SKKN Phân loại và phương pháp giải một số bài toán về quan hệ vuông góc trong không gian

Mở đầu
Lí do chọn đề tài
Trong quá trình giảng dạy môn toán ở trường phổ thông, tôi nhận thấy học sinh lớp 11 rất e ngại học phần hình học không gian vì các em nghĩ rằng nó trừu tượng, thiếu tính thực tế. Do vậy mà có rất nhiều học sinh học yếu phần học này. Trên thực tế, hình học không gian giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng vì nó không chỉ cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ năng giải toán hình học không gian mà còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của con người lao động mới: cẩn thận, chính xác, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy sáng tạo cho học sinh.Thêm vào đó hình học không gian còn là một phần rất quan trọng trong nội dung thi THPTQG của Bộ giáo dục, nếu học sinh không nắm kỹ bài thì các em sẽ gặp nhiều lúng túng, khó khăn khi làm bài về phần này trong đề thi. 
 Qua quá trình công tác, giảng dạy nhiều năm tôi cũng đúc kết được một số kinh nghiệm nhằm giúp các em tiếp thu kiến thức được tốt hơn, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng như học tập của học sinh ngày được nâng lên. Do đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều học sinh còn chưa quen với tính tư duy trừu tượng của nó, nên tôi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra những phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh đó cũng nhằm tháo gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy nói chung và môn hình học không gian nói riêng.
Từ lý do trên tôi đã khai thác, hệ thống hóa các kiến thức, tổng hợp các phương pháp thành một chuyên đề: “Phân loại và phương pháp giải một số bài toán về quan hệ vuông góc trong không gian ” .
	Mục đích nghiên cứu
Qua chuyên đề này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh lớp 11 thêm một số kỹ năng cơ bản, phương pháp chứng minh của một số dạng bài toán liên quan đến quan hệ vuông góc trong không gian. Học sinh thông hiểu và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic, không mắc sai lầm khi giải toán. 
Đối tượng nghiên cứu:
	Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh khối 11 qua các năm giảng dạy từ trước đến nay và hiện nay.
	Phương pháp nghiên cứu:
Nghiên cứu cơ sở lý luận có liên quan đến đề tài, nghiên cứu cấu trúc nội dung chương trình SGK Hình học 11, sách bài tập, sách tham khảo,. Nghiên cứu khả năng tiếp thu của học sinh để có cách trình bày thật dễ hiểu, phù hợp với từng đối tượng học sinh.
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:
	Khi giải một bài toán về chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian ngoài yêu cầu đọc kỹ đề bài, phân tích giả thiết, vẽ hình đúng ta còn phải chú ý đến nhiều yếu tố khác như: Có cần xác định thêm các yếu tố khác trên hình vẽ hay không? Hình vẽ thể hiện hết các yêu cầu của đề bài hay chưa? Để giải quyết vấn đề này ta phải bắt đầu từ đâu ? Nội dung kiến thức nào liên quan đến vấn đề được đặt ra, trình bày nó như thế nào cho chính xác và lôgic có được như thế mới giúp chúng ta giải quyết được nhiều bài toán mà không gặp phải khó khăn. Ngoài ra chúng ta còn nắm vững hệ thống lý thuyết, phương pháp chứng minh cho từng dạng toán như: chứng minh hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc...
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Tôi yêu cầu học sinh thực hiện một số bài tập:
Bài toán: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 3a, SA vuông góc với (ABCD). là góc hợp bởi cạnh bên SC với (ABCD) với .
Chứng minh: ; 
Chứng minh tam giác SBC vuông.
*/Số liệu cụ thể trước khi thực hiện đề tài 
 Kết quả của lớp 11C12 ( sĩ số 48)
Làm đúng
Làm sai
Số h/s không có lời lời giải
Câu 1
20
18
10
Câu 2
18
22
8
Như vậy với một bài toán khá quen thuộc thì kết quả đạt được là rất thấp; sau khi nêu lên lời giải và phân tích thì hầu hết các em học sinh đều hiểu bài và tỏ ra hứng thú.
2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
2.3.1 Bài toán 1:Chứng minh hai đường thẳng vuông góc. 
 Cách 1 : Dùng các quan hệ vuông góc đã biết trong mặt phẳng.
 Cách 2 : Dùng định nghĩa: góc.
P
 Cách 3: Dùng định lý 1:
 Cách 4: Dùng định lý 2:
// ,
 Cách 5: Dùng định lý 3:
 Cách 6 : Sử dụng định lí ba đường vuông góc.
 Cách 7: Dùng hệ quả: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì vuông góc với cạnh còn lại của tam giác
*) Các ví dụ mẫu:
Phương pháp: Ta thường sử dụng định lý 1 hoặc là các cách chứng minh vuông góc có trong hình học phẳng.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, , AD=2a, AB=BC=a. Chứng minh rằng: tam giác SCD vuông
Giải: Ta có: 
+ Gọi I là trung điểm của AD. Tứ giác ABCI là hình vuông. Do đó, (*). Mặt khác, là tam giác vuông cân tại I nên: (*).
Từ (*) và (**) suy ra: hay (2)
Từ (1) và (2) suy ra: hay ∆SCD vuông tại C
Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, E là điểm đối xứng của D qua trung điểm SA. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE và BC. CMR: 
Giải: Gọi I, P lần lượt là trung điểm của AB và SA, O là giao điểm của AC và BD.
Ta có: 
Mặt khác, 
Mà (vì: BPD là tam giác cân tại P và O là trung điểm của BD)
Từ (*) và (**) ta có: 
Từ (1) và (2) ta có: 
Các điểm cần chú ý khi giải ví dụ 2: 
+ Chọn mp(IMN) với I là trung điểm của AB ( vì nên chọn mp chứa MN và vuông góc với BD là mp(IMN))
+ Sử dụng các giả thiết trung điểm để chứng minh song song.
+ Sử dụng định lý: 
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAD đều, . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB, BC và CD. Chứng minh rằng: 
Giải: Gọi I là giao diểm của AN và BP, H là trung điểm của AD, K là giao điểm của AN và BH. 
 Xét hai tam giác vuông ABN và BCP có: AB=BC, BN=CP. Suy ra, mà hay (1)
Vì ∆SAD đều nên: . 
Mặt khác, tứ giác ABNH là hình chữ nhật nên K là trung điểm của HB hay 
Từ (*) và (**) suy ra: 
Từ (1), (2) suy ra: 
2.3.2 Bài toán 2: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
 Cách 1 : Dùng định lý: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khi nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng
, cắt nhau , , 
 Cách 2 : Dùng hệ quả: Cho hai đường thẳng // nếu đường thẳng này vuông góc với mặt phẳng thì đường thẳng kia cũng vuông góc với mặt phẳng
// , 
 Cách 3 : Dùng hệ quả: Cho hai mặt phẳng vuông góc theo giao tuyến b, nếu đường thẳng a nằm trong mẵt phẳng này vuông góc với giao tuyến b thì đường thẳng a cũng vuông góc với mặt phẳng kia
 Cách 4 : Dùng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của hai mặt phẳng này cũng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó
*) Các ví dụ mẫu:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giácvvuông tại C, 
a) Chứng minh rằng: 
b) Gọi E là hình chiếu vuông góc của A trên SC. Chứng minh rằng: 
c) Gọi mp(P) đi qua AE và vuông góc với (SAB), cắt SB tại D. Chứng minh rằng: 
d) Đường thẳng DE cắt BC tại F. Chứng minh rằng: 
Giải: a) Ta có: 
Mặt khác, vì 
Từ (1) và (2) suy ra: 
b) Ta có: 
Theo a) 
Từ (3) và (4) suy ra: 
c) Ta thấy: 
Theo b) 
Trong mp(ADE) kẻ . Vì 
Từ (5) và (6) suy ra: hay 
d) Từ 
Theo c) . Từ (7) và (8) suy ra: 
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, tam giác SAB là tam giác đều, . Gọi I, F lần lượt là trung điểm của AB và AD. Chứng minh rằng: 
Giải: Ta có: 
Mặt khác, xét hai tam giác vuông ADI và DFC có: AI=DF, AD=DC. Do đó, từ đó ta có: 
Hay 
Từ (1) và (2) suy ra: 
2.3.3 Bài toán 3: Chứng minh mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng.
 . Cách 1 : Chứng minh góc giữa chúng là một vuông.
O
, , 
Khi đó:
 góc góc 
 Cách 2 : Dùng hệ quả:Cho hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu có một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này vuông góc với mặt phẳng kia.
*)Các ví dụ mẫu:
Phương pháp: Sử dụng cách 2
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi , SA=SC. Chứng minh rằng: 
Giải:+ Ta có: (1) (giả thiết)
+ Mặt khác, (2) (SAC là tam giác cân tại A và O là trung điểm của AC nên SO là đường cao của tam giác)
+ Từ (1) và (2) suy ra: mà nên 
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB=a, , . Gọi M là trung điểm của AD, I là giao điểm của AC và BM. Chứng minh rằng: 
Giải:
 + Ta có: . 
+ Xét tam giác vuông ABM có: . Xét tam giác vuông ACD có: . Ta có: 
Hay . 
+ Từ (1) và (2) suy ra: mà nên 
*) Bài tập:
Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Gọi I là trung điểm của BC, D là điểm đối xứng với A qua I, . Chứng minh rằng:
a) 
b) 
Bài tập 2: Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông tâm O. SA ^ (ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC, SD.
a) CMR: BC ^ (SAB), CD ^ (SAD), BD ^ (SAC).
b) CMR: AH, AK cùng vuông góc với SC. Từ đó suy ra 3 đường thẳng AH, AI, AK cùng nằm trong một mặt phẳng.
c) CMR: HK ^ (SAC). Từ đó suy ra HK ^ AI.
Bài tập 3: Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B; SA ^ (ABC).
a) Chứng minh: BC ^ (SAB).	
b) Gọi AH là đường cao của DSAB. Chứng minh: AH ^ SC.
Bài tập 4: Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết: SA = SC, SB = SD.
a) Chứng minh: SO ^ (ABCD).
b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC. CMR: IJ ^ (SBD).
Bài tập 5: Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác đều. Gọi I là trung điểm của BC.
a) Chứng minh: BC ^ (AID).
b) Vẽ đường cao AH của DAID. Chứng minh: AH ^ (BCD).
Bài tập 6: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau. Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên mp(ABC). Chứng minh rằng:
a) BC ^ (OAH).
b) H là trực tâm của tam giác ABC.
c) .
d) Các góc của tam giác ABC đều nhọn.
Bài tập 7: Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều; SAD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
a) Tính các cạnh của DSIJ và chứng minh rằng SI ^ (SCD), SJ ^ (SAB).
b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ. CMR: SH ^ AC.
c) Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho: BM ^ SA. Tính AM theo a.
Bài tập 8: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC = a. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD.
a) CMR: SH ^ (ABCD).
b) Chứng minh: AC ^ SK và CK ^ SD.
Bài tập 9: Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình chữ nhật có AB = a, BC = a, mặt bên SBC vuông tại B, mặt bên SCD vuông tại D có SD = a.
a) Chứng minh: SA ^ (ABCD) và tính SA.
b) Đường thẳng qua A và vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB, CD lần lượt tại I, J. Gọi H là hình chiếu của A trên SC. Hãy xác định các giao điểm K, L của SB, SD với mp(HIJ). CMR: AK ^ (SBC), AL ^ (SCD).
c) Tính diện tích tứ giác AKHL.
Bài tập 10: Gọi I là 1 điểm bất kì ở trong đường tròn (O;R). CD là dây cung của (O) qua I. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn (O) tại I ta lấy điểm S với OS = R. Gọi E là điểm đối tâm của D trên đường tròn (O). Chứng minh rằng:
a) Tam giác SDE vuông tại S.
b) SD ^ CE.
c) Tam giác SCD vuông.
Bài tập 11: Cho DMAB vuông tại M ở trong mặt phẳng (P). Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A ta lấy 2 điểm C, D ở hai bên điểm A. Gọi C¢ là hình chiếu của C trên MD, H là giao điểm của AM và CC¢.
a) Chứng minh: CC¢ ^ (MBD).
b) Gọi K là hình chiếu của H trên AB. CMR: K là trực tâm của DBCD.
Bài tập 12: Cho tam giác đều ABC, cạnh a. Gọi D là điểm đối xứng với A qua BC. Trên đường thẳng vuông góc vơi mp(ABC) tại D lấy điểm S sao cho SD = a. Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với nhau.
Bài tập 13: Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt (ABC) và (ABD) cùng vuông góc với đáy (DBC). Vẽ các đường cao BE, DF của DBCD, đường cao DK của DACD.
	a) Chứng minh: AB ^ (BCD).
	b) Chứng minh 2 mặt phẳng (ABE) và (DFK) cùng vuông góc với mp(ADC).
	c) Gọi O và H lần lượt là trực tâm của 2 tam giác BCD và ADC. CMR: OH ^ (ADC).
Bài tập 14: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA ^ (ABCD).
	a) Chứng minh (SAC) ^ (SBD).
	b) Gọi BE, DF là hai đường cao của DSBD. CMR: (ACF) ^ (SBC), (AEF) ^ (SAC).
Bài tập 15: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ^ (ABCD). Gọi M, N là 2 điểm lần lượt ở trên 2 cạnh BC, DC sao cho BM = , DN = . Chứng minh 2 mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau.
Bài tập 16: Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ BB¢ và CC¢ cùng vuông góc với mp(ABC).
	a) Chứng minh (ABB¢) ^ (ACC¢).
	b) Gọi AH, AK là các đường cao của DABC và DAB¢C¢. Chứng minh 2 mặt phẳng (BCC¢B¢) và (AB¢C¢) cùng vuông góc với mặt phẳng (AHK).
Bài tập 17: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = c, AC = b. Gọi (P) là mặt phẳng qua BC và vuông góc với mp(ABC); S là 1 điểm di động trên (P) sao cho SABC là hình chóp có 2 mặt bên SAB, SAC hợp với đáy ABC hai góc có số đo lần lượt là a và . Gọi H, I, J lần lượt là hình chiếu vuông góc của S trên BC, AB, AC..
	a) Chứng minh rằng: SH2 = HI.HJ.
	b) Tìm giá trị lớn nhất của SH và khi đó hãy tìm giá trị của a.
Bài tập 18: Cho hình tứ diện ABCD có AB = BC = a, AC = b, DB = DC = x, AD = y. Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, x, y để:
	a) Mặt phẳng (ABC) ^ (BCD).
	b) Mặt phẳng (ABC) ^ (ACD).
Bài tập 19: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ^ (ABCD) ; M và N là hai điểm nằm trên các cạnh BC, CD. Đặt BM = x, DN = y.
a) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng (SAM) và (SMN) vuông góc với nhau là MN ^ (SAM). Từ đó suy ra hệ thức liên hệ giữa x và y.
b) Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để góc giữa hai mặt phẳng (SAM) và (SAN) có số đo bằng 300 là a(x + y) + xy = a2.	
Bài tập 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm I cạnh a và có góc A bằng 600, cạnh SC = và SC ^ (ABCD).
a) Chứng minh (SBD) ^ (SAC).
b) Trong tam giác SCA kẻ IK ^ SA tại K. Tính độ dài IK.
c) Chứng minh và từ đó suy ra (SAB) ^ (SAD).
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Là dạng toán hay- các em tỏ ra rất say mê, hứng thú học tập. đó có thể coi là một thành công của người giáo viên. Kết thúc đề tài này tôi đã tổ chức cho các em học sinh lớp 11C12 làm một đề kiểm tra 45 phút với nội dung là các bài toán về quan hệ vuông góc thuộc dạng có trong đề tài . Đồng thời lấy lớp 11C4 để làm lớp đối chứng cũng với đề kiểm tra đó. Kết quả rất khả quan, cụ thể như sau:
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
Lớp 11C12 ( Thực nghiệm)
15%
50%
30%
5%
Lớp 11C4 ( Đối chứng)
13%
40%
37%
10%
Râ rµng lµ ®· cã sù kh¸c biÖt gi÷a hai ®èi t­îng häc sinh. Nh­ vËy ch¾c ch¾n ph­¬ng ph¸p mµ t«i nªu ra trong ®Ò tµi ®· gióp c¸c em phân loại được bài tập và nắm khá vững phương pháp làm và trình bày bài giúp các em tự tin hơn trong học tập cũng như khi đi thi .
KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
Qua đề tài này, một lần nữa chúng ta có thể khẳng định về tầm quan trọng của hình học không gian đối với Toán học nói chung và Toán học phổ thông nói riêng. Trải qua thực tiễn giảng dạy, nội dung các bài giảng liên quan đến đề tài và có sự tham gia góp ý của đồng nghiệp, vận dụng đề tài vào giảng dạy đã thu được một số kết quả nhất định sau :
Học sinh trung bình trở lên nắm vững được một số phương pháp và biết vận dụng vào giải các bài tập cơ bản, bài tập vận dụng trong sách giáo khoa... 
Một số đề thi học sinh giỏi, học sinh lớp chọn có thể sử dụng phương pháp trình bày trong đề tài để giải bài toán.
Là một phương pháp tham khảo cho học sinh và các thầy cô giáo
Qua nội dung đề tài, đồng nghiệp có thể xây dựng thêm các bài toán về quan hệ vuông góc trong không gian.
	Xây dựng phương pháp giảng dạy theo quan điểm đổi mới là việc mà toàn xã hội và ngành đang quan tâm. Tuy nhiên không có phương pháp nào vạn năng theo nghĩa có thể giải được mọi bài toán. Vấn đề đặt ra là trong quá trình giảng dạy chúng ta luôn luôn cố gắng tìm tòi suy nghĩ, cải tiến phương pháp giảng dạy cho thích hợp để không ngừng nâng cao chất lượng giảng dạy. 
	Vì thời gian có hạn, với phạm vi một sáng kiến kinh nghiệm nên đề tài mà tôi nghiên cứu có thể vẫn còn hạn chế rất mong được độc giả góp ý kiến để đề tài được hoàn thiện hơn . 
 XÁC NHẬN CỦA LÃNH ĐẠO 
 NHÀ TRƯỜNG
Thanh Hoá, ngày 09 tháng 05 năm 2016
 Người viết sáng kiến kinh nghiệm:
 Tôi xin cam đoan đây là sang kiến kinh nghiệm do tôi tự làm.
Vũ Thị Hoa
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Chuyên đề Hình học không gian và ứng dụng- Lê Bá Trần Phương 
2. Trần Văn Thương, Phạm Đình, Lê Văn Đỗ, Cao Quang Đức , Phân loại và phương pháp giải toán hình học không gian. Nhà xuất bản đại học quốc gian Thành phố Hồ Chí Minh.
3. diendantoanhoc.net
4.vnmath.com.vn
5. Nguyễn Anh Trường, Tài liệu tổng ôn tập hình học không gian. Nhà xuất bản đại học quốc gia hà nội.