SKKN Phát triển bài toán dãy các phân số có quy luật thành bài toán bất đẳng thức trong bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NÔNG CỐNG
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN DÃY CÁC PHÂN SỐ CÓ QUY LUẬT 
THÀNH BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC 
TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 6 
 Người thực hiện : Lê Thị Thạo
 Chức vụ : Giáo Viên
 Đơn vị công tác : Trường THCS Trần Phú
 SKKN thuộc lĩnh vực Toán học
 NÔNG CỐNG, NĂM 2016
\
MỤC LỤC
Mở đầu 
I/ Lí do chọn đề tài.	
II/ 	 Mục đích nghiên cứu	
III/ Đối tượng nghiên cứu 	
IV/ Phương pháp nghiên cứu	
Nội dung 	
I/ Cơ sở lý luận của SKKN	 	
II/ Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN	
 1. Thực trạng qua khảo sát thực tế.
2. Thực trạng đối với nghiên cứu khoa học 	
III/ Giải quyết vấn đề	
1. Vấn đề đặt ra 	
2. Giải pháp đề xuất	 	 	 	 	 	 
IV/ Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục , với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 
Quá trình thực hiện 
Kết quả 
C. Kết luận, kiến nghị	 
I/ Kết luận	 
II/ Kiến nghị 	 
 Tài liệu tham khảo
Phụ lục	 
Mục lục
I/ Phần mở đầu 
1, lí do chọn đề tài Trang 2
2, Mục đích nghiên cứu Trang 3
3, Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Trang 3
4, Phương pháp nghiên cứu Trang 3
II/ Phần nội dung 
1, Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm Trang 4
2, Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trang 4
3, Các giải pháp giải quyết vấn đề Trang 5
4, Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm Trang 18
III/ Phần kết luận và kiến nghị 
1, Kết luận Trang 19
2, Kiến nghị Trang19 
A. MỞ ĐẦU
 1. Lí do chọn đề tài : 
 a. Những vấn đề chung:
 Trong sự nghiệp Công nghiệp hóa – hiện đại hóa đất nước, đào tạo đội ngũ những người chủ cho tương lai là một việc làm mang tính chiến lược của Đảng và nhà nước ta . Do đó bồi dưỡng các thế hệ học sinh giỏi trong thời kì hiện nay càng là vấn đề cấp thiết và mang tính lâu dài. Thông qua giáo dục chúng ta đào tạo thế hệ trẻ có đầy đủ những phẩm chất và năng lực, trở thành những con người phát triển toàn diện với tư duy sắc bén, lập luận chặt chẽ, linh hoạt và nhanh nhẹn. Và không ai khác giáo dục giữ vai trò quyết định trong quá trình bền bĩ này , Thông qua đó , Học sinh tiếp thu những kiến thức vững chắc, có hệ thống, có khả năng vận dụng vào cuộc sống, tạo niềm tin, tính cách, thói quen, hứng thú, tình cảmcho học sinh, giúp học sinh phát triển trí tuệ, hoàn thiện nhân cách, 
b. Thực tiễn giáo dục:
 Qua thực tế giảng dạy, đặc biệt là trong năm học 2015-2016 này, tôi được giao nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6, Trong rất nhiều chuyên đề bồi dưỡng của chương trình số học 6, chuyên đề về dãy các phân số viết theo quy luật và chuyên đề bất đẳng thức là hai chuyên đề khó, mất rất nhiều thời gian và công sức để có thể nắm bắt cũng như làm được bài tập một cách trọn vẹn, bản thân tôi cũng đã rất cố gắng để truyền tải kiến thức đến học sinh một các chính xác nhất, khoa học nhất, đơn giản nhất và cũng dễ hiểu nhất, về phần các em cũng rất chăm chú trong quá trình tiếp thu, xây dựng bài và đã rất nhiệt tình khi giải bài tập, đặc biệt là quá trình tìm tòi phát triển bài toán . Nhưng thực tế cho thấy, việc giải một bài toán về bất đẳng thức mà một vế của nó được viết dưới dạng dãy các phân số viết theo quy luật luôn khiến cho các em học sinh lúng túng, mất nhiều thời gian để xác định dạng, mất nhiều công sức để giải và bài giải thì chưa trọn vẹn, chưa lấy được điểm tối đa của bài
 Một thực tế khác cho thấy là mặc dù các tài liệu biên soạn về các chuyên đề dãy các phân số viết theo quy luật và bất đẳng thức này thì có rất nhiều và rất phổ biến, nhưng đa số đều viết rời rạc giữa hai chuyên đề, chưa đào sâu từng chuyên đề và không kết nối được mối quan hệ chặt chẽ giữa chúng, đặc biệt không giúp học sinh thấy được từ bài toán dãy các phân số viết theo quy luật ta dễ dàng phát triển thành bài toán bất đẳng thức từ dạng đơn giản cho đến phức tạp.
 Xuất phát từ thực tế đó, tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: 
 “ phát triển bài toán dãy các phân số viết theo quy luật thành bài toán bất đẳng thức trong bồi dưỡng HSG lớp 6 “ nhằm giúp cho quá trình bồi dưỡng học sinh của người giáo viên dễ dàng hơn và quá trình học tập, nghiên cứu của học sinh đạt kết quả cao nhất, đồng thời cũng là tài liệu tham khảo, trao đổi, giao lưu với các bạn bè, đồng nghiệp khác.
2. Mục đích nghiên cứu: 
 Mục đích của viêc nghiên cứu đề tài này là làm sáng tỏ mối quan hệ giữa bài toán dãy các phân số viết theo quy luật và bất đẳng thức, phát triển bài toán dãy các phân số viết theo quy luật thành bài toán bất đẳng thức, hình thành kĩ năng nhận dạng và giải các bài toán về bất đẳng thức mà một vế của nó được viết dưới dạng dãy các phân số viết theo quy luật một cách hiệu quả nhất. 
 3. Đối tượng nghiên cứu: 
 - Nghiên cứu quá trình làm bài của học sinh, bài làm của học sinh về bất đẳng thức mà một vế của nó được viết dưới dạng dãy các phân số viết theo quy luật 
 - Nghiên cứu kỹ năng giải bài toán về bất đẳng thức mà một vế của nó được viết dưới dạng dãy các phân số viết theo quy luật trong các đề thi học sinh giỏi toán 6
- Nghiên cứu kĩ năng phát triển bài toán dãy các phân số viết theo quy luật thành bài toán bất đẳng thức ở học sinh, khả năng xử lí bài toán bất đẳng thức các dạng.
4. Phương pháp nghiên cứu: 
a. Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết: 
 Đọc các tài liệu tham khảo để thu thập các thông tin liên quan đến phương pháp giải bài toán dãy các phân số viết theo quy luật và bất đẳng thức 
 + Sách nâng cao và phát triển toán 6 tập 2 của tác giả Vũ Hữu Bình
 + Sách nâng cao và các chuyên đề toán 6 của tác giả Nguyễn Ngọc Đạm –Vũ Dương Thụy
 + Các chuyên đề về bài toán dãy các phân số viết theo quy luật và bất đẳng thức trên mạng Internet
 b. Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin:
 + Nghiên cứu các bài giải của học sinh, đối chiếu kết quả, đáp án qua nhiều bài làm khác nhau rồi phân tích tổng hợp 
 + Thường xuyên trò chuyện với học sinh: Đặt câu hỏi có liên quan đến bài toán dãy các phân số viết theo quy luật và bất đẳng thức : các em có hứng thú khi làm các bài toán dạng này không? Các em có nhận ra dạng bài này không, khi giải dạng bài toán này em thường gặp rắc rối gì? Hoặc sau khi giải bài toán thấy kết quả khác với đáp án, em có biết mình sai ở đâu không? Do đâu không?
 c. Phương pháp thống kê, xử lí số liệu:
+ Thống kê các nguyên nhân dẫn đến sai sót trong quá trình làm bài của học sinh
+ Tìm hiểu bài toán bất đẳng thức này được phát triển từ bài toán dãy các phân số viết theo quy luật nào? Giải quyết theo hướng nào?
+ Xử lí nguyên nhân dẫn đến không nhận dạng được bài toán, bài giải sai, hoàn thiện bài và định hướng phát triển thành bài toán mới.
B . NỘI DUNG
1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm: 
 Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi toán 6, giải bài toán trong các chuyên đề dãy các phân số viết theo quy luật và bất đẳng thức là việc làm không thể tránh khỏi, việc nhận ra mối quan hệ của chúng để phát triển bài toán dãy các phân số viết theo quy luật thành bài toán bất đẳng thức là một tất yếu để các em có thể giải quyết các bài tập về bất đẳng thức một cách dễ dàng, hiệu quả.
 “Phát triển bài toán dãy các phân số viết theo quy luật thành bài toán bất đẳng thức là rất quan trọng đối với học sinh, có một số học sinh tự lực giải đúng bài toán bất đẳng thức theo các yêu cầu đặt ra của bài toán. Tuy nhiên nhiều học sinh chưa nắm bắt được các cách giải dạng bài toán này hoặc giải sai vì không nhận ra dạng của nó được phát triển từ bài toán dãy các phân số viết theo quy luật nào. Vì vậy việc đưa ra đề tài “ phát triển bài toán dãy các phân số viết theo quy luật thành bài toán bất đẳng thức” giúp học sinh nhận dạng bài toán và rèn kĩ năng khi giải bài toán bất đẳng thức, để phát triển kỹ năng giải toán và giải nó một cách thành thạo là vấn đề cần quan tâm để của học sinh hiện nay.
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm : 
a. Thực trạng qua khảo sát thực tế.
 Từ học kì II năm học 2015-2016 tôi được phân công bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 6, chuẩn bị cho kì thi học sinh giỏi cấp huyện vào tháng 4 năm 1016. Thông qua khảo sát các bài kiểm tra về toán của các em trong đội dự tuyển tôi thu được kết quả như sau: 
 Toàn đội có 11 em , Trong đó: 
 + 1 em làm được bài hoàn chỉnh 
 + 3 em tính được kết quả của phần biểu thức viết dưới dạng dãy các phân số viết theo quy luật nhưng không biết dùng kết quả đó để lập luận chứng minh bài toán bất đẳng thức mà đề bài yêu cầu 
 + 4 em không biết rằng để chứng minh bài toán bất đẳng thức dạng này cần tính được một vế của bất đẳng thức mà biểu thức được viết dưới dạng dãy các phân số viết theo quy luật sau đó mới dùng kết quả để chứng minh
 + 3 em còn lại không xác định được yêu cầu bài toán 
b. Thực trạng đối với nghiên cứu 
 Trong quá trình trao đổi, bồi dưỡng học sinh cũng như qua quá trình khảo sát bài làm thực tế của các em tôi tìm ra được một số sai sót thường mắc phải khi HS giải bài toán bất đẳng thức là:
 - Không nhận dạng được bài toán
 - Không phân tích được đề bài hoặc phân tích sai đề
 - Nhận dạng và phân tích được đề bài nhưng thực hiện giải sai 
 - Viết sai dấu và chiều của bất đẳng thức trong khi làm. 
3. Các giải pháp giải quyết vấn đề:
a. Vấn đề đặt ra:
 Chính từ thực trạng nói trên, nhằm nâng cao kỹ năng giải bài toán bất đẳng thức mà một vế của nó là dãy các phân số viết theo quy luật, bản thân tôi thấy rằng cần phát triển bài toán dãy các phân số viết theo quy luật thành bài toán bất đẳng thức bằng những lý luận và bài tập cụ thể. Để rèn kỹ năng và nâng cao chất lượng giải các bài toán về bất đẳng thức đòi hỏi học sinh phải hiểu rõ các vấn đề sau: 
- Bất đẳng thức đã cho có một vế là dãy các phân số viết theo quy luật nào?
- Tính giá trị của dãy các phân số viết theo quy luật như thế nào?
- Dùng kết quả của dãy các phân số viết theo quy luật đã tính ở trên để lập luận chứng minh bất đẳng thức theo yêu cầu như thế nào?
- Từ dãy các phân số viết theo quy luật và bất đẳng thức vừa chứng minh trên ta có thể phát triển thành bài toán bất đẳng thức nào khác nữa?
b. Giải pháp :
 Qua quá trình tham khảo tài liệu về các chuyên đề này và thực tế bồi dưỡng học sinh giỏi, tôi đã hướng dẫn học sinh “ phát triển bài toán dãy các phân số viết theo quy luật thành bài toán bất đẳng thức” cụ thể như sau :
 Dạng 1) Với các bài toán dãy các phân số theo quy luật với tử là 1, mẫu là các lũy thừa cùng cơ số với số mũ là số tự nhiên. 
 (*) Xuất phát từ dạng cơ bản nhất là bài toán dãy các phân số theo quy luật với tử là 1, mẫu là các lũy thừa cùng cơ số với số mũ là số tự nhiên liên tiếp ta có bài toán 1
Bài 1) Cho A = + + ++ + 
a, Tính giá trị của biểu thức A : 
Ta có:
 A = + + +  + + ( 1) 
 2A = 1 + + + . . . + + (2) 
Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức ( 1) ta được:
 A = 1 - 
Vậy A = 1 - Từ đây ta phát triển thành bài toán chứng minh bất đẳng thức : 
b, Chứng minh rằng A = + + ++ + < 1 
Thật vậy, từ kết quả trên ta thấy : > 0 nên 1 - < 1 
Vậy A < 1
(*) Phát triển bài toán trên thành bài toán dãy các phân số theo quy luật với tử khác 1, mẫu là các lũy thừa cùng cơ số với số mũ là số tự nhiên liên tiếp ta có bài toán 2.
Bài 2) Cho C = +++++
a, Tính giá trị của biểu thức C : 
Ta có: C = +++  ++
 = 3(+++  ++) (1)
 4C = 3(+++ ++) (2)
Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1) ta được: 
 3C = - C = -
Vậy C = - Từ đây ta phát triển thành bài toán chứng minh bất đẳng thức: 
b , Chứng minh rằng : C = +++++< 
Thật vậy, từ kết quả trên ta thấy : > 0 - < . Vậy C < 
 (*) Phát triển thành bài toán dãy các phân số theo quy luật với tử là 1, mẫu là các lũy thừa cùng cơ số với số mũ là số tự nhiên chẵn liên tiếp. 
Bài 3) Cho D = + + ++ + 
a, Tính giá trị của biểu thức D : 
Ta có: 
 D = + + +  + + + (1)
 3D = 1+ + + +  + + (2)
Trừ vế với vế của đẳng thức (2) cho đẳng thức (1) ta được:
 8D = 1- D = (1- ) :8
Vậy D = (1- ) : 8 Từ đây ta phát triển thành bài toán chứng minh bất đẳng thức 
b, Chứng minh rằng: D = + + ++ + < 
Thật vậy, từ kết quả trên ta thấy : > 0 nên 1- < 1 (1- ) :8 < 
 Vậy D < 
 (*) Ta phát triển thành bài toán dãy các phân số theo quy luật với tử khác 1, mẫu là các lũy thừa cùng cơ số với số mũ là số tự nhiên chẵn liên tiếp được bài toán 4 
Bài 4) Cho E = + + +  + + 	
a, Tính giá trị của biểu thức E : 
Ta có:
 E = 4( + + +  + + ) (1)
 5E = 4(1 + + +  + +) (2)
Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1) ta được 
 24E = 4(1- ) E = = 
Vậy E = Từ đây ta phát triển thành bài toán chứng minh bất đẳng thức : 
b, Chứng minh rằng: E = + +++ +< 
Thật vậy, từ kết quả trên ta thấy : > 0 1- < 1 < 
Vậy E < 
(*) Phát triển thành bài toán dãy các phân số theo quy luật với tử là 1, mẫu là các lũy thừa cùng cơ số với số mũ là số tự nhiên lẻ liên tiếp ta có bài toán 5.
Bài 5) Cho G = + +++ + 
a, Tính giá trị của biểu thức G : 
Ta có: 
 G = + + +  + + (1) 
5G = + + +  + + (2) 
Trừ vế với vế đẳng thức (2) cho đẳng thức (1) ta được:
 24G = - G = 
Vậy G = Từ đây ta phát triển thành bài toán chứng minh bất đẳng thức 
b, Chứng minh rằng: G = + +++ + < 
Thật vậy, từ kết quả trên ta thấy : > 0 - < < 
Vậy G < 
 (*) Ta phát triển thành bài toán dãy các phân số theo quy luật với tử là 1, mẫu là các lũy thừa cùng cơ số với số mũ là số tự nhiên liên tiếp nhưng đan xen dấu của phép tính để được bài toán 6.
Bài 6) Cho K = - + - +  + - 
a, Tính giá trị của biểu thức K : 
Ta có:
 K = - + - +  + - (1) 
 3K = 1 - + - +  + - (2) 
 Cộng vế với vế đẳng thức (2) và đẳng thức ( 1) ta có:
 4K = 1 - K = 
Vậy K = Từ đây ta phát triển thành bài toán chứng minh bất đẳng thức : 
b, Chứng minh rằng: K = - +- ++- < 
Thật vậy, từ kết quả trên ta thấy : > 0 1 - < 1 < 
 Vậy K < 
 Dạng 2 : Với các bài toán dãy các phân số theo quy luật với tử là 1, mẫu là tích các số tự nhiên. 
(*) Với các phân số có tử là 1, mẫu là tích các số tự nhiên liên tiếp ta có bài toán 1.
Bài 1 ) Cho A = + + + ... + 
a, Tính giá trị của biểu thức A : 
Ta có : A = + + + ... + 
 = (1-) + (-) + (-) +  + (- ) + (- )
 = 1 + (- + ) + ( - + ) +  + (- + ) - 
 = 1 - Từ đây ta phát triển thành bài toán chứng minh bất đẳng thức: 
b, Chứng minh rằng: A = + + + ... + < 1
Thật vậy, từ kết quả trên ta thấy : > 0 nên 1 - < 1 . Vậy A < 1
(+) Bỏ một số hạng đầu tiên của tổng A ta có bài toán bất đẳng thức mới:
 Chứng minh rằng: A1 = + + + ... + < 
 Ta có: A1 = + + + . . . + + 
 = - + - + - ++ (- ) + (- )]
 = + ( - + ) + ( - + ) +  + (- + ) - 
 = - 
 Ta thấy : > 0 - < . Vậy A1 < 
 (+) Bỏ hai số hạng đầu của tổng A ta có bài toán bất đẳng thức: 
 Chứng minh rằng: A2 = + + ++ + < 
 Ta có : A2 = - < 
(*) Với các phân số có tử khác 1, mẫu là tích các số tự nhiên liên tiếp ta có bài toán 2 
Bài 2) Cho B = + + ++ + 
a, Tính giá trị của biểu thức B : 
 Ta có: B = 2( + + +  + + )
 = 2[(1-) + (-) + (-) +  + (- ) + (- )]
 = 2[1 + (- + ) + ( - + ) +  + (- + ) - ]
 = 2(1-) = 2- 
Vậy B = 2 - Từ đây ta phát triển thành bài toán chứng minh bất đẳng thức : 
b, Chứng minh rằng B = + + +  + + < 2 
Thật vậy, từ kết quả trên ta thấy : > 0 2 - < 2 . Vậy B < 2
(+) Bỏ một số hạng đầu tiên của tổng B ta có bài toán bất đẳng thức: 
 Chứng minh rằng: B1 = + +  + + < 1 
Ta có : B1 = + +  + + 
 = 2( + +  + + )
 = 2[(-) + (-) ++ (- ) + (- )]
 = 2[ + ( - + ) ++ (- + ) - ]
 = 2(-) = 1 - 
 Ta thấy : > 0 nên 1 - < 1 .Vậy B1 < 1
(+) Bỏ hai số hạng đầu tiên của tổng B ta có bài toán bất đẳng thức: 
 Chứng minh rằng: B2 = + +  + + < 
(*) Phát triển mẫu các phân số trong dãy ta có bài toán với tử là 1, mẫu là tích các số tự nhiên chẵn liên tiếp ta có bài toán 3. 
Bài 3) Cho C = + +  + + 
a, Tính giá trị của biểu thức C : 
 C = + +  + + 
 2C = 2( + +  + + )
 = (-) + (-) +  + (- ) + ( - )
 = - 
 C = (- ) : 2 = - 
Vậy C = - . Từ đây ta phát triển thành bài toán chứng minh bất đẳng thức: 
b, Chứng minh rằng: C = + +  + + < 
Thật vậy, từ kết quả trên ta thấy : > 0 - < .Vậy C < 
(+) Bỏ một số hạng đầu tiên của tổng C ta có bài toán bất đẳng thức sau: 
 Chứng minh rằng : C1 = + + +  + + < 
 Ta có :
 C1 = + + +  + + 
2C1 = 2( + + + + + )
 = (-) + ( - ) + ( - ) +  + (- ) + ( - ) 
 = - C1 = ( - ) : 2 = - 
 Ta thấy : > 0 nên - < .Vậy C1 < 
(+) Bỏ hai số hạng đầu tiên của tổng C ta có bài toán bất đẳng thức 
 Chứng minh rằng: C2 = + +  + + < 
(*) Phát triển mẫu các phân số trong dãy ta có bài toán với tử khác 1, mẫu là tích các số tự nhiên lẻ liên tiếp ta có bài toán 4. 
 Bài 4) Cho D = + + +  + + 
a, Tính giá trị của biểu thức D : 
Ta có : 
 D = + + +  + + 
 = 1 - + -+  + - + - 
 = 1 - 
Vậy D = 1 - . Từ đây ta phát triển thành bài toán chứng minh bất đẳng thức: 
b, Chứng minh rằng: D = + + +  + + < 1
Thật vậy, từ kết quả trên ta thấy : > 0 1 - < 1 . Vậy D < 1
(*) Phát triển dấu các phân số trong dãy cơ bản ta có bài toán 5 
Bài 5 ) Cho E = - - - -  - - 
 a, Tính giá trị của biểu thức E : 
 E = - - - -  - - 
 E = (-1)( + + ++ + ) 
 = (-1) [(1-) + (-) + (-) ++ (- ) + (- )
 = (-1)[1+(- + ) + ( - + ) ++ (- + )- ]
 = (-1)(1-) = -1+
Vậy E = -1 + . Từ đây ta phát triển thành bài toán chứng minh bất đẳng thức: 
b, Chứng minh rằng: E = - - - -  - - < 
Thật vậy, từ kết quả trên ta thấy : - 1 + = - 1 < . Vậy E < 
(*) Phát triển mẫu các phân số trong dãy với tử là 1, mẫu là tích ba số tự nhiên liên tiếp ta có bài toán 6.
Bài 6) Cho F = + ++ + 
a, Tính giá trị của biểu thức F : 
Ta có : 
 F = + ++ + 
 = ( - + - ++ -)
 = (-) = - 
Từ đây ta phát triển thành bài toán chứng minh bất đẳng thức:
b, Chứng minh rằng: F = + ++ + < 
Thật vậy, từ kết quả trên ta thấy : > 0 - < 
Vậy F < 
Dạng 3) Đây là các bài toán chứng minh bất đẳng thức trên cơ sở dãy có quy luật 
(*) Với các phân số trong dãy có tử là 1, mẫu là lũy thừa bậc hai của các số tự nhiên liên tiếp ta có bài toán 1.
Bài 1) Chứng minh rằng: A = + +++ < 
Ta có: 
 = <=- 
 =<=- 
 = < = - 
 . 
 = < = - 
 = < = -
 Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được
A = + +++ < -+-++- +-
 = -< . Vậy A < 
(+) Bỏ một số hạng đầu tiên của tổng A ta có bài toán chứng minh bất đẳng thức:
Chứng minh rằng: A1 = +++ < 
Ta thấy: 
 = < =- 
 = < = - 
 = < = - 
 = < = -
Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được:
 A1 = +++ <-+-++-+-
 = -< . Vậy A1 < 
(+) Bỏ hai số hạng đầu tiên của tổng A ta có bài toán bất đẳng thức mới: 
Chứng minh rằng: B2 = +++++ < 
Ta thấy: A2 = -< 
Vậy A2 < 
(*) Phát triển mẫu các phân số trong dãy ta có bài toán với tử khác 1, mẫu là lũy thừa bậc hai của các số tự nhiên liên tiếp ta có bài toán 2. 
Bài 2) Chứng minh rằng: B = ++++ < 
 Ta có: B = ++++ 
 = 2( ++++ )
Ta thấy: 
 =< =- 
 =<= - 
 = < = - 
 = <=-
Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được:
B = 2( ++++ ) < 2( -+-++-+-)
 = 2(-) = - < . Vậy B < 
 (*) Phát triển mẫu các phân số trong dãy ta có bài toán với tử là 1, mẫu là lũy thừa bậc hai của các số tự nhiên liên tiếp, các phân số mang dấu trừ ta có bài toán 3.
Bài 3) Chứng minh rằng: G = - - - -  - - > -1
Ta có: G = - - - -  - - 
 G = -(+++++) = - K
Ta thấy : 
 = <= 1- 
 = <= - 
 .................................
 = < = - 
 = < = -
Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được :
K = (+++++) < (1-) + ( -) +  + (- ) + ( -) 
 = 1 - 
Hay K - 1( nhân hai vế bất đẳng thức với -1)
 G = - K > - 1 > -1 . Vậy G > -1 
 (*) Phát triển mẫu các phân số trong dãy ta có bài toán với tử là 1, mẫu là lũy thừa bậc ba của các số tự nhiên liên tiếp ta có bài toán 4 
 Bài 4) Chứng minh rằng : C = + + ++ + < 
Ta thấy: 
 = < = ( -) 
 = < = (-)
 = < = (-) 
 . 
 = < = (-) 
 = < = (-)
Cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được:
C = + + ++ + 
 < ( -) + (-) +...+ (- ) + (-)
 C < ( - + - ++ -)
C < (-) = - < . Vậy C < 
(+) Bỏ một số hạng đầu tiên của tổng C ta có bài toán bất đẳng thức. 
 Chứng minh rằng : C1 = + ++ + <