SKKN Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khá giỏi lớp 12 thông qua các bài toán về tính đơn điệu, cực trị liên quan đến đồ thị hàm số f'(x)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT SẦM SƠN
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHÁT TRIỂN TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP 12 THÔNG QUA CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU, CỰC TRỊ LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ f'(x) 
Người thực hiện: Nguyễn Minh Thế
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán
THANH HOÁ NĂM 2018
MỤC LỤC
Trang
I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Từ năm học 2016-2017, Bộ Giáo dục và Đào tạo thực hiện đổi mới trong kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc gia (THPTQG). Trong đó môn toán được đổi từ hình thức thi từ tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm. Việc thay đổi đã tạo nên nhiều bỡ ngỡ cũng như khó khăn cho cả giáo viên và học sinh trong việc ôn luyện. Hình thức thi trắc nghiệm môn toán đòi hỏi một số cách tiếp cận vấn đề mới so với hình thức thi tự luận. Đặc biệt một lớp bài toán liên quan đến đồ thị hàm số học sinh cần có tư duy sáng tạo để giải quyết trong một khoảng thời gian nhất định.
Trước vấn đề trên tôi thấy cần có một lý thuyết, phương pháp và phân dạng bài tập đối với loại toán này.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Để cho học sinh thấy được mối liên hệ của đồ thị hàm số với các vấn đề của hàm số . Từ đó có thể làm tốt các dạng toán này, mang lại kết quả cao trong các kì thi, đặc biệt là kì thi THPTQG 2017-2018.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là vận dụng một số lý thuyết trong chương trình SGK 12 để giải quyết các dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số .
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm.
II. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1. Sự tương giao giữa đồ thị hàm số y = f(x) và trục hoành.
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm 
2.1.2. Dấu hiệu nhận biết tính đồng biến, nghịch biến và điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số bằng đồ thị hàm số f'(x).
Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Khi đó:
+ Hình 1: Hàm số đồng biến trên , nghịch biến trên và đạt cực đại tại .
+ Hình 2: Hàm số nghịch biến trên , đồng biến trên và đạt cực tiểu tại .
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
	Hiện nay, đa số các em học sinh còn rất lúng túng trong việc giải các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số . Với mong muốn có một hệ thống các bài tập liến quan đến liên quan đến đồ thị hàm số để các em làm tốt hơn các bài tập thuộc dạng này, đặc biệt có liên quan đến tính đơn điệu và cực trị của hàm số.
Vì vậy, bản thân tôi cũng đã viết được sáng kiến kinh nghiệm cho mình: 
"Phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khá, giỏi lớp 12 thông qua các bài toán về tính đơn điệu , cực trị liên quan đến đồ thị hàm số f'(x)"
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x), y = f(x ± a), y = f(x) ± ax
Ví dụ 1: Cho hàm số xác định trên và có đồ thị hàm số là đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây ĐÚNG?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng .
Hướng dẫn: 
Cách 1: sử dụng bảng biến thiên.
Từ đồ thị của hàm số ta có bảng biến thiên như sau:
Chọn đáp án: D
Cách 2: Quan sát đồ thị hàm số 
- Nếu trong khoảng đồ thị hàm số nằm trên trục hoành (có thể tiếp xúc) thì đồng biến trên .
- Nếu trong khoảng đồ thị hàm số nằm dưới trục hoành (có thể tiếp xúc) thì nghịch biến trên .
- Nếu trong khoảng đồ thị hàm số vừa có phần nằm dưới trục hoành vừa có phần nằm trên trục hoành thì loại phương án đó.
	Trên khoảng ta thấy đồ thị hàm số nằm bên dưới trục hoành nên ta chọn đáp án D. 
Ví dụ 2: Cho hàm số . Biết có đạo hàm là và hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Kết luận nào sau đây là ĐÚNG?
A. Hàm số chỉ có hai điểm cực trị.
B. Hàm số đồng biến trên khoảng .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng .
Hướng dẫn: 
Trên khoảng ta thấy đồ thị hàm số nằm trên trục hoành nên chọn đáp án B. 
Ví dụ 3: Cho hàm số xác định trên và có đồ thị của hàm số như hình vẽ . Mệnh đề nào sau đây ĐÚNG?
A. Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 
C. Hàm số đồng biến trên khoảng 
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng .
Hướng dẫn:
Trên khoảng ta thấy đồ thị hàm số nằm trên trục hoành nên chọn đáp án C.
Ví dụ 4: Cho hàm số xác định trên và có đồ thị của hàm số như hình vẽ . Mệnh đề nào sau đây ĐÚNG?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng 
B. Hàm số đồng biến trên khoảng 
C. Hàm số đồng biến trên khoảng 
D. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng và 
Hướng dẫn:
Trong khoảng đồ thị hàm số nằm trên trục hoành nên hàm số đồng biến . Ta chọn đáp án B.
Ví dụ 5: Cho hàm số có đạo hàm xác định, liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là ĐÚNG?
A. Hàm số đồng biến trên 
B. Hàm số đồng biến trên và 
C. Hàm số nghịch biến trên 
D. Hàm số đồng biến trên 
Hướng dẫn:
Trên khoảng và đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành nên chọn đáp án B.
Ví dụ 6: Cho hàm số có đồ thị như hình bên dưới. Mệnh đề nào sau đây SAI?
A. Hàm số có 2 cực trị.
B. 
C. Hàm số giảm trên khoảng 
D. Hàm số giảm trên khoảng 
Hướng dẫn: 
Trên khoảng đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành nên chọn đáp án D.
Ví dụ 7: Cho hàm số có đạo hàm xác định, liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây là ĐÚNG?
A. Hàm số đồng biến trên 
B. Hàm số đồng biến trên và 
C. Hàm số đồng biến trên 
D. Hàm số đồng biến trên 
Hướng dẫn:
Trên khoảng đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành nên chọn đáp án C.
Ví dụ 8: Cho hàm số . Biết rằng hàm số có đạo hàm là và hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Khi đó nhận xét nào sau đây là SAI?
A. Trên hàm số đồng biến.
B. Hàm số nghịch biến trên đoạn .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 
Hướng dẫn: 
Chọn đáp án: B.
Ví dụ 9: Cho hàm số liên tục và xác định trên . Biết có đạo hàm và hàm số có đồ thị như hình vẽ. Xét trên , khẳng định nào sau đây ĐÚNG?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng .
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng và .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng .
Hướng dẫn:
Trong khoảng đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành nên hàm số đồng biến trên khoảng ta chọn đáp án D.
Ví dụ 10: Cho hàm số liên tục và xác định trên . Biết có đạo hàm và hàm số có đồ thị như hình vẽ, khẳng định nào sau đây ĐÚNG?
A. Hàm số đồng biến trên 
B. Hàm số nghịch biến trên 
C. Hàm số chỉ nghịch biến trên khoảng .
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng .
Hướng dẫn:
Trong khoảng đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành nên hàm số nghịch biến trên khoảng ta chọn đáp án D.
Ví dụ 11: Cho hàm số liên tục và xác định trên . Biết có đạo hàm và hàm số có đồ thị như hình vẽ, khẳng định nào sau đây ĐÚNG?
A. Hàm số đồng biến trên 
B. Hàm số nghịch biến trên 
C. Hàm số chỉ nghịch biến trên khoảng .
D. Hàm số đồng biến trên khoảng .
Hướng dẫn:
Trong khoảng đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành nên hàm số nghịch biến trên khoảng ta chọn đáp án C.
Dạng 2. Tìm cực trị của hàm số y = f(x), y = f(x ± a), y = f(x) ± ax
Ví dụ 12: Hàm số liên tục trên khoảng , biết đồ thị của hàm số trên như hình vẽ bên. Tìm số cực trị của hàm số trên .
A. 1.	B. 2.
C. 3.	D. 4.
Hướng dẫn:
Đối với dạng này ta chỉ cần tìm xem đồ thị cắt trục tại bao nhiêu điểm mà thôi, không kể các điểm mà đồ thị tiếp xúc với trục . Ta chọn đáp án B.
Nhận xét: Xét một số thực dương. Ta có thể đổi yêu cầu lại là: Tìm số cực trị của hàm số hoặc trên , thì đáp án vẫn không thay đổi. Chú ý số cực trị của các hàm số , và là bằng nhau nhưng mỗi hàm số đạt cực trị tại các giá trị khác nhau!
Giả thiết ở Ví dụ trên và các Ví dụ sau có thể thay đổi theo hướng như sau:
Hàm số liên tục trên khoảng và có đồ thị như hình vẽ. Biết là một nguyên hàm của hàm số . Tìm số cực trị của hàm số trên .
Ví dụ 13: Cho hàm số xác định và có đạo hàm . Đồ thị của hàm số như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là ĐÚNG?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng .
B. Hàm số đồng biến trên khoảng .
C. Hàm số có ba điểm cực trị.
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng .
Hướng dẫn: Chọn đáp án C.
Ví dụ 14: Hàm số có đạo hàm trên khoảng . Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số trên khoảng . Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 0.	B. 1.
C. 2.	D. 4.
Hướng dẫn:
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm nên chọn đáp án B. 
Ví dụ 15: Hàm số liên tục trên khoảng , biết đồ thị của hàm số trên như hình vẽ. Tìm số cực trị của hàm số trên ?
A. 0.	B. 1.
C. 2.	D. 3.
Hướng dẫn: 
Ta có có đồ thị là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số theo phương trục hoành sang trái 1 đơn vị. Khi đó đồ thị hàm số vẫn cắt trục hoành tại 1 điểm. Ta chọn đáp án B.
Ví dụ 16: Cho hàm số có đồ thị của nó trên khoảng như hình vẽ. Khi đó trên hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1.	B. 4.
C. 3.	D. 2.
Hướng dẫn: 
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm nên chọn đáp án A.
Ví dụ 17: Cho hàm số xác định và liên tục trên . Biết đồ thị của hàm số như hình vẽ. Tìm điểm cực tiểu của hàm số ?
A. và 	
B. và 	
C. 	
D. 
Hướng dẫn: 
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm nhưng có điểm cực tiểu nên chọn đáp án C.
Ví dụ 18: Cho hàm số có đồ thị của nó trên khoảng như hình vẽ. Khi đó trên hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1.	B. 4.
C. 3.	D. 2.
Hướng dẫn:
Đồ thị hàm số là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số theo phương trục hoành nên đồ thị hàm số vẫn cắt trục hoành 1 điểm. Ta chọn đáp án A.
Ví dụ 19: Cho hàm số xác định trên và có đồ thị của hàm số như hình vẽ bên. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1.	B. 2.
C. 3.	D. 4.
Hướng dẫn: 
Đồ thị hàm số là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số theo phương trục hoành nên đồ thị hàm số vẫn cắt trục hoành tại 3 điểm. Ta chọn đáp án C.
Ví dụ 20: Cho hàm số xác định trên và có đồ thị của hàm số như hình vẽ . Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1.	B. 2.
C. 3.	D. 4.
Hướng dẫn:
Ta có nên đồ thị là phép tịnh tiến đồ thị hàm số theo phương lên trên 4 đơn vị. Khi đó đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm, ta chọn đáp án A.
Ví dụ 21: Cho hàm số xác định trên và có đồ thị của hàm số như hình vẽ. Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1.	B. 2.
C. 3.	D. 4.
Hướng dẫn:
 có đồ thị là phép tịnh tiến đồ thị của hàm số theo phương xuống dưới 3 đơn vị. Khi đó đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm, ta chọn đáp án C.
Ví dụ 22: Cho hàm số liên tục trên . Hàm số có đồ thị như hình vẽ. Hàm số có bao nhiêu cực trị?
A. 	B. 
C. 	D. 
Hướng dẫn: 
Ta có . Suy ra đồ thị của hàm số là phép tịnh tiến đồ thị hàm số theo phương xuống dưới đơn vị.
Chọn đáp án D.
Ví dụ 23: Cho hàm số xác định và liên tục trên , có đồ thị của hàm số như hình vẽ sau. Đặt . Tìm số cực trị của hàm số ?
A. 1.	B. 2.
C. 3.	D. 4
Hướng dẫn:
Ta có . Đồ thị của hàm số là phép tịnh tiến đồ thị của hàm số theo phương lên trên 1 đơn vị, khi đó đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt, ta chọn đáp án B.
Ví dụ 24: Cho hàm số . Biết có đạo hàm và hàm số có đồ thị như hình vẽ. Đặt . Kết luận nào sau đây ĐÚNG?
A. Hàm số có hai điểm cực trị.
B. Hàm số đồng biến trên khoảng .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng .
D. Hàm số có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại.
Hướng dẫn: 
Cách 1 : 
Ta chọn đáp án D.
Cách 2: Đồ thị hàm số là phép tịnh tiến đồ thị hàm số theo phương trục hoành sang trái 1 đơn vị.
Ta chọn đáp án D.
Ví dụ 25: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây ĐÚNG?
A. Hàm số đạt cực đại tại điểm 
B. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm 
C. Hàm số đạt cực tiểu tại điểm 
D. Hàm số đạt cực đại tại điểm .
Hướng dẫn:
Giá trị của hàm số đổi dấu từ âm sang dương khi qua nên chọn đáp án C.
Ví dụ 26: Cho hàm số xác định trên và có đồ thị hàm số là đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây ĐÚNG?
A. Hàm số đạt cực tiểu tại và .
B. Hàm số có 4 cực trị.
C. Hàm số đạt cực tiểu tại .
D. Hàm số đạt cực đại tại .
Hướng dẫn:
Giá trị của hàm số đổi dấu từ âm sang dương khi qua nên ta chọn đáp án C.
Ví dụ 27: Cho hàm số xác định trên và có đồ thị hàm số là đường cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây ĐÚNG?
A. Hàm số đạt cực đại tại .
B. Hàm số đạt cực tiểu tại .
C. Hàm số có 3 cực trị.
D. Hàm số đạt cực đại tại .
Hướng dẫn:
Giá trị của hàm số đổi dấu từ dương sang âm khi qua nên ta chọn đáp án A.
Ví dụ 28: Cho hàm số xác định trên và có đồ thị của hàm số như hình vẽ bên. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào SAI?
A. đạt cực tiểu tại 
B. đạt cực tiểu tại 
C. đạt cực đại tại 
D. Cực tiểu của nhỏ hơn cực đại của .
Hướng dẫn:
Giá trị hàm số đổi dấu từ dương sang âm khi qua nên ta chọn đáp án B.
Ví dụ 29: Cho hàm số . Biết có đạo hàm và hàm số có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đạt cực đại tại điểm nào dưới đây?
A. 	B. 
C. 	D. 
Hướng dẫn:
Cách 1 : 
Ta chọn đáp án B.
Cách 2: Đồ thị hàm số là phép tịnh tiến đồ thị hàm số theo phương trục hoành sang phải 1 đơn vị.
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ và giá trị hàm số đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm . Ta chọn đáp án B.
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên , đồ thị của hàm số là đường cong ở hình bên. Mệnh đề nào sau đây ĐÚNG?
A. Hàm số đạt cực đại tại .
B. Hàm số có điểm cực tiểu thuộc khoảng .
C. Hàm số có đúng hai điểm cực trị.
D. Hàm số đạt cực tiểu tại .
Trả lời: Chọn D.
Bài 2: Cho hàm số đa thức xác định và liên tục trên có đồ thị như hình vẽ. Chọn phát biểu ĐÚNG khi nói về hàm số .
A. Hàm số có hai điểm cực trị.
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng .
C. .
D. và .
Trả lời: Chọn C.
Bài 3: Cho hàm số xác định, liên tục trên và có đồ thị của đạo hàm như hình bên. Tìm số điểm cực tiểu của hàm số .
A. 1.	B. 2.
C. 3.	D. 4.
Trả lời: Chọn B.
Bài 4: Cho hàm số có đạo hàm trên . Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số . Hỏi hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1.	B. 2.
C. 3.	D. 4.
Trả lời: Chọn A.
Bài 5: Cho hàm số có đạo hàm trên . Hình vẽ bên là đồ thị của hàm số . Phương trình với có nhiều nhất bao nhiêu nghiệm?
A. 2.	B. 3.
C. 4.	D. 5.
Trả lời: Chọn A.
Bài 6: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số .
A. 1.	B. 2.
C. 4.	D. 3.
Trả lời: Chọn D.
Ta có 
Khi đó: (do).
Bài 7: (SỞ NAM ĐỊNH 2018) Cho hàm số liên tục trên . Biết rằng hàm số có đồ thị như hình vẽ. Hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. .	B. .
C. .	D. .
Trả lời: Chọn D.
Bài 7: (ĐỀ THAM KHẢO 2018)
Cho hàm số . Hàm số có đồ thị như hình bên. Hàm số đồng biến trên khoảng
A. .	B. .
C. .	D. .
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Kết quả thu được sau 2 lần kiểm tra của học sinh khá, giỏi lớp 12A5 của trường như sau
Dưới trung bình
Trung bình
Khá
Giỏi
Thời gian
Lần 1
10/43
25/43
5/43
3/43
Lần 2
15/43
18/43
10/43
Nhanh hơn
Sau khi áp dụng tôi cảm thấy hài lòng với kết quả trên, đa số các em hiểu và giải quyết tốt được vấn đề.
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận.
Sáng kiến kinh nghiệm đã tương đối thể hiện đầy đủ các dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số và phương pháp giải.
Tôi hy vọng sáng kiến kinh nghiệm này sẽ giúp học sinh tự tin hơn khi giải quyết các dạng bài tập liên quan đến đồ thị của hàm số từ đó đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới.
3.2. Kiến nghị
	Với sáng kiến kinh nghiệm này tôi muốn chia sẻ với quý thầy cô đồng nghiệp một số kinh nghiệm mà bản thân đã tích lũy được trong nhiều năm giảng dạy. Hy vọng qua sáng kiến kinh nghiệm này quý thầy cô giảng dạy sẽ lồng ghép sử dụng hình động vào bài giảng của mình, để tiết dạy trở nên đơn giản dễ hiểu hơn cho học sinh. 
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 18 tháng 5 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)
Nguyễn Minh Thế
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Giải tích 12; tác giả Trần Văn Hạo (Tổng Chủ biên), nhà xuất bản Giáo dục. 
[2]. Đề minh tham khảo môn toán năm 2018 của bộ GDĐT. 
[3]. Đề thi thử của một số trường trong nước.