SKKN Một vài kinh nghiệm giúp học sinh giải tốt phương trình vô tỉ

MỤC LỤC
	 Trang
PHẦN I. MỞ ĐẦU	 2
I. Lý do chọn đề tài	2	
II. Mục đích nghiên cứu	 2	
III. Đối tượng nghiên cứu	2
IV. Phương pháp nghiên cứu	2
PHẦN II. NỘI DUNG	3	
I. Cơ sở lí luận 	3
II .Thực trạng của đề tài 	 4-5 
III. Một số giải pháp	 511 
IV. Hiệu quả của đề tài	12
 PHẦN III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ	 12
PHẦN I: MỞ ĐẦU
 I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
 Trong chương trình toán THPT, mà cụ thể là phân môn Đại số 10, các em học sinh đã được tiếp cận với phương trình chứa ẩn dưới dấu căn và được tiếp cận với một vài cách giải thông thường đối với những bài toán cơ bản đơn giản. Tuy nhiên trong thực tế các bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn rất phong phú và đa dạng và đặc biệt là trong các đề thi Đại học - Cao đẳng -THCN, các em sẽ gặp một lớp các bài toán về phương trình vô tỷ mà chỉ có số ít các em biết phương pháp giải nhưng trình bày còn chưa được gọn gàng, thậm chí còn mắc một số sai lầm không đáng có trong khi trình bày. Tại sao lại như vậy?
 - Lý do chính ở đây là: Trong chương trình SGK Đại số lớp 10 hiện hành được trình bày ở phần đầu chương III (Giữa học kỳ I) rất là ít và hạn hẹp chỉ có một tiết lý thuyết sách giáo khoa, giới thiệu sơ lược 1 ví dụ và đưa ra cách giải khá rườm rà khó hiểu và dễ mắc sai lầm, phần bài tập đưa ra sau bài học cũng rất hạn chế. Mặt khác do số tiết phân phối chương trình cho phần này quá ít nên trong quá trình giảng dạy, các giáo viên không thể đưa ra đưa ra được nhiều bài tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ năng giải cho học sinh.
 II/ MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
 - Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 10 ở trường THPT, cùng với kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy. Tôi đã tổng hợp , khai thác và hệ thống hoá lại các kiến thức thành một chuyên đề: ‘’Một vài kinh nghiệm giúp học sinh giải tốt phương trình vô tỉ’’
 - Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh một số phương pháp tổng quát và một số kỹ năng cơ bản và phát hiện được đâu là điều kiện cần và đủ. Học sinh thông hiểu và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic, không mắc sai lầm khi biến đổi. 
III/ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU :
	 - Phương trình vô tỉ (Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn).
IV/ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
Phương pháp: 	
- Nghiên cứu lý luận chung.
- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học .
- Tổng hợp so sánh , đúc rút kinh nghiệm.
Cách thực hiện:
- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn 
- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy.
- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 10 trong các năm học gần đây .
PHẦN II: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
I. CỞ SỞ LÝ LUẬN
- Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò nhằm giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc biệt là các bài toán liên quan đến căn thức . 
	- Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho học sinh THPT nói chung và học sinh trường THPT Tĩnh gia 5 nói riêng, vận dụng và tìm ra phương pháp giải khi gặp các bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn.
 Trong sách giáo khoa Đại số 10 chỉ nêu phương trình dạng :
 và trình bày phương pháp giải bằng cách biến đổi hệ quả, trước khi giải chỉ đặt điều kiện f(x) 0 . Nhưng chúng ta nên để ý rằng đây chỉ là điều kiện đủ để thực hiện được phép biến đổi cho nên trong quá trình giải học sinh dễ mắc sai lầm khi lấy nghiệm và loại bỏ nghiệm ngoại lai vì nhầm tưởng điều kiện f(x) 0 là điều kiện cần và đủ của phương trình.
 Tuy nhiên khi gặp bài toán giải phương trình vô tỉ, có nhiều bài toán đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến thức kĩ năng phân tích biến đổi để đưa phương trình từ dạng phức tạp về dạng đơn giản
	Trong giới hạn của SKKN tôi chỉ hướng dẫn học sinh hai dạng phương trình thường gặp một số bài toán vận dụng biến đổi cơ bản và một số dạng bài toán không mẫu mực (dạng không tường minh) nâng cao. 
* Dạng 1: phương trình (1)
 Phương trình (1) 
điều kiện g(x) 0 là điều kiện cần và đủ của phương trình (1) sau khi giải phương trình chỉ cần so sánh các nghiệm vừa nhận được với điều kiện g(x) 0 để kết luận nghiệm mà không cần phải thay vào phương trình ban đầu để thử để lấy nghiệm.
* Dạng 2: phương trình (2)
 Phương trình (2) hoặc (2) 
 Điều kiện f(x) 0 hoặc g(x) 0 là điều kiện cần và đủ của phương trình (2). Vì f(x) = g(x) nên ta chỉ cần đặt điều kiện cho một trong hai hàm số là được .
 *Dạng bài toán không mẫu mực:
 Loại này được thực hiện qua các ví dụ cụ thể.
II, THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
Học sinh trường THPT Tĩnh gia 5 đa số là học sinh trung bình yếu vì đầu vào về điểm môn toán của các em rất thấp .Vì vậy khi gặp các bài toán về phương trình vô tỉ thì các em chưa phân loại và định hình được cách giải, lúng túng khi đặt điều kiện và biến đổi,trong khi đó phương trình loại này có rất nhiều dạng. Nhưng bên cạnh đó chương trình đại số 10 không nêu cách giải tổng quát cho từng dạng, thời lượng dành cho phần này là rất ít.
 Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ và việc học tập, làm bài tập hàng ngày nhận thấy học sinh thường bỏ qua hoặc không giải được hoặc trình bày cách giải đặt điều kiện và lấy nghiệm sai ở phần này.
Khi giảng dạy cho học sinh tôi nhận thấy: 
 1. Khi gặp bài toán: 
 Giải phương trình = x - 2 (1)
 Sách giáo khoa đại số 10 đã giải như sau
điều kiện pt(1) là x (*)
 (1) 2x - 3 = x2 - 4x + 4 
 x2 - 6x + 7 = 0
 Phương trình cuối có nghiệm là x = 3 + và x = 3 - .
 Cả hai nghiệm đều thoả mãn điều kiện (*) của phương trình (1) nhưng khi thay các giá trị của các nghiệm tìm được vào phương trình (1) thì giá trị x = 3 - bị loại .
 Vậy nghiệm phương trình (1) là x = 3 + .
 Mặt khác, một số học sinh còn có ý kiến sau khi giải được nghiệm ở phương trình cuối chỉ cần so sánh với điều kiện x (*) để lấy nghiệm và nghiệm phương trình là x = 3 + và x = 3 - .
 Theo tôi cách giải vừa nêu trên dễ làm cho học sinh mắc sai làm khi lấy nghiệm của phương trình, mặt khác việc thay 2 giá trị nghiệm này trở lại cũng làm cho học sinh lúng túng và mất thời gian .
 2. Khi gặp bài toán: 
 Giải phương trình 
 Học sinh thường đặt điều kiện sau đó bình phương hai vế để giải phương trình mà các em không biết rằng với dạng này chỉ cần điều kiện là điều kiện cần và đủ ,
 3. Khi gặp bài toán: 
 Giải phương trình 3 = x2 - x + 5 
Một số học sinh thường đặt điều kiện rồi bình phương hai vế đi đến một phương trình bậc bốn và rất khó để giải được. Trong khi đó nếu ta đặt ẩn phụ t= (t 0) thì bài toán sẽ trở thành : 
 Như vậy ta thấy vai trò của người giáo viên là rất quan trọng trong việc hướng dẫn cho học sinh phân biệt được các dạng toán ,tránh được các tình huống rườm rà phức tạp dễ mắc sai lầm. Trên cơ sở đó hình thành cho học sinh kỹ năng tốt khi giải quyết các bài toán về phương trình vô tỉ.
III: MỘT SỐ GIẢI PHÁP
	Qua nghiên cứu trao đổi và đúc rút kinh nghiệm từ thực tế và ý kiến của đồng nghiệp tôi mạnh dạn đưa ra hướng gải quyết các vấn đề trên của học sinh với những giải pháp: Đưa ra một số giải pháp giúp học sinh hình thành kĩ năng khi biến đổi và giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn.
1/ Giải pháp 1: 
 * Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng 1 : (1)
a, Phương pháp:
 Giáo viên: chỉ cho học sinh thấy được rằng nếu khi bình phương hai vế để đi đến phương trình tương đương thì hai vế đó phải không âm :
 Điều kiện g(x) 0 là điều kiện cần và đủ vì 0 . Không cần đặt thêm điều kiện f(x) 0 
b, Các ví dụ:
+ Ví dụ 1: Giải phương trình 
 (1)
 . Điều kiện x -1 (*)
 (Chú ý: không cần đặt thêm điều kiện 5x + 6 0)
 Khi đó pt(1) 5x + 6 = (x +1)2
 x2 +2x + 1 = 5x + 6 
 x2 - 3x -5 = 0 
 đối chiếu với điều kiện (*) ta thu được nghiệm của phương 
 trình (1) là x = 
 ! Lưu ý: không cần phải thay giá trị của các nghiệm vào phương trình ban đầu để thử mà chỉ cần so sánh với điều kiện x -1 (*) để lấy nghiệm.
+ Ví dụ 2: Giải phương trình
 . (2)
 .Nhận xét : 
 Biểu thức dưới dấu căn là biểu thức bậc hai, nên nếu sử dụng phương pháp biến đổi hệ quả sẽ gặp khó khăn khi biểu thị điều kiện để 0 và thay giá trị của các nghiệm vào phương trình ban đầu để lấy nghiệm.
 Ta có thể giải như sau: 
 . Điều kiện: x (**)
 Khi đó pt(2) 2x2 - 5x +4 = (3x -2)2 
 2x2 - 5x +4 = 9x2 -12x + 4 
 7x2 -7x = 0 
 đối chiếu với điều kiện (**) ta thu được nghiệm pt(2) là x = 1
+ Ví dụ 3: Giải phương trình
 5 = 4x2 - 12x + 15 . (3)
 . Nhận xét: Biểu thức ngoài dấu căn là biểu thức bậc hai, nếu ta bình phương hai vế thì sẽ đi đến một phương trình bậc bốn rất khó giải.
 Ta có thể giải bài toán như sau:
 Chưa vội đặt điều kiện ở bước giả này.ta biến đổi
 pt(3) 4x2 - 12x + 11 - 5 + 4 = 0
Đặt = t ; đk t 0 , (***) .
Phương trình trở thành: t2 - 5t + 4 = 0 
 (thoả mãn điều kiện (***) )
 . Với t = 1 = 1
 4x2 - 12x + 10 = 0 phương trình này vô nghiệm.
 . Với t = 4 = 4
 4x2 - 12x - 5 = 0
Vậy nghiệm của phương trình là: x = V x = 
 *Như vậy khi gặp các bài toán thuộc các dạng nêu trên học sinh chủ động hơn trong cách đặt vấn đề bài giải : điều kiện phương trình là gì? đặt cái gì ? biến đổi như thế nào là biến đổi tương đương ? biến đổi như thế nào là biến đổi hệ quả? kết luận nghiệm cuối cùng dựa vào điều kiện nào?
2/ Giải pháp 2
 * Hướng dẫn học sinh giải phương trình dạng 2: . (2) 
 a. Phương pháp:
 Giáo viên hướng dẫn học sinh đặt điều kiện và biến đổi :
 pt(2) hoặc (2) 
 Chú ý: Không cần đặt đồng thời cả g(x) và f(x) vì f(x) = g(x)) .
 b. Các ví dụ:
 + Ví dụ 1: Giải phương trình
 , (1)
 .Điều kiện x -2 , (*)
 pt(1) 3x -1 = x + 2
 2x = 3 x = (thoả mãn với điều kiện (*) )
 Vậy nghiệm của phương trình là x = .
 Lưu ý: Điều kiện x -2 , (*) là điều kiện cần và đủ của phương trình (1) nên ta chỉ cần đối chiếu với điều kiện (*) để lấy nghiệm cuối cùng của phương trình.
 + Ví dụ 2: Giải phương trình
 (2)
 . Nhận xét: Biểu thức dưới dấu căn ở vế trái là biểu thức bậc hai nên ta đặt điều kiện cho vế phải không âm. 
 . ĐK: x - , (*).
 pt(2) 2x +3 = 3x2 -5x - 7 
 3x2 – 7x - 10 = 0 
 Đối chiếu với điều kiện (*), nghiệm của phương trình là x = -1 và x = . 
 + Ví dụ 3: Giải phương trình (*)
 Tóm tắt bài giải
 (*) 
 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
3/ Giải pháp 3 :
Hướng dẫn học sinh giải một số phương trình không mẫu mực 
 (Phương trình không tường minh).
 + Ví dụ 1: Giải phương trình
 (1)
 Điều kiện của phương trình là x -2 , (*)
 .Nhận xét: Biểu thức dưới dấu căn có dạng hằng đẳng thức 
 (a + b)2 = a2 +2ab + b2 nên ta biến đổi như sau.
 pt(1) 
 3+3 - 5= -1
 = 2 x + 2 = 4 x = 2 (thoả mãn điều kiện (*) ) 
Vậy, nghiệm của phương trình là x = 2.
 + Ví dụ2: Giải phương trình
 (2)
 Điều kiện (**)
 Chuyển vế: pt(2) 
 với điều kiện (**) nên hai vế luôn không âm , bình phương hai vế ta được.
 5x + 14 = 4 - x + 2
 = 3x + 5 
 x=-1 t/m (**)
 Vậy nghiệm của phương trình là x = -1 .
+ Ví dụ 3: 
 Giải phương trình .
 Lời giải : Ta có 
 Pt 
 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
 Lưu ý: Học sinh có thể đưa ra lời giải sai như sau
 Ta có : 
 Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2.
 Nhận xét: Ta nhận ra ngay x = 2 không phải là nghiệm đúng của phương trình đã cho nhưng.
 Chú ý rằng: 
 + Ví dụ 4: Giải phương trình
 = (3)
 Hướng dẫn : Đk (***)
 Lưu ý: Hệ điều kiện (***) rất phức tạp nên ta không cần giải ra cụ thể.
 Từ ĐK (***) nên hai vế không âm ,bình phương hai vế ta được
 pt(3) 7 - x2 + x = 3 - 2x - x2 
 x = - 2x - 4 
 x = -1
Thay giá trị của x = -1 vào hệ ĐK (***) , thoả mãn
Vậy nghiệm của phương trình là x = -1
 + Ví dụ 5: Giải phương trình
 + = 3x + 2 +2 , (4)
HD: Điều kiện x -1 (****)
 NX: Đây là phương trình khá phức tạp nếu bình phương hai vế của phương trình ta cũng không thu được kết thuận lợi khi giải nên ta có thể giải như sau.
 Đặt + = t , (ĐK: t 0)
 3x + 2 = t2 - 4
 pt(4) t2 - t - 2 = 0 t = 2 (nhận) V t = - 1 (loại)
 . Với t = 2 2 = -3x ( là phương trình thuộc dạng 1)
 x = 10 - (thoả mãn ĐK)
 Vậy nghiệm phương trình là : x = 10 - 
 + Ví dụ 6: Giải phương trình
 x2 – 7x + 12 = 
 Lời giải : Ta có
 x2 – 7x + 12 = 
 (x-3)(x-4) = (x-3)(x-4) = 
 Giải (1) = (x-3)(x-4) 
 Giải (2) = (x-3)(x-4) 
 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : x = 2 v x = 3 v x = 7.
 Nhân xét: Bài toán này HS có thể giải mắc sai lầm như sau:
 Lời giải sai: 
 Ta có: x2 – 7x + 12 = 
 (x-3)(x-4) = (x-3)(x-4) = 
 = (x-3)(x-4) 
 Giải ta có 
Học sinh kết luận: phương trình đã cho có nghiệm x = 3 và x = 7 mà không biết rằng x = 2 cũng là nghiệm của phương trình .
 Chú ý rằng: 
 Lời giải trên đã bỏ sót mất trường hợp A ≤ 0
 * Sau khi ra bài tập giải phương trình vô tỉ và hướng dẫn học sinh giải. Giáo viên ra dạng bài tập tương tự để học sinh giải. Qua đó học sinh rèn luyện phương pháp giải hình thành kỹ năng giải phương trình vô tỉ.
 Bài tập đề nghị 
 1,Giải phương trình
 a. = 1 - 2x b. = c. + x - 2 = 0
 2. Giải phương trình: x2 - x + = 7 
 3. Giải phương trình: + = 
 4. Giải phương trình:
 5. Giải phương trình: 
 6. Giải phương trình: + = + 
 7, Giải phương trình: 
 8. Giải phương trình: 
 9. Giải phương trình : (Y HCM-01)
 10. Giải phương trình: (A05)
 11. Giải phương trình: (BD-01)
IV, HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
Qua qúa trình giảng dạy tự chọn và ôn luyện cho các lớp có trình độ tương đương vào buổi chiều để so sánh tôi thấy kết quả thực nghiệm tốt hơn nhiều so với lớp đối chứng cụ thể tỉ lệ học sinh khá, giỏi nâng lên , học sinh yếu, kém và trung bình giảm xuống. 
 Kếtquả 
 Lớp 
Giỏi (%)
Khá(%)
Trung bình(%)
Yếu(%)
 Đối chứng
2
15
17
5
Thực nghiệm 
4
20
15
0
PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
 1/ Kết luận:
Trên đây là những kinh nghiệm mà tôi đúc rút được trong suốt quá trình giảng dạy tại trường THPT Tĩnh gia 5.
Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 10, được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng giải phương trình vô tỉ. Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn kỹ các em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên đã có kỹ năng giải các bài tập. 
 Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót và hạn chế. Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các bạn đồng nghiệp bổ sung và góp ý cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn.
 2. Kiến nghị và đề xuất: 
 - Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ .
 - Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO
 + Sách giáo khoa đại số 10 - Nhà xuất bản giáo dục
 + Tài luệu tập huấn sách giáo khoa - Nhà xuất bản Giáo dục
 + Toán nâng cao đại số 10 - Phan Huy Khải
 + Báo Toán học tuổi trẻ- Nhà xuất bản giáo dục
 + Các đề thi đại học các năm trước . 
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG
Thanh Hóa, ngày 5 tháng 5 năm 2016
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết , không sao chép nội dung của người khác.
Lê Văn Thọ