S = 1 + 2.6 + 3.62 + 4.63 +  + 100.699 (1)
 Giải
 Ta có: 6S = 6 + 2.62 + 3.63 +  + 99.699 + 100.6100 (2) 
 Trừ từng vế của (2) cho (1), ta được:
 5S = (6 - 2.6) + (2.62 - 3.62) + (3.63 - 4.63) ++ (99.699 - 100.699) +100.6100 - 1 
 = 100.6100 - 1 - (6 + 62 + 63 +  + 699) (*)
 Đặt: S' = 6 + 62 + 63 +  + 699 6S' = 62 + 63 +  + 699 + 6100 
 S' = thay vào (*) ta có: 5S = 100.6100 - 1 - = 
 S = 
Bài 4: Người ta viết dãy số: 1; 2; 3; ... Hỏi chữ số thứ 673 là chữ số nào?
 Giải
 Ta thấy: Từ 1 đến 99 có: 9 + 2.90 = 189 chữ số, theo đầu bài ta còn thiếu số các chữ số của dãy là: 673 - 189 = 484 chữ số, như vậy chữ số thữ 673 phải nằm trong dãy các số có 3 chữ số. Từ 100 đến 260 có: 3.161 = 483 chữ số 
 Như vậy từ 1 đến 260 có: 189 + 483 = 672 chữ số, theo đề bài thì chữ số thứ 673 sẽ là chữ số 2 của số 261.
Bài 5: Tìm x, biết:
 x + (x+1) + (x+2)+...+ (x+ 2010)= 2029099
 Giải:
 Ta có: 
 2011x + (1+2+...+ 2010) = 2029099
 2011x + = 2029099
 2011x = 8044 x =4.
 2. Toán về phân số
 Loại toán tìm tổng của một dãy số viết theo quy luật, trong đó thường có 3 phân số đầu là số cụ thể còn các phân số sau cùng cho ở dạng tổng quát. Để làm dạng toán này ta cần nhận xét, so sánh giữa tử số và mẫu số, các tử (hay các mẫu) với nhau, giữa phân số cụ thể và tổng quát để tìm ra cách viết phân số rồi dần dần tìm ra cách giải.
 Để làm dạng toán này ta dùng phương pháp khử liên tiếp các số hạng.
Bài 1: Tính tổng sau: 
 S = 
* Hướng dẫn cách tìm lời giải:
 Bài toán này có tổng của các phân số có tử là 1 còn mẫu của các phân số là: 1.2; 2.3; 3.4; ...;100.101.
 Như vậy mẫu của các phân số là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp. Cách giải bài toán này là biến đổi mỗi phân số đã cho thành hiệu của 2 phân số, biến dãy tính cộng thành dãy tính cộng và trừ.
 Chẳng hạn: 
 = ; ; . ; = 
 Mục đích là ta đi triệt tiêu các số hạng đối nhau.
 Giải:
S = 
 = 
+) Bài toán tổng quát: 
Tính tổng: S = 
 = 
Bài 2: Tính tổng: P =
* Phương pháp tìm lời giải:
 Ta thấy P là tổng của các phân số có tử là 1, còn mẫu của các phân số là tích của 2 chữ số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị, để giải quyết được vấn đề ta phải nhân cả tử và mẫu của vế phải với 2, khi đó thực hiện bên trong ngoặc sẽ đơn giản.
Do đó ta có thể viết mỗi phân số đó là hiệu của 2 phân số, phân số bị trừ có tử là 1 và mẫu là thừa số thứ nhất, phân số trừ có tử là 1 và mẫu là thừa số thứ 2.
Giải:
 P = ()
 = ()
 = ( 1- ) = 
Bài 3: Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy sau:
 ; ; ; ; ... [1]
* Phương pháp tìm lời giải:
 Ta thấy các số hạng trong dãy số trên có tử là 1 còn mẫu là:
 6; 66; 176; 336; ... Vậy trước hết ta phải viết các mẫu đó thành tích của 2 số nào đó và phải đi tìm số hạng thứ 100 của dãy.
 Ta nhận thấy: 6 = 1.6
 66 = 11.6
 176 = 11.16
 336 = 16.21
 Ta thấy mẫu của các phân số này có quy luật là:
+ Tích của hai số có số tận cùng là 1 và một số tận cùng là 6.
+ Trong 2 thừa số của mẫu số có một thừa số hơn thừa số còn lại là 5 đơn vị.
Vậy mẫu số của số thứ n của dãy số có dạng: (5n-4)(5n+1).
=> Mẫu của số thứ 100 của dãy số: (5.100-4)(5.100+1) = 496.501
Ta cần tính tổng A=
Tương tự như bài trên ta tách từng phân số thành hiệu của 2 phân số, ta nhận thấy : => 
Tương tự như vậy => 
 => 
Từ đó ta tính được tổng A một cách dễ dàng
 Giải:
A = 
 = 
 = ++++
 = 
 = =.=
+) Bài toán tổng quát:
A =
 = +++
 = =.=
Bài 4: Tính tổng B= [2]
 * Hướng dẫn: Ta thấy các phân số trong tổng B đều có tử là 1 còn mẫu của các phân số là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp. Ta viết mỗi số hạng của tổng thành hiệu của hai số sao cho số trừ của nhóm trước bằng số bị trừ của nhóm sau. Ta tách phân số bị trừ có tử là 1 còn mẫu là 2 số tự nhiên liên tiếp đầu, phân số trừ có tử cũng là 1 còn mẫu gồm có 2 số tự nhiên liên tiếp sau ( có 1 số giữa trùng nhau).
 Ta thấy: 
Tổng quát ta có thể áp dụng: 
 Giải:
 B = 
 = +++
 = 
 = =
 = ===
 +) Bài toán tổng quát:
B = = 
 = =
Bài 5: Tính tích C =
*) Hướng dẫn cách tìm lời giải:
Thực hiện phép tính trong ngoặc được tích sau:
 Các phân số này có tử nhỏ hơn mẫu 1 đơn vị, còn mẫu số chưa được viết theo một quy luật nào cả. Mẫu của 3 phân số đầu tiên có thể viết được là: 3.7; 4.7; 4.9. Các thừa số có lặp lại nhưng chưa theo một quy luật nào cả. Nhận thấy thừa số 4 và 7 được lặp lại các thừa số ở mỗi tích không có mối liên hệ với nhau. Vậy nếu có có các tích 6.7; 7.8; 8.9 thì các thừa số ở 3 mẫu của 3 phân số đầu tiên đã được viết theo một quy luật nhất định, đó là dãy hai thừa số là 2 số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ số 6. Để có được như vậy ta phải nhân cả tử và mẫu của 3 phân số với 2 ta được:
 hay ta có thể viết là: 
 Đến đây ta thấy tử của phân số có 2 thừa số hơn kém nhau 3 đơn vị. Nhân cả tử và mẫu của phân số cuối cùng với 2, rồi dựa vào nhận xét trên về tử và mẫu của 3 phân số đầu, ta có :
 Như vậy tích đã cho được viết thành : . 
 Đến đây các thừa số viết trước ở tử và mẫu là dãy tích ở tử và mẫu của phân số thứ nhất, các thừa số viết sau ở tử và mẫu là dãy các tích ở tử và mẫu của phân số thứ 2. Từ đó ta có kết quả của bài toán.
 Giải
C =
 = 
 = . 
 = 
 =
Bài 6. Ta viế lần lượt các phân số sau: 
 Số đứng ở vị trí nào trong các phân số trên?
 Giải
 Số thứ nhất của dãy số có tổng của tử số và mẫu số bằng 2, hai số tiếp theo có tổng của tử số và mẫu số bằng 3, ba số tiếp theo có tổng của tử và mẫu số 
bằng 4.
 Lại quan sát tiếp ta thấy: Kể từ phân số đầu, cách 1 phân số đến mẫu số là 2, cách 2 phân số đến mẫu số 3,  vậy phân số đứng ở vị trí thứ 1930 và của nhóm các số có tổng của tử và mẫu số bằng 1990 + 1930 = 3920. Số các số đứng trước của nhóm này bằng 1 + 2 + 3 +  + 3918 = 1959.3919. Vì nhóm có tổng của tử và mẫu số bằng 3920 thì gồm 3919 số nên nhóm đứng trước nhóm này gòm 3918 số.
 Vậy số đứng ở vị trí n = 1959.3919 + 1930 = 7679251
Bài 7: Tìm số tự nhiên x , biết rằng:
Hướng dẫn cách tìm lời giải:
 Trước hết ta xét phân số ta nhận thấy phân số này có tử là 2, có mẫu là tích của 2 số liên tiếp, nên có thể viết:
= 
 Vấn đề đặt ra là ta có thể biến đổi các phân số: về dạng phân số có tử là 2 và mẫu là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp được không?
 Để có tử là 2 cho các phân số trên, ta cần áp dụng tính chất cơ bản của phân số, cụ thể là:
; ; ;...
 Như vậy vế trái của đẳng thức gồm các phân số có dạng tử là 2 còn mẫu là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp. Cần tính tổng của các phân số ở vế trái để đưa bài toán về dạng tìm x đơn giản mà ta đã biết.
 Giải: 
Ta có thể viết: như sau:
 + + +...+ 2( - ) = 
 + + +...+ 2( - ) = 
 2( - + - + - +...+ - ) = 
 - = => x = 17
Bài 8: Chứng minh rằng: +++...+< 1
*) Hướng dẫn tìm cách giải
Ta thấy các phân số trong tổng ở vế trái là các phân số có tử là 1 còn mẫu là bình phương của một số tự nhiên n. (n)
<= ; <=
<= ; ... <=
Sau đó áp dụng tính chất: => a+c < b+d
Từ đó ta có điều phải chứng minh: +++...+< 1
 <= ; <=
 <= ; ... <=
Vậy: +++...+<+++...+
+++...+<+++...+
+++...+<1=<1
Hay +++...+< 1 (Điều phải chứng minh)
Bài 9: Chứng minh rằng: 
 < + + +...+ < 
 Giải
 Đặt A = + + +...+ 
 Ta có: 
 A < + + +...+ = - + - + - +...+ - 
 = - < 
 Ta có: 
 A > + + +...+ = - > 
 Vậy < A < 
 Như vậy, ở phần này ta đã giải quyết được một số các bài tập về dãy số ở dạng phân số. Tuy nhiên đó là các bài tập nhìn chung không hề đơn giản. Vì vậy
để áp dụng có hiệu quả thì chúng ta cần linh hoạt trong việc biến đổi theo các hướng sau:
 1 - Nếu mẫu là một tích thì bằng mọi cách biến đổi thành hiệu các phân số, từ đó ta rút gọn được biểu thức rồi tính được giá trị.
 2 - Đối với các bài tập chứng minh ta cũng có thể áp dụng cách làm về tính giá trị của dãy số, từ đó ta có thể biến đổi biểu thức cần chứng minh về dạng quen thuộc.
 IV. HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUYỆN
 1. Tính: A= 3 + 7+ 11+...+ 99
 2. Tính: B = 22 + 52 + 82 + ...+ (3n - 1)2 
 3. Tính: D = 7 + 74 + 77 + 710 +  + 73001
 4. Tính: E = 8 + 83 + 85 +  + 8801 
 5. Thực hiện phép tính: 2 - 2 - 2 - ...- 2 - 2- 1 
 6. Cho dãy số: 1; 2; 3;  . Hỏi chữ số thứ 2015 là chữ số nào?
 7. Tính: A = 
 8. Tính: B = 
 9. Tính C= 
HD: = = 
 10. Chứng minh rằng: S = 
HD: S= (1+ + +...+ )< (1+1- + - +...+ - )= - < 
 11. Chứng tỏ rằng:
 - + - + - < 
 12. Chứng minh rằng
 100 - 
 13. Tìm x, biết rằng:
 ++++= ĐS: x = 305
 14. Tìm số tự nhiên x , biết rằng:
 ĐS: x = 1999
2.4. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
 Đem áp dụng phương pháp này đối với 11 học sinh có lực học khá, giỏi môn toán của lớp 6 bằng cách cho 11 học sinh làm 4 số bài tập
 Kết quả cụ thể:
Trước khi dạy phương pháp dãy số
Số hs không làm được bài tập nào
Số hs làm được 01 bài tập
Số hs làm được từ 02 bài tập trở lên
SL
%
SL
%
SL
%
9
81,8
1
9,1
1
9,1
Sau khi dạy phương pháp dãy số.
Số hs không làm được bài tập nào
Số hs làm được 01 bài tập
Số hs làm được từ 02 bài tập trở lên
SL
%
SL
%
SL
%
3
27,27
6
54,54
2
18,19
 Khi áp dụ