SKKN Phân loại và phương pháp giải một số bài toán về quan hệ song song trong không gian

 I. PHẦN MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài:
 Từ đầu lớp 11 trở về trước học sinh mới chỉ làm việc với phần lớn chỉ là hình phẳng. Mỗi hình đều có thể biểu diễn một cách tường minh, phản ánh trung thành hình dạng và có thể cả về kích thước trên mặt giấy. Mọi quan hệ giữa các đối tượng đều được biểu diễn một cách trực quan. Từ chương II hình học lớp 11 trở đi, hình vẽ là những hình phẳng không thể phản ánh trung thành các quan hệ như quan hệ vuông góc, quan hệ cắt nhau,... của các đối tượng. Đó là một khó khăn rất lớn của học sinh.
	 Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh rất e ngại học môn hình học không gian vì các em nghĩ rằng nó rất trừu tượng, thiếu tính thực tế khách quan. Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học này, về phần giáo viên củng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức và phương pháp giải các dạng bài tập hình hoc không gian. Qua nhiều năm giảng dạy môn học này tôi cũng đúc kết được một số kinh nghiệm nhằm giúp các em tiếp thu kiến thức được tốt hơn, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng như học tập của học sinh ngày được nâng lên. Do đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều học sinh còn chưa quen với tính tư duy trừu tượng của nó,nên tôi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra những phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo gỡ những vướng mắc khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy học sinh nói chung và môn hình học không gian nói riêng.
 Điểm mới trong kết quả nghiên cứu là tính thực tiễn và tính hệ thống, không áp đặt hoặc dập khuôn máy móc do dó mà học sinh dễ dàng áp dụng được vào việc giải quyết các bài toán lạ, các bài toán khó.
 Từ lí do trên tôi đã khai thác, hệ thống hóa các kiến thức và tổng hợp thành một chuyên đề: ‘Phân loại và phương pháp giải một số bài toán về quan hệ song song trong không gian’.
 Qua nội dung này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh lớp 11 có thêm một số kĩ năng cơ bản, phương pháp chứng minh của một số dạng bài toán liên quan đến quan hệ song song trong không gian. Học sinh thông hiểu và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng lôgic, không mắc sai lầm khi làm bài tập. Hy vọng đề tài nhỏ này sẽ giúp các em học sinh có cơ sở cũng như phương pháp giải một số bài toán bắt buộc trong sách giáo khoa Chương II Hình học lớp 11 một cách có hiệu quả.
.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
	Do đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều học sinh còn chưa quen với tính tư duy trừu tượng của nó, nên tôi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra những phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy học nói chung và môn hình học không gian nói riêng.
1.3. Đối tượng nghiên cứu:
	Đối tượng nghiên cứu trong đề tài giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, giao tuyến của hai mặt phẳng, thiết diện của hình đa diện cắt bởi một mặt phẳng.
Phạm vi nghiên cứu:
 Phạm vi nghiên cứu của đề tài là “Chương II: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song” sách giáo khoa hình học 11
1.4. Phương pháp nghiên cứu
 Phương pháp điều tra,khảo sát thực tế,thu thập thông tin.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
 Phát triển các bài toán về tỉ số trong không gian về các bài toán trong mặt phẳng
 II . NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. CƠ SỞ LÍ LUẬN 
	Trong nghiên cứu khoa học, việc tìm ra quy luật, phương pháp chung để giải quyết một vấn đề là việc vô cùng quan trọng vì nó giúp chúng ta có định hướng tìm lời giải của một lớp các bài toán tương tự nhau. Trong dạy học, giáo viên có vai trò thiết kế và điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập những hoạt động tương thích với nội dung dạy học trong điều kiện được gợi động cơ , hướng có đích, có kiến thức về phương pháp tiến hành và có trải nghiệm thành công .Do vậy trang bị về phương pháp cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên.
 Trong chương II ‘ Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song’ sách giáo khoa có giới thiệu một số khái niệm, trong đó có khái niệm về giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, giao tuyến của hai mặt phẳng, thiết diện cắt bởi một mặt phẳng với một hình đa diện. Do đó nếu có được hệ thống phương pháp giải các bài toán:
 Bài toán 1: Tìm giao điểm của đường d và mặt phẳng(). 
 Bài toán 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng () và () .
 Bài toán 3: Tìm thiết diện cắt bởi một mặt phẳng với một hình đa diện.
 Bài toán 4: Đưa bài toán tỉ số trong không gian về các bài toán trong mặt phẳng
 Thì học sinh có thể nắm vững được kiến thức để vận dụng làm các bài tập, gây hứng thú trong học tập cho học sinh. Mặt khác đây lại là chương kiến thức nền tảng cho cả phần hình học không gian nên rất cần thiết. 
 Vì vậy tôi thấy việc đưa ra : ‘Phân loại và phương pháp giải một số toán về quan hệ song song trong không gian’ là một việc rất bổ ích cho việc dạy của giáo viên cũng như việc học hình học không gian của học sinh.
 2.2. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ 
 Trong quá trình giảng dạy của mình tôi nhận thấy phần lớn học sinh thường rất lơ mơ và ngại học môn hình học không gian. Khi gặp các bài toán thì không phân loại và định hình được cách giải, lúng túng khi làm bài tập. Trong khi đó sách giáo khoa hình học 11 không nêu cách giải tổng quát cho từng dạng, thời lượng dành cho việc làm bài tập các dạng này là rất ít. Do đó học sinh thường bế tắc trong việc vẽ hình , xác định yếu tố nào trước và làm như thế nào, cụ thể:
 Khi dạy cho học sinh tôi nhận thấy:
 - Khi xác định giao điểm A của đường thẳng a và mặt phẳng (P) đa số học sinh ở mức trung bình đều không biết làm thế nào. Về mặt hình vẽ thì thể hiện chới với không chính xác. Giáo viên phải hướng cho học sinh quy về giao điểm của hai đường thẳng.
 - Khi gặp các bài toán xét trên các mặt phẳng, chẳng hạn mặt phẳng (ABC) thì rất nhiều học sinh thường hiểu rằng mặt phẳng (ABC) chỉ gồm các điểm thuộc miền trong và nằm trên các cạnh của tam giác ABC. Do đó khi xác định giao điểm của mặt phẳng này hoặc của đường thẳng nằm trong mặt này với các đối tượng khác là rất khó khăn.
 - Hình biểu diễn của các hình không gian không trực quan như hình phẳng mà lâu nay các em đã học, do đó dựa vào hình vẽ nhiều học sinh nhầm lẫn giữa những đường thẳng thực tế không cắt nhau nhưng trong hình biểu diễn các em lại thấy như là chúng cắt nhau.
 Chẳng hạn khi gặp bài toán: 
Bài toán 1. Cho 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng. 
Gọi E, F theo thứ tự là 2 điểm trong của các tam 
giác ABC và BCD. Gỉa sử đường thẳng EF
cắt mặt phẳng (ACD) tại điểm J. Hãy xác định 
điểm J đó.
Với hình biểu diễn trên, nhiều học sinh ngộ 
nhận rằng đường thẳng EF và AC cắt nhau và đó
 chính là giao điểm J. Một số học sinh khá hơn 
sẽ nhận ra điều đó là sai song chưa xác định được 
đường thẳng EF sẽ cắt đường nào của mặt (ACD). Hình 1
 Bài toán 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi O’ là tâm của hình bình hành A’B’C’D’; K là trung điểm của CD, E là trung điểm của BO’.
Chứng minh rằng E nằm trên mặt phẳng (ACB’)
Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng (P) đi qua K và song song với mặt phẳng (ACE).
*Học sinh thường lúng túng không biết cách chứng minh cho E thuộc một đường thẳng khác nằm trên mặt phẳng (ACB’). Do đó đến câu b) học sinh sẽ không nhận ra được mặt phẳng (ACE) chính là mặt phẳng (ACB’) nên rất khó khăn trong việc xác định thiết diện.
Lúc này vai trò của giáo 
viên là phải định hướng 
cho học sinh chứng minh 
được E là giao điểm của
BO’ với OB’ nằm trong mặt 
phẳng (ACB’).
 Hình 2
Bài toán 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD, M là trung điểm của cạnh SA.
Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (P) qua M song song với SO và BC.
Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (Q) chứa O song song với BM và SD.
 Hình 3 Hình 4
Học sinh thường rất lúng túng vì mặt phẳng cho trước song song với 2 đường thẳng chéo nhau nên không xác định được mặt phẳng đó là mặt phẳng nào. Đến đây giáo viên phải định hướng cho học sinh mặt phẳng mà ta đang xác định song song với mặt phẳng nào ( ta thường chỉ ra nó song song với một mặt phẳng chứa đường này và song song với đường còn lại ).
2.3. MỘT SỐ GIẢI PHÁP
 Qua nghiên cứu ,trao đổi đúc rút kinh nghiệm và ý kiến của đồng nghiệp, tôi mạnh dạn đưa ra hướng giải quyết các vấn đề trên của học sinh như sau:
Đưa mô hình trực quan.
 Ta đã biết trong triết học: “ Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng” vì vậy để học sinh có hình ảnh trực quan tôi sẽ cho các em chuẩn bị một số mô hình về các hình không gian như hình tứ diện, hình hộp,các hình này được làm khung bằng các que, các mặt thì gắn bằng bìa. Ngoài ra còn chuẩn bị một số que làm mô hình đường thẳng và giấy bìa làm mô hình mặt phẳng. Khi dạy đến từng phần tôi sẽ chỉ cho học sinh thấy bằng mô hình trực quan đó, sau đó yêu cầu học sinh vẽ lại hình biểu diễn của hình 
Ví dụ dạy về bài toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng tôi sẽ lấy ví dụ
Bài toán Cho 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng. 
Gọi E, F theo thứ tự là 2 điểm trong của các tam 
giác ABC và BCD. Gỉa sử đường thẳng EF
cắt mặt phẳng (ACD) tại điểm J. Hãy xác định 
điểm J đó.
 Lúc này mô hình mà tôi sử dụng là hình tứ
diện với khung được làm bằng các que các mặt 
ngoài không gắn bìa, tôi sẽ chỉ cho các em thấy 
đường thẳng EF là đường nào. Sau đó cho các em 
nhận xét quan hệ giữa đường thẳng EF với các cạnh 
của tứ diện. Tiếp đó tôi sẽ gọi một học sinh lên 
bảng vẽ hình biểu diễn.
 Để tìm giao điểm J tôi sẽ định hướng cho học sinh đường thẳng EF nằm trên mặt phẳng (BEF) và bằng tấm bìa cho các em quan sát mặt phẳng (BEF) không phải chỉ là phần chứa tam giác BEF.
 Khi dạy bài toán thiết diện trước hết cần cho học sinh nhìn thấy trực quan thiết diện của một hình đa diện cắt bởi một mặt phẳng. Tôi sẽ sử dụng mô hình là một khung chóp và một tấm bìa, tùy vào vị trí của tấm bìa tôi sẽ chỉ cho học sinh thấy thiết diện 
2. Phân loại và phương pháp giải một số bài toán về quan hệ song song trong không gian.
Bài toán 1: Tìm giao điểm của đường d và mặt phẳng(). 
 Hình 5 Hình 6
* Phương pháp: Muốn tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng () ta tìm giao điểm của đường thẳng d với một đường thẳng a nằm trên mp() ( hình 5)
 Tóm tắt: Nếu thì 
* Chú ý: Nếu đường thẳng a chưa có trên hình vẽ thì ta tìm a như sau:
- Tìm mp() chứa d sao cho mp() cắt mp().
- Tìm giao tuyến a của hai mp() và mp() (hình 6)
* Nhận xét: Vấn đề của bài toán là xác định cho được đường thẳng a. Nhiệm vụ của giao viên là hướng dẫn, gợi mở cho học sinh biết cách tìm đường thẳng a và chọn mp() sao cho phù hợp với từng yêu cầu của bài toán trong trường hợp đường thẳng a chưa có trên hình vẽ .
 - Muốn làm được điều đó học sinh cần nắm chắc hệ thống các tiên đề của hình học không gian.
Tiên đề 1: Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt cho trước.
Tiên đề 2: Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước.
Tiên đề 3: Tồn tại bốn điểm không cùng nằm trên một mặt phẳng.
Tiên đề 4: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất chứa tất cả các điểm chung của hai mặt phẳng đó.
Tiên đề 5: Trong mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết của hình học phẳng đều đúng.
* Ví dụ: 
Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của AB, J là một điểm trên AD sao cho . Tìm giao điểm của đường thẳng IJ với mp(BCD).
Nhận xét: Với bài toán này thì học sinh dễ dàng phát hiện được đường thẳng a cần tìm chính là đường thẳng BD. Nhiệm vụ của giáo viên là cần lưu ý cho học sinh điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng đó phải cùng nằm trên một mặt phẳng và không song song.
 Hình 7 Hình 8 
Lời giải: 
Từ giả thiết IJ và BD không song song.
Gọi 
Kết luận: (hinh 7)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SA và SB, M là một điểm tùy ý thuộc đoạn SD.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng BM với mp(SAC).
b) Tìm giao điểm của đường thẳng IM với mp (SBC)
c) Tìm giao điểm của đường thẳng SC với mp(IJM).
 Nhận xét: Với giả thiết của bài toán thì dựa vào hình vẽ ( hình 8) học sinh khó mà tìm được đường thẳng a nằm trên mp(SAC) bây giờ là đường thẳng nào để cắt được đường thẳng BM, nếu không khéo léo hướng dẫn sẽ có nhiều học sinh nhầm là đường thẳng SC. Vai trò của giáo viên là gợi ý cho học sinh biết chọn mp(SBD) chứa BM và tìm giao tuyến của hai mp( SBD) và (SAC) là đường thẳng SO. Từ đó kết luận giao điểm P của hai đường thẳng BM và SO chính là giao điểm cần tìm. (hình 10)
 Hình 9 Hình 10 
Với câu b) (hình 11) thì học sinh cũng khó mà tìm được đường thẳng a nằm trên mp(SBC) bây giờ là đường thẳng nào để cắt được đường thẳng IM nếu không có sự hướng dẫn của giao viên. Giáo viên yêu cầu học sinh cho biết đường thẳng IM nằm trên mp nào ? và đi tìm giao tuyến của mp đó với mp(SBC). Từ đó tìm được giao tuyến là đường thẳng SE và giao điểm cần tìm chính là điểm F ( hình 12). 
 Hình 11 Hình 12
Tượng tự câu a) để tìm giao điểm của đường thẳng SC với mp(IJM) ta phải chọn mặt phẳng phụ chứa SC và đi tìm giao tuyến của mặt phẳng phụ đó với mp(IJM). Với bài toán này thì có nhiều mặt phẳng chứa đường thẳng SC như mp(SAC), mp(SCD) và mp(SBC). Vấn đề là chọn mặt phẳng nào sao cho việc tìm giao tuyến được thuận lợi là tùy thuộc vào khả năng của mỗi học sinh, giáo viên không nên gò học sinh đi theo lời giải của mình.
 Hình 13 Hình 14 
* Lời giải:
a) Ta có 
Xét 2 mp( SAC) và (SBD) có 
	 S là điểm chung thức nhất.(1)
 	Gọi O là điểm chung thứ hai (2)
Từ (1) và (2) 
	Gọi 
Kết luận: 
b) Ta có IM (SAD) 
Xét hai mp(SAD) và (SBC) có:
	S là điểm chung thứ nhất
	Gọi E = ADBC E là điểm chung thứ hai 
 SE = (SAD) ( SBC) 
	Gọi F= IM SE F =IM (SBC) ( Hình 13) 
c) Ta có SC (SBC)
 Xét 2 mp( IJM) và (SBC) 
Ta có JF=(IJM) (SBC)
Gọi H =JF SC H=SC(IJM) (Hình 14.) .
Bài tập tự luyện . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình bình hành, tâm của đáy, M,N lần lượt là trung điểm của SA, SC. Gọi (P) là mặt phẳng qua M, N và B.
Tìm giao điểm I của đường thẳng SO với mp(P) và giao điểm K của đường thẳng SD với mp(P).
 b) Xác định các giao điểm E,F các đường thẳng DA, DC với mp(P) và chứng minh rằng ba điểm E, B, F thẳng hàng.
Bài toán 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng () và () . 
* Phương pháp: 
Cách 1: Xác định hai điểm chung của hai mp.
Tóm tắt: Nếu thì ( Hình 15)
 Hình 15
Cách 2: Xác định một điểm chung và song song với một đường thẳng cho trước:
Dựa vào các định lý sau:
* Đlý 2 ( SGK trang 57) : Nếu thì a // b // c hoặc a, b, c đồng quy.
* Hệ quả: Nếu thì d // a // b hoặc d trùng a hoặc d trùng với b
 Hình 16 Hình 17 Hình 18
* Đlý 2:(SGK trang 61) Nếu thì a//b ( hình 19)
* Hệ quả: Nếu thì a // d. ( hình 20)
 Hình 19 Hình 20 Hình 21 
 * Đlý 3 (Sgk trang 67). Nếu thì ( hình 21)
* Nhận xét: Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta ưu tiên cho cách 1 là tìm hai điểm chung lần lượt nằm trên hai mặt phẳng đó bằng cách dựa vào hình vẽ. Nếu trên hình vẽ chỉ có một điểm chung thì ta chuyển sang cách hai ( dựa vào các định lý và hệ quả nêu trên) 
* Ví dụ: 
Bài 3: Trong mp() cho tứ giác ABCD có AB và CD cắt nhau tại E, AC và BD cắt nhau tại F. Gọi S là một điểm nằm ngoài mp(). Tìm giao tuyến của các mp sau:
a) Mp (SAB) và mp(SCD)
b) Mp(SAC) và mp(SBD)
c) Mp(SEF) với hai mp(SAD) và (SBC).
* Nhận xét: 
Với hai mp(SAB) và mp(SCD) thì học sinh dễ dàng tìm được hai điểm chung lần lượt là S là E dựa vào hình vẽ (hình 22). Tương tự đối với hai mp(SAC) và mp(SBD) thì học sinh cũng phát hiện được giao tuyến là đường thẳng SF. (hình 23)
 Hình 22 Hình 23
Với câu c) giáo viên nên gợi ý cho học sinh phát hiện ra được điểm chung thứ hai M, N bằng cách nối EF với BC và EF với AD. ( hình 24)
 Hình 24
* Lời giải:
a) Ta có (1)
	(2)
	Từ (1) và (2) 
b) Ta có (*)
	 (**)
	Từ (*) và (**) 
c) Gọi , 
	Xét hai mp(SAD) và (SEF) có:
	Kết luận : 
	Tương tự: 
Bài 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA’ và CC’, P là một điểm thuộc đoạn BB’. Tìm giao điểm Q của đường thẳng DD’ với mp(MNP) . 
Nhận xét: Để tìm giao điểm Q của đường thẳng DD’ với mp(MNP) thì giáo viên phải gợi ý cho học sinh tìm giao tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng DD’ với mp(MNP). Giáo viên yêu cầu học sinh cho biết đường thẳng DD’ nắm trên những mặt phẳng nào và cho biết số điểm chung của các mặt phẳng đó với mp(MNP)?
 Hình 25 Hình 26
Lời giải: 
Ta có DD’ (CC’D’D)
Xét 2 mp(MNP) và mp(CC’D’D) ta có:
	N là một điểm chung (1)
	MP //( mp(CC’D’D) (2)
	MP mp(MNP) 	 (3)	
Từ (1), (2) và (3) (MNP) ( CC’D’D) = Nx // MP
	Gọi Q = DD’ Nx Q = DD’ (MNP) ( hình 25)
Chú ý: Ta có thể chọn mp(AA’D’D) chứa DD’ và tìm được giao tuyến của 2 mp(MNP) và mp(AA’D’D) là My song song với đường thẳng NP ( hình 26). 
Bài tập tự luyện. 
Cho bốn điểm không đồng phẳng A,B, C, D. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC .
Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MBC) và (NDA).
Cho I, J là 2 điểm lần lượt nằm trên hai đoạn thẳng AB và AC. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (MBC) và (IJD).
Bài toán 3: Xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng (P) với một hình đa diện.
 a) Định nghĩa. Thiết diện của hình (H) khi cắt bởi mặt phẳng (P) là phần chung của hình (H) và mp(P).
 b) Phương pháp: Để tìm thiết diện cắt bởi mặt phẳng (P) và hình (H) ta đi tìm các đoạn giao tuyến của mp(P) với các mặt của hình (H)
 c) Các ví dụ 
 Ví dụ 1 : Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AC, BC, BD lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho MN không song song với AB, NP không song song với CD. Tìm thiết diện cắt bởi mặ phẳng (MNP) với tứ diện.
Nhận xét . Với bài tập này học sinh dễ dàng xác định được 
Giao tuyến của mặp phẳng (MNE) với các mặt của tứ diện 
Do đó dễ dàng xác định được thiết diện.
Lời giải.
 Ta có 
 Hình 27 
 Ta có các đoạn giao tuyến là NP, PE, EM, MN. Do đó thiết diện là tứ giác MNPE.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, E là 3 điểm lần lượt lấy trên 3 cạnh AD, CD, SO. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNE). 
Nhận xét : Đối với bài tập này xác định giao tuyến của mặt phẳng (MNE) với mặt đáy thì dễ dàng nhưng với các mặt khác thì học sinh rất lúng túng. Lúc này vai trò của giáo viên rất quan trọng . Giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh tìm được giao điểm Q của SB với mặt phẳng (MNE). Sau khi tìm được Q học sinh sẽ dễ dàng tìm được giao tuyến với các mặt của hình chóp, từ đó tìm được thiết diện.
Lời giải.
Gọi K là giao của MN và BD.
Trong mặt phẳng (SBD) ta có KE cắt SB tại Q.
Trong mặt phẳng (ABCD) có
Có JQ cắt SA tại H, IQ cắt SC tại P. Hình 28
Mặt phẳng (MNE) cắt các mặt của hình chóp theo các đoạn giao tuyến là MN,NP, PQ, QH, HM. Thiết diện cắt bởi mp(MNE) với hình chóp là MNPQH.
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD với M,N là 2 điểm lần lượt lấy trên các cạnh AB và CD. Gọi là mặt phẳng qua MN và song song với SA. Tìm thiết diện cắt bởi mặt phẳng với hình chóp.
Lời giải .
Ta có M, 
Do đó thiết diện là tứ giác MNEF.
 Nhận xét: Với 2 đoạn giao tuyến MN và ME thì học sinh dễ dàng xác định được. Nhưng để xác định giao tuyến với 2 mặt phẳng (SBC) và (SDC) thì học sinh sẽ bị bế tắc. Lúc này nhiệm vụ của giáo viên là hướng dẫn học sinh tìm được điểm F là giao của SC với mặt phẳng .
Ví dụ 4. Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có AA’//BB’//CC’. Gọi H là trung điểm của A’B’. Gọi là mặt phẳng đi qua trung điểm của CC’ và song song với AH và CB’. Hãy xác định thiết diện cắt bởi với lăng trụ.
Nhận xét:
Ta thấy 2 đường thẳng AH và CB’ là chéo nhau, giáo viên cần hướng dẫn học sinh tạo ra một mặt phẳng chứa đường thẳng này mà song song với đường thẳng kia. Khi đó mp//mp.
 Lời giải . Gọi D là điểm mà A’C’B’D là hình bình hành . Khi đó ta có CB’//AD.
Vì E//CB’, Do đó qua E kẻ đường thẳng song song với CB’ cắt C’B’ tại F.
Vì //(AHD) , do đó qua F kẻ đường thẳng song song với DC’ cắt A’B’ tại M,
Qua M kẻ đường thẳng song song với AH cắt AB tại N , qua N kẻ đường thẳng song song với MF cắt AC tại K . Vậy mặt phẳng cắt lăng trụ theo thiết diện là ngũ giác MNKEF.
Bài toán 4: Đưa bài t