SKKN Phát triển năng lực tư duy cho học sinh lớp 12 thông qua một lớp các bài toán về tính đơn điệu của hàm số theo định hướng đổi mới thi THPT quốc gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 1
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY 
CHO HỌC SINH LỚP 12 THÔNG QUA MỘT LỚP CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ THEO ĐỊNH HƯỚNG ĐỔI MỚI THI THPT QUỐC GIA
 Người thực hiện: Trần Văn Long
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HÓA NĂM 2019
MỤC LỤC
	MỤC LỤC
	 Trang
1. MỞ ĐẦU 	
1.1. Lý do chọn đề tài 1
1.2. Mục đích nghiên cứu	 2
1.3. Đối tượng nghiên cứu	 2
1.4. Phương pháp nghiên cứu	 2
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 	 2
2.1.1. Công thức đạo hàm của hàm hợp	 2
2.1.2. Tính đơn điệu của hàm số 2
2.2. Thực trạng của vấn đề	 3
2.3. Giải pháp để giải quyết vấn đề 3
2.3.1. Giải pháp thứ nhất: Tổ chức cho học sinh ôn tập... 3 
2.3.2. Giải pháp thứ hai: Xây dựng hệ thống bài tập và tổ chức giảng dạy 4
2.3.3. Giải pháp thứ ba: Thực nghiệm sư phạm 16
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục 18 
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận	 19
3.2. Kiến nghị	 20
TÀI LIỆU THAM KHẢO	 21
DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM  22
NHỮNG KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT DÙNG TRONG 
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. GD&ĐT	:	Giáo dục và đào tạo
2. GD	: 	Giáo dục
3. GV	: 	Giáo viên
4. NX	: 	Nhận xét
5. NXB	: 	Nhà xuất bản
6. SGK	: 	Sách giáo khoa
7. SKKN	: 	Sáng kiến kinh nghiệm
8. SL	:	Số lượng 
9. THPT	: 	Trung học phổ thông
10. TL%	: 	Tỷ lệ phần trăm
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Nghị quyết 29 của Ban Chấp hành Trung ương Đảng khẳng định: “Phát triển giáo dục và đào tạo là nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài. Chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học” . Trong đó, đổi mới về phương thức kiểm tra đánh giá là một yêu cầu bức thiết trong giai đoạn hiện nay. Tháng 9 năm 2016 Bộ GD&ĐT đã quyết định hình thức thi trắc nghiệm đối với môn Toán trong kỳ thi THPT Quốc Gia bắt đầu từ năm 2017.
	Đổi mới phương thức kiểm tra đánh giá đối với môn Toán từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm là một bước ngoặt quan trọng. Từ sự thay đổi đó dẫn đến cách dạy của thầy cô và cách học của học sinh phải thay đổi. Hơn ai hết, các thầy cô giảng dạy bộ môn Toán đều nhận ra một điều đó là: Lượng kiến thức, lượng bài tập trong hai, ba năm qua đã tăng lên một cách nhanh chóng. Điều đó, khiến chúng ta phải thay đổi về cách tiếp cận vấn đề, về cách dạy Theo tôi để phù hợp với xu thế hiện nay chúng ta phải chuyển từ cách dạy truyền thống sang cách dạy nhằm phát triển tư duy, phát triển năng lực học sinh từ đó các em có thể tự tin xử lý các tình huống thực tiễn.
	Trong chương trình môn Toán lớp 12, thì nội dung Hàm số chiếm một vị trí quan trọng. Điều đó được thể hiện trong thời lượng phân phối chương trình, số lượng câu hỏi và các mức độ của câu hỏi trong đề thi THPT Quốc Gia trong những năm qua Trong mạch khiến thức về hàm số thì tính đơn điệu của hàm số là nội dung cốt lõi. Chính vì vậy, nếu như các em nắm chắc kiến thức tính đơn điệu của hàm số thì cực trị, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, cũng như một số vấn đề khác liên quan đến Hàm số sẽ trở nên nhẹ nhàng hơn. 
Qua kinh nghiệm thực tiễn giảng dạy và ôn thi cho học sinh lớp 12 trong những năm qua ở trường THPT Triệu Sơn 1, tôi rút ra rằng: Tính đơn điệu của hàm số là nội dung đặc biệt quan trọng và khi các em đã tự tin về nội dung này thì hầu như những vấn đề khác có liên quan sẽ trở nên nhẹ nhàng hơn rất nhiều. Chính vì vậy tôi chọn đề tài: “ Phát triển năng lực tư duy cho học sinh lớp 12 thông qua lớp các bài toán về tính đơn điệu của hàm số theo định hướng thi THPT Quốc Gia” làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm của năm học 2018 - 2019. Nhằm chia sẻ với các đồng nghiệp và các em học sinh kinh nghiệm nhỏ về cách tiếp cận vấn đề và cách xây dựng hệ thống bài tập nhằm phát triển năng lực học sinh đáp ứng yêu cầu của đổi mới.
	Với mục đích chia sẻ bớt những khó khăn với các học trò. Rất mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp, sẻ chia của các thầy cô, các bạn đồng nghiệp và độc giả để đề tài áp dụng có hiệu quả trong việc dạy và học về tính đơn điệu của hàm số, cũng như các nội dung liên quan. 	
1.2. Mục đích nghiên cứu
Phát triển năng lực tư duy, hình thành năng lực giải quyết các tình huống thực tiễn. Rèn luyện kỹ năng vận dụng tri thức vào giải toán.
Rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức để xử lý nhanh các bài toán về tính đơn điệu của hàm số.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Trong phạm vi của sáng kiến kinh nghiệm này tôi muốn đưa ra quan điểm tiếp cận, cách xây dựng hệ thống bài tập, cách phân dạng bài tập về tính đơn điệu của hàm số nhằm mục đích phát triển tốt nhất năng lực tư duy, tạo sự hứng thú cho các em học sinh.
Đề tài được áp dụng vào giảng dạy tại lớp 12B8 trường THPT Triệu Sơn 1 - Thanh Hóa năm học 2018 - 2019.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi đã phối hợp sử dụng các phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu lý luận.
- Phương pháp điều tra, quan sát.
- Phương pháp tổng kết rút kinh nghiệm.
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Để thực hiện đề tài này tôi có sử dụng kiến thức về các phép biến đổi đồ thị, đạo hàm của hàm hợp và lý thuyết về tính đơn điệu của hàm số trong sách giáo khoa môn Toán lớp 10, lớp 11 và lớp 12.
 2.1.1. Công thức đạo hàm của hàm hợp
 a) Nếu hàm số có đạo hàm tại và hàm số có đạo hàm tại thì hàm số hợp có đạo hàm tại và 
 b) Nếu giả thiết trong a) thoả mãn với thì có đạo hàm trên và 
 2.1.2. Tính đơn điệu của hàm số
 a) Định nghĩa: Cho hàm số xác định trên .
 - Hàm số được gọi là hàm đồng biến trên nếu với mọi thuộc sao cho .
 - Hàm số được gọi là hàm nghịch biến trên nếu với mọi thuộc sao cho . 
 b) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm
Định lý: Giả sử hàm số có đạo hàm trên khoảng .
- Nếu thì hàm số đồng biến trên .
- Nếu thì hàm số nghịch biến trên . 
- Nếu thì hàm số không đổi trên (hàm số còn gọi là hàm hằng trên ) 
Định lý mở rộng: Cho hàm số có đạo hàm trên . Nếu , (hoặc ,) và chỉ tại một số hữu hạn điểm của thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên 
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trong quá trình giảng dạy, tôi thấy kiến thức về hàm hợp – đạo hàm của hàm hợp, khả năng đọc bảng biến thiên, đọc đồ thị, khả năng biến đổi đồ thị là các nội dung quan trọng mà nếu học sinh hiểu và vận dụng được thì chắc chắn sẽ rất thuận lợi khi tiếp cận các bài toán về hàm số nói chung và về tính đơn điệu của hàm số nói riêng. Tuy nhiên, trong thực tế những nội dung trên là những vấn đề mà đa số học sinh thường gặp rất nhiều khó khăn, ngay cả những em học sinh có học lực khá, giỏi. 
Khi ôn tập, đặc biệt là khi các em làm bài kiểm tra tôi nhận thấy: Một số em mặc dù nắm được kiến thức, biết cách làm bài nhưng kỹ năng tính toán còn chậm, việc toán học hóa các tình huống thực tiễn thường lúng túng hoặc vận dụng không linh hoạt.
2.3. Giải pháp để giải quyết vấn đề
Để khắc phục những tình trạng trên nhằm nâng cao hiệu quả làm bài thi trắc nghiệm môn Toán, đồng thời tạo cho học sinh yêu thích và hứng thú với những bài toán về tính đơn điệu của hàm số. Tôi đã tiến hành các giải pháp sư phạm sau đây:
2.3.1 Giải pháp thứ nhất: Tổ chức cho học sinh ôn tập, củng cố, khắc sâu các kiến thức cơ bản và trọng tâm
	Để giải quyết được các bài toán nói chung và các bài toán về tính đơn điệu nói riêng thì kiến thức nền tảng phải vững chắc. Trên cơ sở đó tôi định hướng, tổ chức và yêu cầu học sinh ôn tập, thảo luận và chuẩn bị các kiến thức cơ bản, quan trọng sau:
	 - Phép tịnh tiến đồ thị song song với các trục toạ độ (SGK Đại số 10).
	 - Các phép biến đổi đồ thị.
	 - Hàm hợp và đạo hàm của hàm hợp (SGK Đại số và Giải tích 11).
	 - Tính đồng biến và nghịch biến của hàm số (SGK Giải tích 12).
Căn cứ vào sự chuẩn bị của học sinh, tôi cùng các em thống nhất và chốt lại những kiến thức trọng tâm, quan trọng và thật sự cần thiết như sau:
 Công thức đạo hàm của hàm hợp: 
 Các phép biến đổi đồ thị: 
 Cho hàm số có đồ thị . Khi đó, với số ta có:
1) Hàm số có đồ thị . Đồ thị có được khi tịnh tiến theo phương của lên trên đơn vị.
 	2) Hàm số có đồ thị . Đồ thị có được khi tịnh tiến theo phương của xuống dưới đơn vị.
3) Hàm số có đồ thị . Đồ thị có được khi tịnh tiến theo phương của qua trái đơn vị.
4) Hàm số có đồ thị . Đồ thị có được khi tịnh tiến theo phương của qua phải đơn vị.
5) Hàm số có đồ thị . Đồ thị gồm hai phần:
	Phần 1: Là phần đồ thị nằm bên phải trục và bỏ phần đồ thị của nằm bên trái .
	Phần 2: Lấy đối xứng với phần 1 qua trục .
6) Hàm số có đồ thị . Đồ thị gồm hai phần:
Phần 1: Là phần đồ thị nằm trên trục .
Phần 2: Đối xứng với phần đồ thị nằm dưới trục qua trục và bỏ phần đồ thị nằm dưới trục 
 Tính đơn điệu của hàm số:
 Cho hàm số có đạo hàm trên khoảng .
	- Nếu (dấu = chỉ xảy ra ở một số hữu hạn điểm) thì hàm số đồng biến trên .
	- Nếu (dấu = chỉ xảy ra ở một số hữu hạn điểm) thì hàm số nghịch biến trên .
	- Nếu thì hàm số không đổi trên tức là 
2.3.2 Giải pháp thứ hai: Xây dựng hệ thống bài tập, tổ chức giảng dạy nhằm phát triển năng lực tư duy và hình thành kỹ năng, năng lực giải quyết các bài toán về tính đơn điệu của hàm số. 
Trong phạm vi của đề tài, tôi mong muốn xây dựng hệ thống bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy, hình thành kỹ năng và năng lực giải quyết các bài toán để các em có thể tự tin khi đứng trước bài toán về tính đơn điệu. Chính vì vậy tôi chia lớp các bài toán về tính đơn điệu của hàm số thành bốn dạng cụ thể. Trong mỗi dạng, các ví dụ minh họa từ đơn giản đến phức tạp, từ cụ thể đến tổng quát nhằm phù hợp với mức độ tư duy và khả năng của học sinh. 
Trong quá trình giảng dạy để gây sự hứng thú tôi cũng đặc biệt chú ý đến việc tập cho các em kỹ năng ra đề, yêu cầu khai thác, phát triển và khái quát hoá bài toán 
Dạng 1: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm 
	Mục đích của dạng 1 này là củng cố và khắc sâu kiến thức cơ bản, cách đọc bảng biến thiên và cách đọc đồ thị của hàm số. Đây là những kỹ năng rất quan trọng khi giải quyết các bài toán về tính đơn điệu.
	Để đạt được mục đích đó tôi cho các em làm các ví dụ có bản sau:
Ví dụ 1. (Đề thi THPT Quốc Gia 2017 – Mã đề 101) 
Cho hàm số . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng 
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng và đồng biến trên khoảng 
D. Hàm số đồng biến trên khoảng 
Hướng dẫn giải: Tính đạo hàm, căn cứ vào dấu của đạo hàm để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến – Lưu ý công thức tính đạo hàm và khắc sâu mối quan hệ giữa dấu của đạo hàm và tính đơn điệu của hàm số. Chọn đáp án D.
Ví dụ 2. (Đề thi THPT Quốc Gia 2018 – Mã đề 101)
Cho hàm số có bảng biến thiên như sau
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. 	B. 	 C. 	 D. 
Hướng dẫn giải: Căn cứ vào bảng biến thiên của hàm số để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến – Khắc sâu cách đọc bảng biến thiên. Chọn đáp án A.
Ví dụ 3. (Chuyên Vinh Lần 1 - 2018) 
Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ bên 
(Hình 1). Mệnh đề nào sau đây đúng? 
A. Hàm số đồng biến trên khoảng .	
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng .
C. Hàm số đồng biến trên khoảng .	
(Hình 1)
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 
Hướng dẫn giải: Căn cứ vào hướng đồ thị để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến – Khắc sâu cách đọc đồ thị của hàm số. Chọn đáp án A.
Ví dụ 4. Cho hàm số . Hàm số có đồ thị như hình bên dưới (Hình 2). Hàm số đồng biến trên khoảng?
A. 	 B. 
Hướng dẫn giải: Để hàm đồng biến thì .
Mà khi đồ thị của hàm nằm trên trục hoành. Căn cứ vào đồ thị của hàm chọn đáp án C.
C. 	 D.. 
(Hình 2)
NX: Qua bài toán trên một lần nữa rèn luyện kỹ năng đọc đồ thị, đặc biệt là kỹ năng đọc đồ thị của hàm - là một kỹ năng rất quan trọng. Bài toán trên sẽ hay và phong phú hơn khi ta lồng ghép thêm một vài phép biến đổi đồ thị cho hàm . Ví dụ sau đây sẽ nói lên điều đó. 
Ví dụ 5. Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới (Hình 3). Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?
A. 	B. 
Hướng dẫn giải: 
- Ta tịnh tiến đồ thị sang phải một đơn vị và lên trên 2 đơn vị ta được đồ thị của hàm (Hình 3).
- Từ đồ thị của hàm , ta chọn đáp án A.
C. 	 D. 
(Hình 3)
Tổng quát: Từ cách làm này có thể phát triển và ra nhiều bài toán khác tương tự. Để làm dược điều đó các em phải nắm chắc các phép biến đổi đồ thị. 
Dạng 2: Sử dụng các phép biến đổi đồ thị để tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến 
	Mục đích của dạng 2 là củng cố và khắc sâu các phép biến đổi đồ thị của hàm số, đồng thời tiếp tục củng cố kỹ năng đọc đồ thị. Đây là những kỹ năng quan trọng cần hình thành để giải quyết các bài toán phức tạp khác.
	Để đạt được mục đích đó tôi cho các em làm các ví dụ sau:
Ví dụ 1. Cho hàm có đồ thị như hình vẽ bên
(Hình 4). Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Hàm số đồng biến trên khoảng 
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 
(Hình 4)
C. Hàm số đồng biến trên khoảng 
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 
Hướng dẫn giải:
- Đồ thị hàm số có được do tịnh tiến đồ thị hàm số lên trên 1 đơn vị. Do đó tính đơn điệu của hàm số tương tự tính đơn điệu của hàm số . Chọn đáp án D. 
- Ta cũng có thể giải thích theo hướng nên tính đơn điệu của hàm số tương tự tính đơn điệu của hàm số . 
Tổng quát: Tính đơn điệu của hàm số (trong đó ) tương tự tính đơn điệu của hàm số . Yêu cầu học sinh phát biểu cho trường hợp và lấy các ví dụ minh hoạ.
NX: Qua ví dụ trên hình thành kỹ năng và khắc sâu phép tịnh tiến lên trên hoặc xuống dưới một đồ thị khi biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số đó.
Ví dụ 2. Cho hàm có bảng biến thiên như sau
Hàm số 
A. Đồng biến trên khoảng 	B. Nghịch biến trên khoảng 
C. Đồng biến trên khoảng 	D. Nghịch biến trên khoảng 
Hướng dẫn giải:
 Đồ thị hàm số có được do tịnh tiến đồ thị hàm số sang phải 2 đơn vị. Chọn đáp án A. 
Tổng quát: Nếu biết được tính đồng biến, nghịch biến của hàm ta có thể tìm được khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Từ đó, yêu cầu học sinh tự ra đề và giải.
NX: Từ ví dụ trên hình thành kỹ năng và khắc sâu phép tịnh tiến sang trái hoặc sang phải một đồ thị khi biết đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số đó.
Ví dụ 3. Cho hàm số có đồ thị như vẽ (Hình 5). Mệnh đề nào sau đây là đúng? 
A. Hàm số đồng biến trên khoảng 
B. Hàm số nghịch biến trên khoảng 
C. Hàm số đồng biến trên khoảng 
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 
(Hình 5)
Hướng dẫn giải: 
- Từ đồ thị hàm số suy ra được đồ thị hàm số .
- Từ đồ thị của hàm ta chọn đáp án D.
Tổng quát: Để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm ta phải có được bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm . Ta có thể mở rộng bài toán bằng cách đồng thời kết hợp các phép biến đổi đồ thị thông qua ví dụ sau. 
Ví dụ 4. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ (Hình 6) và . 
Hàm số đồng biến trên khoảng?
A. 	B. 	 
C. 	D. 
GV: Tìm mối liên hệ giữa đồ thị hàm số
(Hình 6)
 và đồ thị hàm số ?
Hướng dẫn giải:
- Đồ thị hàm số có được khi ta 
 (Hình 7)
tịnh tiến đồ thị hàm số sang phải 1 đơn vị và xuống dưới 4 đơn vị.
- Khi đó đồ thị hàm có dạng (Hình 7) 
- Từ đó suy ra đồ thị hàm số .
Tổng quát: Như vậy, từ một bài toán cơ bản bằng các phép biến đổi đồ thị ta có các bài toán phong phú và đa dạng. Đó là một cách để các em có dịp phát triển năng lực tư duy, cũng là dịp để các em củng cố các phép biến đổi đồ thị để phát triển các bài toán mới.
- KL: Đáp án C.
NX: Qua đó ta thấy mức độ của bài toán sẽ phụ thuộc vào số lần biến đổi đồ thị. Chính vì thế từ bài toán trên, ta có thể phát triển lên một mức độ nữa qua ví dụ sau.
Ví dụ 5. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ (Hình 8) và . 
(Hình 14)
Hàm số nghịch biến trên khoảng?
A. 	B. 	 
C. 	D. 
Hướng dẫn giải:
(Hình 8)
- Từ đồ thị hàm số , suy ra đồ thị hàm số
 .
- Tịnh tiến đồ thị của hàm số sang phải 1 đơn vị ta được đồ thị hàm số .
- Tịnh tiến đồ thị của hàm số xuống dưới 4 đơn vị ta được đồ thị hàm số .
- Từ đồ thị của hàm số ta suy ra được đồ thị hàm số .
- Từ đồ thị cho ta đáp án C.
NX: Tương tự như cách làm trên, các thầy cô có thể cho các em tự mình sáng tạo ra các bài toán để các em có dịp trải nghiệm nhằm củng cố lại kiến thức và nâng cao kỹ năng cũng như năng lực giải quyết các bài toán tương tự.
 Qua hai dạng toán trên, hình thành cho các em các kỹ năng cơ bản khi giải các bài toán về tìm khoảng đơn điệu của hàm số như: Tính và xét dấu của , đọc đồ thị hàm số, đọc bảng biến thiên, các phép biến đổi đồ thị cơ bản . Từ các kỹ năng đó sẽ là tiền đề để các em giải quyết các bài toán ở mức độ cao hơn.
Dạng 3: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm hợp 
	Đây là dạng toán thường gặp trong các đề thi thử, trong các đề minh họa và trong các đề thi THPT Quốc Gia trong những năm qua. Đây là dạng toán đòi hỏi năng lực tư duy cao, cũng như kỹ năng xử lý khéo léo của học trò. Để giải quyết được các bài toán dạng này các em phải nắm được công thức đạo hàm của hàm hợp, kỹ năng xét dấu của đạo hàm, kỹ năng đọc đồ thị và biến đổi đồ thị...
	Trong khuôn khổ của một sáng kiến kinh nghiệm tôi đã lựa chọn các ví dụ đặc trưng cho các kiểu câu hỏi, các loại bài tập điển hình. Để từ đó các em có thể phát triển, mở rộng và áp dụng vào các bài toán khác. 
Ví dụ 1. (SGD Bắc Giang 2019) Cho hàm số có đạo hàm . Hỏi hàm số nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
A. 	B. 	 C. 	 D. 
Hướng dẫn giải:
- Ta có: .
- KL: Đáp án A.
NX: Đây là bài toán đặc trưng cho lớp bài toán dạng: Cho biểu thức của và yêu cầu tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số . Qua ví dụ này một lần nữa lưu ý, nhấn mạnh công thức đạo hàm của hàm hợp và cách áp dụng công thức. 
Ví dụ 2. (Đề minh họa 2018) Cho hàm số . Hàm số có đồ thị như hình bên (Hình 9). Hàm số 
 đồng biến trên khoảng?
A. 	 B. 
C. 	 D. 
(Hình 9)
Hướng dẫn giải:
- Ta có: .
- Để hàm đồng biến thì .
- KL: Chọn C.
NX: Đây là bài toán đặc trưng cho lớp bài toán dạng: Cho đồ thị của hàm và yêu cầu tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số . Đây là một lớp bài toán rất quan trọng, nó kết hợp hài hoà giữa kỹ năng đọc đồ thị và một số tính chất của hàm hợp. Sự đa dạng và phong phú thể hiện qua các ví dụ tiếp theo.
Ví dụ 3. Cho hàm số . Hàm số có đồ thị như hình bên dưới (Hình 10). Hàm số 
đồng biến trên khoảng?
A. 	 B. 
(Hình 10)
C. 	 D. 
Hướng dẫn giải: 
- Ta có: 
 Mà: với mọi 
 .
- Do đó: 
- Từ và suy ra: Chọn đáp án A.
 (Hình 11)
Ví dụ 4. Cho hàm số Hàm số có đồ thị như hình bên dưới (Hình 11). Hàm số nghịch biến trên khoảng?
A. 	 B. 	
C. 	 D. 
Hướng dẫn giải: 
- Ta có: 
 .	
Ví dụ 5. (SGD Nghệ An Liên Trường Lần 2 - 2019)
 Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và có đồ thị hàm số như hình vẽ bên (Hình 12). Để hàm số đồng biến trên khoảng thì , trong đó , ước chung lớn nhất của và bằng 1. Khi đó tổng bằng
- Để .Chọn đáp án A.
(Hình 12)
A. B. C. D. 
Hướng dẫn giải: 
- Ta có 
- Để hàm số đồng biến thì 
 Suy ra: nên 
- KL: Chọn B. 
NX: Ví dụ 5 là một hướng phát triển của các bài toán ở dạng 3. Độ phức tạp của bài toán không chỉ dừng lại ở hàm hợp, đọc đồ thị hàm mà còn ở phương pháp lượng giác hoá để giải bất phương trình . Một hướng phát triển khác nữa được thể hiện trong ví dụ dưới đây. 
Ví dụ 6. (SGD Thanh Hóa 2019) Cho hàm số Hàm số có đồ thị như hình bên dưới (Hình 13) và 
(Hình 13)
Hàm số nghịch biến trên khoảng?
A. 	B. 	C. 	D. 	 
Hướng dẫn giải:
- Từ đồ thị hàm số suy ra bảng biến thiên của hàm số như sau
- Quan sát hình vẽ (Hình 11), ta có: 
 Do đó từ bảng biến thiên suy ra 
- Ta có 
- KL: Chọn C.
NX: Qua ví dụ 5 và ví dụ 6 cho chúng ta thấy sự đa dạng của việc mở rộng và phát triển bài toán về tính đơn điệu của hàm số. Đặc biệt là hàm hợp và sự kết hợp giữa hàm hợp và các tính chất toán học khác sẽ là một hướng phát triển quan trọng trong thời gian tới.
Dạng 4: Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm
	Đây là dạng toán khó, thông thường ở mức vận dụng hoặc vận dụng cao trong các đề thi thử, các đề minh họa cũng như trong các đề thi THPT Quốc Gia trong hai năm qua. Đây cũng là dạng toán đòi hỏi năng lực tư duy tổng hợp, đặc biệt là khả năng xử lý hàm hợp và mối tương quan giữa đồ thị của các hàm 
	Để tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số trên ta thực hiện