SKKN Một vài kinh nghiệm khi dạy học nhằm kích thích sự hứng thú cho học sinh giai đoạn ban đầu khi học Hình học không gian

MỤC LỤC
 Trang
I. MỞ ĐẦU:2	
 1.1. Lí do chọn đề tài...2
 1.2. Mục đích nghiên cứu....2
 1.3. Đối tượng nghiên cứu...3
 1.4. Phương pháp nghiên cứu..3
	II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM......3
 2.1. Cơ sở lí luận:....3
 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến..4
 2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề...4
 2.3.1. Vấn đề được đặt ra:....5
 2.3.2. Sơ lược quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm:........5
 2.3.3. Nội dung vấn đề:...5
 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với..18
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ:...18
 3.1. Kết luận...18
 3.2. Kiến nghị.19
 Tài liệu tham khảo.20
I. MỞ ĐẦU
 1.1. Lý Do Chọn Đề Tài :
Căn cứ chương trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo Quyết định số 16/2006/QĐ-BGDĐT ngày 5/6/2006 của Bộ trưởng Bộ GD&ĐT đã nêu: “Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc trưng bộ môn, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện của từng lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác; rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập của học sinh”.
Thực tế giảng dạy cho thấy môn Toán học trong trường phổ thông là một trong những môn học khó, phần lớn các em học môn Toán rất yếu đặc biệt là Hình học không gian, nếu không có những bài giảng và phương pháp dạy môn Toán học phù hợp với đối tượng học sinh cụ thể thì dễ làm cho học sinh thụ động trong việc tiếp thu, cảm nhận. Đã có hiện tượng một số bộ phận học sinh không muốn học Toán, ngày càng xa rời với giá trị thực tiễn Toán học. Nhiều giáo viên chưa quan tâm đúng mức đối tượng giáo dục, chưa đặt ra cho mình nhiệm vụ và trách nhiệm nghiên cứu, hiện tượng dùng đồng loạt cùng một cách dạy, một bài giảng cho nhiều lớp, nhiều thế hệ học trò vẫn còn phổ biến. Do đó phương pháp ít có tiến bộ và người giáo viên đã trở thành người cảm nhận, truyền thụ tri thức một chiều, còn học sinh thiếu chủ động trong quá trình lĩnh hội tri thức - kiến thức Toán học làm cho học sinh không có đam mê, không thích học môn Toán.
Trong chương trình Toán phổ thông, Hình học không gian là một trong những phần quan trọng của môn Hình học 11. Các bài toán Hình học không gian rất đa dạng và phong phú, thường có mặt trong kì thi THPT Quốc gia, học sinh giỏi. Đây là những bài tập gây cho học sinh không ít khó khăn dẫn đến tâm lý sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng của mình. 
 Căn cứ vào cơ sở lí luận và thực tế trên tôi có ý tưởng: Khi dạy chủ đề tự chọn Hình học không gian 11 với mong muốn thay đổi cách giảng dạy truyền thụ tri thức một chiều sang cách tiếp cận kiến tạo kiến thức và suy nghĩ, từ đó gây sự hứng thú cho học sinh khi các em bắt đầu làm quen với Hình học không gian thông qua bài viết: “ Một vài kinh nghiệm khi dạy học nhằm kích thích sự hứng thú cho học sinh giai đoạn ban đầu khi học Hình học không gian ” 
 1.2. Mục đích nghiên cứu 
 Sáng kiến kinh nghiệm “ Một vài kinh nghiệm khi dạy học nhằm kích thích sự hứng thú cho học sinh giai đoạn ban đầu khi học Hình học không gian ” được viết nhằm mục đích tổng hợp một số dạng toán về quan hệ song song trong Hình học không gian lớp 11, với bài tập được phân dạng tương ứng, nhằm giúp các em học sinh có thể tự tin khi học Toán và đặc biệt là khi học Hình học không gian, qua đó nhằm kích thích sự hứng thú cho học sinh giai đoạn ban đầu khi học Hình học không gian.
 1.3. Đối tượng nghiên cứu.
 - Kiến thức về Hình học không gian; Kỹ năng vẽ và quan sát hình.
 - Giải pháp giúp học sinh lớp 11 học tốt Hình học không gian.
 * Phạm vi của đề tài:
Đề tài được nghiên cứu, thử nghiệm trong phạm vi:
 Lớp 11A5, 11A8 năm học 2012 - 2013
 Lớp 11A1, 11A6 năm học 2015 – 2016
 Lớp 11A5 năm học 2017 - 2018.
 Trường THPT Nông Cống 2, vào các tiết tự chọn thuộc chủ đề hình học không gian.
 1.4. Phương pháp nghiên cứu
 1.4.1. Nghiên cứu tài liệu:
Nghiên cứu những tài liệu có liên quan đến đề tài:
 Hướng dẫn thực hiện chương trình, sách giáo khoa lớp 11
 (Sách giáo khoa Hình học 11 – NXBGD)
 Phương pháp và bài giải 27 chủ đề toán hình học không gian 
 ( NXB ĐH Quốc gia Hà Nội)
 1.4.2. Điều tra:	
- Thực dạy và kết quả kiểm tra:
Trong quá trình nghiên cứu đề tài, tôi đã tiến hành thực dạy các lớp 11:
 Lớp 11A5, 11A8 năm học 2012 - 2013
 Lớp 11A1, 11A6 năm học 2015 – 2016
 Lớp 11A5 năm học 2017 - 2018.
- Dự giờ: Thường xuyên dự giờ để biết được mức độ hiểu biết, khả năng học Hình học của học sinh và cách giải quyết vấn đề của đồng nghiệp. Từ đó để đánh giá chính xác kết quả phương pháp của mình.
- Đàm thoại:
+ Trao đổi với đồng nghiệp để có kinh nghiệm và phương pháp dạy phù hợp với phân môn.
+ Trao đổi với các em học sinh về các bài toán Hình học cơ bản để biết được tâm lí, tư duy, sự hứng thú của các em, qua đó tìm ra cách dạy tốt hơn.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
 2.1. Cơ Sở Lý Luận
Khi giải một bài toán về chứng minh quan hệ song song trong hình học không gian, ta phải đọc kỹ đề, phân tích giả thuyết, kết luận, vẽ hình đúng,  Ta cần phải chú ‎ý đến các yếu tố khác : Vẽ hình như thế tốt chưa? Cần xác định thêm các yếu tố nào trên hình không? Để giải quyết vấn đề ta xuất phát từ đâu? Nội dung kiến thức nào liên quan đến bài toán, .có như thế mới giúp ta giải quyết được nhiều bài toán mà không gặp khó khăn. Ngoài ra ta còn phải nắm vững kiến thức trong hình học phẳng, phương pháp chứng minh cho từng dạng toán: tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng, chứng minh hai đường thẳng song song, hai mặt phẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng. 
 2.2. Thực trạng
Qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy nhiều học sinh khi gặp các bài toán về chứng minh quan hệ song song trong hình học không gian các em học sinh thường rất e ngại, dẫn đến không có hứng thú khi học Hình không gian từ đó dẫn đến lúng túng khi vẽ hình, không phân loại được các dạng toán, chưa định hướng được cách giải. Trong khi đó bài toán liên quan đến chứng minh quan hệ song song trong hình học không gian có rất nhiều dạng bài tập khác nhau, nhưng chương trình hình học không gian 11 không nêu cách giải tổng quát cho từng dạng, bên cạnh đó thời lượng dành cho tiết luyện tập là rất ít. Qua việc khảo sát định kỳ, nhận thấy nhiều học sinh trình bày lời giải chưa lôgic hoặc không làm được bài tập liên quan đến chứng minh quan hệ song song trong hình học không gian.
Khi giải các bài toán hình học không gian các giáo viên và học sinh thường gặp một số khó khăn với nguyên nhân như sau: Học sinh cần phải có trí tưởng tượng không gian tốt; Học sinh quen với hình học phẳng nên khi học các khái niệm của hình không gian hay nhầm lẫn, chưa biết vận dụng các tính chất của hình học phẳng cho hình không gian; Một số bài toán không gian thì các mối liên hệ giữa giả thiết và kết luận chưa rõ ràng làm cho học sinh lúng túng trong việc định hướng cách giải; Bên cạnh đó còn có nguyên nhân như các em chưa xác định đúng động cơ học tập. 
 Từ những nguyên nhân trên tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm
 “ Một vài kinh nghiệm khi dạy học nhằm kích thích sự hứng thú cho học sinh giai đoạn ban đầu khi học Hình học không gian ” 
 2.3. Các giải pháp.
Để giải được bài hình học tốt theo tôi nghĩ cần có một số giải pháp tăng cường kỹ năng kiến thức và tạo sự hứng thú cho học sinh khi học sinh bắt đầu học Hình học không gian, Để làm được điều đó giáo viên cần: lấy những ví dụ ban đầu thật sự nhẹ nhàng và định hướng cho học sinh vẽ hình đúng – trực quan nó gợi mở và tạo điều kiện thuận lợi cho việc giải các bài toán và phát huy trí tưởng tượng không gian, phát huy tính tích cực và niềm say mê học tập của học sinh. Vẽ đúng – trực quan hình vẽ giúp học sinh tránh được các sai lầm đáng tiếc. Tăng cường vấn đáp nhằm giúp học sinh hiểu rõ các khái niệm trong hình học không gian như : hình chóp; tứ diện; hình chóp đều; hình lăng trụ; hình hộp; hình hộp chữ nhật; .; quan hệ song song của hai đường thẳng; hai mặt phẳng; đường thẳng và mặt phẳng,
Sử dụng đồ dùng dạy học một cách hợp lý như các mô hình trong không gian, các phần mềm giảng dạy như: Cabir, GSP, ..
Dạy học theo các chủ đề, các dạng toán, mạch kiến thức mà giáo viên phân chia từ khối lượng kiến thức cơ bản của chương trình nhằm giúp học sinh hiểu sâu các kiến thức mà mình đang có, vận dụng chúng một cách tốt nhất. 
 2.3.1. Vấn đề được đặt ra:
Hiện nay cách dạy mới là làm sao phát huy được tính tích cực, chủ động và sáng tạo của học sinh trong học tập và rèn luyện. Để phát huy điều đó, chúng ta cần phải đưa ra được những phương pháp dạy học hợp lí nhằm tạo cho học sinh có hứng thú trong học tập, để đem lại kết quả trong học tập tốt hơn và hiệu quả giảng dạy cao hơn.
 2.3.2. Sơ lược quá trình thực hiện sáng kiến kinh nghiệm:
Để hoàn thành đề tài, tôi đã tiến hành các bước sau: Chọn đề tài; Điều tra thực trạng; Nghiên cứu đề tài; Xây dựng đề cương và lập kế hoạch;Tiến hành nghiên cứu; Thống kê so sánh; Viết đề tài.
2.3.3. Nội dung vấn đề:
Bài toán 1: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (b).
Phương pháp: 
 Cách 1: Xác định hai điểm chung của hai mặt phẳng.
	 Nếu thì 
	Hình 1
 Cách 2: Xác định một điểm chung và song song với một đường thẳng
Dựa vào các định l‎ý sau:
 * Định lý 2: (SGK trang 57) Nếu thì	 
* Hệ quả: Nếu 	 thì	 	 
 Hình 2	 Hình 3	 Hình 4
* Định lý 2: (SGK trang 61) Nếu thì a // b 	 (hình 5)
* Hệ quả : Nếu thì a // d 	(hình 6)
* Định lý 3: (SGK trang 67) Nếu thì 	 (hình 7) 
	Hình 5	 Hình 6	 Hình 7
* Nhận xét: Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta ưu tiên cho cách 1 là tìm hai điểm chung lần lượt nằm trên hai mặt phẳng đó bằng cách dựa vào hình vẽ. Nếu hình vẽ chỉ có một điểm chung thì ta chuyển sang cách hai ( dựa vào các định lý và hệ quả trên)
* Ví dụ: 
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là tứ giác có AB và CD cắt nhau tại E, AC và BD cắt nhau tại F. Tìm giao tuyến của các mp sau:
a) mp(SAC) và mp(SBD). b) mp(SAB) và mp(SCD). c) mp(SEF) và mp(SAD).
Nhận xét: 	Với câu a, b học sinh dễ dàng tìm được giao tuyến. 
Lời giải:
a) Ta có S Î (SAC) Ç (SBD) (1) ; 
 F = AC Ç BD Þ F Î (SAC) Ç (SBD) (2) 
	Từ (1) và (2) suy ra : SF = (SAC) Ç (SBD). ( hình vẽ 1)
( hình vẽ 1)
b) Ta có S Î (SAB) Ç (SCD) (3) ; E = AB Ç CD Þ E Î (SAB) Ç (SCD) (4) 
	Từ (3) và (4) suy ra : SE = (SAB) Ç (SCD).
* Với câu c
 GV cần gợi ý cho HS phát hiện ra được điểm chung thứ hai.
c) Trong mp(ADE) kéo dài EF cắt AD tại N.
 Xét hai mp(SAD) và (SEF) có:
 S Î (SAD) Ç (SEF) ; N Î (SAD) Ç (SEF) 
 Vậy : SN = (SAD) Ç (SEF). 	 ( hình vẽ 3)
Bài 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Điểm S không nằm trong mặt phẳng chứa hình thang ABCD. Tìm giao tuyến của haimặt phẳng.
a) mp(SAD) và (SBC). b) mp(SAB) và (SDC).
Lời giải:
a) Ta có S là điểm chung thứ nhất.
Trong mp(ABCD) có AD cắt BC tại E
Suy ra : SE = (SAD) Ç (SBC).
b) Ta có S là điểm chung thứ nhất.
Lại có: 
Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là trung điểm của AD và BC.
a) Tìm giao tuyến của hai mp(IBC) và (JAD).
b) M là một điểm trên đoạn AB, N là một điểm trên đoạn AC. Tìm giao tuyến của 2 mp(IBC) và (DMN).
Lời giải:
a) Ta có: I Î AD Þ I Î (JAD). 
 Vậy I là điểm chung của 2 mp(IBC) và (JAD) (1) 
Ta có: J Î BC Þ J Î (IBC). Vậy J là điểm chung của 2 mp(IBC) và (JAD) (2) 
 Từ (1) và (2) ta có : IJ = (IBC) Ç (JAD).
b) Trong mp(ACD) có : CI cắt DN tại E.
 Vậy E là điểm chung của hai mp(IBC) và (DMN). (3) 
 Trong mp(ABD) có : BI cắt DM tại F.
 Vậy F là điểm chung của hai mp(IBC) và (DMN). (4) 
 Từ (3) và (4) ta có : EF = (IBC) Ç (DMN).
Bài toán 2 : Tìm giao điểm của đường thẳng d và mp(α).
 Hình 8	Hình 9
Phương pháp :
* Muốn tìm giao điểm của đường thẳng d với mp(α) ta tìm giao điểm của đường thẳng d với một đường thẳng a nằm trên mp(α).	 (hình 8) 
Tóm tắt : Nếu thì A = d Ç (α) 
* Chú ý: Nếu đường thẳng a chưa có trên hình vẽ thì ta tìm a như sau:
	- Tìm mp(b) chứa d sao cho mp(b) cắt mp(α).
	- Tìm giao tuyến a của hai mp(α) và mp(b).	(hình 9)
* Nhận xét : Vấn đề của bài toán là xác định cho được đường thẳng a. Nhiệm vụ của giáo viên là hướng dẫn, gợi mở cho học sinh biết cách tìm đường thẳng a và chọn mp(b) sao cho phù hợp với từng yêu cầu của bài toán trong trường hợp đường thẳng a chưa có trên hình vẽ.
Ví dụ : 
Bài 1 : Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và AD sao cho . Tìm giao điểm của đường thẳng IJ với mp(BCD).
Nhận xét : - HS dễ dàng phát hiện ra đường thẳng a chính là đường thẳng BD.
 - GV cần lưu ý cho học sinh điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng phải cùng nằm trên một mặt phẳng và không song song.
Lời giải :
Trong DABD có : và , suy ra IJ không song song BD. 
Gọi 
Vậy K = IJ Ç (BCD).
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD). Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SA và SB, M là điểm tùy ý thuộc đoạn SD.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng BM với mp(SAC)
b) Tìm giao điểm của đường thẳng IM với mp(SBC)
c) Tìm giao điểm của đường thẳng SC với mp(IJM)
Nhận xét: 
Câu a) - HS dễ nhầm lẫn đường BM cắt SC. Không nhìn ra được đường thẳng nào nằm trong mp(SAC) để cắt được BM. 
	- GV gợi ý cho HS biết chọn mp phụ chứa BM đó là mp(SBD) và xác định giao tuyến của 2mp(SBD) và (SAC). 
Câu b) - HS gặp khó khăn khi không nhìn ra được đường nào nằm trong mp(SBC) để cắt IM. 	
	- GV cần hướng dẫn HS chọn 1 mp phụ thích hợp chứa IM 
Câu c) - Tương tự câu a) ta cần chọn mp phụ chứa SC và tìm giao tuyến của mp đó với mp(IJM). Có mp nào chứa SC? 
 - GV hướng dẫn HS chọn mp nào cho việc tìm giao tuyến với (IJM) thuận lợi.
Lời giải:
a) Ta có BM Ì (SBD)
 Xét 2 mp(SAC) và (SBD) có S là điểm chung thứ nhất (1)
 Gọi O = AC Ç BD Þ O là điểm chung thứ hai (2) 
 Từ (1) và (2) Þ SO = (SAC) Ç (SBD).
 Trong mp(SBD) có BM cắt SO tại P. Vậy P = BM Ç (SAC).
b) Ta có IM Ì (SAD)
 Xét hai mp(SAD) và (SBC) có: S là điểm chung thứ nhất 
 Gọi E = AD Ç BC Þ E là điểm chung thứ hai Þ SE = (SAD) Ç (SBC).
 Trong mp(SAE) có IM cắt SE tại F. Vậy F = IM Ç (SBC) 
c) Ta có SC Ì (SBC)
 Xét 2 mp(IJM) và (SBC) ta có : JF = (IJM) Ç (SBC)
Trong mp(SBE) có JF cắt SC tại H. Vậy H = SC Ç (IJM).
Bài 3 : Cho hình chóp S.ABCD có AB và CD không song song. Gọi M là điểm thuộc miền trong của DSCD.
a) Tìm giao điểm N của đường thẳng CD và mp(SBM)
b) Tìm giao tuyến của hai mp(SBM) và (SAC)
c) Tìm giao điểm I của đường thẳng BM và mp(SAC)
d) Tìm giao tuyến của hai mp(SCD) và (ABM).
e) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(ABM).
Lời giải :
a) Trong mp(SCD) có SM cắt CD tại N.
b) Trong mp(ABCD), ta có: AC Ç BD = O
c) Trong mp(SBN), ta có BM cắt SO tại I.
Mà SO Ì (SAC) Þ I = BM Ç (SAC).
d) Trong mp(SAC), ta có SC cắt AI tại P
Mà AI Ì (ABM) Þ P = SC Ç (ABM)
Trong mp(SCD), ta có PM cắt SD tại K.
e) Ta có : 	(ABM) Ç (ABCD) = AB, (ABM) Ç (SBC) = BP
	(ABM) Ç (SCD) = PK, (ABM) Ç (SAD) = KA
Vậy tứ giác ABPK là thiết diện cần tìm.
Bài tập rèn luyện :
Bài 1 : Cho hình bình hành ABCD nằm trên mp(P) và một điểm S nằm ngoài mp(P). Gọi M là điểm nằm giữa S và A; N là điểm nằm giữa S và B; giao điểm của hai đường thẳng AC và BD là O.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng SO với mp(CMN)
b) Tìm giao tuyến của hai mp(SAD) và (CMN)
c) Tìm thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mp(CMN) 
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD.Trong DSBC lấy điểm M, trong DSCD lấy điểm N.
a) Tìm giao điểm của đường thẳng MN với mp(SAC)
b) Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(AMN). 
Bài 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Gọi E là điểm thuộc đoạn AN ( không là trung điểm AN) và Q là điểm thuộc đoạn BC.
a) Tìm giao điểm của EM với mp(BCD)
b) Tìm giao tuyến của hai mp(EMQ) và (BCD) ; (EMQ) và (ABD)
c) Tìm thiết diện cắt tứ diện bởi mp(EMQ).
Bài toán 3: Chứng minh đường thẳng d song song với mp(α)
* Phương pháp: (Định lí 1 SGK trang 61)
	 Tóm tắt: Nếu thì d // (α)
Nhận xét: Vấn đề nêu lên ở đây là đường thẳng a có trên hình vẽ hay chưa, nó được xác định như thế nào, làm thế nào để xác định được nó. GV cần làm cho HS biết hướng giải quyết của bài toán là dựa vào giả thiết của từng bài toán mà xác định đường thẳng a như thế nào cho phù hợp. 
Ví dụ: 
 Bài 1: Cho hình lăng trụ tam giác ACB.A’B’C’. Gọi H là trung điểm của A’B’.
a) Tìm giao tuyến của hai mp(AB’C’) và (ABC).
b) Chứng minh rằng CB’ // (AHC’)
Lời giải:
a) Ta có : Þ A là điểm chung của (AB’C’) và (ABC).
Mà 
nên (AB’C’) Ç (ABC) = Ax 
và Ax // BC // B’C’ 
b) Ta có tứ giác AA’CC’ là hình bình hành 
 Suy ra A’C cắt AC’ tại trung điểm I của mỗi đường
 Do đó IH // CB’ (IH là đường trung bình của DCB’A’)
Mặt khác IH Ì (AHC’) 
nên CB’ // (AHC’).
Bài 2 : Cho tứ diện ABCD, gọi M, N lần lượt là trọng tâm của DABD và DACD. Chứng minh rằng :
a) MN // (BCD)
b) MN // (ABC)
Lời giải :
a) Gọi E là trung điểm BD ; F là trung điểm CD.
Trong DABD ta có: (M là trọng tâm DABD)
Trong DACD ta có: (N là trọng tâm DACD)
Vậy , Mà EF Ì (BCD) Þ MN // (BCD)
b) Trong DBCD có : EF là đường trung bình 
Þ EF // BC Þ MN // EF // BC Þ MN // (ABC). 
Bài 3: (Bài 1 trang 63 sgk) Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a) Gọi O và O’ lần lượt là tâm của ABCD và ABEF. Chứng minh rằng OO’ song song với (ADF) và (BCE).
b) Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của DABD và DABE. Chứng minh rằng : MM // (CEF).
Lời giải:
a) Ta có : OO’ // DF (OO’ là đường trung bình DBDF ).
 Mà DF Ì (ADF) Þ OO’ // (ADF). Ta có : OO’ // CE 
 Mà CE Ì (BCE) Þ OO’ // (BCE)
b) Gọi H là trung điểm của AB.
 Ta có : Þ MN // DE mà DE Ì (CEFD) º (CEF)
Vậy MN // (CEF)
Bài toán 4 : Chứng minh hai mp(α) và mp(b) song song nhau.
* Phương pháp : (Định lí 1 SGK trang 64)
	Tóm tắt : Nếu thì (P) // (Q). 
 * Nhận xét : Tương tự như bài toán chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng, vấn đề đặt ra là chọn hai đường thẳng a, b như thế nào ? Nằm trên mặt phẳng (P) hay mp(Q) ? GV cần hướng dẫn, gợi mở cho HS phát hiện ra được vấn đề của bài toán. 
Ví dụ : 
Bài 1 : Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành ABCD, AC cắt BD tại O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SC, CD. 
Chứng minh (MNO) // (SAD).
Lời giải :
Trong DSCD có MN là đường trung bình 
Þ MN // SD mà SD Ì (SAD) 
Þ MN // (SAD). (1) 
Trong DSAC có MO là đường trung bình
Þ MO // SA mà SA Ì (SAD)
 	Þ MO // (SAD). (2) 
 Từ (1) và (2) suy ra (MNO) // (SAD).
Bài 2: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M và N lần lượt cắt AD và AF tại M’ và N’. Chứng minh rằng:
a) mp(ADF) // mp(BCE). b) mp(DEF) // mp(MM’N’N). 
Nhận xét: HS dễ dàng chứng minh được câu a, nhưng đối với câu b thì GV nên hướng dẫn cho HS biết cách vẽ hình, nhận xét được hai đường thẳng AC và BF là bằng nhau, từ đó gợi mở cho HS biết chứng minh hai đường thẳng MM’ và M’N’ song song với mp(DEF) dựa vào định lí Talét đảo. 	
Lời giải:
a) Ta có: AF // BE Ì (BCE)
AD // BC Ì (BCE)
 Þ AF và AD cùng //mp(BCE)
mà AF, AD Ì (ADF)
Vậy : (ADF) // (BCE).
 b) Ta có: MM’ // AB mà AB // EF
	Þ MM’ // EF Ì (DEF). (*)
 Mặt khác : 	MM’ // CD 
	NN’ // AB 
 Mà AM = BN, AC = BF 
 Từ (1), (2) và (3) (**) 	 
 Mà MM’, M’N’ Ì (MM’N’N) (***)
Từ (*), (**), (***) Þ (DEF) // (MM’N’N).
Bài 3: (Bài 3 trang 71 sgk) Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.
a) Chứng minh rằng hai mp(BDA’) và (B’D’C) song song nhau.
b) Chứng minh rằng đường chéo AC’ đi qua trọng tâm G1 và G2 của hai tam giác BDA’ và B’D’C.
	Lời giải:
a) Ta có: 
Ta có : 
b) Ta có : CC’ // BB’ // AA’ 
và CC’ = BB’ = AA’ nên AA’C’C là hình bình hành.
 Gọi I là tâm của hình bình hành AA’C’C. 
 Gọi O, O’ lần lượt là tâm hình bình hành ABCD và A’B’C’D’.
 Trong mp(AA’C’C) gọi G1 = AC’ Ç A’O ; G2 = AC’ Ç CO’ 
 Þ G1 , G2 lần lượt là trọng tâm DAA’C và CC’A’.
 Þ A’G = 2G1O và CG2 = 2G2O’ (*)
 Xét hai DBDA’ và B’D’C có A’O và CO’ là hai trung tuyến nên từ (*) suy ra G1 , G2 lần lượt là trọng tâm DBDA’ và DB’D’C.
Bài tập rèn luyện:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của cạnh SA.
1) Xác định giao tuyến d của hai mp (MBD) và (SAC). Chứng tỏ d // mp(SCD). 
2) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mp