SKKN Phân tích những sai lầm khi học chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

MỤC LỤC
Trang
 A. MỞ ĐẦU...............................................................................................................................1
 1
I. Lý do chọn đề tài ...............................................................................................................1
 2
II. Mục đích nghiên cứu......................................................................................................2
 2
III. Đối tượng nghiên cứu...................................................................................................2
 2
IV. Phương pháp nghiên cứu...........................................................................................2
 2
 B. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.......................................................2
 2
I. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm..............................................................2
 2-5
II. Thực trạng về công tác kiểm tra đánh giá ở trường THPT 
Quảng Xương 4.......................................................................................................................5
 5
III. Các giải pháp......5 
1.Bổ sung hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt.......5
 5-6
2. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kỹ năng, phương pháp...5
6
3. Đổi mới phương pháp dạy học ( Lấy học sinh làm trung tâm)....5
6
4. Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá...6 
6
5. Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học..6 
6.Phân dạng bài tập và phương pháp giải..6
6
IV. Hiệu quả của các giải pháp ..........................................18
V. Kết quả nghiên cứu........................................................19 
6-20
 C. PHẦN KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.........................................................................21
21-22
 TÀI LIỆU THAM KHẢO...22
A. MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài	
 Trong chương trình giải tích 12- cơ bản, nội dung ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số có một vị trí đặc biệt quan trọng . Là một công cụ rất "hữu hiệu" để giải quyết hầu hết những bài toán trong các đề thi học sinh giỏi, đề thi trung học phổ thông quốc gia, ưu điểm của phương pháp này là dễ sử dụng và rất hiệu quả khi giải toán liên quan đến khảo sát hàm số.
 Tuy nhiên, trong quá trình giảng dạy tại trường THPT Quảng Xương 4 tôi nhận thấy các em học sinh hay gặp khó khăn khi giải các bài toán liên quan đến việc vận dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. Các em thường mắc những sai lầm mà các em sẽ không tự mình khắc phục được nếu không có sự hướng dẫn của giáo viên.
Nhằm góp phần giúp học sinh nắm chắc các kiến thức về đạo hàm, có kỹ năng ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán liên quan đến khảo sát hàm số, tôi chọn đề tài "phân tích những sai lầm khi học chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số ".
II. Mục đích nghiên cứu
- Chỉ ra cho học sinh thấy những sai lầm thường mắc phải. Qua đó, học sinh hiểu đúng bản chất của vấn đề.
- Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo.
- Đánh giá thực tế quá trình vận dụng giải bài tập toán lên quan đến việc ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, các bài toán liên quan (Chương trình Giải tích 12 – cơ bản) để có được bài giải toán hoàn chỉnh và chính xác.
III. Đối tượng nghiên cứu
- Các bài toán liên quan đến đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - chương I, giải tích lớp 12 – cơ bản.
IV. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp điều tra.
- Phương pháp đối chứng.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu.
B. NỘI DUNG
I. Cơ sở lý luận 
 1. Nội dung chương trình (chương I - giải tích 12 - cơ bản)
 Học sinh cần nắm được một số vấn đề sau đây ( liên quan đến nội dung và phạm vi nghiên cứu của đề tài)
 1.1. Định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số :
 Æ) Hàm số đồng biến trên khoảng nếu với mọi thuộc , 
 Æ) Hàm số nghịch biến trên khoảng nếu với mọi thuộc , 
 1.2. Tính chất của các hàm số đồng biến, nghịch biến :
 Æ) Nếu và là hai hàm số cùng đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D thì tổng cũng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên . Tính chất này nói chung không đúng với hiệu 
 Æ) Nếu và là hai hàm số dương, cùng đồng biến (hoặc nghịch biến) trên thì tích cũng là hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên . Tính chất này nói chung không đúng với tích khi và là hai hàm số không cùng dương trên .
 1.3. Công thức tính đạo hàm :
 Hàm số hợp có đạo hàm 
 Æ) công thức chỉ đúng với số mũ là hằng số.
 Æ) Nếu không nguyên thì công thức chỉ đúng khi nhận giá trị dương.
 1.4. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số của hàm số dựa trên định lí sau:
 Æ) Định lí: Cho hàm số có đạo hàm trong khoảng .
(Kí hiệu K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng)
 a. Nếu với thì hàm số đồng biến trên . 
 b. Nếu với thì hàm số nghịch biến trên .
 c. Nếu với thì hàm số không đổi trên .
 Quy tắc 1 để xét tính đơn điệu của hàm số là điều kiện đủ chứ không phải điều kiện cần.
 1.5. Quy tắc tìm điểm cực trị của hàm số dựa trên hai định lí sau:
 Æ) Định lí 1: Giả sử hàm số liên tục trên khoảng và có đạo hàm trên hoặc trên , với .
 a. Nếu trên khoảng và trên khoảng thì là một điểm cực đại của hàm số 
 b. Nếu trên khoảng và trên khoảng thì là một điểm cực tiểu của hàm số 
 Æ) Định lí 2: Giả sử hàm số có đạo hàm cấp hai trong khoảng , với . Khi đó: 
 a. Nếu thì là điểm cực tiểu 
 b. Nếu thì là điểm cực đại. 
 Quy tắc 2 để tìm điểm cực trị của hàm số là điều kiện đủ chứ không phải điều kiện cần. Do vậy, điều ngược lại nói chung không đúng.
 1.6. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên miền D:
 Nếu (hay ) nhưng không (hay ) thì dấu không xảy ra. Khi đó, không tồn tại giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số trên miền.
 Khi tìm giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số trên miền mà chuyển sang xét giá trị nhỏ nhất (hay giá trị lớn nhất) của hàm số g(t) với phép đặt 
thì cần chuyển đổi điều kiện để được bài toán tương đương.
 1.7. Về phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số 
 Æ) Tiếp tuyến tại điểm có phương trình: 
 Æ) Tiếp tuyến với có hệ số góc , đi qua điểm có phương trình: 
Trong đó hệ số góc thỏa mãn hệ: 
 Nếu điểm nói trên thuộc thì hệ số góc vẫn thỏa mãn hệ. Trong trường hợp này, số tiếp tuyến có thể nhiều hơn 1 tiếp tuyến.
 2. Sai lầm thường gặp khi giải toán
 2.1. Sai lầm trong bài toán xét tính đơn điệu của hàm số, khi không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số hay không chú ý tới các điểm tới hạn của hàm số. 
 2.2. Sai lầm trong bài toán chứng minh bất đẳng thức, khi không nhớ chính xác tính đơn điệu của hàm số để vận dụng hoặc vận dụng sai tính chất của các hàm đồng biến, nghịch biến.
 2.3. Sai lầm trong việc giải các bài toán liên quan tới đạo hàm, khi vận dụng sai công thức tính đạo hàm hay hiểu sai công thức lũy thừa với số mũ thực.
 2.4. Sai lầm trong việc giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số, khi vận dụng sai về điều kiện để hàm số có cực trị hay điều kiện để hàm số đơn điệu trên khoảng 
 2.5. Sai lầm trong việc giải các bài tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên một miền , khi chuyển đổi bài toán không tương đương.
 2.6. Sai lầm trong việc giải các bài toán viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm thuộc đồ thị của hàm số.
II. Thực trạng về công tác kiểm tra đánh giá ở trường THPT Quảng Xương 4
Trong thực tế, khi học sinh học chương I “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” thường gặp phải những khó khăn sau đây:
 - Không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số trên một khoảng, không hiểu chính xác về định nghĩa điểm tới hạn của hàm số.
 - Không nắm vững điều kiện để hàm số đơn điệu trên một khoảng.
 - Không nắm vững điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm x0.
 - Không nắm vững định nghĩa về giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên một miền .
 - Không nắm vững bản chất sự khác nhau giữa tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị số với tiếp tuyến kẻ từ một điểm đến đồ thị hàm số đã cho.
III . Giải pháp thực hiện 
Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, khi nghiên cứu đề tài tôi đã đưa ra các biện pháp như sau:
 1. Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt
 - Phân tích các khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm được bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó.
 - Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa, định lí.
 - So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống và khác nhau giữa chúng.
 - Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải. 
 2. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kỹ năng, phương pháp
 - Thao tác tư duy: phân tích, so sánh, ...
 - Kỹ năng: lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề. 
 - Phương pháp: phương pháp giải toán.
 3. Đổi mới phương pháp dạy học ( lấy học sinh làm trung tâm )
 - Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với hoàn cảnh thực tế. 
 - Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh.
 - Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảng sinh động hơn, bớt khô khan và học sinh không cảm thấy nhàm chán. Chẳng hạn sử dụng bảng phụ, phiếu học tập, nếu có điều kiện thì sử dụng giáo án điện tử kết hợp với việc trình chiếu đồ thị hàm số, các hình vẽ, hình động liên quan trực tiếp tới bài giảng.
 4. Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá
 - Kết hợp giữa tự luận và trắc nghiệm khách quan với 6 mức độ nhận thức: nhận 
 biết - thông hiểu - vận dụng - phân tích - tổng hợp - đánh giá.
 - Giáo viên đánh giá học sinh.
 - Học sinh đánh giá học sinh.
 5. Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học 
 sao cho phù hợp với từng loại đối tượng học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai lầm thường mắc phải khi giải các bài toán về ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - bài toán liên quan . Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm bài tập. 
 6. Phân dạng bài tập và phương pháp giải
 - Hệ thống kiến thức cơ bản.
 - Phân dạng bài tập và phương pháp giải.
 - Đưa ra các bài tập tương tự, bài tập nâng cao.
 - Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra kết quả 
mới, bài toán mới. Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sáng tạo.
IV. Nghiên cứu thực tế 
 1. Phân tích những sai lầm thông qua một số ví dụ minh họa
 1.1. Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số
ð Các em thường mắc phải sai lầm khi không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số.
Ví dụ 1 : Xét tính đơn điệu của hàm số: 
Một số học sinh trình bày như sau:
Tập xác định: 
Ta có : 
Bảng biến thiên:
Suy ra: Hàm số đồng biến trên 
Phân tích: 
 Lời giải trên có vẻ như đúng rồi, nếu ta không chú ý đến kết luận của bài toán Chú ý rằng: nếu hàm số đồng biến trên tập D thì với mọi thuộc D, 
Trong kết luận của bài toán, nếu ta lấy và 
thì nhưng 
Lời giải đúng là:
Tập xác định: 
Ta có : 
Bảng biến thiên:
Suy ra: Hàm số đồng biến trên 
Suy ra: Hàm số đồng biến trên từng khoảng và .
ð Nhiều khi các em không chú ý đến các điểm tới hạn của hàm số, vì vậy việc xét dấu của đạo hàm y' sẽ bị sai.
Ví dụ 2 : Xét tính đơn điệu của hàm số : 
Một số học sinh trình bày như sau:
Tập xác định: 
Ta có: 
Trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, luôn giữ nguyên một dấu, vì nên ta có bảng biến thiên như sau:
x
-2
2
y '
-3
	-
 0
+ 0
-
y
-1
1
Suy ra: hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên các khoảng và .
Phân tích: Nếu để ý ở bảng biến thiên ta thấy ngay một điều vô lý là trên đoạn giá trị của hàm số giảm từ xuống Thực ra ở đây không phải là điểm tới hạn của hàm số.
Lời giải đúng là:
Tập xác định: . 
Ta có: 
Trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp nhau, luôn giữ nguyên một dấu, vì nên ta có bảng biến thiên như sau:
 x
-2
2
y '
+ 0
 - 
y
-3
1
Suy ra: hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng .
 1.2. Sai lầm khi chứng minh bất đẳng thức
ð Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh thường mắc phải sai lầm là không nhớ chính xác định nghĩa tính đơn điệu của hàm số để vận dụng.
Ví dụ 3 : (Bài tập 5, trang 10, sách giáo khoa giải tích 12 - ban cơ bản)
Chứng minh rằng: 
Một số học sinh trình bày như sau:
Xét hàm số : . 
Ta có: ,, suy ra hàm số đồng biến trên khoảng . 
Từ hay 
Phân tích: Lời giải trên có vẻ đúng, nhưng sai lầm ở đây khá tinh vi . Sau khi kết luận đồng biến trên khoảng thì vì sao từ 
Sai lầm ở đây là .
Nhớ rằng: nếu đồng biến trên đoạn (tức là liên tục trên và với thì với 
Lời giải đúng là:
Xét hàm số : . 
Ta có: . dấu "=" xảy ra chỉ tại , suy ra hàm số đồng biến trên nửa khoảng . 
Từ hay 
ð Các em cũng hay mắc những sai lầm khi vận dụng sai tính chất của các hàm đồng biến, nghịch biến.
Ví dụ 4 : Chứng minh rằng nếu với thì .
Một số học sinh trình bày như sau:
Xét các hàm số là các hàm đồng biến trên . Suy ra hàm số 
là tích của hai hàm đồng biến nên cũng đồng biến trên . Suy ra, từ 
 hay . 
Phân tích: 
 Lời giải trên sai lầm ở chỗ : tích của hai hàm đồng biến là một hàm đồng biến chỉ đúng khi hai hàm đó dương . 
Lời giải đúng là:
Xét hàm số , ta có dấu "=" xảy ra chỉ tại . Suy ra, hàm số đồng biến trên nửa khoảng . Từ hay . 
 1.3. Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới đạo hàm
ð Sai lầm khi vận dụng các công thức tính đạo hàm.
Ví dụ 5 : Tính đạo hàm của hàm số 
Một số học sinh trình bày như sau:
Ta có .
Phân tích: 
Lời giải trên đã vận dụng công thức. Vận dụng như vậy là sai, vì công thức này chỉ áp dụng cho số mũ là một hằng số. 
Lời giải đúng là:
Điều kiện: (khi đó)
Từ 
ð Sai lầm khi tính đạo hàm của hàm số tại một điểm.
Các em hay mắc phải sai lầm ở dạng này là áp dụng công thức , , nhưng quên rằng nếu như không nguyên thì công thức này chỉ đúng khi nhận giá trị dương.
Ví dụ 6 : Cho hàm số có đồ thị Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại điểm có hoành độ 
Một số học sinh trình bày như sau:
Với , ta có 
Ta có : suy ra 
.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: hay .
Phân tích: Sai lầm ở đây là các em không chú ý đến điều kiện lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số phải dương. Vì vậy, viết là không đúng . 
Lời giải đúng là:
Với x = - 1 ta có 
Ta có 
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: hay .
 1.4. Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số
ð Khi sử dụng quy tắc I để xét tính đơn điệu của hàm số các em quên rằng đó là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.
Quy tắc: Ÿ hàm số đồng biến trên khoảng 
 Ÿ hàm số nghịch biến trên khoảng 
Điều ngược lại nói chung là không đúng .
Ví dụ 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên .
Một số học sinh trình bày như sau:
Tập xác định: D = .
Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi 
Phân tích: Chẳng hạn, hàm số đồng biến trên , nhưng dấu xảy ra chỉ tại . Nhớ rằng: nếu hàm số xác định trên khoảng và dấu "=" xảy ra chỉ tại hữu hạn điểm thuộc khoảng thì hàm số đồng biến trên khoảng 
Lời giải đúng là:
Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi 
.
ð Khi sử dụng quy tắc II để xác định cực trị của hàm số các em cũng quên rằng đó chỉ là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.
Quy tắc: Ÿ là điểm cực tiểu
 Ÿ là điểm cực đại
Điều ngược lại nói chung là không đúng .
Ví dụ 8 : Cho hàm số Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực đại tại 
Một số học sinh trình bày như sau:
Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại là: .
Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực đại tại .
Phân tích: 
Ta thấy, với , hàm số có 
Bảng biến thiên:
x
0
y '
0
0
 +
 -
y
Suy ra hàm số đạt cực đại tại . Vậy lời giải trên sai ở đâu ?
Nhớ rằng, nếu x0 thỏa mãn là điểm cực đại của hàm số, còn điều ngược lại thì chưa chắc đúng . Vì nếu là điểm cực đại thì vẫn có thể Lí do là điều kiện chỉ là điều kiện đủ để hàm số nghịch biến trong lân cận (với ), khi đó:
là điểm cực đại của hàm số.
Lời giải đúng là:
 Cách 1: 
Ta có . Để hàm số đạt cực đại tại thì với . Tức là: 
Thử lại, ta thấy với là điều kiện cần tìm.
 Cách 2: xét 3 trường hợp 
 v Ta có là hàm hằng nên hàm số không có cực trị.
 v: Ta có Lập bảng biến thiên ta thấy là điểm 
 cực tiểu của hàm số.
 v Ta có Lập bảng biến thiên ta thấy là điểm 
 cực đại của hàm số.
Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại khi và chỉ khi 
Ví dụ 9
 Cho hàm số Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số đạt cực tiểu tại 
Một số học sinh trình bày như sau:
Điều kiện để hàm số đạt cực tiểu tại là: 
Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại 
Phân tích: 
Ta thấy, với , hàm số 
Bảng biến thiên:
x
0
y '
0
 -
 +
y
1
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại 
Lời giải đúng là:
 Cách 1: 
Để hàm số đạt cực tiểu tại thì (với )
Từ (1') và (2') suy ra 
Vậy với thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại .
 Cách 2: xét 3 trường hợp 
 v Ta có có 
Bảng biến thiên:
x
0
y '
0
 -
 +
y
1
Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại 
 v: Ta có hoặc Lập bảng biến thiên ta thấy không đổi dấu qua (nghiệm bội bậc chẵn). Do đó hàm số không có cực trị tại .
 v: Ta có hoặc Lập bảng biến thiên ta thấy không đổi dấu qua (nghiệm bội bậc chẵn). Do đó hàm số không có cực trị tại 
Kết luận: với thì hàm số đã cho đạt cực tiểu tại .
 1.5. Sai lầm khi giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số
ð Các em thường mắc sai lầm khi không nắm vững định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một miền D.
Ví dụ 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của 
Một số học sinh trình bày như sau:
Đặt 
Ta được hàm số: 
Vậy , khi 
Phân tích: Sai lầm ở đây là chuyển bài toán không tương đương. Giá trị nhỏ nhất của hàm không trùng với giá trị nhỏ nhất của hàm 
Có thể thấy ngay khi thì không tồn tại giá trị của để 
Nhớ rằng , số 
Lời giải đúng là: 
 Đặt 
. Dấu xảy ra khi và chỉ khi 
Khi đó: . Ta được hàm số: 
Lập bảng biến thiên hàm số (với ):
Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra: Đạt được khi 
y
x
 1.6. Sai lầm khi viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Ví dụ 11
Cho hàm số, có đồ thị Viết phương
trình tiếp tuyến của biết tiếp 
tuyến đó đi qua điểm 
Một số học sinh trình bày như sau:
Ta có điểm suy ra phương trình tiếp tuyến là:
 .
Phân tích: 
Phương trình tiếp tuyến là tiếp tuyến tại (nhận làm tiếp điểm)
tất nhiên là kẻ từ . Nhưng vẫn có thể có tiếp tuyến của đồ thị đi qua mà không nhận làm tiếp điểm.
Lời giải đúng là:
Phương trình đường thẳng đi qua điểm và có hệ số góc là: 
Điều kiện để đường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị là hệ sau có nghiệm:
 .
Từ đó ta có hai tiếp tuyến có phương trình: và 
2. Bài tập tương tự
Bài tập 1: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
Bài tập 2: Xác định m để hàm số sau không có cực trị:
Bài tập 3: Tìm cực trị của các hàm số sau:
Bài tập 4: Xác định m để hàm số sau đạt cực trị tại :
Bài tập 5: Xác định m để hàm số sau luôn đồng biến trên :
Bài tập 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:
 trên đoạn trên đoạn 
 trên đoạn 
 trên đoạn 
Bài tập 7: Cho hàm số, có đồ thị Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến đó đi qua điểm 
Bài tập 8: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
Bài tập 9: Cho hàm số (là tham số)
Xác định để đồ thị hàm số cắt đường thẳng tại ba điểm phân biệt.
Bài tập 10: Với các giá trị nào của tham số thì phương trình: có 4 nghiệm thực phân biệt ?
Bài tập 11 : Cho hàm số, có đồ thị 
1.Khi m=1,hãy :
 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
 b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ , biết rằng 
2. Tìm giá trị của m để:
a. Đồng biến trên khoảng 
b. Hàm số sau đạt cực trị tại 
V. Kết quả nghiên cứu 
Qua nghiên cứu, ứng dụng đề tài vào thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy kết quả đạt được có khả quan hơn. Cụ thể qua một số kết quả thu hoạch được khi khảo sát tình hình giải bài tập toán ở 2 lớp 12A và 12D như sau:
Bài số 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 
 đạt cực tiểu tại .
Số liệu thống kê qua 2 bảng sau đây:
Lớp 12 A (sĩ số 42)
Số lượng
Phần trăm
Không giải được
3
7 %
Giải sai phương pháp
4
9 %
Giải đúng phương pháp
35
84 %
Lớp 12 D (sĩ số 36)
Số lượng
Phần trăm
Không giải được
3
8 %
Giải sai phương pháp
3
8 %
Giải đúng phương pháp
30
84 %
Bài số 2: