SKKN Một số tình huống ứng dụng tam thức bậc hai trong ôn thi THPT quốc gia

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
 Lí do chọn đề tài.
Để đáp ứng với lượng kiến thức cho các em tham gia với cách thi trắc nghiệm như hiện nay; đòi hỏi các em phải học đều, đủ các phần kiến thức cơ bản toàn diện hơn; nhằm mục đích cho học sinh được giáo dục toàn diện.
Do ứng dụng của tam thức bậc hai có nhiều ứng dụng trong các đề thi trung học phổ thông quốc gia các năm gần đây.
Mục đích nghiên cứu.
Nhằm mục đích để các em hiểu để nhận biết vận dụng tốt kiến thức tam thức bậc hai trong các tình huống hỏi trắc nghiệm toán; phụ vụ tốt trong giải quyết các bài toán thi trung học phổ thông quốc gia.
Đối tượng nghiên cứu.
Đề tài “ Một số tình huống ứng dụng tam thức bậc hai trong ôn thi THPT quốc gia” nhằm đem lại cho học sinh thấy được một số tình huống ra đề trong thi trung học phổ thông quốc gia.
Phương pháp nghiên cứu.
Nghiên cứu định nghĩa, tính chất của tam thức bậc hai trong các tài liệu SGK.
Nghiên cứu khả năng tiếp cận kiến thức ứng dụng tam thức bậc hai: đặc biệt là kiến thức về tính chất hàm số, giải phương trình.
Thông qua quá trình dạy học sinh nhiều năm và học sinh khối 12 năm học 2017-2018 ( trong quá trình tham gia thi THPT quốc gia).
Những điểm mới của Sáng kiến kinh nghiệm.
Ứng dụng định lý Viets mở rộng trong so sánh nghiệm của phương trình bậc hai.
Các tình huống thường gặp ứng dụng tam thức bậc hai trong thi trắc nghiệm
NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
CƠ SỞ LÝ LUẬN
Thu thập và xử lý các tài liệu có liên quan đến tam thức bậc hai và các bài toán ứng dụng về tam thức bậc hai.
Đánh giá chất lượng học sinh qua các bài kiểm tra đại số có liên quan đến tam thức bậc hai với học sinh ôn thi THPT quốc gia.
Nắm được các đối tượng cấu thành tam thức bậc hai, quan hệ cơ bản giữa các nghiệm của tam thức bậc hai.
Biết cách xét dấu tam thức bâc hai.
Biết cách làm các bài toán liên quan đến tam thức bậc hai.
Biết cách nhận biết những sai lầm dễ mắc phải trong mỗi bài toán.
Nắm được quy tắc xề dấu của tam thức bậc hai và vận dụng tốt trong quá trình làm toán.
Biết cách chuyển đổi bài toán từ ngôn nhữ sang ký hiệu.
 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU.
Thực trạng vấn đề.
	Sở GD & ĐT Thanh hóa hàng năm có mở nhiều lớp tập huấn chuyên môn, bồi dưỡng và hướng dẫn phương pháp dạy học. Nhờ đó mà giáo viên chúng tôi có điều kiện vận dụng vào thực tiễn giảng dạy. Sự chỉ đạo sát sao của Sở giáo dục, sự đôn đốc và tạo điều kiện của BGH nhà trường, tổ bộ môn cùng với sự nhiệt tình của các thầy cô giáo là động lực để đổi mới phương pháp daỵ học có hiệu quả.Phong trào thao giảng dự giờ rút kinh nghiệm diễn ra sôi nổi, đặc biệt là phong trào thi giáo viên giỏi cấp trường, thi giáo viên giỏi cấp tỉnh theo định kỳ. Qua đó tôi cũng như các đồng nghiệp củng rút ra được nhiều điều bổ ích về chuyên môn. Đời sống giáo viên ngày một nâng cao, được Đảng và nhà nước quan tâm đãi ngộ, chế độ lương đảm bảo cho cuộc sống.
	Bên cạnh những thuận lợi nói trên, thì công tác giảng dạy và học tập môn toán của học sinh trong trường còn vấp phải những khó khăn đáng kể. Đầu vào kiến thức của các em học sinh chưa đồng đều, tư tưởng xác định mục tiêu học tập của nhiều học sinh và phụ huynh còn nhiều lệch lạc. Tình hình đạo đức sinh học yếu.
 Kết quả thực trạng 
	Với thực trạng trên thì một tiết học toán của học sinh trôi qua rất nhanh và nhiều vấn đề kiến thức cần giải quyết. Các em thường có tâm lý “sợ” phải học những kiến thức trừu tượng. Qua hình thức trắc nghiệm mức độ thích học đối với môn toán thì có tới 30% học sinh không thích ( thậm chí không muốn ) học. Khi chưa thực hiện theo các giải pháp mới, học sinh chưa có kỹ năng tốt để giải các bài toán về tam thức bậc hai, dẫn tới các giờ học uể oải, chất lượng không cao đối với đa số các lớp tốp sau. Vì thế kết quả kiểm tra đánh giá chưa được như mong muốn, tỉ lệ học sinh có học lực yếu còn cao, cụ thể là : Qua khảo sát chất lượng lớp 12C9 –Trường THPT Hoàng Lệ Kha (Năm học 2017-2018) như sau:
Sự hứng thú học với môn toán:
Lớp
	Sĩ số
Thích học
Bình thường
Không thích
SL
%
SL
%
SL
%
12C9
35
15
43.0
10
28.5
10
28.5
Kết quả bài kiểm tra phần ứng dụng tam thức bậc hai:
Lớp
Sĩ số
Kém
Yếu
Trung bình
khá
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12C9
35
3
8.6
5
14.3
16
45.7
11
31.4
Qua thực tế và kết quả khảo sát tôi nhận thấy rằng:
Về sự hứng thú học môn toán nói chung kết quả chủ yếu là còn thấp và không thích chiếm tỉ lệ cao, tỷ lệ học sinh thích học còn hạn chế.
Về kết quả bài kiểm tra về phần tam thức bậc hai thì còn ở mức độ yếu kém còn cao, số lượng học sinh đạt khá giỏi ít.
	Qua đó, để giải các bài toán mức độ thông hiểu và vận dụng trong đề thi trắc nghiệm đòi hỏi học sinh phải hiểu được kiến thức và ý thức luyện tập đóng vài trò quan trọng.
Các giải pháp để tổ chức thực hiện.
Kiến thức lý thuyết
 Định nghĩa về tam thức bậc hai
Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức có dạng fx=ax2+bx+c, trong đó a, b, c là các số thực cho trước, a≠0. [1]
: Định lý về dấu tam thức bậc hai
Cho tam thức bậc hai fx=ax2+bx+c a≠0,∆=b2-4ac. 
Nếu ∆<0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x∈R.
Nếu ∆=0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, trừ khi x=-b2a .
Nếu ∆>0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a khi x x2, trái dấu với hệ số a khi x1 < x < x2 trong đó x1, x2 (x1 < x2) là hai nghiệm của f(x). [1]
Định lý Viète
Nếu phương trình bậc hai ax2+bx+c=0 a≠0 (1)
có hai nghiệm x1, x2 thì S=x1+x2=-ba, P=x1.x2=ca . [1]
Hệ quả: [2]
+ Phương trình (1) có hai nghiệm trài dấu x1<0<x2⇔P<0.
+Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu 
 x1≤x20. 
 +Phương trình (1) có hai nghiệm cùng âm
 x1≤x20. 
 +Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dương
 00P>0. 
Nhận xét: Đặt fx=ax2+bx+c a≠0 . [2] 
f(x) = 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn
 x1<α<x2 tức là x1-α<0<x2-α.
 Đặt t=x-α, gt=ft+α. 
 Dẫn đến g(t) = 0 có hai nghiệm trái dấu ⇔Pg<0.
f(x) = 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn
 ⇔ g(t) = 0 có hai nghiệm cùng âm ⇔∆g≥0Sg0. 
f(x) = 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn
 α<x1≤x2 tức là 0< x1-α≤x2-α.
 ⇔ g(t) = 0 có hai nghiệm cùng dương ⇔∆g≥0Sg>0Pg>0
	Ngoài ứng dụng phương pháp hàm số để giải các bài toán ứng dụng tính đơn điệu của hàm số, ta có thể ứng dụng tính chất tam thức bậc hai như trên để giải các bài toán này.
Một số tình huống bài tập trắc nghiệm thường gặp:
Mức độ nhận biết thông hiểu:
Thí dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số y=(x2-1)-3
-∞;-1. B. 1;+∞. C. 0;+∞. D. R\±1.
Gợi ý : Đk x2-1≠0 ⟺x≠±1. Chọn D.
Thí dụ 2: Tìm khoảng đồng biến của hàm số y=-x3+3x2-1 
(0; 2). B. R. C. -∞;-1. D. 2;+∞.
Gợi ý : y'=-3x2+6x=-3x(x-2) y'=0⟺x=0x=2
 a = -3 0 trên khoảng (0; 2) . Đáp án: A
Thí dụ 3: Tìm tập xác định của hàm số y=ln-x2+3x-2
A (-∞; 2). B. R. C. 1;2. D. 2;+∞.
Gợi ý : ĐK: -x2+3x-2>0 ⟺1<x<2 . Đáp án: C
Thí dụ 4: Biết bất phương trình 23x2-x≥94x-1có tập nghiệm là đoạn 
[a; b]. Tính b – a.
b – a = 2√5 . B. b – a = 3. C. b – a = √5. D. b – a = 2.
Gợi ý :BPT: ⟺x2-x≤-2x+2 ⟺-2≤x≤1 . Đáp án: B
Thí dụ 5: Bất phương trình 2x2-3x+4≤122x-10có bao nhiêu nghiệm nguyên dương?
2. B. 4. C.6. D. 3.
Gợi ý :BPT: ⟺x2-3x+4≤-2x+10 ⟺-2≤x≤3 . Đáp án: D
Thí dụ 6: Cho hàm số y=x3+3x+2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
Hàm số đồng biến trên khoảng -∞;0và nghịch biến trên khoảng 2;+∞. 
Hàm số nghịch biến trên khoảng -∞;+∞. 
Hàm số đồng biến trên khoảng -∞;+∞. 
Hàm số nghịch biến trên khoảng -∞;0và đồng biến trên khoảng 2;+∞.
Gợi ý : y'=3x2+3>0 ∀x∈R . Đáp án: C
Mức độ : Vận dụng.
Thí dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số [2]
 y=(m2-1)x3+m-1x2-x+4 nghịch biến trên R?
1. B. 2. C.0. D. 3.
Lời giải. TXĐ : D = R. Ta có:
Với m = 1 ta có: y = - x + 4 là hàm số nghịch biến trên R.
Với m = - 1 ta có : y=-2x2-x+4 là hàm số bậc hai, không nghịch biến trên R.
Với m≠±1 ta có y'=3(m2-1)x2+2m-1x-1 
Hàm số y=(m2-1)x3+m-1x2-x+4 nghịch biến trên R ⇔y'=3(m2-1)x2+2m-1x-1≤0 ∀x∈ R.
⇔m2-1<0m-1)2+3(m2-1≤0⇔-1<m<1-12≤m≤1⇔-12≤m<1⇒m=0
 Vậy có hai giá trị nguyên của tham số m. Chọn B.
Thí dụ 2: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 
4x-m+32x+1+m+9=0
Có hai nghiệm dương phân biệt? [2]
Lời giải: Ta có 
4x-m+32x+1+m+9=0⇔4x-2m+32x+m+9=0(1)
Đặt t = 2x. Phương trình trở thành
t2-2m+3t+m+9=0 (2)
	 Để (1) có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi (2) có hai nghiệm phân biệt t1, t2 lớn hơn 1
⇔Δ'>0t1-1+t2-1>0(t1-1)(t2-1)>0⇔m+3)2-(m+9>0t1+t2>2t1t2-(t1+t2)+1>0
⇔m2+5m>0 2m+3>2 m+9-2(m+3)+1>0⇔ m∈-∞;-5∪0;+∞m>2 m<4 
⇔ 0< m < 4. Vì m ∈Z nên m ∈1;2;3. Chọn A.
Thí dụ 3. Tìm m để hàm số y=x2+mx-1x-1 
đồng biến trên khoảng 1;+∞. [2]
 Lời giải: TXĐ: D=R\1. Ta có y'=x2-2x-m+1x-12 .
Đặt fx=x2-2x-m+1. Hàm số (1) đồng biến trên khoảng 1;+∞
⇔y'≥0,∀x∈1;+∞⇔fx≥0,∀x∈1;+∞.
⇔∆'f =m≥0 fx=0 có hai nghiệm thõa mãn x1≤x2<1(*)
Đặt t = x – 1, g(t) = f( t+1 ). Áp dụng nhận xét 2, ta được (*) tương đương với 
g(t) = t2 – m có hai nghiệm không dương. Tức là:
∆'g=m≥0 Sg=0≤0 Pg=-m≥0 ⇔m=0.
Vậy, với m∈(-∞;1 thì hàm số (1) đồng biến trên 1;+∞.
Thí dụ 4. Tìm m để hàm số 
y=13(m-2)2x3-32m-6x2-m+1x (2)
Nghịch biến trên khoảng (-1; 0).
Lời giải. TXĐ: D = R. Ta có
y'=(m-2)2x2-3m-6x-m+1
Hàm số (2) nghịch biến trên ( -1; 0) ⇔y'≤0 ∀x∈ ( -1; 0).
+ Khi m = 2, ta có y’ = 12 x-1≤0⇔x≤112 tức là y'≤0 ∀x∈ ( -1; 0).
+ Khi m ≠2 ⇒m-22>0 nên ta có y'≤0 ∀x∈ ( -1; 0) ⇔y'=0 có hai nghiệm x1, x2 thõa mãn x1≤-1≤x2(a)x1≤0≤x2 (b)
Xét trường hợp (a): Đặt t = x +1; g(t) = f(t – 1) theo nhận xét 1 ta có 
y’ = f(x) = 0 có hai nghiệm x1, x2 thõa mãn x1≤-1≤x2
⇔gt=m-22t2-2m2-5m-10t+m2-2m-15=0
Có hai nghiệm t1, t2 thõa mãn t1≤0≤t2⇔m2-2m-15(m-2)2≤0⇔ m∈-3;5m ≠2
Xét trường hợp (b), tương tự ta có
-(m+1)(m-2)2≤0⇔ m≥-1m ≠2
Kết hợp các trường hợp, ta được m ∈-1;5 thì hàm số nghịch biến trên (-1; 0).
Thí dụ 5. Tìm m để hàm số
y=-13mx3+m-1x2+32-mx-13 (3)
Nghịch biến trên (-∞;-2. [2]
Lời giải. TXĐ : D = R. Ta có:
y'=-mx2+2m-1x+32-m.
Hàm số (3) nghịch biến trên (-∞;-2 ⇔y'≤0 ∀x∈ (-∞;-2.
+Khi m = 0, ta có y’ = -2x + 6 ≤0 ⇔x≥3 tức là ∀x∈ (-∞;-2 không thõa mãn y'≤0 (loại).
+ Khi m≠0, ta có y'≤0 ∀x∈ (-∞;-2 
m>0 ∆'=-2m2+4m+1≤0 (a) m>0 y'=0 có hai nghiệm thõa mãn-2≤ x1≤x2 (b) 
Xét trường hợp (a) ta được m≥2+62.
Xét trường hợp (b). Đặt t = x + 2, g(t) = f(t-2), theo nhận xét 3 ta có:
 m>0 gt=-m2+23m-1+10-11m=0 có hai nghiệm 0≤ t1≤t2 
⇔m>0 ∆'g=-2m2+4m+1>0 Sg=2(3m-1)m>0 ⇔ Pg=11m-10m≥0 1011≤m≤2+62 
Kết hợp các trường hợp, ta có m ∈1011; +∞ thì hàm số nghịch biến trên (-∞;-2.
Bài tập trắc nghiệm. 
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 
y=x3-3mx2-9mx nghịch biến trên khoảng ( 0; 1). [2]
 m > 13 B. m <-1 C. m ≥ 13 hoặc m ≤ -1 D.-1 < m < 13 
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số [3]
y=sin3x-3cos2x-msinx-1 đồng biến trên đoạn [0; π2].
m > -8 B. m ≥-1 C. m ≤ -8 D. m <-1
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 
y= 2x3-x2+ mx-1 đồng biến trên đoạn [ 1; 2]. [2]
m > -3 B. m ≤0 C. m ≤ -3 D. m > 0
Cho hàm số y=fx=x3-3mx2+32m-1x+1 
Với giá trị nào của m thì f'x-6x>0 với mọi x ≥2? [2]
 m > 12 B. m 1 D.m ≤ 0
Tìm m để hàm số
 y=-13x3+m-1x2+m+3x-4 đồng biến trên khoảng ( 0; 3). [3]
Tìm m để hàm số . Tìm m để hàm số y=x2-2mx+3m2x-2m 
 đồng biến trên khoảng 1;+∞. [3]
Tìm m để hàm số
y=-13x3+m-1x2+m+3x-4 
đồng biến trên mỗi khoảng (-∞;-1) và (2;+∞). [2]
 Kết quả thực nghiệm:
	Qua quá trình rèn luyện cho học sinh khắc sâu và nhuần nhuyễn các dạng toán mở rộng ứng dụng tam thức bậc hai, tôi thấy các tiết học thay đổi một cách rõ rệt.
Giờ học sinh động lôi cuốn, kích thích tính khám phá học tập của học sinh.
Chất lương được nâng lên rõ rệt. Chất lượng bài kiểm tra về tính đơn điệu của hàm số . Qua khảo sát tại lớp 12C9 năm học 2017- 2018, đã được kết quả sau:
Lớp
Sĩ số
Kém
Yếu
Trung bình
khá
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12C9
35
0
0
3
8.6
16
45.7
16
45.7
KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ.
Kết luận: 
	Xã hội ngày càng phát triển thì giáo viên càng phải đóng vai trò quan trọng. Việc đổi mới phương pháp dạy học, nâng cao chất lượng luôn là việc làm thường xuyên liên tục của người giáo viên nói chung và giáo viên toán nói riêng. Sử dụng nhuần nhuyễn và sáng tạo phương pháp dạy học giúp học sinh tiếp thu kiến thức tốt.
	Sự tiếp thu không chỉ dừng lại ở việc ghi nhớ máy móc các kiến thức mà còn phải được nâng cao khả năng tư duy và suy nghĩ của học sinh. T\ạo cho các em có thái độ, động cơ học tập đúng đắn, yêu thích bộ môn, có vốn kiến, kĩ năng thiết yếu trong quá trình học toán; để đáp ứng với cách thi trắc nghiệm như hiện nay và phát triển toàn diện.
Ý kiến đề xuất
- Nhà trường nên duy trì và làm tốt hơn nữa các giờ dạy mẫu theo cách thiết kế giáo án mới và theo các chuyên đề.
	Trên đây là một ứng dụng của tam thức bậc hai nhằm phát triển thêm phương pháp giải quyết các bài toán trong các đề thi THPT quốc gia. Do thời gian lẫn kinh nghiệm giảng dạy có hạn nên chắc không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được sự góp ý, xây dựng của quý thầy cô giáo cùng các bạn đồng nghiệp để tôi từng bước hoàn thiện phương pháp giảng dạy của mình. 
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Xác nhận của Ban giám hiệu
 Hà Trung, ngày 15 tháng 5 năm 2019
 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
 Người thực hiện
 Nguyễn Anh Đức
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] . Sách giáo khoa đại số cơ bản và nâng cao lớp 10.
[2]. Báo toán học tuổi trẻ.
[3]. Trang web https//toanmath.com.