SKKN Phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua giải một số bài toán bằng ứng dụng của tích vô hướng

1. MỞ ĐẦU
1.1 Lí do chọn đề tài.
Với xu thế đổi mới phương pháp giáo dục hiện nay của bộ giáo dục, trong quá trình dạy học để thu được hiệu quả cao đòi hỏi người thầy phải nghiên cứu tìm hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh; đưa ra các phương pháp phù hợp với kiến thức, với các đối tượng học sinh cần truyền thụ. Như luật giáo dục Việt Nam có viết: “Phương pháp giáo dục phổ thông cần phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”. Trong thời gian giảng dạy, tôi luôn nghiên cứu tìm tòi các phương pháp mới phù hợp với từng bài dạy và các đối tượng học sinh để truyền thụ các kiến thức, kỹ năng giải toán cho học sinh một cách tốt nhất. 
Trong chương trình toán học phổ thông việc đưa vào khái niệm tích vô hướng cho phép từ đó chứng minh định lí côsin trong tam giác và từ định lí côsin chứng minh định lí sin. Đó là các định lí nền tảng trong tam giác và đường tròn. Từ đó cho phép mở rộng các bài toán hệ thức lượng trong không gian. Các bài toán về lượng có nhiều ứng dụng trong thực tiễn như: Tính độ dài, diện tích, thể tích, tính khoảng cách, chứng minh vuông góc, 
	Ngày nay trong đổi mới giáo dục toán học ở Việt Nam đã đặc biệt quan tâm đến phát triển năng lực. Năng lực then chốt mà đổi mới giáo dục hiện nay quan tâm như: Năng lực phát hiện vấn đề một cách sáng tạo, năng lực tính toán, năng lực tư duy và suy luận, năng lực ngôn ngữ, năng lực kết nối toán học với thực tiễn. Việc nghiên cứu tích vô hướng để giải bài toán lượng có nhiều khả năng góp phần hình thành và phát triển năng lực nói trên đặc biệt là năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề. Để có năng lực cần phải có tri thức. Tri thức toán học nói chung, tri thức về tích vô hướng đóng vai trò là điều kiện thúc đẩy các hoạt động nhằm phát triển các năng lực của người học. Chính vì lí do nói trên, tôi chọn đề tài: 
“Phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua giải một số bài toán bằng ứng dụng của tích vô hướng”
1.2 Mục đích nghiên cứu.
Việc nghiên cứu đề tài với mục tiêu sau:
Bổ sung một số kĩ thuật để giải một số dạng toán về tích vô hướng nhằm làm phong phú thêm vai trò của tích vô hướng.
Đề tài cũng đặc biệt quan tâm việc phát triển và mở rộng các bài toán trong chương trình sách giáo khoa phổ thông nhằm góp phần phát triển cho học sinh năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề.
1.3 Đối tượng nghiên cứu.
Nghiên cứu vai trò của tích vô hướng trong việc giải các dạng toán trong trường phổ thông
Nghiên cứu các phương thức mở rộng và phát triển các bài toán trong chương trình trung học phổ thông.
1.4 Phương pháp nghiên cứu.
a, Nghiên cứu tài liệu, nghiên cứu cơ sở lí luận về tích vô hướng trong chương trình toán học phổ thông.
b, Điều tra
- Thực dạy và kết quả kiểm tra
- Đàm thoại:
+ Trao đổi với đồng nghiệp để có kinh nghiệm và phương pháp dạy phù hợp
+ Trao đổi với các em học sinh về cách học.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
	Trong học tập cũng như trong cuộc sống, học sinh sẽ gặp các tình huống có vấn đề cần giải quyết. Việc nhận ra tình huống có vấn đề và giải quyết các tình huống đó một cách thành công chính là năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề. Năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề là khả năng của học sinh nhận ra các mâu thuẫn nhận thức trong các vấn đề học tập hoặc trong các vấn đề trong cuộc sống và tìm ra được phương pháp để giải quyết mâu thuẫn, vượt qua các khó khăn và trở ngại, từ đó học sinh tiếp thu được kiến thức, kĩ năng mới hoặc giải quyết vấn đề trong thực tiễn. 
Sách giáo khoa và nhiều tài liệu đã trình bày kiến thức tích vô hướng và các ứng dụng của tích vô hướng. Tuy nhiên với thời lượng chương trình còn ít nên chưa đề cập sâu được các kiến thức cũng như hệ thống bài tập áp dụng tích vô hướng. Trong khuôn khổ đề tài này, tôi bổ sung thêm một số kiến thức về tích vô hướng đồng thời chọn lọc một số bài toán mà trước đây các tác giả đã giải bằng các cách khác, tôi hướng dẫn học sinh giải bằng ứng dụng của tích vô hướng. Như vậy học sinh không chỉ giải theo một cách giải cũ mà luôn tìm tòi các cách giải mới. Qua đó phát triển được năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cũng như phát triển được năng lực học tập của bản thân.
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
 Sách giáo khoa và nhiều tài liệu toán học đã nhấn mạnh đến vai trò của tích vô hướng và các dạng toán liên quan. Tuy nhiên còn một số vấn đề chưa được quan tâm nghiên cứu một cách sâu sắc của các tác giả. Có thể điểm qua những vấn đề như vậy bao gồm:
a, Chưa làm sáng tỏ và luyện tập cho học sinh các dạng thể hiện khác nhau của tích vô hướng. Chẳng hạn chưa quan tâm tới công thức tính tích vô hướng của hai véctơ : . Công thức này có nhiều ứng dụng trong việc chứng minh các hệ thức và bất đẳng thức về độ dài.
b, Chưa khai thác các cách khác nhau để chứng minh hai đường thẳng vuông góc. Chẳng hạn, để chứng minh: ngoài việc chứng minh: nhiều khi lại cần sử dụng: . Công thức này được chứng minh nhờ tích vô hướng.
c, Các tác giả chưa chú trọng khai thác cách thức định hướng giúp học sinh phát hiện vấn đề khi giải quyết các vấn đề về lượng. Nói một cách khác chưa huy động các tiên đề một cách có căn cứ đối với các bài toán sử dụng tích vô hướng.
d, Các tác giả chưa khai thác mối liên hệ giữa đồng dạng và tích vô hướng để làm sáng tỏ cho học sinh có căn cứ lập luận: Các bài toán về lượng có thể giải bằng hình học đồng dạng thì có thể giải bằng sử dụng tích vô hướng. Giải quyết vấn đề này giúp học sinh nhìn nhận giải bài toán theo những cách khác nhau. Từ đó phát triển được năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh.
2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
 Để khắc phục những hạn chế đã nêu, trong đề tài này tôi nêu các phương thức sau đây nhằm khai thác ứng dụng tích vô hướng nhằm phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho học sinh trong việc học toán ở trường phổ thông.
2.3.1 Phương thức 1: Bổ sung một số kiến thức về tích vô hướng và một số kĩ thuật giải các dạng toán ứng dụng tích vô hướng.
2.3.1.1 Vai trò của việc thực hiện phương thức 1
Việc thực hiện phương thức đề ra nhằm vào các mục đích sau: 
Mở rộng tiềm năng huy động kiến thức khi giải các bài toán về hệ thức lượng
Nhằm nhìn nhận các dạng toán theo nhiều cách giải khác nhau khi ứng dụng tích vô hướng
2.3.1.2 Nội dung cụ thể: 
a, Ngoài định nghĩa tích vô hướng đã có trong chương trình sách giáo khoa phổ thông cần thiết phải đưa vào công thức sau đây về tích vô hướng: 
O
B
A
Hình 1
Có thể lập luận đưa ra công thức này như sau: 
Bình phương vô hướng hai vế ta có: 
Từ đó: 
b, Điều kiện hai đường thẳng AB và CD vuông góc. 
Để chứng minh hai đường thẳng AB và CD vuông góc ta có thể dựa vào mệnh đề sau: (*)
Mệnh đề (*) được chứng minh dựa vào mệnh đề tổng quát sau: 
M
H
O
A
B
Hình 2
“Tập hợp những điểm M sao cho (1) là đường thẳng vuông góc với AB tại H sao cho H cách trung điểm của đoạn thẳng AB một khoảng bằng “.
Chứng minh: (1) 
 (2) 
Gọi O là trung điểm của đoạn AB khi đó:	
 (2) (3)
Gọi H là hình chiếu của M lên AB. Khi đó:
(3) (4)
(4) chứng tỏ H cố định và tập hợp các điểm M có chung hình chiếu H. Từ đó suy ra tại H.
Xét trường hợp đặc biệt (*)
Đặt (không mất tính tổng quát giả sử k > 0)
Khi đó A và B thuộc vuông góc với CD tại H cách trung điểm O của CD một khoảng bằng . Điều đó có nghĩa là: 
Sau đây chúng ta xét một vài ví dụ.
Ví dụ 1: Tứ diện ABCD có . Chứng minh: 
Giải: Ngoài cách giải thông thường, học sinh có thể tư duy định hướng áp dụng mệnh đề (*) để giải ví dụ trên một cách nhanh chóng.
Theo giả thiết: 
Trừ vế với vế: (2) - (1): 
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Về phía ngoài tam giác đó người ta dựng hai hình vuông ABDE và ACGH. Gọi M là trung điểm của đoạn EH. 
Chứng minh đường thẳng AM vuông góc với BC.
Giải: 
M
A
B
C
E
D
G
H
Hình 3
/
/
Để chứng minh hai đường thẳng vuông góc ta dựa vào tích vô hướng. Cụ thể để chứng minh AM vuông góc với BC, ta chứng minh: . Ngoài ra chúng ta có thể áp dụng mệnh đề (*) nêu trên.
Nhận thấy: và 
Suy ra: (1)
Dễ thấy: (2)
Từ (1) và (2) dễ dàng suy ra được: (3)
Ta có: (4)
 (5)
Từ (4), (5) suy ra 
Vậy (ĐPCM).
Dễ dàng giải được 2 ví dụ sau:
Ví dụ 3:
Trong tam giác ABC thì AH là đường cao khi và chỉ khi 
Ví dụ 4: 
H là trực tâm tam giác ABC khi và chỉ khi 
Ví dụ 5: Cho đường gấp khúc khép kín AEBFCD thoả mãn AD = AE, BE = BF, CF = CD. Dựng các đường thẳng Chứng minh rằng ba đường thẳng EM, FN, DP đồng quy.
Nhận xét: Bài toán trên đây nếu xét đầy đủ các trường hợp xảy ra để chứng minh theo cách thông thường thì rất vất vả và dễ thiếu xót.
Giải: Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng FN và DP. Ta có: 
 (1)
 (2)
Lấy (2) trừ (1) ta được 
Mà AD = AE, BE = BF, CF = CD nên 
Do đó EH vuông góc với AB hay ba đường thẳng EM, FN, DP đồng quy tại H.
A
B
D
C
E
N
F
Hình 4
a
x
x
y
y
Ví dụ 6: Cho hình chữ nhật ABCD. Đường thẳng đi qua D vuông góc với đường chéo AC cắt BC tại N. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của DC và CN. Chứng minh rằng AE vuông góc với DF.
Giải:
Đặt , , 
Ta có: 
Ta có DN vuông góc với AC nên:
 (3)
Ta có: 
 (4)
Từ (3) và (4) dễ dàng suy ra AE vuông góc với DF.
Một số bài toán luyện tập
Bài 1. Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A. Gọi H là trung điểm của BC, D là hình chiếu của H lên AC. M là trung điểm của HD.
Chứng minh rằng AM vuông góc với BD.
Bài 2. Tam giác ABC có điểm O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, AB = AC, D là trung điểm của AB và E là trọng tâm tam giác ACD. Chứng minh rằng OE vuông góc với CD.
Bài 3. Cho hình vuông ABCD, I là điểm bất kì trên cạnh AB (I khác A và B). Tia DI cắt tia CB tại E. Đường thẳng CI cắt đường thẳng AE tại M. Chứng minh rằng đường thẳng DE vuông góc với đường thẳng BM.
Bài 4. Cho ngũ giác ABCDE với AB = AE, DE = DC và . Gọi N là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AC vuông góc với DN.
Bài 5. Cho ngũ giác ABCDE với ; AE = BC. Chứng minh ba đường thẳng đi qua ba đỉnh A, B, D tương ứng vuông góc với các cạnh CD, DE và AB thì đồng quy.
2.3.2 Phương thức 2: Mở rộng và phát triển các bài toán sách giáo khoa phổ thông nhờ sử dụng tích vô hướng và các hoạt động khái quát hoá, tương tự hoá.
a, Vai trò của việc thực hiện phương thức 2
- Thực hiện phương thức này giúp học sinh biết cách phát hiện vấn đề và phát triển cách giải quyết vấn đề. Từ đó góp phần mở rộng tiềm năng sách giáo khoa, góp phần phát triển năng lực tư duy hình học của người học, bổ sung cho giáo viên năng lực dạy toán ở trường phổ thông.
- Thực hiện phương thức 2 nhằm giúp học sinh phát hiện tìm tòi cách giải nhờ sử dụng tích vô hướng. Từ đó góp phần phát triển năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy - học hình học
- Tăng cường cơ sở định hướng cách huy động đúng đắn kiến thức cho việc lập luận giải các dạng toán
b, Các ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Chứng minh định lí Ptoleme nhờ sử dụng kiến thức về tích vô hướng
Định lí Ptoleme hay đẳng thức Ptoleme là một đẳng thức trong hình học Euclid miêu tả quan hệ giữa độ dài bốn cạnh và hai đường chéo của một tứ giác nội tiếp. Định lí này mang tên nhà toán học và thiên văn học người Hy Lạp cổ đại Ptolemy (tức Claudius Ptolemaus).
Nếu A, B, C, D là 4 đỉnh của tứ giác nội tiếp đường tròn thì: 
Định lí này cũng có thể phát biểu thành định lí thuận và đảo:
O
B
C
D
A
M
Hình 5
Thuận: Nếu một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn thì tích của hai đường chéo bằng tổng các tích của các cặp cạnh đối diện
Đảo: Nếu một tứ giác thoả mãn điều kiện tổng các tích của các cặp cạnh đối diện bằng tích của hai đường chéo thì tứ giác đó nội tiếp một đường tròn.
Định lí này đã được chứng minh bằng phương pháp hình
 học đồng dạng.
Kẻ đường phụ AM sao cho 
Dễ dàng chứng minh được 
Từ hệ thức trên suy ra: (ĐPMC).
Ta sẽ chứng minh bằng kiến thức tích vô hướng.
ABCD nội tiếp (A, D nằm về một phía của mặt phẳng bờ BC)
 (1) (cùng bằng )
 (2)
Từ (2) ta chứng minh: (3)
(3) 
 (Đúng)
Trong đó: ; R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác cũng là bán kính đường tròn ngoại tiếp 
Từ (2), (3) suy ra: (ĐPCM).
A
M
B
C
Hình 6
/
/
Ví dụ 2: Công thức tính độ dài đường trung tuyến của tam giác
Chứng minh: 
Giải: Ngoài cách trình bày theo sách giáo khoa
chúng ta có thể giải theo cách sau
Ta có: 
 (ĐPCM).
Mở rộng công thức tính độ dài đường trung tuyến khi M là điểm thuộc cạnh BC.
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm thuộc cạnh BC sao cho 
A
B
M
C
Hình 7
 Hãy tính độ dài đoạn AM theo và trong đó là độ dài các cạnh của tam giác ABC.
Giải: 
Theo giả thiết: 
Khi đó: 
Vậy: 
Ví dụ 4: Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G. Hãy tính độ dài đoạn AG theo 6 cạnh của tứ diện đó.
A
B
C
D
G
M
N
a
b
c
x
z
y
Hình 8
Giải: Đặt 
Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến
, ta có:
 (1)
Áp dụng công thức tính độ dài đường trung 
tuyến , ta có:
 (2)
Áp dụng công thức tính độ dài đường trung 
tuyến , ta có: (3)
Thay (1), (2) vào (3), ta được: 
 (4)
Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến , ta có: 
 (5)
Thay (1) và (4) vào (5), ta được: 
Vậy: 
Ví dụ 5: Có thể nhờ các kiến thức từ hình học đồng dạng hay tích vô hướng để tính độ dài đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC theo ba cạnh bằng công thức sau: , trong đó là độ dài các cạnh của tam giác ABC đối diện với các đỉnh .
a, Các bước lập luận sử dụng hình học đồng dạng:
- Dựa vào định lí Ta-lét chứng tỏ rằng 
- Biến đổi tỉ lệ thức hay (1).
Từ đó lập luận tương tự dẫn tới: (2). Trong đó: D là chân đường cao vẽ từ đỉnh A; 
Chứng minh rằng nếu D là chân đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC thì 
Thật vậy, do theo dấu hiệu (gg), ở đây M là giao của AD với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, suy ra: hay 
Mặt khác, (suy từ tam giác BAD và tam giác CMD đồng dạng).
A
B
C
D
M
Hình 9
D
Từ đó suy ra (3). Thay các biểu thức (1) và (2) vào (3) suy ra: 
b, Có thể lập luận dùng tích vô hướng như sau:
- Do chính là . Từ đó cần khai triển 
véctơ theo lần lượt có độ dài c, b
- Ta có: 
- Từ hệ thức suy ra 
- Do cùng hướng suy ra: 
- Từ các hệ thức trên suy ra: 
Hay 
Từ hệ thức cuối cùng và sử dụng công thức tích vô hướng, lấy bình phương vô hướng véctơ suy ra: . 
Ví dụ 6: Cho tứ diện OABC có góc tam diện đỉnh O là tam diện vuông, Gọi M, N lần lượt là các trung điểm các cạnh AB, OA. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OM, CN. 
Giải: Với bài toán này thông thường giáo viên và học sinh đều nghĩ tới phương pháp là: Dựng đường vuông góc chung EF của OM và CN. Từ đó tính EF. Bây giờ chúng ta áp dụng tích vô hướng để giải.
EF là đường vuông góc chung khi và chỉ khi: 
C
O
A
B
M
E
F
N
Hình 10
Đặt hệ véctơ cơ sở: . Chúng ta biểu diễn theo 3 véctơ cơ sở.
+ 
+ 
+ 
Tính EF theo công thức: 
Ta có: (*)
Mặt khác: 
Thay vào (*) ta được: 
Vậy .
Ví dụ 7: Cho hình lập phương có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, AD,. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và PQ. 
Giải: Tương tự với ví dụ trên
Dựng đường vuông góc chung EF của MN và PQ. Từ đó tính EF
EF là đường vuông góc chung khi và chỉ khi: 
C
A
B
D
C’
D’
B’
A’
N
E
M
F
P
Q
Hình 11
Đặt hệ véctơ cơ sở: . Chúng ta biểu diễn theo 3 véctơ cơ sở (3 véctơ đơn vị)
+ 
+ 
+ 	
Tính EF theo công thức: 
Ta có: (*)
Mặt khác: 
Thay vào (*) ta được: 
Vậy .
Tổng quát bài toán trên ta giải ví dụ sau:
Ví dụ 8: Cho hình lập phương có cạnh bằng a. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, AD,. Tính khoảng cách giữa MN và PQ. 
Giải: Dựng đường vuông góc chung EF của MN và PQ. Từ đó tính EF
EF là đường vuông góc chung khi và chỉ khi: 
C
A
B
D
C’
D’
B’
A’
N
E
M
F
P
Q
Hình 12
Đặt hệ véctơ cơ sở: . Chúng ta biểu diễn theo 3 véctơ cơ sở (3 véctơ có độ dài bằng a)
+ 
+ 
+ 
Tính EF theo công thức: 
Ta có: (*)
Mặt khác: 
Thay vào (*) ta được: 
Vậy .
Bài toán luyện tập
Cho hình lập phương có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, P thuộc cạnh sao cho . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AP. 
Ví dụ 9: Ví dụ trang 118 Sách giáo khoa hình học 11
Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau SC và BD.
* Sách giáo khoa đã trình bày cách giải: Dựng OH là đoạn vuông góc chung của SC và BD. Từ đó tính OH. Chúng ta tư duy cách giải mới.
S
A
B
C
D
E
F
Hình 13
Giải: EF là đường vuông góc chung khi và chỉ khi: 
Đặt hệ véctơ cơ sở: . 
Chúng ta biểu diễn theo 3 véctơ 
cơ sở (3 véctơ có cùng độ dài là a)
+ 
+ 
+ 
Tính EF theo công thức: 
Ta có: (*)
Mặt khác: 
Thay vào (*) ta được: 
Vậy .
Bài tập tương tự: Bài 6 (trang 126 sách giáo khoa hình học 11)
Cho hình lập phương có cạnh bằng a.
a, Hãy xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau và 
b, Tính khoảng cách của hai đường thẳng và .
Ví dụ 10: Câu 3 trang 123 Sách giáo khoa hình học 11
Trong các kết quả sau đây, kết quả nào đúng ?
Cho hình lập phương có cạnh bằng a. Ta có bằng:
C
A
B
D
G
H
E
F
Hình 14
A. B. C. D. 
* Phân tích: 
 Với bài toán trên ta dễ dàng nhận ra
 vì vậy: 
. Chọn A.
* Nhận xét: Với cách giải trên giúp chúng ta
B
Hình 15
S
A
C
tính nhanh tích vô hướng của hai véc tơ
mà không cần tính góc của chúng.
Ví dụ 11: Câu 5 trang 98 Sách giáo khoa hình học 11
Cho hình chóp tam giác có 
và có Chứng minh rằng: 
Giải: Từ giả thiết dễ dàng suy ra: 
Nhận thấy: 
(Hiển nhiên đúng)
Tương tự: 
Một số bài toán luyện tập
Tìm hiểu thêm các định lí, các bài tập sách giáo khoa phổ thông giải được bằng ứng dụng tích vô hướng.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
* Bản thân: 
	Khi nghiên cứu về tích vô hướng, ngoài những kiến thức lâu nay đã biết như các ứng dụng của tích vô hướng trong giải toán, bản thân đã được bổ sung thêm những kiến thức mới về tích vô hướng. Qua đó thấy được vai trò của tích vô hướng trong chương trình toán phổ thông. Đặc biệt có thể dựa vào tích vô hướng để giải quyết một số bài toán mà lâu nay các tác giả sử dụng cách giải khác. Từ đó cũng đã giúp bản thân có thêm những kinh nghiệm trong việc phát hiện và giải quyết vấn đề khi chứng minh các định lí và giải các bài toán. 
* Học sinh: 
	Thông qua đề tài này học sinh đã phần nào bỏ bớt đi tính thụ động trong giải toán. Một bài toán đặt ra có nhiều cách giải khác nhau. Học sinh phải luôn tìm tòi, sáng tạo để tìm ra cách giải hay nhất. Vận dụng kiến thức tích vô hướng để giải toán giúp học sinh có cách nhìn nhận sâu sắc hơn về tích vô hướng, thấy được vai trò của tích vô hướng. Qua đó phát triển được năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề khi học hình cũng như học tập môn toán.
* Đồng nghiệp:
Trong các buổi sinh hoạt chuyên môn, bản thân cũng đã trao đổi với các Thầy cô trong tổ chuyên môn và được các Thầy cô đánh giá cao. Qua đó các Thầy cô đã dần triển khai dạy học sinh của các lớp mình phụ trách.
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.
3.1 Kết luận:
 Bạn đọc có thể tìm thấy nhiều mệnh đề, bài toán trong chương trình toán học phổ thông còn ở dạng mở, việc tìm tòi phát hiện để tổng quát hoá các bài toán, các mệnh đề sẽ bổ ích cho việc tự bồi dưỡng năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, năng lực này đang được quan tâm trong đổi mới giáo dục toán học hiện nay.
Đối với giáo viên cần tâm huyết với nghề nghiệp, lấy sự tiến bộ của học sinh làm mục đích chính; luôn trau dồi kiến thức, phương pháp; luôn tìm tòi nghiên cứu chương trình, đối tượng học sinh cụ thể để đưa ra phương pháp truyền thụ kiến thức phù hợp đạt kết quả cao nhất trong giảng dạy. Bản thân phải thấy được sự cố gắng và quan tâm tới sự tiến bộ của các em, khích lệ tuyên dương kịp thời để làm đòn bẩy giúp các em tiến bộ. 
Đối với học sinh cần học tập thật nghiêm túc, tự giác học tập, nghiên cứu chủ động tiếp cận kiến thức một cách khoa học. Cần phát huy tính sáng tạo, tìm tòi cách giải mới. Từ đ