SKKN Phát triển tư duy cho học sinh lớp 6A3 trường THCS Nguyễn Văn Trỗi thông qua giải bài toán số học

MỤC LỤC
I. Mục lục
1
1.2. Lý do chọn đề tài
2
1.3.Đỗi tượng nghiên cứu
2
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2
1.5. Những điểm đổi mới của SKKN
3
II. Nội dung SKKN
3
2.1. Cơ sở lý luận của SKKN
3
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi nghiên cứu
3
2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện
5
2.4. Hiệu quả của SKKN
18
III. Kết luận và kiến nghị
18
3.1. Kết luận
18
3.2. Kiến nghị
19
3.3. Tài liệu tham khảo
19
I.MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài 
Cùng với sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục luôn đổi mới không ngừng. Các nhà trường luôn chú trọng đến chất lượng toàn diện bên cạnh sự đầu tư thích đáng cho giáo dục. Với vai trò là môn học công cụ, bộ môn Toán đã góp phần tạo điều kiện cho các em học tốt các môn khoa học tự nhiên khác.
Dạy toán là một hoạt động toán học cho học sinh, trong đó giải toán là công việc chủ yếu. Để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh, ngoài việc trang bị tốt hệ thống kiến thức cơ bản và rèn luyện kỹ năng giải bài tập, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh biết khai thác, mở rộng kết quả những bài toán đơn giản và xây dựng bài toán gốc để giải một loạt các bài toán liên quan. Điều này giúp học sinh tự tìm tòi suy nghĩ ra những bài toán mới và có những cách giải sáng tạo.
Dạy như thế nào để học sinh không những nắm chắc kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà phải được nâng cao, phát triển để các em có hứng thú, say mê học tập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình.
Để đáp ứng được yêu cầu của sự nghiệp giáo dục và nhu cầu học tập của học sinh, trong giảng dạy chúng ta phải biết chắt lọc nội dung kiến thức, phải đi từ dễ đến khó, từ cụ thể đến trừu tượng và phát triển thành tổng quát giúp học sinh có thể phát triển tư duy Toán học.
1.2. Mục đích nghiên cứu 
Với mong muốn nâng cao hiệu quả công tác giảng dạy nói chung và công tác bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 6 nói riêng. Tôi nhận thấy chương trình toán 6 có rất nhiều nội dung hay và hấp dẫn, cách tính tổng và tìm tích là một trong những nội dung thú vị, phong phú, đa dạng. Để giải các bài toán dạng này thông thường ta biến đổi để làm xuất hiện các số hạng đối nhau sau khi thu gọn ta được một số ít số hạng mà ta dễ dàng tính được hoặc làm xuất hiện các dãy số mà ta dễ dàng tính được hoặc là ta phải phân tích các phân số thành một tích như thế nào đó để có thể rút gọn được. Nhưng biến đổi như thế nào để xuất hiện các hạng tử đối nhau hoặc các dãy số dễ dàng tính được lại là vấn đề không đơn giản mà học sinh hay mắc phải. Tôi xin đưa ra đề tài: “Phát triển tư duy cho học sinh lớp 6A3 trường THCS Nguyễn Văn Trỗi thông qua giải bài toán số học”. Ở đề tài này tôi xin đưa ra vài bài toán mang nội dung tính tổng theo quy luật và một số bài toán tìm tích để giới thiệu cách khai thác kết quả, mở rộng bài toán và xây dưng bài toán gốc (bài toán tổng quát) để giải một loạt các bài toán tương tự nhằm mục đích phát huy trí tuệ sáng tạo của học sinh, rèn luyện năng lực tư duy cho học sinh. 
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
	Tập trung nghiên cứu số học sinh lớp 6A3 trường trung học cơ sở Nguyễn Văn Trỗi Thành phố Thanh Hóa.
	Hướng dẫn các em làm một số bài tập về dãy số dễ dàng tính được lại là vấn đề không đơn giản mà học sinh hay mắc phải
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
	Chủ yếu phương pháp khái quát hóa, tổng hợp hóa từ các bài tập cụ thể để tổng kết kinh nghiệm
1.5. Những đổi mới của SKKN:
	- Từ những những bài tập đơn giản trong sách giáo khoa lớp 6, Tôi đã tổng kết kinh nghiệm và đưa ra những “nhận diện” đặc chưng của các dạng bài toán về dãy số, giúp học sinh hiểu và làm tốt hơn những dạng bài toán này.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:
 	Trước đây việc dạy học toán thường sa vào phương pháp đọc chép áp đặt kiến thức, học sinh lĩnh hội kiến thức một cách bị động, người giáo viên thường chú trọng đến số lượng bài tập. Nhiều học sinh chỉ hiểu bài thầy dạy mà không tự giải được bài tập. Việc phát triển bài toán ít được học sinh quan tâm đúng mức. Phần nhiều học sinh cảm thấy sợ môn số học, giải bài tập số học. Thực tiễn dạy học cho thấy: HS khá - giỏi thường tự đúc kết những tri thức, phương pháp cần thiết cho mình bằng con đường kinh nghiệm, còn học sinh trung bình hoặc yếu, kém gặp nhiều khó khăn hoặc không thể nắm được bài.
 	Để có kĩ năng giải bài tập số học cần phải qua quá trình luyện tập. Tuy rằng, không phải cứ giải bài tập nhiều là có kĩ năng, việc luyện tập sẽ có hiệu quả, nếu như học sinh nắm chắc được lí thuyết và biết khéo léo khai thác từ một bài tập này sang một loại bài tập tương tự, nhằm vận dụng một tính chất nào đó, rèn luyện một phương pháp học tập nào đó cho mình.
 Nếu người thầy giáo biết hướng cho học sinh cách học chủ động thì học sinh không những không có ái ngại với môn số học mà còn hừng thú với việc học số học. Học sinh không còn cảm thấy học số học nói riêng và toàn học nói chung là gánh nặng, mà còn ham mê học toán, có được như thế mới là thành công trong việc dạy học môn toán.
Trong quá trình dạy học môn toán, tôi suy ngẫm vẫn khẳng định rằng: phương pháp dạy giải toán theo yêu cầu của phương pháp tìm tòi lời giải Có nhiều yêu điểm và phát huy được tác dụng tốt cho nhiều đối tượng - dạy toán theo yêu cầu của phương pháp tìm tòi lời giải của bài toán gồm hai nội dung:
 	 a - Dạy cách tìm tòi lời giải của bài toán 
 	 b - Dạy cách giải toán 
	 	c. Từ những bài toán cụ thể (giải phương trình bậc cao) đưa về những phương trình cơ bản đã được học...
Từ đó tôi suy nghĩ rằng một phương pháp dạy tốt là một phương pháp xích gần nhận thức trong học tập của học sinh với nhận thức sáng tạo - hay nói cách khác là phương pháp dạy cho học sinh tư duy sáng tạo - cốt lõi của hoạt động dạy và học, vì vậy tôi chỉ chọn một khía cạnh trong việc hường dẫn học sinh có cách tư duy sáng tạo cho các bài toán và các em đưa ra những cách giải cơ bản ở một số phương trình bậc bốn nói chung, mà hiện nay trong chương trình Đại số cấp THCS chỉ đề cập đến phương trình bậc bốn đặc biệt .
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
2.2.1. Thuận lợi:
- Qua nhiều năm giảng dạy Toán 6 và bồi dưỡng, nâng cao chất lượng cho học sinh khá giỏi lớp 6 đã giúp tôi nhận thấy được một số điểm yếu trong cách tư duy, khai thác bài toán của các em học sinh.
- Thư viện nhà trường luôn có một số sách bồi dưỡng toán nâng cao và các tài liệu có liên quan.
- Nhà trường luôn tạo điều kiện thuận lợi để tôi viết đề tài.
- Các em học sinh học giỏi toán thì không nhiều nhưng các em rất chăm ngoan, chịu khó học tập, biết tiếp thu và nghe lời thầy cô giáo.
- Gia đình học sinh luôn tạo điều kiện để các em học tốt môn toán cũng như các môn học khác.
2.2.2. Khó khăn:
- Đối với học sinh khối 6 cũng như các khối 7, 8, 9 việc được học toán nâng cao là rất ít, vì không có lớp chọn cho các đối tượng này. Giáo viên chủ yếu dạy lồng ghép vào các lớp học đại trà, nên không được chuyên sâu nâng cao cho học sinh giỏi toán.
- Đối với Nhà trường thì chưa thực hiện các kì thi riêng chọn học sinh giỏi cấp trường và chưa tổ chức được lớp chọn dành cho học sinh giỏi.
2.2.3. Khảo sát học sinh:
 	Trước khi triển khai chuyên đề tôi đã tiến hành kiểm tra sự hiểu biết của các em học sinh lớp 6A3 của nhà trường trong việc khai thác cách giải và giải một số bài toán sau.
ĐỀ BÀI	
(Thời gian làm bài 60 phút)
	* Thực hiện tính các tổng sau:
1)	
	2)	
 	3)	
4)	 
* Tìm số tự nhiên x biết rằng :
5) 	
ĐÁP ÁN - BIỂU CHẤM
	1) 	2 điểm	2) 	2 điểm
	3) 	2 điểm	4) 	2,5 điểm
	5) x = 1999	1,5 điểm
THỐNG KÊ KẾT QUẢ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG ĐỀ TÀI
Tổng số học sinh 6A3 
Yếu kém
Trung bình
Khá
Giỏi
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
43
13
30.23
17
39.53
10
23.26
03
6.98
 Sau khi kiểm tra các em học sinh lớp 6A3 của nhà trường tôi thấy trong cách tư duy của các em còn tồn tại một số điểm sau:
	- Học sinh có nhiều em chưa biết cách giải một số bài toán đơn giản về dãy số dạng như bài kiểm tra, lời giải còn trình bày dài dòng, rắc rối.
	- Học sinh chưa phát huy được tư duy sáng tạo, khả năng học hỏi, sự tìm tòi kiến thức mới. 
2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện đề tài:
2.3.1. Giải pháp thực hiện đề tài:
	Để khắc phục một số hạn chế như trên và để nâng cao hiệu quả trong việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi toán 6, tôi đưa ra một số giải pháp như sau:
2.3.1.1. Giải pháp chung:
Giáo viên cần cung cấp cho học sinh các kiến thức cơ bản sau:
- Củng cố lại các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, các phép biến đổi, quy tắc dấu và quy tắc dấu ngoặc ở môn số học lớp 6. 
- Rèn học sinh thói quen quan sát, nhận dạng bài toán, phân tích nhằm phát hiện quy luật của bài toán.. 
- Rèn học sinh tính tự học, tự tìm tòi sáng tạo, biết cách tổ chức học tổ, học nhóm một cách khoa học sáng tạo để tìm ra những cách giải hay. 
2.3.1.2. Giải pháp cụ thể:
- Giáo viên đưa ra các bài tập để hướng dẫn cho học sinh cách làm cơ bản.
- Sau khi học sinh nắm được cách làm cơ bản rồi, giáo viên khai thác các bài toán vận dụng tương tự.
- Tổ chức cho học sinh thảo luận làm một số bài toán tương tự như giáo viên đã đưa ra.
- Cuối cùng giáo viên ra bài khảo sát, đánh giá kết quả để rút kinh nghiệm.
2.3.2. Tổ chức thực hiện đề tài
2.3.2.1. Bài toán mở đầu về một số dãy số đơn giản:
Bài toán 1:	Tính 
Để tính A ta biến đổi A để xuất hiện các hạng tử đối nhau. Muốn vậy ta cần tách một thừa số trong mỗi hạng tử thành một hiệu: 
Lời giải:
Ta tổng quát thành bài toán sau:
Tính tổng: 
 A = 1.2 +2.3 + 3.4 + + n(n+1). Với n là số nguyên dương.
Với cách làm tương tự ta có:
3A = 1.2.3 + 2.3.4 -1.2.3 + 3.4.5 – 2.3.4 +..+ n(n+1)(n+2) – (n-1)n(n+1) 
 = n(n+1)(n+2) A = 
Từ bài toán tổng quát này ta có thể đề xuất thêm 2 bài toán tính tổng sau:
 12 + 22 + 32 + + n2
 1.4 + 2.5 + 3.6 ++ n(n+3)
Lời giải:
Câu a:
 Nhận xét: n2 = n(n+1) – n
 12+ 22 + 32 + +n2 =
 =1.2 – 1 + 2.3 – 2 + 3.4 – 3 ++ n(n+1) – n
 = 1.2 +2.3 + 3.4 + + n(n+1) – ( 1 +2 +3 ++n)
= = 
Câu b: 
 Nhận xét: n(n+3) = n(n+1) + 2n
1.4 +2.5 +3.6 ++ n(n+3) =
=1.2 +2.1 +2.3 +2.2 + 3.4 +2.3+..n(n+1) +2n
=(1.2 +2.3 + 3.4 + + n(n+1)) + 2( 1 +2 +3 ++n)
= + = 
Lưu ý) Một số dãy số dễ dàng tính được:
Sau khi học sinh thực hiện được bài tập 1, Giáo viên có thể phát triển thành bài toán mới chẳng hạn :
- Thay đổi giá trị các thừa số trong mỗi số hạng theo quy luật như bài tập 1
- Chứng minh rằng là một số Tự nhiên hoặc chứng minh rằng A chia hết cho 3.
Khai thác bài toán 1.
Trong bài toán 1 các thừa số trong mỗi hạng tử hơn kém nhau 1 đơn vị hay cách nhau 1 đơn vị. Thay đổi khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi hạng tử ta có bài toán 2.
Bài toán 2:	Tính 
Lời giải:
 Trong bài toán 1 ta nhân A với 3. Trong bài toán 2 ta nhân A với 6. Ta có thể nhận thấy để làm xuất hiện các hạng tử đối nhau ta nhân A với 3 lần khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi hạng tử:
Thay đổi số các thừa số trong tích ta có bài toán 3 
Bài toán 3:	Tính 
Lời giải:
Thay đổi khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi hạng tử ở bài 3 ta có bài toán 4:
Bài toán 4: Tính 
Lời giải:
Trong bài 3 ta nhân A với 4 (bốn lần khoảng cách). 
Trong bài 4 ta nhân A với 8 . 
Như vậy để giải bài toán dạng ta nhân với 4k (4 lần khoảng cách) sau đó tách: 
 Thay đổi sự kế tiếp lặp lại ở các thừa số trong bài toán 1 ta có bài toán 5:
Bài toán 5:	 Tính 
Lời giải:
Cách khác:
Trong bài toán này ta không nhân A với một số hạng mà tách ngay một thừa số trong tích làm xuất hiện các dãy số mà ta đã biết cách tính hoặc dễ dàng tính được. Làm tương tự với các bài toán 6:
Bài toán 6:	 Tính 
Lời giải:
Thay đổi khoảng cách giữa các cơ số trong bài 6 ta có bài toán 7:
Bài toán 7:	 Tính 
Lời giải:
Bài toán 8: Tính 
Lời giải:
 Thay đổi khoảng cách giữa các cơ số ở bài toán 8 ta có bài toán .
Lưu ý ) Trong bài toán 5 và 7 có thể sử dụng dãy tổng quát: 
Thay đổi số mũ của bài toán 7 ta có bài toán 9:
Bài toán 9:	 Tính 
Lời giải:
Sử dụng dãy tổng quát: và sử dụng kết quả của bài toán 8. Ta có:
Bài toán 10:	 Tính 
Lời giải:
Sử dụng dãy tổng quát: 
Ta có:
Với khoảng cách là a ta tách: .
Ở bài toán 8, 9 ta có thể làm như bài toán 6, 7.
Thay đổi số mũ của một thừa số trong bài toán 1 ta có bài toán 11:
Bài toán 11: Tính	
Lời giải:
2.3.2..2. Một số phương pháp tính tổng các dãy số tạo thành dãy số có qui luật:
 a. Phương pháp dự đoán và quy nạp : 
Trong một số trường hợp khi gặp bài toán tính tổng hữu hạn 
Sn = a1 + a2 + .... an (1) 
Bằng cách nào đó ta biết được kết quả (dự đoán , hoặc bài toán chứng minh khi đã cho biết kết quả). Thì ta nên sử dụng phương pháp này và hầu như thế nào cũng chứng minh được .
 Ví dụ 1 : Tính tổng Sn =1+3+5 +... + (2n -1 )
Thử trực tiếp ta thấy : S1 = 1 
 S2 = 1 + 3 =22 
 S3 = 1+ 3+ 5 = 9 = 32 ... ... ...
 Ta dự đoán Sn = n2 
 Với n = 1;2;3 ta thấy kết quả đúng 
giả sử với n= k ( k 1) ta có Sk = k 2 (2)
ta cần phải chứng minh Sk + 1 = ( k +1 ) 2 ( 3) 
 Thật vậy cộng 2 vế của ( 2) với 2k +1 ta có 
1+3+5 +... + (2k – 1) + ( 2k +1) = k2 + (2k +1) 
vì k2 + ( 2k +1) = ( k +1) 2 nên ta có (3) tức là Sk+1 = ( k +1) 2 
theo nguyên lý quy nạp bài toán được chứng minh 
 vậy Sn = 1+3=5 + ... + ( 2n -1) = n2 
 Tương tự ta có thể chứng minh các kết quả sau đây bằng phương pháp quy nạp toán học .
1, 1 + 2+3 + .... + n = 
2, 12 + 2 2 + ..... + n 2 = 
3, 13+23 + ..... + n3 = 
4, 15 + 25 + .... + n5 = .n2 (n + 1) 2 ( 2n2 + 2n – 1 ) 
b. Phương pháp khử liên tiếp :
 Giả sử ta cần tính tổng (1) mà ta có thể biểu diễn ai , i = 1,2,3...,n , qua hiệu hai số hạng liên tiếp của 1 dãy số khác , chính xác hơn , giả sử : a1 = b1 - b2 
 	a2 = b2 - b3 
 	.... .... .....
 	an = bn – bn+ 1 
khi đó ta có ngay :
 Sn = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + ...... + ( bn – bn + 1 ) 
 = b1 – bn + 1 
Ví dụ 2 : tính tổng :
 S = 
Ta có : , , 
Do đó : 
S = 
Dạng tổng quát 
 Sn = ( n > 1 ) 
 = 1- 
Ví dụ 3 : tính tổng 
 Sn = 
Ta có Sn = 
 Sn = 
 Sn = 
Ví dụ 4 : tính tổng 
 Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + ...... + n .n! ( n! = 1.2.3 ....n ) 
Ta có : 1! = 2! -1! 
 2.2! = 3 ! -2! 
 3.3! = 4! -3! 
 	 ..... ..... ..... 
 n.n! = (n + 1) –n! 
Vậy Sn = 2! - 1! +3! – 2 ! + 4! - 3! +...... + ( n+1) ! – n! 
 = ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - 1
Ví dụ 5 : tính tổng 
Sn = 
Ta có : i = 1 ; 2 ; 3; ....; n
Do đó Sn = ( 1- 
 = 1- 
c. Phương pháp giải phương trình với ẩn là tổng cần tính: 
Ví dụ 6 : Tính tổng 
 S = 1+2+22 +....... + 2100 ( 4) 
 ta viết lại S như sau :
 S = 1+2 (1+2+22 +....... + 299 )
 S = 1+2 ( 1 +2+22+ ...... + 299 + 2 100 - 2100 ) 
 => S= 1+2 ( S -2 100 ) ( 5) 
Từ (5) suy ra S = 1+ 2S -2101
S = 2101-1
Ví dụ 7 : tính tổng 
 Sn = 1+ p + p 2 + p3 + ..... + pn ( p1) 
Ta viết lại Sn dưới dạng sau : 
Sn = 1+p ( 1+p+p2 +.... + pn-1 )
Sn = 1 + p ( 1+p +p2 +..... + p n-1 + p n –p n ) 
Sn = 1+p ( Sn –pn ) 
Sn = 1 +p.Sn –p n+1 
Sn ( p -1 ) = pn+1 -1 
Sn = 
Ví dụ 8 : Tính tổng 
Sn = 1+ 2p +3p 2 + .... + ( n+1 ) pn , ( p 1) 
Ta có : p.Sn = p + 2p 2 + 3p3 + ..... + ( n+ 1) p n +1 
 = 2p –p +3p 2 –p2 + 4p3–p3 + ...... + (n+1) pn - pn + (n+1)pn –pn + ( n+1) pn+1
= ( 2p + 3p2 +4p3 + ...... +(n+1) pn ) – ( p +p + p + .... pn ) + ( n+1) pn+1
= ( 1+ 2p+ 3p2+4p3+ ....... + ( n+1) pn ) – ( 1 + p+ p2 + .... + p n) + ( n +1 ) pn+1
p.Sn=Sn- ( theo VD 7 )
 Lại có (p-1)Sn = (n+1)pn+1 - 
Sn = 
d. Phương pháp tính qua các tổng đã biết 
Các kí hiệu : 
Các tính chất : 
 1, 
 2, 
Ví dụ 9 : Tính tổng :
Sn= 1.2 + 2.3 + 3.4 + ......... + n( n+1) 
Ta có : Sn = 
Vì :
 (Theo I )
cho nên : Sn = 
Ví dụ 10 : Tính tổng :
Sn =1.2+2.5+3.8+.......+n(3n-1)
ta có : Sn = 
 = 
Theo (I) ta có :
Sn = 
Ví dụ 11 . Tính tổng 
Sn = 13+ +23 +53 +... + (2n +1 )3 
 ta có : 
Sn = [( 13 +2 3 +33 +43 +....+(2n+1)3 ] –[23+43 +63 +....+(2n)3]
 = [13+23 +33 +43 + ..... + (2n +1 )3] -8 (13 +23 +33 +43 +......+ n3 ) 
Sn = ( theo (I) – 3 )
=( n+1) 2(2n+1) 2 – 2n2 (n+1)2 
= (n +1 )2 (2n2 +4n +1) 
2.3.3. Tính tổng một số dãy số dạng phân số:
a) Ví dụ 1: Tính tổng sau: 
S = 
* Hướng dẫn cách tìm lời giải:
Bài toán này có tổng của các phân số có tử là 1 còn mẫu của các phân số là 1.2; 2.3; 3.4; ...100.101.
Như vậy mẫu của các phân số là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp. Cách giải bài toán này là biến đổi mỗi phân số đã cho thành hiệu của 2 phân số, biến dãy tính công thành dãy tính cộng và trừ.
Trước tiên, cho học sinh tiếp cận và chứng minh công thức tổng quát từ những bài toán đơn giản. Có thể yêu cầu học sinh thực hiện bài toán sau :
 	Chứng tỏ rằng:
Biến đổi vế trái = vế phải. Quá trình dạy học như sau :
Giải : Quy đồng mẫu số các phân số ở vế trái
* Qua đó ta sẽ có cách giải Ví dụ 1 như sau :
 S = 
 = 
+) Bài toán tổng quát: 
 Tính tổng: S = 
 = 
b) Ví dụ 2:
 Tính tổng: P =
* Phương pháp tìm lời giải:
Ta thấy P là tổng của các phân số có tử là 2, còn mẫu của các phân số là tích của 2 chữ số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị, do đó ta có thể viết mỗi phân số đó là hiệu của 2 phân số, phân số bị trừ có tử là 1 và mẫu là thừa số thứ nhất, phân số trừ có tử là 1 và mẫu là thừa số thứ 2.
 VD: ; ; ;  ; 
Nên ta dễ dàng tính được tổng đã cho
* Cách giải:
 P = 
 =
 = 
+) Bài toán tổng quát:
Tính tổng: P = (n lẻ)
 == 
c) Ví dụ 3: Tính tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy sau:
 	 ; ; ; ; ...
* Phương pháp tìm lời giải:
Ta thấy các số hạng trong dãy số trên có tử là 1 còn mẫu là:
 6; 66; 176; 336; ... Vậy trước hết ta phải viết các mẫu đó thành tích của 2 số nào đó và phải đi tìm số hạng thứ 100 của dãy.
Ta nhận thấy: 6 = 1.6 ; 66 = 11.6 ; 176 = 11.16 ; 336 = 16.21 
Ta thấy mẫu của các phân số này có quy luật là:
Tích của hai số có số tận cùng là 1 và một số tận cùng là 6.
Trong 2 thừa số của mẫu số có một thừa số hơn thừa số còn lại là 5 đơn vị.
Vậy mẫu số của số thứ n của dãy số có dạng: (5n-4)(5n+1).
=> Mẫu của số thứ 100 của dãy số: (5.100-4)(5.100+1)=496.501
Ta cần tính tổng A =
Tương tự như bài trên ta tách từng phân số thành hiệu của 2 phân số, ta nhận thấy : => 
Tương tự như vậy => 
 => 
Từ đó ta tính được tổng A một cách dễ dàng
* Cách giải:
 A = 
 = 
 = ++++
 = 
 = =.=
*) Bài toán tổng quát:
 A = 
 = +++
 = =.=
Lưu ý : thì n = b – a
d) Ví dụ 4: 
Tính tổng : B =
* Hướng dẫn: Ta thấy các phân số trong tổng B đều có tử là 1 còn mẫu của các phân số là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp. Ta viết mỗi số hạng của tổng thành hiệu của hai số sao cho số trừ của nhóm trước bằng số bị trừ của nhóm sau. Ta tách phân số bị trừ có tử là 1 còn mẫu là 2 số tự nhiên liên tiếp đầu, phân số trừ có tử cũng là 1 còn mẫu gồm có 2 số tự nhiên liên tiếp sau ( có 1 số giữa trùng nhau).
Ta thấy: 
Tổng quát ta có thể áp dụng: 
* Cách giải:
B = 
 = +++
 = 
 ==
====
* Bài toán tổng quát:
B = =
==
e) Ví dụ 5 : Tìm x biết rằng : ++++=
 Hướng dẫn tìm lời giải :
Ta thấy vế trái của đẳng thức là các phân số có cùng tử số là 1 và cùng mẫu số là tích của 2 số hơn kém nhau 3 đơn vị :
Ta xét :
 = => = 
 = => = 
 = => = 
 = => = 
Từ đó ta có cách giải bái toán ở Ví dụ 3 như sau :
Cách giải : 
 ++++=
Ta có thể viết đẳng thức đã cho như sau:
++++=
 . =
 . =
 =.3
 =
 ==
 =
Ta có hai phân số bằng nhau với tử bằng nhau thì mẫu phải bằng nhau, tức là : x+3 = 308 => x = 308 - 3=305
2.3.4. Tìm tích của dãy số:
a) Ví dụ 1: Tính tích sau : A = 
*) Hướng dẫn cách tìm lời giải: Các phân số đã cho trong tích đề có tử nhỏ hơn mẫu số một đơn vị, mẫu là bình phương của một số tự nhiên n (n). Nếu để cho học sinh vận dụng quy tắc nhân các phân số thì sẽ rất phức tạp trong tính toán. Với đặc điểm trên A được viết như sau.
A = 
Vấn đề đặt ra là ta phải phân tích các phân số trên thành một tích như thế nào đó để có thể rút gọn được. Ở đây ta cần tách mỗi số của tử thành tích của hai thừa số hơn kém nhau 2 đơn vị.
VD: ; ; .... ; . 
Sau đó ta lập ra ở tử và mẫu hai dãy thừa số để có thể rút gọn được. Hướng dẫn cho học sinh rằng các thừa số thứ nhất của tử thuộc dãy các thừa số thứ nhất, còn các thừa số thứ 2 thuộc dãy các số thứ 2. Từ đó ta có kết quả bài toán.
*) Cách giải: 
A = = . .  = 
 =
*) Bài toán tổng quát:
A = . .  (n)
 = = 
b) Ví dụ 2: 
Tính tích : B =
*) Hướng dẫn cách tìm lời giải:
Thực hiệ