Báo cáo sáng kiến Một số kỹ năng giải toán hình học không gian cho học sinh Lớp 11

 Trang 1 
MỞ ĐẦU 
1. Lý Do Chọn Đề Tài : 
Trong môn Toán ở trường phổ thông phần hình học không gian giữ một vai trò, 
vị trí hết sức quan trọng. Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ năng giải toán 
hình học không gian, còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của con người 
lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi 
dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy sáng tạo cho học sinh. 
Tuy nhiên trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh lớp 11 rất e ngại học 
môn hình học không gian vì các em nghĩ rằng nó trừu tượng, thiếu tính thực tế. Chính 
vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học này, về phần giáo viên cũng gặp 
không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức và phương pháp giải các dạng bài 
tập hình học không gian. Qua năm năm giảng dạy môn học này tôi cũng đúc kết được 
một số kinh nghiệm nhằm giúp các em tiếp thu kiến thức được tốt hơn, từ đó mà chất 
lượng giảng dạy cũng như học tập của học sinh ngày được nâng lên. Do đây là phần 
nội dung kiến thức mới nên nhiều học sinh còn chưa quen với tính tư duy trừu tượng 
của nó, nên tôi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra những phương pháp truyền đạt 
phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo gỡ những vướng mắc, khó khăn mà 
học sinh thường gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy nói chung và 
môn hình học không gian nói riêng. 
Điểm mới trong kết quả nghiên cứu là tính thực tiễn và tính hệ thống, không áp 
đặt hoặc lập khuôn máy móc do đó học sinh dễ dàng áp dụng vào việc giải quyết các 
bài toán lạ, các bài toán khó. 
Từ lý do trên tôi đã khai thác, hệ thống hóa các kiến thức, tổng hợp các phương 
pháp thành một chuyên đề: “Một Số Kỹ Năng Giải Toán Hình Học Không Gian Cho 
Học Sinh Lớp 11 ” 
2. Đối Tượng Và Phạm Vi Nghiên Cứu; 
Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh lớp 11C1 và 11C8 năm học 2017 
– 2018. 
 Trang 2 
Phạm vi nghiên cứu của đề tài là: “ Chương 2,3: Đường thẳng và mặt phẳng 
trong không gian. Quan hệ song song – Quan hệ vuông góc trong không gian ” 
sách giáo khoa Hình học 11 ban cơ bản. 
3. Mục Đích Và Phương Pháp Nghiên Cứu: 
Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh lớp 11 có 
thêm một số kỹ năng cơ bản, phương pháp chứng minh một số dạng toán trong không 
gian. Học sinh thông hiểu và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic, không mắc 
sai lầm khi làm bài tập. Hy vọng với đề tài này sẽ giúp các em học sinh có cơ sở, 
phương pháp giải một số bài toán bắt buộc trong sách giáo khoa Hình học lớp 11, cũng 
như cung cấp cho giáo viên một số nội dung giảng dạy môn hình học không gian lớp 
11 một cách có hiệu quả hơn. 
Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu lí luận chung khảo sát điều tra thực tế dạy 
và học tổng hợp so sánh, đút rút kinh nghiệm trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý 
kiến đồng nghiệp. 
NỘI DUNG 
Chương 1: Cơ Sở Lý Luận 
Khi giải một bài toán về chứng minh quan hệ song song, quan hệ vuông góc 
trong hình học không gian, ta phải đọc kỹ đề, phân tích giả thuyết, kết luận, vẽ hình 
đúng, Ta cần phải chú ý đến các yếu tố khác : Vẽ hình như thế tốt chưa? Cần xác 
định thêm các yếu tố nào trên hình không? Để giải quyết vấn đề ta xuất phát từ đâu? 
Nội dung kiến thức nào liên quan đến bài toán, .có như thế mới giúp ta giải quyết 
được nhiều bài toán mà không gặp khó khăn. Ngoài ra ta còn phải nắm vững kiến thức 
trong hình học phẳng, phương pháp chứng minh cho từng dạng toán: tìm giao tuyến 
của hai mặt phẳng, tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, chứng minh hai 
đường thẳng song song, hai mặt phẳng song song, đường thẳng song song với mặt 
phẳng, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vuông góc với nhau, tính 
góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng, tính khoảng cách,... 
Chương 2: Cơ Sở Thực Tiễn 
Qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy nhiều học sinh khi gặp các bài toán về 
chứng minh quan hệ song song, quan hệ vuông góc trong hình học không gian các em 
 Trang 3 
học sinh không biết vẽ hình, còn lúng túng, không phân loại được các dạng toán, chưa 
định hướng được cách giải. Trong khi đó bài toán liên quan đến chứng minh quan hệ 
song song, quan hệ vuông góc trong hình học không gian có rất nhiều dạng bài tập 
khác nhau, nhưng chương trình hình học không gian 11 không nêu cách giải tổng quát 
cho từng dạng, bên cạnh đó thời lượng dành cho tiết luyện tập là rất ít. Qua việc khảo 
sát định kỳ nhận thấy nhiều học sinh trình bày lời giải chưa lôgic hoặc không làm được 
bài tập liên quan đến chứng minh quan hệ song song, quan hệ vuông góc trong hình 
học không gian. 
Khi giải các bài toán hình học không gian các giáo viên và học sinh thường gặp 
một số khó khăn với nguyên nhân như sau: Học sinh cần phải có trí tưởng tượng 
không gian tốt Học sinh quen với hình học phẳng nên khi học các khái niệm của hình 
không gian hay nhầm lẫn, chưa biết vận dụng các tính chất của hình học phẳng cho 
hình không gian Một số bài toán không gian thì các mối liên hệ giữa giả thiết và kết 
luận chưa rõ ràng làm cho học sinh lúng túng trong việc định hướng cách giải Bên 
cạnh đó còn có nguyên nhân như các em chưa xác định đúng động cơ học tập. 
Từ những nguyên nhân trên tôi mạnh dạn đưa ra một số giải pháp nhằm nâng 
cao kỹ năng giải toán hình học không gian cho học sinh lớp 11. 
Chương 3: Biện Pháp Giải Quyết Vấn Đề. 
Để giải được bài hình học tốt theo tôi nghĩ có một số giải pháp tăng cường kỹ 
năng kiến thức cho học sinh đó là: 
Vẽ hình đúng – trực quan nó gợi mở và tạo điều kiện thuận lợi cho việc giải các 
bài toán và phát huy trí tưởng tượng không gian, phát huy tính tích cực và niềm say mê 
học tập của học sinh. Vẽ đúng – trực quan hình vẽ giúp học sinh tránh được các sai 
lầm đáng tiếc. 
Tăng cường vấn đáp nhằm giúp học sinh hiểu rõ các khái niệm trong hình học 
không gian như : hình chóp tứ diện hình chóp đều hình lăng trụ hình hộp hình hộp 
chữ nhật . quan hệ song song của hai đường thẳng hai mặt phẳng đường thẳng và 
mặt phẳng, 
Sử dụng đồ dùng dạy học một cách hợp lý như các mô hình trong không gian, 
các phần mềm giảng dạy như: Cabri 3D, GSP, .. 
 Trang 4 
Dạy học theo các chủ đề, các dạng toán, mạch kiến thức mà giáo viên phân chia 
từ khối lượng kiến thức cơ bản của chương trình nhằm giúp học sinh hiểu sâu các kiến 
thức mà mình đang có, vận dụng chúng một cách tốt nhất. 
 Trang 5 
NỘI DUNG 1: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN – 
QUAN HỆ SONG SONG 
BÀI TOÁN 1: TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG (α) VÀ (). 
1. Phương pháp: 
Cách 1: Xác định hai điểm chung của hai mặt phẳng. 
 Nếu 
( ) ( )
( ) ( )
A
B
 
 
 

 
 thì ( ) ( )AB    
 Hình 1 
Cách 2: Xác định một điểm chung và song song với một đường thẳng 
Dựa vào các định l ý sau: 
* Định lý 2: (SGK trang 57) Nếu 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
a
b
c
 
 
 
 

 
  
 thì 
/ / / /
, , 
a b c
a b c


 ñoàng quy
* Hệ quả: Nếu 
/ /
( ), ( )
( ) ( )
a b
a b
d
 
 


 
  
 thì 
/ / / /d a b
d a
d b




 truøng vôùi 
 truøng vôùi 
 Hình 2 Hình 3 Hình 4 
* Định lý 2: (SGK trang 61) Nếu 
/ /( )
( )
( ) ( )
a
a
b


 



  
 thì a // b (Hình 5) 
 Trang 6 
* Hệ quả : Nếu 
( ) / /
( ) / /
( ) ( )
d
d
a


 



  
 thì a // d (Hình 6) 
* Định lý 3: (SGK trang 67) Nếu 
( ) / /( )
( ) ( ) a
 
 


 
 thì 
( ) ( )
/ /
b
a b
  


 (Hình 7) 
 Hình 5 Hình 6 Hình 7 
* Nhận xét: Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta ưu tiên cho cách 1 là tìm 
hai điểm chung lần lượt nằm trên hai mặt phẳng đó bằng cách dựa vào hình vẽ. Nếu 
hình vẽ chỉ có một điểm chung thì ta chuyển sang cách hai ( dựa vào các định lý và hệ 
quả trên) 
2. Ví dụ: 
Bài 1: Trong mp(α) cho tứ giác ABCD có AB và CD cắt nhau tại E , AC và 
BD cắt nhau tại F . Gọi S là một điểm nằm ngoài mp(α). Tìm giao tuyến của các mp 
sau: 
a) mp SAC và mp SBD 
b) mp SAB và mp SCD 
c) mp SEF và mp SAD 
GIẢI: 
Nhận xét: 
 Với câu a, b học sinh dễ dàng tìm được giao tuyến. 
 Trang 7 
 Với câu C) GV cần gợi ý cho HS phát hiện ra được điểm chung thứ hai. 
a) Ta có S SAC SBD (1) ; F AC BD F SAC SBD (2) 
 Từ (1) và (2) suy ra : SF SAC SBD 
b) Ta có S SAB SCD (1) ; E AB CD E SAB SCD ) 
 Từ (1) và (2) suy ra : SE SAB SCD 
c) Trong mp ADE kéo dài EF cắt AD tại N . 
S SAD SEF N SAD SEF 
 Vậy : SN SAD SEF . 
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình thang AB CD . 
a) Tìm giao tuyến của hai mp SAD và SBC . 
b) Tìm giao tuyến của hai mp SAB và SCD . 
GIẢI: 
a) Ta có S là điểm chung thứ nhất. 
 Trang 8 
 Trong mp(ABCD) có AD cắt BC tại E 
E AD E SAD
E BC E SBC
Suy ra : SE SAD SBC 
b) Ta có S là điểm chung thứ nhất. 
 Lại có: 
x x
AB SAB
CD SCD SAB SCD S S / /AB/ /CD
AB/ /CD
Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi I,J là trung điểm của AD và BC. 
a) Tìm giao tuyến của hai mp IBC và JAD 
b) M là một điểm trên đoạn AB , N là một điểm trên đoạn AC . Tìm giao 
tuyến của hai mp IBC và DMN . 
GIẢI: 
a) Ta có: I AD I JAD I IBC JAD 
 J BC J IBC J IBC JAD 
Khi đó: IJ IBC JAD . 
b) Trong mp ACD có CI cắt DN tại E. 
 Vậy E là điểm chung của hai mp IBC và DMN . 
 Trong mp ABD có BI cắt DM tại F. 
 Vậy F là điểm chung của hai mp IBC và DMN . 
Khi đó: EF IBC DMN . 
BÀI TOÁN 2 : TÌM GIAO ĐIỂM CỦA d VÀ mp 
J
I
B
C
D
A
E
F
I
B
C
D
A
M
N
 Trang 9 
 Hình 8 Hình 9 
1. Phương pháp : 
* Muốn tìm giao điểm của đường thẳng d với mp ta tìm giao điểm của đường 
thẳng d với một đường thẳng a nằm trên mp . (Hình 8) 
Tóm tắt : Nếu 
( )
A d
A a 


 
 thì A = d  (α) 
* Chú ý: Nếu đường thẳng a chưa có trên hình vẽ thì ta tìm giao điểm như sau: 
 - Tìm mp chứa d sao cho mp cắt mp . 
 - Tìm giao tuyến a của hai mp và mp . (Hình 9) 
 - Gọi I d a I d α 
* Nhận xét : Vấn đề của bài toán là xác định cho được đường thẳng a . Nhiệm vụ của 
giáo viên là hướng dẫn, gợi mở cho học sinh biết cách tìm đường thẳng a và chọn 
mp sao cho phù hợp với từng yêu cầu của bài toán trong trường hợp đường thẳng 
a chưa có trên hình vẽ. 
2. Ví dụ : 
Bài 1 : Cho tứ diện ABCD. Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AB và AD 
sao cho 
2
AJ AD
3
. Tìm giao điểm của đường thẳng IJ với mp BCD . 
Nhận xét : 
- HS dễ dàng phát hiện ra đường thẳng a chính là đường thẳng BD . 
 Trang 10 
- GV cần lưu ý cho học sinh điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng 
phải cùng nằm trên một mặt phẳng và không song song. 
GIẢI : 
Trong ABDcó : 
2
AJ AD
3
 và 
1
AI AB
2
, suy ra IJ không song song BD. 
Gọi 
K IJ
K IJ BD
K BD BCD
Vậy K IJ BCD . 
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD). Gọi I, J 
lần lượt là trung điểm của SA và SB, M là điểm tùy ý thuộc đoạn SD. 
a) Tìm giao điểm của đường thẳng BM với mp(SAC) 
b) Tìm giao điểm của đường thẳng IM với mp(SBC) 
c) Tìm giao điểm của đường thẳng SC với mp(IJM) 
Nhận xét: Câu a) - HS dễ nhầm lẫn đường BM cắt SC. Không nhìn ra được 
đường thẳng nào nằm trong mp  SAC để cắt được .BM 
 - GV gợi ý cho HS biết chọn mp phụ chứa .BM đó là 
mp  SBD và xác định giao tuyến của 2mp  SBD và  SAC . 
 Trang 11 
Câu b) - HS gặp khó khăn khi không nhìn ra được đường nào nằm trong 
mp  SBC để cắt .IM 
 - GV cần hướng dẫn HS chọn 1 mp phụ thích hợp chứa .IM 
Câu c) - Tương tự câu a) ta cần chọn mp phụ chứa SC và tìm giao tuyến của 
mp đó với mp  .IJM Có mp nào chứa ?SC 
 - GV hướng dẫn HS chọn mp nào cho việc tìm giao tuyến với  IJM 
thuận lợi. 
Lời giải: 
 Trang 12 
a) Ta có  BM SBD 
Xét 2 mp  SAC và  SBD có S là điểm chung thứ nhất (1) 
Gọi O AC BD   O là điểm chung thứ hai 
(2)
Từ (1) và (2)     SO SAC SBD  
Trong mp  SBD có BM cắt SO tại P . Vậy  P BM SAC  
b) Ta có  IM SAD 
Xét hai mp  SAD và  SBC có: S là điểm chung thứ nhất 
Gọi E AD BC   E là điểm chung thứ hai 
    SE SAD SBC  
Trong mp  SAE có IM cắt SE tại .F Vậy  F IM SBC  
c) Ta có  SC SBC 
Xét 2 mp  IJM và  SBC ta có :    JF IJM SBC  
Trong mp  SBE có JF cắt SC tại .H Vậy  H SC IJM  
Bài 3 : Cho hình chóp .S ABCD có AB và CD không song song. Gọi M là 
điểm thuộc miền trong của SCD 
a) Tìm giao điểm N của đường thẳng CD và mp  .SBM 
b) Tìm giao tuyến của hai mp  SBM và  .SAC 
c) Tìm giao điểm I của đường thẳng BM và mp  .SAC 
d) Tìm giao điểm P của đường thẳng SC và mp  ABM từ đó suy ra giao tuyến 
của hai mp  SCD và  .ABM 
e) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp  .ABM 
Lời giải : 
 Trang 13 
a) Trong mp  SCD có SM cắt CD tại .N 
( )
( )
N SM N SBM
N CD SBM
N CD N CD
  
     
  
b) Trong mp  ABCD , ta có: 
AC BD O 
( )
( ) ( )
( )
O AC O SAC
SO SAC SBN
O BN O SBN
  
     
  
c) Trong mp  ,SBN ta có BM cắt SO tại .I 
Mà    .SO SAC I BM SAC    
d) Trong mp  ,SAC ta có SC cắt AI tại .P 
Mà    .AI ABM P SC ABM    
Trong mp  ,SCD ta có PM cắt SD tại .K 
( )
( ) ( ).
( )
K PM K ABM
PK ABM SCD
K SD K SCD
  
     
  
e) Ta có :    ABM ABCD AB  
    ABM SBC BP  
    ABM SCD PK  
    ABM SAD AK  
Vậy tứ giác ABPK là thiết diện cần tìm. 
Bài tập rèn luyện : 
Bài 1 : Cho hình bình hành ABCD nằm trên mp  P và một điểm S nằm ngoài 
mp  .P . Gọi M là điểm nằm giữa S và ,A N là điểm nằm giữa S và B ; giao 
điểm của hai đường thẳng AC và BD là .O 
a) Tìm giao điểm của đường thẳng SO với mp  .CMN 
b) Tìm giao tuyến của hai mp  SAD và  .CMN 
 Trang 14 
c) Tìm thiết diện của hình chóp .S ABCD cắt bởi mp  .CMN 
Bài 2: Cho hình chóp .S ABCD , trong SBC lấy ,M trong SCD lấy điểm .N 
a) Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mp  .SAC 
b) Tìm giao điểm của SC với mp  .AMN 
c) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mp  .AMN 
Bài 3: Cho tứ diện .ABCD Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của , .AB CD Gọi E 
là điểm thuộc đoạn AN ( không là trung điểm AN ) và Q là điểm thuộc đoạn .BC 
a) Tìm giao điểm của EM với mp  .BCD 
b) Tìm giao tuyến của hai mp  EMQ và  ;BCD  EMQ và  .ABD 
c) Tìm thiết diện cắt tứ diện bởi mp  .EMQ 
BÀI TOÁN 3: CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG d SONG SONG VỚI mp  . 
* Phương pháp: (Định lí 1 SGK trang 61) 
 Tóm tắt: Nếu 
( )
/ /
( )
d
d a
a





 
 thì d // (α) 
Nhận xét: Vấn đề nêu lên ở đây là đường thẳng a có trên hình vẽ hay chưa, nó 
được xác định như thế nào, làm thế nào để xác định được nó. GV cần làm cho HS biết 
hướng giải quyết của bài toán là dựa vào giả thiết của từng bài toán mà xác định đường 
thẳng a như thế nào cho phù hợp. 
Ví dụ: 
Bài 1: Cho hình lăng trụ tam giác . ' ' 'ABC A B C . Gọi H là trung điểm của 
' '.A B 
a) Tìm giao tuyến của hai mp  ' 'AB C và  .ABC 
b) Chứng minh rằng:  '/ / ' .CB AHC 
 Trang 15 
Lời giải: 
a) Ta có : 
( ' ')
( )
A AB C
A ABC



 A là điểm chung của  'C'AB và  .ABC 
Mà 
' '/ /
' ' ( ' ')
( )
B C BC
B C AB C
BC ABC



 
nên    ' 'AB C ABC Ax  và / / ' '/ / .Ax B C BC 
b) Ta có tứ giác ' 'AA CC là hình bình hành 
Suy ra 'A C cắt 'AC tại trung điểm I của mỗi đường 
Do đó / / 'IH CB ( IH là đường trung bình của ' 'CB A ) 
Mặt khác  'IH AHC nên  '/ / ' .CB AHC 
Bài 2 : Cho tứ diện ,ABCD gọi ,M N lần lượt là trọng tâm của ABD và 
.ACD Chứng minh rằng: 
a)  / / .MN BCD b)  / / .MN ABC 
Lời giải : 
a) Gọi E là trung điểm BD ; F là trung điểm .CD 
Trong ABD ta có: 
2
3
AM
AE
 ( M là trọng tâm ABD ) 
Trong ACD ta có: 
2
3
AN
AF
 ( N là trọng tâm ACD ) 
Vậy / /
AM AN
MN EF
AE AF
  
Mà  EF BCD   / / .MN BCD 
b) Trong BCD có : EF là đường trung bình. 
 / /EF BC 
  / / / / / /MN EF BC MN ABC 
x
I
H
A'
B'
C
B
A
C'
M
E
F
B
C
D
A
N
 Trang 16 
Bài 3: (Bài 1 trang 63 sgk) Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không 
cùng nằm trong một mặt phẳng. 
a) Gọi O và 'O lần lượt là tâm của ABCD và .ABEF Chứng minh rằng: 
 '/ /OO ADF và  '/ / .OO BCE 
b) Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của ABD và .ABE Chứng minh rằng : 
 / / .MN CEF 
 Lời giải: 
a) Ta có : '/ /OO DF ( 'OO là đường trung bình 
.BDF ) 
Mà  DF ADF  '/ /OO ADF 
Ta có : '/ /OO CE ( 'OO là đường trung bình 
).ACE 
Mà  CE BCE  '/ / .OO BCE 
b) Gọi H là trung điểm của .AB 
Ta có : 
1
3
HM HN
HD HE
  
/ /MN DE mà  DE CEF 
Vậy  / / .MN CEF 
BÀI TOÁN 4 : CHỨNG MINH mp(α) VÀ mp() SONG SONG NHAU 
* Phương pháp : (Định lí 1 SGK trang 64) 
 Tóm tắt : Nếu 
, ( )
/ /( ), / /( )
a b P
a b I
a Q b Q


 


 thì (P) // (Q) 
* Nhận xét : Tương tự như bài toán chứng minh đường thẳng song song với 
mặt phẳng, vấn đề đặt ra là chọn hai đường thẳng ,a b như thế nào ? Nằm trên mặt 
phẳng  P hay mp  ?Q GV cần hướng dẫn, gợi mở cho HS phát hiện ra được vấn đề 
của bài toán. 
O'
O
E
C
A
B
F
D
N
M
H
O'
O
E
C
A
B
F
D
 Trang 17 
Ví dụ : 
Bài 1 : Cho hình chóp .S ABCD đáy là hình bình hành ABCD , AC BD O  . 
Gọi ,M N lần lượt là trung điểm của , .SC CD Chứng minh    / / .MNO SAD 
 Lời giải : 
Trong SCD có MN là đường trung bình 
 / /MN SD mà  SD SAD 
  / / .MN SAD (1) 
Trong SAC có MO là đường trung bình 
 / /MO SA mà  SA SAD 
   / /MO SAD (2) 
Từ (1) và (2) suy ra    / / .MNO SAD 
Bài 2: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng phân biệt. 
Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M và N sao cho .AM BN 
Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M và N lần lượt cắt AD và AF tại 'M 
và '.N Chứng minh rằng: 
a)    / / .ADF BCE 
b)    / / ' ' .DEF MM N N 
Nhận xét: HS dễ dàng chứng minh được câu a, nhưng đối với câu b thì GV nên 
hướng dẫn cho HS biết cách vẽ hình, nhận xét được hai đường thẳng AC và BF là 
bằng nhau, từ đó gợi mở cho HS biết chứng minh hai đường thẳng 'MM và ' 'M N 
song song với mp  DEF dựa vào định lí Talét đảo. 
Lời giải: 
a) Ta có:  / / .AF BE BCE 
 Trang 18 
  / / .AD BC BCE 
  AF và AD cùng song song với mp  .BCE 
mà  , .AF AD ADF 
Vậy :    / / .ADF BCE 
b) Ta có: '/ /MM AB mà / /AB EF 
   '/ / .MM EF AEF (*) 
Mặt khác : '/ /MM CD (1)
'
AM AM
AD AC
  
 '/ /NN AB (2)
'
AN BN
AF BF
  
Mà ,AM BN AC BF (3) 
AM BN
AC BF
  
Từ (1), (2) và (3) 
' '
' '/ / ( )
AM AN
M N DE DEF
AD AF
    
(**)
Mà  ', ' ' ' ' .MM M N MM N N (***) 
Từ (*), (**), (***)     / / ' ' .DEF MM N N 
Bài 3: (Bài 3 trang 71 sgk) Cho hình hộp . ' ' ' 'ABCD A B C D 
a) Chứng minh rằng hai mp  'BDA và  ' 'B D C song song nhau. 
b) Chứng minh rằng đường chéo 'AC đi qua trọng tâm 1G và 2G của hai tam 
giác 'BDA và ' ' .B D C 
 Lời giải: 
a) Ta có: 
/ / ' '
/ /( ' ')
' ' ( ' ')
BD B D
BD CB D
B D CB D



' / / '
' / /( ' ')
' ( ' ')
A D B C
A D CB D
B C CB D



 Trang 19 
Ta có : 
, ' / /( ' ')
( ') / /( ' ')
, ' ( ')
BD A D CB D
BDA CB D
BD A D BDA



b) Ta có : '/ / '/ / '.CC BB AA và ' ' '.CC BB AA  
nên ' 'AA C C là hình bình hành. 
Gọi I là tâm của hình bình hành ' 'AA C C 
Gọi , 'O O lần lượt là tâm hình bình hành ABCD và ' ' ' '.A B C D 
Trong mp  ' 'AA C C gọi 1 ' 'G A C A O  ; 2 ' 'G AC C O  
 
1 2,G G lần lượt là trọng tâm 'AA C và ' '.CC A 
 1' 2A G G O và 2 22 'CG G O 
(*)
Xét hai 'BDA và ' 'B D C có 'A O và 'CO là hai trung tuyến nên từ (*) suy ra 
1 2;G G lần lượt là trọng tâm 'BDA và ' ' .B D C 
Bài tập rèn luyện: 
Bài 1: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung 
điểm của cạnh .SA 
1) Xác định giao tuyến d của hai mp  MBD và  .SAC Chứng tỏ  / /d SCD 
2) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp  .MBC Thiết diện đó là hình gì? 
Bài 2: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi. Gọi E là một điểm thuộc 
miền trong của tam giác .SCD 
1) Tìm giao tuyến của hai mp  SAC và  .SBE Tìm giao điểm BE với  .SAC