SKKN Phát hiện và giải quyết vấn đề trong bài toán hình giải tích từ những mối quan hệ giưã các điểm, điểm và đường thẳng

A. MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
	Trong công cuộc đổi mới căn bản và toàn diện nền giáo dục nước nhà, đổi mới phương pháp dạy học là một trong những nhiệm vụ quan trọng hàng đầu.
	Trong quá trình công tác, trải qua nhiều phương pháp dạy học tích cực tôi nhận thấy phương pháp dạy học “Phát hiện và giải quyết vấn đề” có nhiều ưu điểm cũng như phù hợp với công tác giảng dạy bộ môn Toán ở trường phổ thông nói chung và dạy học bài tập toán nói riêng. Tuy nhiên để có thành công trong phương pháp dạy học “Phát hiện và giải quyết vấn đề” ngoài năng lực chuyên môn và năng lực sư phạm của mỗi giáo viên còn đòi hỏi ở người giáo viên nhiều thời gian và tâm huyết.
	Để có một bài giảng thu hút được học trò, giúp học trò phát triển tư duy về môn toán và dẫn dắt học trò tới niềm say mê tìm tòi sáng tạo, tôi thường trăn trở với những khó khăn của học trò trong quá trình tiếp cận từng bài toán.
	Bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng là bài toán thường xuất hiện ở các kì thi vì vậy nó luôn được sự quan tâm đặc biệt đối với học trò, bên cạnh đó nó cũng là bài toán khó với nhiều đối tượng học trò đặc biệt là với các em có năng lực trung bình. Băn khoăn trước những khó khăn của học trò, tôi tìm tòi và quyết định chọn phương pháp dạy học “Phát hiện và giải quyết vấn đề” để giúp các em tiếp cận loại toán này một cách hiệu quả nhất.
	Trong số những bài toán về hình giải tích trong mặt phẳng có một lớp các bài toán thiên về tính chất hình phẳng thuần túy đã gây cho học trò nhiều khó khăn khi tiếp cận. Vì vậy tôi chọn đề tài là “Phát hiện và giải quyết vấn đề trong bài toán hình giải tích từ những mối quan hệ giưã các điểm, điểm và đường thẳng” để nghiên cứu.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
	Tìm hiểu những khó khăn và thuận lợi của học sinh khi tiếp cận bài toán hình giải tích trong mặt phẳng thông qua phương pháp dạy học: “Phát hiện và giải quyết vấn đề”.
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
	- Học sinh khối 10, 11 trường THPT Đông Sơn I
	- Học sinh khối 12 ôn thi vào các trường đại học trường THPT Đông Sơn I
IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
	- Tìm kiếm tài liệu tham khảo từ nhiều nguồn khác nhau liên quan đến hình học phẳng.
	- Trao đổi với các đồng nghiệp để đề xuất biện pháp thực hiện.
	- Giảng dạy các tiết bài tập toán tại các lớp 11a2, 12a2 trường THPT Đông Sơn I để nắm bắt tình hình thực tế của học sinh.
B. NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
	1. Một số điểm cần lưu ý
1.1. Những bài toán liên quan đến tam giác vuông (đặc biệt là tam giác vuông cân), hình chữ nhật (đặc biệt là hình vuông), hình thang vuông thì ta có thể đặt một cạnh bằng a. Từ đó sử dụng giả thiết, định lý Pitago, định lý hàm số côsin sẽ xác định được các yếu tố cần thiết thuận lợi cho việc giải quyết bài toán đó. Bài toán cơ bản về khoảng cách và bài toán cơ bản về góc cũng thường được sử dụng trong chủ đề này.
1.2. Vẽ hình chính xác, từ đó dự đoán xem có hai đường thẳng nào vuông góc với nhau hay không. Từ đó sử dụng định lý Pitago, phương pháp vectơ hay cộng góc để chứng minh dự đoán này. Việc phát hiện ra yếu tố vuông góc có thể là mấu chốt để chúng ta giải quyết bài toán.
1.3. Sử dụng định lý Talet, tam giác đồng dạng để so sánh khoảng cách từ 2 điểm đến một đường thẳng. Từ đó sử dụng bài toán cơ bản về khoảng cách hoặc phương pháp tham số hóa để giải quyết bài toán.
	2. Một số tính chất của hình học phẳng vận dụng vào bài toán phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Tính chất 1. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông.
Tính chất 2. Định lý hàm số cosin, hệ quả định lý hàm số cosin, định lý hàm số sin, hệ quả định lý hàm số cosin, công thức trung tuyến, công thức tính diện tích tam giác.
Tính chất 3. Cho hình vuông ABCD Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC Khi đó AN ^ DM 
Chứng minh. Gọi cạnh hình vuông là Ta có
Suy ra 
Chứng minh hoàn toàn tương tự như trên ta có tính chất sau
Tính chất 4. Cho hình vuông Gọi lần lượt thuộc và sao cho Khi đó 
Tính chất 5. Cho hình chữ nhật có Gọi là trung điểm Khi đó 
Chứng minh. Ta có
Suy ra 
Tính chất 6. Cho hình chữ nhật Gọi là hình chiếu của lên và lần lượt là trung điểm của Khi đó 
Chứng minh. Gọi là trực tâm của tam giác Khi đó (vì cùng vuông góc với Do là trung điểm nên là đường trung bình của tam giác Suy ra
Suy ra là hình bình hành 
Vì là trực tâm của tam giác nên 
Thay đổi hình thức của tính chất 4 ta có các hệ quả sau
6.1. Cho hình thang vuông tại và Gọi là hình chiếu của lên và là trung điểm Khi đó 
6.2. Cho tam giác vuông tại có hai trung tuyến và Gọi là hình chiếu của lên là trung điểm của Khi đó 
 Trên đây là những tính chất được khai thác nhiều trong các bài toán. 
II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG
	- Kiến thức cơ sở về môn toán của các em hầu hết tập trung ở mức độ trung bình.
	- Kết quả khảo sát ở một số lớp trong phần giải bài tập toán về phần hình giải tích trong mặt phẳng cũng như qua tìm hiểu ở các giáo viên dạy bộ môn toán, chỉ có khoảng 10% học sinh hứng thú với bài toán hình giải tích trong mặt phẳng.
III. GIẢI PHÁP ĐÃ THỰC HIỆN ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
	Đưa ra các bài toán cụ thể trong các tiết dạy học bài tập, phân tích từng bài toán cụ thể để định hướng cho học sinh cách giải quyết bài toán và những bài mang tính chất tương tự.
IV. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
	- Sau khi áp dụng kết quả nghiên cứu của đề tài, qua việc kiểm tra khảo sát cho thấy có trên 70% các em học sinh có hứng thú với bài học và trong số đó có khoảng 40% các em học sinh biết cách vận dụng một cách linh hoạt, nhất là số các em đang chuẩn bị thi vào các trường đại học.
	- Đề tài có thể làm tài liệu tham khảo cho các em học sinh đang học khối 10 cũng như các em học sinh khối 12 THPT đang ôn thi vào các trường đại học và cao đẳng
V. BÀI TẬP ÁP DỤNG 
	-Trong khuôn khổ của đề tài, sau đây tôi xin trình bày một số bài toán hình học giải tích phẳng liên quan đến tam giác vuông, hình thang vuông, hình chữ nhật và hình vuông.
	- Ở mỗi bài toán đều có sự phân tích bài toán và đưa ra hướng giải để giúp các em học sinh tiếp cận bài toán một cách dễ dàng hơn, qua đó học sinh có thể vận dụng cho những bài toán tương tự
 Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho hình thang ABCD vuông tại A và B. là trung điểm AB, Tìm toạ độ của C biết rằng 
 Phân tích bài toán. Bài toán này chúng ta có thể đi theo một trong các hướng như sau:
 Hướng thứ nhất. Vì nên ta tham số hóa điểm C (ẩn c). Hình thang vuông này có các cạnh liên hệ với nhau qua đẳng thức nên nếu đặt độ dài một cạnh nào đó bằng x thì ta sẽ tính được tất cả các cạnh còn lại theo x. 
Để tìm C, ta sẽ đi tính độ dài đoạn thẳng MC. Chú ý rằng đã có.
 Lời giải. Đặt Suy ra AD =4x. Do đó 
Ta có Suy ra 
Mặt khác	
Suy ra Suy ra 
Vì Khi đó 
Từ đó suy ra 
 Hướng thứ hai. Nếu viết được phương trình của đường thẳng thì sẽ tìm được tọa độ của Ta sẽ tìm cách tính từ đó sử dụng bài toán cơ bản về góc.
 Lời giải. Đặt Suy ra AD = 4x. Do đó
Áp dụng định lý hàm số cosin cho tam giác MCD ta có 
Gọi ( a2 + b2 # 0). Ta có
Nếu (loại).
Nếu chia cả hai vế của phương trình (*) cho b2 ta có 
Từ đó suy ra 
 Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho tam giác vuông tại trung điểm của nằm trên đường thẳng Gọi là hình chiếu của A lên trung tuyến của tam giác ABC. Biết rằng là trung điểm Tìm tọa độ các đỉnh và 
 Phân tích bài toán. Dựa vào tính chất hay hệ quả thì ta có được Từ đó viết được phương trình của MI và tìm được tọa độ của M.
 Lời giải. Gọi là trung điểm của Ta có nên là hình bình hành. Vì Từ đó P là trực tâm của tam giác Suy ra 
Đường thẳng đi qua và vuông góc với nên 
Do đó 
Gọi 
Suy ra
Đường thẳng đi qua và vuông góc với nên 
Dẫn đến Suy ra 
 Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho hình chữ nhật có đỉnh thuộc đường thẳng là điểm đối xứng với qua Hình chiếu vuông góc của lên đường thẳng là Tìm tọa độ các đỉnh 
 Phân tích bài toán. Nút thắt của bài toán này là Từ đó tìm được tọa độ của đỉnh 
Dễ thấy nên lập được phương trình của Từ đó tham số hóa đỉnh (ẩn Dựa vào phương trình để tìm 
 Lời giải. Lấy đối xứng với qua Khi đó là trung điểm của Trong các tam giác vuông ta có Suy ra
Suy ra 
Do đó 
Vì song song với nên 
Suy ra 
Ta có 
Vậy 
 Bài 4. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho hình vuông có là trung điểm của đỉnh Tìm tọa độ đỉnh biết rằng 
 Phân tích bài toán. Ta đi tính góc từ đó viết được phương trình đường thẳng dựa vào bài toán cơ bản về góc. Dẫn đến tọa độ đỉnh D.
 Lời giải. Đặt cạnh hình vuông bằng Áp dụng định lý Pitago ta tính được
Suy ra 	
Gọi phương trình đường thẳng là Ta có
Với chọn 
Với chọn và 
Vậy 
 Bài 5. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho hình chữ nhật có là trung điểm của Hình chiếu vuông góc của lên là đường trung tuyến của tam giác có phương trình Viết phương trình cạnh 
 Phân tích bài toán. Từ tính chất ta có Do đó lập được phương trình của đường thẳng suy ra tọa độ của Từ đó lập phương trình của Suy ra tọa độ của Lưu ý rằng, đường thẳng đi qua và song song với 
 Lời giải. Gọi E là trực tâm của tam giác Khi đó (cùng vuông góc với Vì là trung điểm của nên là đường trung bình của tam giác Suy ra 
Do đó là hình bình hành. Dẫn đến 
Suy ra
Vì là trung điểm của nên 
Vì 
 Bài 6. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho hình thang vuông tại và Điểm thuộc đoạn sao cho điểm thuộc đoạn sao cho Tìm toạ độ các đỉnh của hình vuông biết có hoành độ dương.
 Phân tích bài toán. Mấu chốt ở bài toán này là dự đoán và chứng minh được Từ đó viết được phương trình của và tham số hóa điểm Từ độ dài của sử dụng định lý Pitago ta sẽ tính được độ dài các cạnh hình thang đã cho.
 Lời giải. Bằng phương pháp véc tơ ta chứng minh được 
Ta có Suy ra
Suy ra 
Đặt 
Từ đó Suy ra 
Suy ra (vì 
Tam giác vuông cân nên 
Chú ý cùng phía so với Từ đó tìm được 
Vậy 
 Bài 7. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho hình vuông Điểm nằm trên cạnh Đường tròn đường kính cắt đoạn tại Đỉnh thuộc đường thẳng Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông đã cho, biết rằng đỉnh có tọa độ nguyên và đỉnh có hoành độ nhỏ hơn 
 Phân tích bài toán. Gọi là trung điểm Dự đoán và chứng minh vuông cân tại nên tìm được tọa độ của suy ra tọa độ của 
Vì nên ta tham số hóa điểm với ẩn Từ đó tìm được tọa độ tâm của hình vuông đã cho theo Từ tính chất ta tìm được Suy ra tọa độ của 
 Lời giải. Ta có tam giác vuông tại và nên tam giác vuông cân tại Gọi là trung điểm của Khi đó tam giác vuông cân tại Gọi là trung điểm của thì là đường trung trực của Do đó 
Ta có	 
Vì đỉnh có hoành độ nhỏ hơn nên 
Vì Gọi là tâm của hình vuông. Khi đó Suy ra Ta có
Vì có tọa độ nguyên nên Do đó
Vậy 
 Bài 8. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho tam giác vuông tại đường cao Gọi là điểm đối xứng với qua Điểm thuộc đường thẳng đường trung tuyến kẻ từ của tam giác có phương trình Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác 
 Phân tích bài toán. Trước hết tìm được tọa độ của Gọi là trung điểm của Mấu chốt ở bài toán này là dự đoán và chứng minh được Viết được phương trình của và tìm được 
 Lời giải. Gọi là trung điểm của Vì nên 
Ta chứng minh bằng phương pháp vectơ. Ta có
Suy ra Do đó 
Suy ra 
Đường thẳng vuông góc với nên 
Vậy 
 Bài 9. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho hình vuông Biết rằng là trọng tâm tam giác Đường thẳng đi qua vuông góc với cắt BD tại Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông đã cho biết rẳng đỉnh có tung độ lớn hơn 
 Phân tích bài toán. Hình vuông đã cho có hai đường chéo vuông góc với nhau tại Dự đoán Từ đó suy ra tam giác vuông cân tại Do đó tìm được tọa độ của 
 Lời giải. Gọi là tâm của hình vuông Khi đó nên là trực tâm của tam giác Suy ra
Từ đó suy ra tam giác vuông cân tại 
Đường trung trực của là 
Ta có 
TH1. Ta có 
 (loại vì điều kiện 
TH2. Ta có 
Suy ra 
Vậy 
 Bài 10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho hình vuông có là trung điểm của Điểm thuộc sao cho Biết rằng Viết phương trình cạnh 
 Phân tích bài toán. Mấu chốt của bài toán này là dự đoán và chứng minh được tam giác vuông cân. Từ đó tìm được điểm Gọi là giao điểm của và Từ định lý Talet ta tìm được tọa độ Từ đó viết được phương trình của đường thẳng 
 Lời giải. Đặt cạnh hình vuông bằng a. Sử dụng định lý Pitago và định lý hàm số cosin ta có 
Suy ra tam giác vuông cân tại Do đó
Vì Ta có
Gọi Ta có
Từ đó suy ra có hai phương trình đường thẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán
 Bài 11. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho hình vuông Gọi là trung điểm Biết rằng, là hình chiếu của lên là trung điểm đỉnh có hoành độ dương. Tìm tọa độ các đỉnh 
 Phân tích bài toán. Gọi là trung điểm của Ta có thẳng hàng và nên viết được phương trình của Tính được góc Sử dụng bài toán cơ bản về góc ta viết được phương trình của 
 Lời giải. Gọi là trung điểm của Khi đó tính chất đường trung bình nên Lại có là hình bình hành nên AM//CN. Do đó thẳng hàng. 
Ta có : tanBCN = 
Vì đi qua và vuông góc với nên 
Vì là trung điểm của nên 
Gọi (a2 +b2 # 0) Ta có 
Vì có hoành độ dương nên 
Đường thẳng qua và vuông góc với nên 
Đường thẳng qua và song song với nên 
Suy ra 
Vậy 
 Bài 12. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho tam giác vuông tại là trung điểm của Điểm thuộc đoạn sao cho Giao điểm của và là Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác biết rằng nằm trên đường thẳng 
 Phân tích bài toán. Giả thiết cho tam giác vuông mà cạnh góc vuông này gấp đôi cạnh góc vuông kia nên ta có thể nghĩ đến việc dựng hình vuông để từ đó phát hiện các yếu tố vuông góc. Chẳng hạn, gọi là trung điểm Dựng hình vuông Theo tính chất ta có Đây là mấu chốt của bài toán.
 Lời giải. Gọi là trung điểm của Dựng hình vuông Từ giả thiết suy ra lần lượt là trung điểm của và Theo tính chất ta có Suy ra
Vì là đường trung trực của nên 
Ta có là trung điểm của Khi đó
Vì là trung điểm nên 
Vì là trung điểm của nên 
Vậy 
 Bài 13. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho hình vuông có là trung điểm Đường trung tuyến kẻ từ của tam giác có phương trình Tìm tọa độ đỉnh biết có tọa độ nguyên.
 Phân tích bài toán. Đặt cạnh hình vuông bằng tham số. Sử dụng định lý Pitago, định lý hàm số côsin để tính góc Từ đó, sử dụng bài toán cơ bản về góc ta sẽ lập được phương trình của đường từ đó tìm được tọa độ của điểm 
 Lời giải. Lấy đối xứng với qua Khi đó là hình bình hành. Suy ra cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Gọi là giao điểm của với thì là trọng tâm của tam giác Do đó
Đặt cạnh hình vuông bằng Sử dụng định lý Pitago ta có 
Áp dụng định lý hàm số côsin trong tam giác ta có
Gọi Ta có
Vì có tọa độ nguyên nên Ta có
Gọi Ta có
Kiểm tra lại điều kiện suy ra 
 Bài 14. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho tam giác vuông cân tại Gọi lần lượt là trung điểm của và là trung điểm của thuộc đoạn sao cho Tìm tọa độ của biết rằng điểm có hoành độ âm.
 Phân tích bài toán. Bài toán chỉ cho tọa độ của hai điểm và Mấu chốt của bài toán này là phát hiện và chứng minh được tam giác vuông cân tại Từ đó tìm được tọa độ của 
 Lời giải. Gọi là trung điểm của Khi đó là hình chữ nhật nội tiếp đường tròn đường kính Vì nên Suy ra 
Do đó 
Lại 
Từ đó suy ra tam giác vuông cân tại Suy ra 
Vì 
Vì có hoành độ âm nên Vì là trung điểm nên Gọi là trọng tâm tam giác Ta có
Ta có Suy ra
Vì là trung điểm của nên 
Vậy 
 Nhận xét. Bài toán trên được xây dựng từ tính chất Cho hình chữ nhật Gọi là hình chiếu của lên và lần lượt là trung điểm của Khi đó 
Xét trường hợp đặc biệt, là hình vuông.
Lúc này, ngoài kết quả ta còn có hay tam giác vuông cân tại 
 Bài 15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho hình chữ nhật có với điểm thỏa mãn điều kiện là giao điểm của hai đường thẳng và Cho biết và điểm có hoành độ dương. Tìm tọa độ các điểm 
 Phân tích bài toán. Tìm được tọa độ của thông qua tọa độ của và đẳng thức 
Nếu đặt một cạnh của hình chữ nhật đã cho bằng thì từ giả thiết 
 ta sẽ tính được các đoạn thẳng liên quan qua Từ đó tìm 
 Lời giải. Từ giả thiết suy ra thuộc cạnh BC và 
Vì nên .
Suy ra 
Vì vuông tại và nên
Đặt 
Trong tam giác vuông ta có
Suy ra 	(*)
Giả sử với từ (*) ta có
Suy ra Từ Từ 
 Bài 16. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho tam giác vuông cân tại Lấy trên cạnh sao cho là trung điểm của Điểm thuộc cạnh sao cho Tìm tọa độ đỉnh biết rằng đỉnh có hoành độ lớn hơn trung điểm thuộc đường thẳng đỉnh thuộc đường thẳng và đường thẳng IF có phương trình 
 Phân tích bài toán. Mấu chốt của bài toán này là dự đoán và chứng minh Từ đó viết được phương trình tìm được 
 Lời giải. Gọi là trung điểm của và thì thẳng hàng và Ta có tam giác nội tiếp đường tròn tâm Suy ra 
Suy ra tứ giác nội tiếp. Do đó hay Suy ra 
Vì Suy ra 
Ta có 
Vì có tung độ lớn hơn nên ta chọn trường hợp 
Đường thẳng đi qua và vuông góc với nên 
Ta có 
Vì đi qua và nên Từ đó suy ra 
 Bài 17. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho hình chữ nhật có các cạnh không song song với các trục tọa độ. Điểm là trọng tâm tam giác Đường thẳng đi qua đường thẳng đi qua Viết phương trình cạnh biết rằng diện tích hình chữ nhật đã cho bằng 
 Phân tích bài toán. Gọi VTPT của là Từ đó viết được phương trình của và Diện tích của hình chữ nhật được tính thông qua tích khoảng cách từ đến và 
 Lời giải. Gọi VTPT của đường thẳng là Khi đó
Ta có 
Vì hình chữ nhật đã cho có các cạnh không song song với các trục tọa độ nên Từ đó suy ra hoặc 
Vậy 
 Bài 18. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho tam giác vuông cân tại trung tuyến là trung điểm của Điểm thoả mãn Viết phương trình đường thẳng 
 Phân tích bài toán. Để dễ dàng phát hiện thêm các mối quan hệ giữa các yếu tố trong bài toán, ta hãy dựng hình vuông Khi đó là tâm của hình vuông này, là trung điểm của Gọi là giao điểm của với Từ định lý Talet ta tìm được tọa độ của Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta cũng tính được góc giữa hai đường thẳng và 
Áp dụng bài toán cơ bản về góc ta viết được phương trình đường thẳng 
 Lời giải. Theo định lý Talet ta có 
Gọi là trung điểm của Theo định lý Talet ta có
Trong tam giác vuông ta có
Ta có Gọi Ta có
Với chọn Khi đó 
Với chọn và Khi đó 
 Nhận xét. Bài toán trên ta có làm theo hướng khác như sau
Đặt Khi đó Ta có
Suy ra Gọi là trung điểm 
Từ độ dài suy ra 
Từ đó có 2 đường thẳng AB là 
 Bài 19. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho hình thang vuông tại và có đỉnh thuộc đường thẳng đỉnh thuộc đường thẳng Gọi là trung điểm của Hình chiếu của lên lần lượt là và Tìm tọa độ đỉnh biết rằng và đỉnh có tọa độ nguyên.
 Phân tích bài toán. Giả thiết cho hình thang vuông có các cạnh góc vuông liên hệ với nhau. Từ đó nếu đặt thì ta tính được độ dài các đoạn thẳng liên quan. Ta tìm cách lập phương trình của tính được Từ đó tìm được và 
 Lời giải. Đặt Suy ra 
Ta tính theo một trong hai hướng như sau:
 Hướng thứ nhất. Ta có 
Vì nên Do đó
 Hướng thứ hai. Ta có
Mặt khác
Từ đó suy ra 
Vì 
Ta có
Vì có tọa độ nguyên nên 
Vì đường thẳng đi qua và vuông góc với nên 
Ta có là giao điểm của và nên 
 Bài 20. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ cho hình chữ nhật Gọi là trung điểm của Đường thẳng qua vuông góc với cắt tại Biết rằng thuộc đường thẳng Tìm tọa độ biết rằng đỉnh có tọa độ nguyên.
 Phân tích bài toán. Mấu chốt của bài toán này là dự đoán và chứng minh được Từ đó viết được phương trình của Suy ra tọa độ điểm Ta có chính là giao điểm của với đường tròn đường kính Từ đó tìm được 
 Lời giải. Trước hết ta chứng minh Thậy vậy, ta có
Gọi là giao điểm của với Vì và nên các tứ giác nội tiếp.
Suy ra 
Từ và suy ra Suy ra Khi đó đường tròn đường kính có phương trình
Tọa độ đỉnh là nghiệm của hệ phương trình
Vì có tọa độ nguyên nên Vì là trung điểm nên Ta có 
Vậy 
C. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
I. KẾT LUẬN
	- Bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng nói chung và trong đề thi đại học nói riêng trong những năm gần đây thuộc nhóm câu hỏi nâng cao. Để giải quyết được ngững bài toán này, ngoài việc nắm vững các kiến thức cơ bản về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, học sinh còn phải biết vận dung các tính chất thuần túy của hình học phẳng vào các bài toán. Vì vậy giáo viên cần phải giúp cho học sinh định hướng được cách giải những bài toán đó thông qua hệ thống bài tập.
	- Trong đề tài tôi đã đưa ra một số bài toán điển hình minh họa cho việc định hướng cách giải cho học sinh, qua đó giúp cho học sinh dễ dàng tiếp cận với nội dung bài học,đông thời có thể phát triển tư duy học toán cũng như tạo niềm vui và hứng thú học toán.