SKKN Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh qua bài tập sử dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

I.Mở đầu
1.1.Lí do chọn đề tài
	Trong dạy học toán ta luôn coi mục đích chủ yếu là hình thành và phát triển tư duy toán học cho học sinh, tạo cho học sinh vốn kiến thức và biết vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Vì vậy việc xây dựng và hình thành cho học sinh những phương pháp giải quyết các bài toán sao cho nhanh gọn, dễ hiểu là rất cần thiết.
	Bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số là dạng toán phổ biến và quan trọng trong chương trình phổ thông và là một chuyên đề hay gặp trong các đề thi chọn học sinh giỏi ở phổ thông . Có nhiều phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất như sử dụng phương pháp hàm số, bất đẳng thức Côsi hay Bunhiacopsky... Đứng trước bài toán này học sinh phổ thông thường lúng lúng về phương pháp giải, vì việc vận dụng nhìn chung phụ thuộc rất nhiều vào đặc thù bài toán. Việc dùng công cụ hình học tọa độ vào giải quyết các bài toán đại số là một cách nhìn khá mới mẻ với học sinh THPT. Vì vậy để nâng cao tính tư duy sáng tạo cho học sinh tôi đã mạnh dạn chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “ Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh qua bài tập sử dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất” 
1.2. Mục đích nghiên cứu
Với đề tài này hy vọng góp phần nâng cao chất lượng học tập, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh trong quá trình giải bài tập toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng phương pháp hình học tọa độ, giúp các em đỡ lúng túng và tự tin khi đứng trước những bài toán này. Đặc biệt cho học sinh lớp 12 có thêm kiến thức chuẩn bị ôn thi THPT quốc gia. Hy vọng đề tài sẽ là tài liệu cho học sinh và giáo viên ôn tập trong các kì thi chọn học sinh giỏi ở lớp 10, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục.
1.3. Đối tượng nghiên cứu 
 	Nội dung chính của đề tài là nhìn bài toán đại số theo quan điểm hình học. Từ đó xây dựng hệ thống bài tập theo mức độ khó tăng dần nhằm cung cấp cho học sinh cách ứng dụng phương pháp hình học tọa độ vào tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức trong giải toán, qua đó phát huy tính tư duy sáng tạo cho học sinh.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
 - Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, một số tài liệu liên quan khác
	- Phương pháp quan sát: Quan sát quá trình dạy và học tại trường THPT Tĩnh Gia 4.
	- Thực nghiệm sư phạm: tổ chức một số tiết dạy thực nghiệm, cho kiểm tra thử với lớp đối chứng.
2. Nội dung sáng kiến kinh ngiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Sau đây là một số kiến thức bổ trợ cho phương pháp sử dụng tọa độ để giải toán:
 Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số [1]:
Cho hàm số y=f(x) xác định trên tập D
Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y= f(x) trên D nếu với mọi sao cho .
Kí hiệu .
Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y= f(x) trên D nếu với mọi sao cho .
Kí hiệu .
b) Một số tính chất của vectơ
1. . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi và cùng hướng. 
2. . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi và cùng phương. 
c) Các khái niệm và tính chất trong hệ trục tọa độ Oxy
1.Tọa độ của điểm 
2. Tọa độ vectơ 
3. Các công thức tọa độ vectơ
Cho thì:
+ và cùng phương 
+ 
+ 
+ Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm có vectơ pháp tuyến là là : .
+ Phương trình đường tròn tâm I(a,b) bán kính R là: .
 Hoặc có dạng . Trong trường hợp này mặt cầu có tâm là I(a,b) bán kính . 
+ Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng là:
Bất đẳng thức tam giác
 Với 3 điểm A,B,C bất kì ta luôn có: . Dấu “=” xảy ra khi A,B,C theo thứ tự đó thẳng hàng.
Tổng quát: Trong tất cả các đường gấp khúc nối hai điểm A, B cho trước thì đoạn thẳng AB có độ dài nhỏ nhất.
Tính chất khoảng cách 
Cho điểm M nằm ngoài đường thẳng d. Khi đó độ dài đoạn thẳng MH ngắn nhất khi H là hình chiếu vuông góc của M trên d.
2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
 Thực tế bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số là một vấn đề khó khăn với nhiều học sinh. Đặc biệt là với những biểu thức nhiều tham số . Với một số bài toán nếu tinh ý lựa chọn hệ trục hoặc vectơ phù hợp ta sẽ tọa độ hóa bài toán, làm cho bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Tuy nhiên trên thực tế, học sinh còn những hạn chế và thường gặp những khó khăn sau:
 + Kiến thức hình học còn yếu, vì thế nhiều học sinh có tâm lí ngại học phần này.
 + Khả năng phân tích, tổng hợp kiến thức chưa tốt.
 + Kĩ năng biến đổi, phân loại các dạng toán và tìm mối liên hệ giữa các dạng toán chưa tốt.
 Khảo sát chất lượng học sinh lớp 12 trường THPT Tĩnh Gia 4 cho thấy chỉ có một số học sinh làm tốt, còn lại một bộ phận học sinh làm nhưng không đúng hoặc làm lung tungvà thường bị mất điểm ở những bài tập này.
 Từ những vấn đề trên tôi áp dụng sáng kiến vào thực tế giảng dạy và bước đầu thu được kết quả tốt trong năm qua.
2.3. Giải pháp giải quyết vấn đề
 Như đã nói ở trên, đối với các dạng bài tập này chỉ cần chọn hệ trục tọa độ, hoặc các vectơ phù hợp bà toán sẽ trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Sau đây là một số bài tập minh họa cho phương pháp này. Hi vọng thông qua các bài tập này các em có thể áp dụng để giải những bài tập tương tự.
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên R.
Hãy chọn đáp án đúng ?
A.1+ 	B.	C.2	D. 1+
Hướng dẫn: 
Đặt 
Ta có: 
Do ta có: 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi cùng phương 
Từ bất đảng thức ta có:
Vậy 
Chọn đáp án B
Bài 2: Tìm max của . Hãy chọn đáp án đúng?
A. 	B.3	C. 	D. 
Hướng dẫn:
Đặt 
Từ bất đăng thức ta có:
Vậy Max f(x) = khi và chỉ khi cùng phương : 
Chọn đáp án A
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Hãy chọn đáp án đúng ?
A. 	B.	C.	D.2
Hướng dẫn :
Ta có: 
Đặt . Khi đó:
Do nên ta có:
Vậy minA= khi và chỉ khi cùng phương: 
Chọn đáp án C 
Bài 4: Với mọi , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Hãy chọn đáp án đúng?
A. Min A = 1	B. Min A = 2	
C. Min A = 3	D. Min A = 4
Hướng dẫn:
 Đặt 
Suy ra: 
Do nên ta có: 
Vậy Min A = 2. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
Chọn đáp án B 
Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức bằng cách chọn một đáp án đúng trong các đáp án sau:
	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn: 
 Đặt . Ta có 
Từ đó ta có:
 Khi đó:
Do 
Vậy Max C = khi 
Chọn đáp án C 
Bài 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Hãy chọn một đáp án đúng?
A.3	B.4	C.5	D.6
Hướng dẫn: Xét 3 vectơ .
Suy ra và:
 Áp dụng BĐT: . Suy ra: 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi cùng phương, cùng chiều hay trong hai vectơ ấy có ít nhất một vectơ là vectơ không.
Vậy Min D = 5 khi . 
Chọn đáp án C
Bài 7: Cho . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
Chọn một đáp án đúng?
A. 	B. 	C.8	D. 
Hướng dẫn: 
 Đặt . Ta có:
Từ bất đẳng thức ta có: 
(1)
Theo bất đẳng thức côsi ta có: 
Khi đó 
Vậy Max P = tại .
Chọn đáp án D
 Bài 8: Cho x,y là hai số thực thỏa mãn 
Tìm Max của . Hãy chọn một đáp án đúng?
A.5	B.6	C. 	D. 
Hướng dẫn: Đặt 
Từ bất đăng thức ta có: 
Đặt ; = 
Từ bất đăng thức ta có: 
Từ (1) và (2) ta có: .
Dấu “=” xảy ra khi và chi khi và cùng phương.
Vậy Max A= 5 
Chọn đáp án A
Bài 9: Cho . Tìm giá trị lớn nhất của [2]
Hãy chọn đáp án đúng?
A. Max S=	 B. Max S=
D. Max S= D. Max S=
Hướng dẫn: 
 Ta có: 
Đặt ; 
Từ bất đăng thứ c ta có:
 Vậy Max S= 
Dấu “=” xảy ra cùng phương 
Chọn đáp án D
Bài 10: Giả sử a,b,c là các tham số làm cho hàm số :
 xác định với mọi x. Tìm giá trị lớn nhất của F(x) trên R. Hãy chọn đáp án đúng ? [3]
A. 	B. 
C. 	D. 
Hướng dẫn:
Đặt . Khi đó ta có:
Từ bất đăng thứ c ta có:
Đặt g(x) = suy ra:
 khi và chỉ khi 
Ta có: F(x) = g(x) + m sin2x
+) Nếu 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
+) Nếu 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy 
Chọn đáp án D
Bài 11: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
 [4]
Hãy chọn đáp án đúng?
A.Max y = ; Min y =	5	B.Max y = ; Min y =4
C.Max y = ; Min y =	5	D.Max y = ; Min y =4
Hướng dẫn : Ta có 
Gọi M(2, 1-cosx); N(4;3). Do nên M thuộc đoạn với . 
Gọi I là giao điểmcủa ON và y= OM + MN. 
+) y đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi O, M, N thẳng hàng. Hay M trùng với I.
Vậy Min y = ON = =5
+) y đạt giá trị lớn nhất khi M ở xa I nhất
Chọn đáp án A
Bài 12: Cho hai số a,b thỏa mãn điều kiện: . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Hãy chọn một đáp án đúng?
5	B.6	C.7	D.8
Hướng dẫn: Ta có (1)
Xét đường thẳng (d): x-2y+2=0. Các điểm A(3;5); B(5;7), Gọi M( a,b) thuộc (d). Theo công thức tính khoảng cách giữa hai điểm nằm trên mặt phẳng tọa độ thì P = MA+ MB.
 Gọi là điểm đối xứng của A qua d. Gọi H là hình chiếu của A trên d.
Ta có phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (d) là 
 2x + y -11=0.
Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ : 
Do H là trung điểm của nên 
Ta có 
Do B(5,7), nên . Suy ra Min P = 6
Dấu bằng xảy ra . Ta tìm tọa độ điểm 
Ta có phương trình : x=5
Tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình : 
Hay dấu bằng của bài toán xảy ra khi và chỉ khi 
Chọn đáp án B
Bài 13: Cho a,b là hai số thỏa mãn điều kiện : 
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=4a+3b. Hãy chọn đáp án đúng?
Max A=14; Min A=3	B. Max A=36; Min A=13	
C. Max A=40; Min A=10	D. Max A=35; Min A=9
Hướng dẫn:
Ta có: . Từ đó suy ra nếu a,b là hai số thỏa mãn điều kiện đề bài thì điểm M(a,b) nằm trên đường tròn (C) tâm 
O1 (4,3), bán kính bằng 3.
Từ giả thiết ta có: . Mà .
Nối OO1 cắt đường tròn tại M1, M2 . Vì M1, M2 là các điểm trên đường tròn (C) gần và xa O nhất nên hiển nhiên ta có: . 
Do OO1=5 nên ta có OM1 = OO1 - O1M1 = 5-3 = 2
 OM2 = OO1 + O1M2 = 5+3 = 8
Như vậy hay
Suy ra 
Vậy Min A = 10 khi M trùng với M1. Theo định lí talet ta có:
Suy ra hay 
+ Max A = 40, tương tự ta tìm được hay 
Chọn đáp án C 
Bài 14: Cho a,b,c,d là 4 số thỏa mãn điều kiện:
Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Hãy chọn đáp án đúng?
A. 
B.
C. 
D. 
Hướng dẫn: 
Ta có
Như vậy nếu a,b,c,d là các số thỏa mãn điều kiện đề bài thì các điểm M(a,b) nằm trên đường tròn (C1) có tâm là O1(1;1) bán kính bằng 1 và điểm N(c,d) nằm trên đường tròn (C2) có tâm O2(6;6) bán kính bằng 6.
Nối O với O1O2 ( hiển nhiên O,O1,O2 thẳng hàng ) cắt (C1) tại M1, M2 và cắt (C2) tại N1, N2. 
 	Dựa vào đồ thị ta thấy M1N2 và M2N1 là các khoảng cách xa nhất và gần nhất giữa hai điểm trên hai đường tròn. Như vậy với mọi cặp điểm M,N trên hai đường tròn ta có: . Do nên ta có: 
Tương tự . Khi đó ta có:
Dấu “=” bên phải xảy ra . 
Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc của lên Ox. Theo talet ta có:
Tương tự 
Dấu “=” bên trái xảy ra 
Vậy max A= , min A=
Chọn đáp án D 
Bài 15: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: 
biết . 
 Hãy chọn đáp án đúng trong các đáp án sau:
A. 	B. 
C. 	D. 
Hướng dẫn:
Ta có 
Gọi P0 là một giá trị của biểu thức P. Khi đó nếu a,b là hai số thỏa mãn điều kiện bài toán thì điểm M(a,b) nằm trên đường tròn tâm O1 (2,4) , bán kính và nằm trong tứ giác ABCD với A(1;0); B(0;2); C(0;3); D(9,0).
Ta có . Khi đó bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của . 
Dựa vào đồ thị dễ thấy . Mà phương trình CD: x+3y-9 =0
Suy ra 	khi và chỉ khi (H là hình chiếu vuông góc của O1 trên CD ). Dễ dàng tìm được điểm tức 
+ khi và chỉ khi 
Chọn đáp án A 
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức: 
Trong đó x,y là các số thực thỏa mãn 2x – y = 2 
(Trích đề thi học sinh giỏi quốc gia năm 1998)
Đáp án : 
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 
Với p, q là hai số thực cho trước và .
(Trích bài 157 sách “ Các dạng toán về bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong đại số, hàm số, hình học )
Đáp số: 
Bài 3: Cho a,b,c >0 và ab+bc+ac=abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Đáp án: Min P = khi và chỉ kh a = b = c = 3
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
2.4.1. Đối với hoạt động giáo dục
 + Thực nghiệm sư phạm là quá trình rất quan trọng nhằm làm sáng tỏ những vấn đề lí luận của đề tài ở trường THPT Tĩnh Gia 4, đồng thời kết quả thu được của thực nghiệm là cơ sở khoa học để xác định tính đúng đắn của đề tài.
 + Kết quả của việc thực nghiệm sư phạm sẽ cho biết được sự phù hợp của đề tài với xu hướng đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực hiện nay.
 Sau một năm học 2017-2018 cho việc áp dụng cho đối tượng học sinh ở 4 lớp 12 của trường THPT Tĩnh Gia 4, trong đó có hai lớp thực nghiệm và hai lớp đối chứng. Kết quả thực nghiệm được tiến hành một cách khách quan trên các lớp thực nghiệm và đối chứng. Kết quả thu được như sau:
 Lớp và số lượng học sinh tham gia thực nghiệm:
STT
Lớp
Sỉ số học sinh
Tổng số học sinh
1
12C2
39
75
2
12C3
36
Lớp và số lượng học sinh đối chứng:
STT
Lớp
Sỉ số học sinh
Tổng số học sinh
1
12C5
35
76
2
12C8
41
Tổng hợp điểm kiểm tra của các lớp đối chứng	
Lớp
SL
Loại giỏi
Loại khá
Loại TB
Loại yếu
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12C5
35
1
2,9
6
17,1
15
42,9
13
37,1
12C8
41
0
0
7
17,1
16
39
18
43,9
Tổng hợp điểm kiểm tra của các lớp thực nghiệm
Lớp
SL
Loại giỏi
Loại khá
Loại TB
Loại yếu
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12C2
39
6
15,4
17
43,6
12
30,8
4
10,2
12C3
36
5
13,9
14
38,9
11
30,5
6
16,7
2.4.2. Đối với bản thân: 
 - Giáo viên phải phân tích sâu, kỹ về kiến thức chuyên môn và các kiến thức liên quan đến bài dạy. Từ đó mà bồi dưỡng cho mình kiến thức chuyên môn vững vàng.
 - Thông qua đề tài sáng kiến kinh nghiệm,những cách giải quyết vấn đề khác nhau của học sinh làm cho giáo viên có nhiều kinh nghiệm hơn trong dự đoán và xử lí tình huống.
2.4.3. Đối với đồng nghiệp, tổ nhóm chuyên môn
Đây là phương pháp không quá khó, giáo viên nào cũng có thể thực hiện được . Và đặc biệt là áp dụng được với tất cả các đối tượng học sinh. Nên tôi đã đem phổ biến trong tổ, các anh em trong tổ cũng có nhiều góp ý quý báu và tôi đã mạnh dạn áp dụng vào lớp mình phụ trách và bước đầu đã mang lại thành công .
3. Kết luận và kiến nghị
3.1. Kết luận 
 Thông qua quá trình làm sáng kiến tôi đã rút ra cho mình những bài học kinh nghiệm như sau:
 1.Đối với các bài toán đòi hỏi sự tư duy như các dạng toán ở trên thì đôi lúc học sinh phân tích bài giải không đúng với yêu cầu của giáo viên, khi đó giáo viên phải tôn trọng và phân tích theo hướng giải của các em sau đó chỉ rõ các ưu khuyết điểm của hướng giải mà các em đã đưa ra.
 2. Theo phương pháp trên giúp học sinh tiếp thu bài học một cách tích cực và giải quyết vấn đề một cách sáng tạo khoa học. Kết quả thu được góp phần không nhỏ, đáp ứng nhu cầu đổi mới phương pháp mà ngành giáo dục đề ra.
 3. Trong quá trình làm sáng kiến tôi thấy phương pháp tọa độ ngoài ứng dụng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất còn nhiều ứng dụng khác nữa như: chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình Vì vậy tôi khuyến khích các em học sinh tìm hiểu thêm về các ứng dụng khác của phương pháp này.
	4. Thực tế giảng dạy cho thấy học sinh rất hào hứng tiếp thu và vận dụng ý tưởng của đề tài, học sinh không còn sợ mà trở nên thích thú, ham tìm hiểu về những bài toán tương tự. Tuy nhiên không phải bất kì bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất nào cũng có thể dùng phương pháp tọa độ. Ngoài phương pháp tọa độ nêu trên còn rất nhiều kĩ thuật và phương pháp khác để giải dạng toán này. Tuy nhiên phương pháp này cho thấy việc sử dụng phương pháp tọa độ trong hình học vào giải quyết vào các bài toán đại số là rất mạnh mẽ, làm cho nhiều bài toán trở nên gọn gàng, sáng sủa hơn rất nhiều.
3.2. Đề xuất và kiến nghị:
 Việc nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn toán học là nhiệm vụ, trách nhiệm cũng là lương tâm của các thầy, cô giáo. Với tinh thần đó tôi mong muốn góp phần nhỏ trí tuệ của mình trong giảng dạy với các đồng nghiệp. Tuy nhiên do năng lực và thời gian có hạn, tôi rất mong được sự đóng góp, bổ sung của các đồng nghiệp và hội đồng khoa học các cấp để sáng kiến kinh nghiệm của tôi được hoàn chỉnh hơn,đồng thời giúp đỡ tôi tiến bộ và thành công trong giảng dạy. Mong tất cả các thầy, cô giáo có nhiều SKKN hay góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy nói chung và bộ môn Toán nói riêng.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG
Thanh hóa, ngày 24 tháng 5 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKSN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
 Người thực hiện
 Lê Thị Phượng 
PHỤ LỤC
MỘT SỐ SÁCH VÀ WEBSITE ĐÃ THAM KHẢO
Toán nâng cao hình học THPT- Nhà xuất bản ĐH sư phạm- Nguyễn Vĩnh Cận
2
Các dạng toán luyện thi đại học - Nhà xuất bản HN- Phan Huy Khải
3
Tuyển chọn theo chuyên đề Toán học và tuổi trẻ quyển 1,2,3,4 - Nhà xuất bản giáo dục
4
 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức- Nhà xuất bản Hà Nội - Phan Huy Khải
5
Các dạng toán về bất đẳng thức , giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong đại số, hàm số, hình học- Nhà xuất bản Đà Nẵng - Nguyễn Văn Qúy, Nguyễn Tiến Dũng, Nguyễn Việt Hà
6
Các phương pháp giải toán sơ cấp đại số 10- Nhà xuất bản Hà Nội- Phan Huy Khải- Nguyễn Đạo Phương
7
Bất đẳng thức, bất phương trình đại số - Nhà xuất bản giáo dục - Nguyến Thế Hùng
4
www.mathvn.com
5
www.vnmath.com
6
7
8
[1]: Trích sách giáo khoa Giải tích 12- Nhà xuất bản giáo dục
[2]: Trích đề bài 315 – Sách 500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức – Nhà xuất bản Hà Nội. (Các bạn có thể tham khảo cách giải khác tử tài iệu này).
[3] Trích đề bài tập 466 – Sách 500 bài toán chọn lọc về bất đẳng thức – Nhà xuất bản Hà Nội. (Các bạn có thể tham khảo cách giải khác tử tài iệu này).
[4] Trích bài 159 – Sách các dạng toán bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất – nhà xuất bản Đà nẵng.