SKKN Phân dạng bài tập giúp đỡ học sinh yếu kém toán Trường THPT Nông Cống 1 trong việc học phần Nguyên hàm – Tích phân

1. Mở đầu
Lí do chọn đề tài
 Trong những năm qua, nhiều nhà khoa học, nhà giáo dục và giáo viên đã quan tâm đến việc dạy học cho học sinh khá giỏi, góp phần quan trọng vào việc bồi dưỡng nhân tài cho đất nước. Tuy nhiên, việc nghiên cứu vấn đề dạy học cho học sinh yếu kém lại chưa được nghiên cứu, chú trọng đúng mức để đảm bảo việc đào tạo nhân lực, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục. Ở trường THPT, đa số học sinh đã học yếu kém về một chủ đề kiến thức nào đó thì sẽ mặc cảm, tự ti, bỏ qua phần kiến thức này. Do đó việc nghiên cứu phân dạng bài tập là rất cần thiết, giúp học sinh dễ nhớ và dễ vận dụng. Từ đó thúc đẩy hoạt động, phát huy tính tự giác, tính tích cực, chủ động của học sinh.
Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng chiếm vai trò quan trọng trong chương trình Toán THPT. Nội dung về Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng được trình bày trong toàn bộ chương 3 giải tích 12. Qua nhiều lần thay sách với nhiều thay đổi song Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng là nội dung bắt buộc trong các đề thi Tốt nghiệp THPT, ĐH-CĐ và hiện nay là thi THPT Quốc gia. Đây là một chủ đề có nhiều khó khăn trong việc dạy và học. Ngoài ra, việc trình bày các kiến thức ở SGK, SBT cũng như các sách tham khảo, hệ thống các bài tập còn dàn trải và học sinh thường mất thời gian khi giải bài tập phần này. Đã có một số đề tài nghiên cứu vận dụng các phương pháp dạy học tích cực hoặc xác định những sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán Nguyên hàm – Tích phân nhằm nâng cao chất lượng dạy học chủ đề này. Tuy nhiên chưa có đề tài nào quan tâm nghiên cứu việc phân dạng bài tập phù hợp để giúp đỡ đối tượng học sinh yếu kém học tốt môn toán hơn.
Xuất phát từ những lý do trên, từ kinh nghiệm bản thân trong các năm giảng dạy cũng như sự tìm tòi, tham khảo và tổng hợp ở các tài liệu Toán và trên internet, tôi lựa chọn đề tài: “Phân dạng bài tập giúp đỡ học sinh yếu kém toán Trường THPT Nông Cống 1 trong việc học phần Nguyên hàm – Tích phân” 
1.2. Mục đích nghiên cứu.
- Giúp học sinh yếu kém dễ nhớ, dễ vận dụng;
- Tạo cho học sinh sự say mê, hứng thú trong môn học;
- Giúp học sinh nâng cao được tư duy, kĩ năng tính toán. Từ đó bổ sung vào hành trang kiến thức cho HS để bước vào kì thi THPT Quốc gia;
- Giúp cho bản thân và đồng nghiệp có thêm tư liệu để ôn tập cho học sinh.
 1.3 Đối tượng nghiên cứu
Đề tài sẽ nghiên cứu phân dạng các bài toán Nguyên hàm – Tích phân để giải quyết các bài toán liên quan.
1.4 Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu tài liệu Toán lớp 11 và lớp 12;
- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết; 
- Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm
2. Nội dung 
2.1. Cơ sở lí luận.
2.1.1 Nguyên hàm
	Định nghĩa: Cho hàm số xác định trên K. Hàm số được gọi là nguyên hàm của hàm số trên K nếu với mọi .
	Định lí 1: Nếu là một nguyên hàm của hàm số trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số cũng là một nguyên hàm của trên K.
	Định lí 2: Nếu là một nguyên hàm của hàm số trên K thì mọi nguyên hàm của trên K đều có dạng , với C là một hằng số.
2.1.2 Tính chất của nguyên hàm 
	TC1: 
	TC2: 
	TC3: 
2.1.3 Bảng nguyên hàm từ định nghĩa:
Bảng nguyên hàm:
2.1.4 Bảng nguyên hàm bổ sung:
Định lí: Nếu và là hàm số có đạo hàm liên tục thì .
Hệ quả: Với u = ax + b (a0) ta có: 
Ví dụ:
a) 	b) 	
c) 	d) 
Từ đó ta có bảng nguyên hàm bổ sung:
Bảng nguyên hàm bổ sung: a0
Chú ý: Vi phân: 
Ví dụ: 
a)	c) 
b) 	d) 
2.1.5 Tích phân và tính chất
	Định nghĩa: Cho là hàm số liên tục trên đoạn . Giả sử là một nguyên hàm của trên đoạn . Hiệu số được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn của hàm số .
	TC1: 
	TC2: 
	TC3: 
2.2. Thực trạng của vấn đề.
Trong các kỳ thi tốt nghiệp, ĐH- CĐ và hiện nay là thi THPT Quốc gia chuyển từ hình thức tự luận sang trắc nghiệm các bài toán nguyên hàm, tích phân luôn xuất hiện, chiếm khoảng 10% trong đề thi và chủ yếu là những câu thuộc mức độ nhận biết, thông hiểu. Đối với đa số học sinh hiện nay nếu học yếu môn toán gần như học sinh mất nhiều thời gian trong việc định hướng cách làm hoặc trong quá trình làm thường mắc sai sót. Đặc biệt hiện nay thi trắc nghiệm có các phương án nhiễu học sinh càng dễ mắc sai lầm.
2.3. Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
- Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải toán thông qua một (hay nhiều) buổi học có sự hướng dẫn của giáo viên 
- Tổ chức rèn luyện khả năng định hướng giải toán của học sinh. Trong đó yêu cầu khả năng lựa chọn lời giải ngắn gọn trên cơ sở phân dạng bài toán Nguyên hàm – Tích phân. 
- Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin về khả năng nắm vững kiến thức của học sinh. 
- Trong mỗi bài toán yêu cầu học sinh thực hiện phân tích bản chất cũng như đưa ra các hướng khai thác mở rộng cho bài toán. 
- Cung cấp hệ thống các bài tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện. 
* Cụ thể: Chia thành các dạng nguyên hàm như sau:
2.3.1 Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số
Trong sách giáo viên (Ban cơ bản, trang 114) có nêu bảng nguyên hàm ở dạng hàm số hợp f(u) với u = u(x). Tuy nhiên, qua thực tế cho thấy học sinh khó nhớ được và khi vận dụng vào bài tập, không phải bài nào cũng có dạng giống như công thức mà còn xuất hiện thêm các hệ số mà học sinh không vận dụng được công thức.
Ví dụ: Từ công thức 
Nếu học sinh gặp bài toán , học sinh có thể nhận thấy (2x2+1)’=4x, đối với những học sinh học trung bình – khá trở lên thì có thể áp dụng được công thức. Nhưng khi gặp bài toán thì các em không thể vận dụng. 
Từ những lý do trên, để tạo điều kiện cho học sinh làm bài tập có hiệu quả, tôi nêu lên đây một số trường hợp đổi biến thông dụng trong bài toán tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến .
2.3.1.1.Một số trường hợp đổi biến thông dụng:
Dấu hiệu
Cách đặt biến mới
Hàm số có chứa mẫu
u là mẫu
Hàm số có chứa căn
u là toàn bộ căn 
Hàm số có chứa lũy thừa
u là lượng trong lũy thừa
ŸNhân tử và mẫu cho x
ŸĐặt u = x
 hoặc 
2.3.1.2.Các ví dụ cụ thể cho mỗi dấu hiệu:
Ở mỗi ví dụ ta có thể cho bài tập từ đơn giản đến phức tạp.
2.3.1.2.1 Hàm số có chứa mẫu:
Ÿ	 . Đặt u = 1–x3 du=-3x2dx x2dx=du. Suy ra 
Ÿ . Đặt u = 1+x2 x2 = u-1 2xdx=du xdx=du. 
Suy ra 
Ÿ. Đặt u=cosx du=-sinxdx sinxdx = -du. Suy ra 
Ÿ. Đặt u=x2+2x+3 du=2(x+1)dx (x+1)dx=du. Suy ra 
2.3.1.2.2 Hàm số có chứa căn:
Ÿ	 . Đặt u = u2=x+12udu=dx. Suy ra 
Ÿ.Đặt u =u2 =4-x2 x2=4-u2 xdx=-udu.
Suy ra 
Ÿ. Đặt u=u3=1+3x8 x8 =x7dx= .
Suy ra 
Ÿ. Đặt u= u2=cotx -2udu=dx. Suy ra 
2.3.1.2.3 Hàm số có chứa lũy thừa:
Ÿ	 . Đặt u = 4x2-5 du=8xdx xdx=du. Suy ra 
Ÿ . Đặt u = sinx du =cosxdx. Suy ra 
Ÿ. Đặt u=1+x2010 du=2010x2009dx x2009dx = du. 
Suy ra 
Ÿ. Đặt u=lnx du=dx. Suy ra 
2.3.1.2.4.:
Ÿ	 . Đặt u = 3sinx du=cosxdx . Suy ra 
Ÿ . Đặt u = lnx du =dx. Suy ra 
Ÿ. 
Đặt u= u2 =cos2x 2udu=-2sin2xdxsin2xdx=-udu. Suy ra 
Ÿ. Đặt u=1+3lnx du=dx. Suy ra 
2.3.1.2.5.:
Ÿ. Đặt u = u2 =x2 -1x2=u2+1 xdx= udu . 
Suy ra 
Ÿ . Đặt u = u2 =x2 +1 udu =xdx. Suy ra 
2.3.1.2.6. và :
Ÿ. Đặt x =2sint () dx =2costdt . 
Suy ra 
Ÿ . Đặt x = tant ()dx=dt. 
Suy ra 
2.3.2 Nguyên hàm của hàm số hữu tỉ:
Nguyên hàm của hàm số hữu tỉ rất phức tạp, nếu nghiên cứu sâu vào hàm số này thì không phù hợp với yêu cầu của sách giáo khoa, do đó tôi chỉ nghiên cứu hàm số hữu tỉ có dạng với P(x) là một đa thức.
2.3.2.1.Hằng đẳng thức: (*)
Ví dụ: a) 
	b) 
2.3.2.2.Nguyên hàm của hàm số 
2.3.2.2.1.P(x)=A (hằng số):
a): Đưa về dạng (k là hằng số)
b)=0 : Đưa về dạng 
c) >0 : Đưa về dạng (k là hằng số) hoặc đưa về dạng và áp dụng hằng đẳng thức (*)
Ví dụ: Tính:
Ÿ. 
Đặt x+=tantdx=.dt
Suy ra 
Ÿ
Ÿ=
2.3.2.2.2.P(x)=Ax+B: Ta biến đổi về dạng 
Ví dụ: Tính
Ÿ
Để tính A1 ta đặt u=x2+x+1 và tính A2 thực hiện như phần 2.1
Ÿ
Để tính B1 ta đặt u=2x2-x-1 và tính B2 thực hiện như phần 2.1
2.3.2.2.3 P(x) có bậc lớn hơn 1: Ta chia P(x) cho ax2+bx+c để đưa về các trường hợp nêu trên.
Ví dụ: 
2.3.3 Nguyên hàm của hàm số lượng giác:
Nói chung hàm số dưới dấu tích phân là hàm số lượng giác, ta cần biến đổi để đưa về một trong các dạng đã nêu ở phần 2.3.2. Tuy nhiên đối với dạng này, nhiều bài cũng rất phức tạp, đòi hỏi học sinh phải rèn luyện nhiều. Do vậy, tôi cũng chỉ đưa ra vài dạng mà tôi nghĩ học sinh thường hay gặp.
2.3.3.1. Dạng :
Phương pháp: Đặt t=tan và biến đổi đưa về tích phân hàm số hữu tỉ theo t.
Chú ý: Đặt t=tandt=dx=(1+tan2)dx dx= và sinx=, cosx=, tanx=
Ví dụ: Tính
a) 
Đặt t=tandx=.
Suy ra 
b) 
Đặt t=tanx dx=
Suy ra 
2.3.3.2. Dạng (m, nZ):
Phương pháp: Xét các trường hợp:
ŸNếu m lẻ (hoặc n lẻ): Đặt u=cosx (hoặc u=sinx)
ŸNếu m và n đều chẵn và có ít nhất một trong hai số là số âm: Đặt t=tanx
ŸNếu m và n đều là số dương chẵn: Dùng công thức hạ bậc.
Ví dụ: Tính:
a) 
Đặt u=cosxdu=-sinxdx sinxdx=-du
Suy ra 
b) 
Đặt u=cosx-du=sinxdx
Suy ra 
c) 
 =
d) 
Đặt u=tanx du=. Suy ra 
2.3.3.3.Dạng :
Phương pháp: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng.
Ví dụ: Tính
a) 	b) 	c) 
2.3.4 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần:
Nếu u= u(x), v=v(x) là các hàm số xác định có đạo hàm liên tục trên K thì 
Trong thực tế, việc vận dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần phải linh hoạt. Đôi khi phải có dự đoán khác thường. Do đó, tôi chỉ nêu ra hai dạng mà học sinh thường gặp.
2.3.4.1.Dạng 1: Gọi P(x) là một đa thức.
	: Đặt u=P(x), dv=amxdx
	: Đặt u=P(x), dv=sinaxdx
	: Đặt u=P(x), dv=cosaxdx
2.3.4.2. Dạng 2:
	: Đặt u=logax, dv=P(x)dx
Qua hai dạng trên ta chú ý cho học sinh chỉ cần nhớ cách đặt của dạng 2 còn dạng 1 thì ngược lại.
Ví dụ: Tính
a) . 
Đặt 
Suy ra 
b) 
Đặt 
Suy ra 
c) 
Đặt 
Suy ra 
d) 
Đặt 
Suy ra 
Lại đặt 
Suy ra 
Do đó, 2D=ex(sinx-cosx) 
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
Đối với bản thân, sáng kiến kinh nghiệm này là cơ hội để tôi tiếp tục hoàn thiện mình hơn nữa, làm cơ sở cho quá trình đổi mới phương pháp giảng dạy nhằm đem lại hiệu quả cao nhất cho học sinh. 
Thông qua việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy học sinh đã hứng thú hơn trong học tập môn toán, các em đã bước đầu biết gắn các bài học lý thuyết với thực tế, các em rất chủ động, linh hoạt, sáng tạo không còn bị động, các em đã cởi bỏ được tâm lý e ngại, lười hoạt động. Từ đó nâng cao được chất lượng giáo dục trong nhà trường. Đây là tiền đề để phụ huynh học sinh cũng như chính quyền địa phương yên tâm gửi gắm con em mình vào nhà trường. 
Trong năm học 2018 – 2019 tôi đã áp dụng sáng kiến kinh nghiệm cho lớp 12A3, không áp dụng cho lớp 12A7. Sau khi kết thúc kỳ thi thử THPT Quốc gia do Sở GD&ĐT Thanh Hóa tổ chức kết quả làm bài cho thấy tại lớp 12A3 có 85% học sinh giải được các bài toán liên quan đến Nguyên hàm, tích phân trong khi lớp 12A7 chỉ có 31,33%.
Kết luận – Kiến nghị.
3.1 Kết luận
 	Sau một thời gian giảng dạy thực tế nhiều năm, thông qua các tài liệu tham khảo cũng như học hỏi ở các đồng nghiệp; tôi đã hệ thống, phân dạng lại các bài toán Nguyên hàm, tích phân và các ví dụ, cụ thể:
Bảng nguyên hàm mở rộng
Một số công thức đổi biến số thường gặp
Nguyên hàm, tích phân của hàm số hữu tỉ
Nguyên hàm, tích phân của hàm số lượng giác
Phương pháp nguyên hàm từng phần và cách vận dụng
Từ việc phân dạng bài tập như trên chúng ta còn phải chú ý đối với học sinh yếu kém, giáo viên nên coi trọng tính vững chắc của kiến thức, kĩ năng hơn là chạy theo mục tiêu đề cao, mở rộng kiến thức. Do đó việc luyện tập cần được đặc biệt chú ý. Khoảng cách giữa các bài tập liên tiếp không nên quá xa, quá cao. Cần cho học sinh bước theo những bậc thang vừa với sức mình, học sinh yếu kém sẽ đỡ bị hẫng, bị hụt, bị ngã, có nhiều khả năng leo hết các nấc thang dành cho họ để chiếm lĩnh được kiến thức, kĩ năng mà chương trình yêu cầu. Những nấc thang đầu dù có thấp, những bước chuyển bậc dù có ngắn nhưng khi học sinh thành công sẽ tạo nên một yếu tố tâm lí cực kì quan trọng: các em sẽ tin vào bản thân, tin vào sức mình, từ đó có đủ nghị lực và quyết tâm vượt qua tình trạng yếu kém.
Thông qua sáng kiến kinh nghiệm này tôi mong muốn được đóng góp một phần công sức nhỏ bé của mình trong việc hướng dẫn học sinh yếu kém dễ nhớ, dễ vận dụng các bài toán nguyên hàm tích phân cơ bản. Đồng thời hình thành khả năng tư duy, sáng tạo, kỹ năng giải nhanh toán, từ đó tạo hứng thú cho các em khi học toán. Tuy nhiên, do kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều, trình độ bản thân còn hạn chế nên tôi rất mong được sự đóng góp bổ sung của Hội đồng khoa học các cấp và của các bạn đồng nghiệp.
3.2 Kiến nghị
- Đối với nhà trường : Cần đầu tư nhiều hơn nữa các trang thiết bị dạy học; Tích cự tổ chức các buổi thảo luận, hội thảo chuyên môn.
- Đối với Sở giáo dục : Chúng tôi mong muốn được tham dự nhiều hơn nữa các buổi tập huấn chuyên môn, các buổi hội thảo khoa học để được trao đổi kinh nghiệm ; Ngoài ra các sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng đề nghị Sở phổ biến rộng rãi về các trường để chúng tôi áp dụng trong quá trình dạy học.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 5 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình, không sao chép nội dung của người khác.
 Văn Thị Vân Anh
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Đoàn Quỳnh, Hướng dẫn ôn tập kỳ thi THPT Quốc Gia năm học 2017-2018, Nxb Giáo dục Việt Nam
[2]. Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc, Phương pháp giải toán tích phân, Nxb Hà Nội
[3]. Nguyễn Duy Hiếu, Giải toán giải tích 12, Nxb ĐH sư phạm.
[4]. Vũ Tuấn, Bài tập giải tích 12, Nxb Giáo dục.
[5]. Trần Phương, Phương pháp giải toán tích phân, Nxb ĐHQG Hà Nội
[6]. Trần Thành Minh, Phan Lưu Biên, Trần Quang Nghĩa, Giải toán và câu hỏi giải tích 12, Nxb Giáo dục.