SKKN Một số sai lầm phổ biến khi giải bài toán tính đơn điệu, cực trị của hàm số và hướng khắc phục

MỤC LỤC
Nội dung
Trang
1. MỞ ĐẦU
2
1.1. Lí do chọn đề tài.
2
1.2. Mục đích nghiên cứu.
2
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
3
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
3
1.5. Nội dung điểm mới của sáng kiến.
3
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
3
2.1. Cơ sở lí luận.
3
2.2.Thực trạng của vấn đề.
5
2.3. Giải pháp cụ thể.
5
 2.3.1. Các bài toán về tính đơn điệu của hàm số.
5
 2.3.2. Các bài toán về cực trị của hàm số
10
 2.3.3. Bài tập tự luyện. 
16
 2.3.4. Các bài tập trắc nghiệm rèn luyện kĩ năng. 
17
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
19
3. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.
19
3.1. Kết luận.
19
3.2. Kiến nghị.
20
TÀI LIỆU THAM KHẢO.
21
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
	Dạy Toán ở trường phổ thông là dạy hoạt động toán học. Đối với học sinh có thể xem giải toán là phương tiện chủ yếu của hoạt động toán học. Các bài toán là phương tiện hiệu quả không gì thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo. Hoạt động giải toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích khác của dạy học toán. Do đó tổ chức tốt việc dạy giải Toán có vai trò quyết định đến chất lượng dạy học toán.
Thực tiễn cho thấy chất lượng dạy học toán ở trường phổ thông có lúc, có chỗ còn chưa được như mong muốn, biểu hiện qua năng lực giải Toán của học sinh còn hạn chế do học sinh còn mắc nhiều sai lầm. Một trong những nguyên nhân quan trọng đó là giáo viên còn chưa chú ý một cách đúng mức tới việc phát hiện sai lầm và uốn nắn, sửa chữa những sai lầm thường gặp cho học sinh ngay trong các giờ học Toán. Chính vì vậy mà ở học sinh nhiều khi sai lầm nối tiếp sai lầm.
Với xu thế đổi mới phương pháp giáo dục hiện nay của bộ giáo dục, trong quá trình dạy học để thu được hiệu quả cao đòi hỏi người thầy phải nghiên cứu tìm hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh; đưa ra các phương pháp phù hợp với kiến thức, với các đối tượng học sinh cần truyền thụ. Ý thức được điều đó, tôi luôn tích cực học tập; không ngừng nâng cao năng lực chuyên môn; đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh; bồi dưỡng khả năng tự học, sáng tạo; khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế; đem lại sự say mê, hứng thú học tập cho các em.
Trong các kỳ thi THPT Quốc gia khai thác các bài toán về tính đơn điệu, cực trị ở chương “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” hầu như không thể thiếu, nhưng đối với học sinh THPT việc khai thác theo hướng trắc nghiệm là vấn đề rộng và khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định nghĩa, tính chất, khả năng phát hiện nhanh kiến thức và một số kỹ năng khác. Trong thực tế nhiều học sinh còn nặng nề, máy móc bước giải, công phu nặng tính hàn lâm theo hướng tự luận trước kia. Vì thế trong quá trình giải quyết vấn đề học sinh thường mắc phải những sai lầm đẫn đến chọn kết quả sai. Qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở trường THPT và nhiều năm nghiên cứu những sai lầm của học sinh trên nhiều chuyên đề Toán học khác nhau nhất là trong giai đoạn ngành Giáo dục đang trên đường “Đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục phổ thông” và sự đổi mới thi và đánh giá như kỳ thi THPT Quốc gia hiện nay tôi nhận thấy rõ những yếu điểm này của học sinh. Vì vậy, tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “Một số sai lầm phổ biến khi giải bài toán tính đơn điệu, cực trị của hàm số và hướng khắc phục”. 
1.2. Mục đích nghiên cứu.
	Các bài toán liên quan đến tính đơn điệu, cực trị của hàm số là bài toán được khai thác kiến thức từ sách giáo khoa theo hướng nắm chắc kiến thức, áp dụng đúng bản chất Toán, phát hiện nhanh vấn đề. Đây là hướng khai thác mới. Trong đó đề thi THPT Quốc Gia và đề thi minh họa các năm trước đây khai thác ở mức độ sâu, rộng có những câu ở mức độ vận dụng cao. Vì vậy đề tài “Một số sai lầm phổ biến khi giải bài toán tính đơn điệu, cực trị của hàm số và hướng khắc phục” là sự cần thiết để ôn tập cho học sinh.
	Mục đích: Xây dựng các dạng - nhận dạng - nêu dạng tổng quát (nếu có) và rèn luyện kĩ năng phát hiện sai lầm, giải đúng, giải nhanh các bài toán trong các đề thi.
1.3 Đối tượng nghiên cứu.
 +) Học sinh lớp 12A2, 12A3 năm học 2017-2018 trường THPT Yên Định 1.
 +) Học sinh lớp 12A2 năm học 2018-2019 của trường THPT Yên Định 1.
1.4 Phương pháp nghiên cứu.
Phối hợp nhiều phương pháp trong đó chủ yếu là: 
Phương pháp nghiên cứu xây dựng bám vào cơ sở lí thuyết: Dựa trên cơ sở kiến thức sách giáo khoa, đề thi THPT Quốc Gia và đề minh họa các năm trước đây; đọc tài liệu tham khảo có liên quan đến đề tài, rèn luyện kĩ năng phân tích, nhận dạng, phát hiện nhanh và áp dụng lí thuyết vào bài toán cụ thể.
 Phương pháp xác định, phân tích một số sai lầm rồi đưa hướng khắc phục theo từng nhóm nội dung kiến thức: Trong quá trình nghiên cứu sáng kiến phân định rõ theo nhóm nội dung kiến thức. Dựa trên từng ví dụ cụ thể để chỉ ra các sai lầm thường gặp, phân tích sai lầm, đưa ra hướng khắc phục sai lầm đó.
Phương pháp thực hành: Ra bài tập tự luyện cho từng nhóm nội dung kiến thức; Soạn và thiết kế đề thi trắc nghiệm theo hướng rèn luyện, phát triển năng lực học sinh tại lớp 12A2, 12A3 năm học 2017-2018 và lớp12A2 năm học 2018-2019. 
1.5. Nội dung điểm mới của sáng kiến.
Chỉ ra một số sai lầm liên quan đến tính đơn điệu, cực trị của hàm số, phân tích nguyên nhân sai lầm, đưa ra hướng khắc phục các sai lầm đó. Đặc biệt trong một số dạng toán có khái quát hóa vấn đề, nêu hướng sử lý nhanh phù hợp với kỳ thi theo hướng trắc nghiệm của kỳ thi THPTQG hiện nay mà hầu như nội dung này các tài liệu đề cập một cách có hệ thống còn hạn chế.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM. 
2.1. Cơ sở lí luận 
Dựa vào sự khai thác các bài toán trong kỳ thi THPT Quốc gia các năm.
Dựa vào các kiến thức cơ bản về tính đơn điệu, cực trị của hàm số trong chương “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số” sách giáo khoa Đại số và giải tích lớp 12 nâng cao.
2.1.1. Tính đơn điệu của hàm số
1) Định nghĩa. Giả sử K là một khoảng và f là hàm số xác định trên K.
+) Hàm số f được gọi là đồng biến trên K nếu
, x1 < x2 f(x1) < f(x2);
+) Hàm số f được gọi là nghịch biến trên K nếu
, x1 f(x2).
2) Định lý. Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I.
a) Nếu với mọi x thuộc I thì hàm số đồng biến trên I.
b) Nếu với mọi x thuộc I thì hàm số nghịch biến trên I.
c) Nếu với mọi x thuộc I thì hàm số không đổi trên I.
3) Định lý. (mở rộng định lý trên)
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I (I có thể là khoảng, đoạn, nửa khoảng). Nếu (hoặc nếu ) và f’(x) = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên I. 
2.1.2. Cực trị của hàm số
1) Định nghĩa. Cho hàm số f xác định trên tập D và . 
+) được gọi là một điểm cực đại của hàm số nếu tồn tại khoảng sao cho: .
+) được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số nếu tồn tại khoảng sao cho: .
+) Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.
+) Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị.
Bảng sau đây tóm tắt các khái niệm được sử dụng trong phần này:
Điểm cực đại của 
Giá trị cực đại (cực đại) của 
Điểm cực đại của đồ thị hàm số 
Điểm cực tiểu của 
Giá trị cực tiểu (cực tiểu) của 
Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số 
Điểm cực trị của 
Cực trị của 
Điểm cực trị của đồ thị hàm số 
2) Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
Giả sử hàm đạt cực trị tại . Khi đó, nếu có đạo hàm tại thì .
* Chú ý. Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.
3) Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
a) Quy tắc 1:
+) Nếu đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua (theo chiều tăng) thì đạt cực đại tại ;
+) Nếu đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua (theo chiều tăng) thì đạt cực tiểu tại . 
b) Quy tắc 2:
Giả sử hàm số có đạo hàm cấp hai trên (a; b) chứa x0 và
+) Nếu thì là điểm cực đại của hàm số;
+) Nếu thì là điểm cực tiểu của hàm số.
* Chú ý. Mệnh đề đảo của mệnh đề trên chưa hẳn đã đúng.
2.2. Thực trạng của vấn đề.
	Hình thức thi trắc nghiệm môn Toán với việc khai thác những bài toán về tính đơn điệu, cực trị học sinh mắc nhiều sai lầm do không nắm vững kiến thức cơ bản, bản chất kiến thức toán không được vận dụng nên máy móc, lúng túng trong chọn đáp án. 
	Khi gặp bài toán ở mức độ đơn thuần thì học sinh có thể giải quyết được. Khi bài toán mức độ khai thác sâu hơn, rông hơn thì học sinh lúng túng và không có định hướng chọn đáp án, giải bài toán một cách chủ động.
	Từ thực tế đề thi THPT Quốc Gia và đề minh họa các năm, trong quá trình giảng dạy học sinh tôi nhận thấy các em còn gặp nhiều khó khăn trong việc chọn, nhận dạng, phương pháp giải và kĩ năng giải. Vì vậy tôi xây dựng đề tài này để ôn luyện cho học sinh thi THPT Quốc Gia.
2.3. Giải pháp cụ thể.
Sau đây sáng kiến xin đưa ra một số ví dụ cụ thể trong đó có chỉ ra những sai lầm, bình luận về những nguyên nhân sai lầm thường xẩy ra cũng như đưa ra hướng khắc phục cho một số sai lầm đó:
2.3.1. Các bài toán về tính đơn điệu của hàm số
Ví dụ 1. Xét tính đơn điệu của hàm số y = .
Lời giải sai
+) Tập xác định của hàm số là D = .
+) Ta có y’ = ,D
+) Bảng biến thiên: 
+ Vậy hàm số nghịch biến trên .
Nguyên nhân sai lầm:
- Máy móc không nắm rõ khái niệm dẫn tới bước kết luận sai.
- Chẳng hạn nếu lấy x1 = - 2 và x2 = 2 thì x1 f(2) = , mâu thuẩn với định nghĩa.
Lời giải đúng:
+) Tập xác định của hàm số là D = .
+) Ta có y’ = ,D
+) Bảng biến thiên: 
+ Vậy hàm số nghịch biến trên và .
Ví dụ 2. Xét tính đơn điêu của hàm số y = .
Lời giải sai:
+) Ta có y’ = 
+) y’ = 0 
Xét dấu y’ suy ra kết quả: Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và , nghịch biến trên khoảng .
Nguyên nhân sai lầm:
- Lời giải trên không chỉ ra tập xác định của hàm số dẫn tới bước kết luận sai.
- Lẽ ra phải có tập xác định của hàm số là .
Lời giải đúng:
+) Tập xác định của hàm số là .
+) Xét dấu y’ suy ra kết quả: Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và , nghịch biến trên mỗi khoảng và .
Ví dụ 3. Xét tính đơn điệu của hàm số y = x3 – 2x2 + x – 3.
Lời giải sai
+) Ta có y’ = (2x – 1)2 > 0, . 
+) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng và .
Nguyên nhân sai lầm:
- Máy móc vận dụng định lý điều kiện đủ của tính đơn điệu không đúng dẫn tới sai bước kết luận.
- Lưu ý rằng phải vận dụng định lý mở rộng:
Nếu và f’(x) = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số đồng biến trên I. 
Lời giải đúng:
+) Ta có y’ = (2x – 1)2 0, y’ = 0 tại . 
+) Hàm số đồng biến trên mỗi nửa khoảng và .
Ví dụ 4. Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) = x – 1 + .
Lời giải sai
+) Tập xác định của hàm số là D = .
+) Ta có 
Cho
+) Bảng biến thiên: 
0
0
+) Vậy hàm số đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên các khoảng và .
Nguyên nhân sai lầm:
- Sai lầm trong việc xác định sai điểm tới hạn dẫn tới sai bảng biến thiên. 
Chẳng hạn không phải là điểm tới hạn của hàm số.
Mặt khác hàm số không xác định tại .
Lời giải đúng:
+) Tập xác định của hàm số là D = .
+) Ta có 
Đạo hàm không xác định tại 
Cho
+) Bảng biến thiên: 
- 2
2
 + 0 
-3 1
+) Vậy hàm số đồng biến trên nửa khoảng và nghịch biến trên nửa khoảng .
Ví dụ 5. Tìm m để hàm số y = x3 – mx2 + (m + 2)x + 1 đồng biến trên . 
Lời giải sai:
Hàm số đồng biến trên y’ > 0, 
 x2 – 2mx + m + 2 > 0,
 m2 – m - 2 > 0 - 1 < m < 2.
Nguyên nhân sai lầm:
- Điều kiện f’(x) > 0, (a; b) là điều kiện đủ để hàm số đồng biến trên (a; b), chứ không phải điều kiện cần. Dẫn tới lập điều kiện bài toán sai.
- Lưu ý rằng phải vận dụng định lý mở rộng:
Nếu f(x) xác định trên (a; b), f’(x) 0 (a; b) nhưng f’(x) chỉ triệt tiêu tại hữu hạn điểm trên (a; b) thì f(x) đồng biến trên (a; b).
Chẳng hạn hàm số y = x3 đồng biến trên . Tuy nhiên f’(x) 0, và đẳng thức xảy ra chỉ tại x = 0.
Lời giải đúng:
Hàm số đồng biến trên y’ 0, 
 x2 – 2mx + m + 2 0,
 m2 – m - 2 0 - 1 m 2.
Ví dụ 6. Tìm m để hàm số y = đồng biến trên . 
Lời giải sai
Hàm số đồng biến trên y’ 0, 
 0,
 - m + 3 0 m 3. 
Nguyên nhân sai lầm:
- Sai lầm khi xác định: Hàm số đồng biến trên 
 0,
 - m + 3 0.
- Lưu ý rằng lẽ ra phải kèm theo yêu cầu (x – m)2 0, 
 .
- Với m = 3 thì y’ = 0 khi đó hàm số trở thành y = 1, với không đồng biến trên .
Lời giải đúng:
Ta có 
+) TH1. Khi y’ = 0 m = 3 thì y = 1, với không đồng biến trên .
+) TH2. y’ > 0, .
Ví dụ 7. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số đồng biến trên khoảng.
Lời giải sai:
Đặt 
Xét hàm số . Tập xác định:
Ta có .
Để hàm số đồng biến trên khoảng khi và chỉ khi: 
Nguyên nhân sai lầm:
- Sai lầm do không tìm điều kiện của t trên cơ sở điều kiện của x;
- Sai lầm do không chú ý tới điều kiện có nghĩa của hàm số f(t).
Lời giải đúng:
Đặt , vì 
Xét hàm số . Tập xác định:
Ta có .
Để hàm số đồng biến trên khoảng khi và chỉ khi: 
* Khái quát vấn đề (Chọn nhanh đáp án theo định hướng đề thi trắc nghiệm).
1) Hàm sồ () 
Để hàm đồng biến trên thì , tức là: 
Để hàm nghịch biến trên thì , tức là: 
1) Hàm sồ (ac 0).
Nếu thì hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
Nếu thì hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
2.3.2. Các bài toán về cực trị của hàm số
Ví dụ 8. Tìm cực trị (nếu có) của hàm số y = x3 + 1?
Lời giải sai:
+) Tập xác định 
+) Ta có f’(x) = 3x2 
 f’(x) = 0 3x2 = 0 x = 0
+ Suy ra hàm số đạt cực trị tại x = 0.
Nguyên nhân sai lầm:
- Sai lầm do không nắm vững định lý. Đạo hàm có nghiệm x = 0. Tuy nhiên đạo hàm không đổi dấu khi qua điểm x = 0.
Lời giải đúng:
+) Tập xác định 
+) Ta có f’(x) = 3x2 
 f’(x) = 0 3x2 = 0 x = 0
+) Bảng biến thiên 
x
 0 
y'
 +
y
 1
+) Vậy hàm số không có cực trị. 
Ví dụ 9. Tìm cực trị (nếu có) của hàm số y = ?
Lời giải sai:
+) Tập xác định 
+) Ta có 
+) Hàm số không có đạo hàm tại x = 2.
+) Vậy hàm số không có cực trị.
Nguyên nhân sai lầm:
- Sai lầm do hiểu sai chú ý sau định lý điều kiện cần: Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm.
- Với x = 2 thì đạo hàm không xác định. Từ đó vội vàng khẳng định hàm số không có cực trị tại x = 2.
Lời giải đúng:
+) Tập xác định 
+) Ta có 
+) Bảng biến thiên
x
 2 
y'
 +
y
 1
+) Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
Ví dụ 10. Tìm cực trị (nếu có) của hàm số y = .
Lời giải sai:
+) Tập xác định 
+) Ta có . Cho . 
x
 64 
y'
 0 +
y
 CT 
+) Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 64.
Nguyên nhân sai lầm:
Sai lầm do: Hiểu sai quy tắc 1. Không để ý tới điều kiện xác định của đạo hàm. Dẩn tới chỉ sai điểm tới hạn (Xét dấu sai). 
Lời giải đúng:
+) Tập xác định 
+) Ta có , 
Cho .
+) Bảng biến thiên
x
 2 64 
y'
 + 0 +
y
 0 
 - 32
+) Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 64.
Ví dụ 11. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = f(x) = x4 + mx đạt cực tiểu tại x = 0?
Lời giải sai:
+) Tập xác định 
+) Ta có f’(x) = 4x3 + m và f”(x) = 12x2
+) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 khi và chỉ khi
+) Vậy hàm số trên không có cực tiểu tại x = 0.
Nguyên nhân sai lầm:
- Sai lầm do thừa nhận mệnh đề: “Hàm số có điểm cực tiểu tại x = x0 khi và chỉ khi là đúng”
- Định lý này không sử dụng” khi và chỉ khi” mà chỉ sử dụng “nếu . thì”. Tức là mệnh đề trên chỉ đúng với chiều thuận, còn ngược lại không khẳng định được.
Lời giải đúng:
+) Ta có f’(x) = 4mx3 
+) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 m = 0.
+) Với m = 0 ta có bảng biến thiên sau:
x
 0 
y'
 0 +
y
 0
+) Vậy với m = 0 thị hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
Ví dụ 12. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y = f(x) = mx4 đạt cực đại tại x = 0?
Lời giải sai:
+) Ta có f’(x) = 4mx3 và f”(x) = 12mx2
+) Điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực đại tại x = 0 là:
+) Vậy hàm số không đạt cực đại tại x = 0.
Nguyên nhân sai lầm:
- Sai lầm do thừa nhận mệnh đề: “Hàm số có điểm cực đại tại x = x0 khi và chỉ khi là đúng”
- Định lý này không sử dụng” khi và chỉ khi” mà chỉ sử dụng “nếu . thì”. Tức là mệnh đề trên chỉ đúng với chiều thuận, còn ngược lại không khẳng định được.
Chẳng hạn với m = - 1 thì hàm số là y = f(x) = - x4. Hàm số này đạt cực đại tại x = 0.
Lời giải đúng:
+) Ta có f’(x) = 4mx3 
+) Nếu m = 0 thì f’(x) = 0. Khi đó hàm đã cho là hàm hằng nên không có cực trị.
+) Nếu m > 0 thì f’(x) = 4mx3 = 0 x = 0. Ta có bảng biến thiên: 
x
 0 
y'
 - 0 +
y
 0
 +) Nếu m < 0 thì f’(x) = 4mx3 = 0 x = 0. Ta có bảng biến thiên: 
x
 0 
y'
 + 0 
y
 0 
+) Vậy m < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x = 0. 
Ví dụ 13. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y = f(x) = x4 + mx3 + 1 đạt cực tiểu tại x = 0?
Lời giải sai:
+) Tập xác định 
+) Ta có f’(x) = 4x3 + 3mx2 và f”(x) = 12x2 + 6mx
+) Điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 là:
+) Vậy không tồn tại giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
Nguyên nhân sai lầm:
- Sai lầm do thừa nhận mệnh đề: “Hàm số có điểm cực tiểu tại x = x0 khi và chỉ khi là đúng”
- Định lý này không sử dụng” khi và chỉ khi” mà chỉ sử dụng “nếu . thì”. Tức là mệnh đề trên chỉ đúng với chiều thuận, còn ngược lại không khẳng định được.
Chẳng hạn với m = 0 thì hàm số là y = f(x) = x4 + 1. Khi đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
Lời giải đúng:
+) Tập xác định 
+) Ta có f’(x) = 4x3 + 3mx2 . Cho f’(x) = 0 
Với m = 0 ta có bảng biến thiên 
x
 0 
y'
 - 0 +
y
 1
Với m < 0 thì ta có bảng biến thên 
x
 0 
y'
 - 0 - 0 +
y
 1
 CT
Với m > 0 thì ta có bảng biến thiên 
x
 0 
y'
 - 0 + 0 +
y
 1
 CT 
+) Vậy với m = 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
Ví dụ 14. Tìm các giá trị của m để hàm số có 1 cực trị.
Lời giải sai:
- Ta có y’ = 4x3 – 2(5 – 2m)x
 y’ = 0 x(2x2 – 5 + 2m) = 0 
- Nhận thấy y’ = 0 luôn có nghiệm cố định x = 0 nên hàm số có 1 cực trị khi phương trình (1) vô nghiệm .
Nguyên nhân sai lầm:
- Sai lầm do chưa hiểu rõ bản chất của quy tắc 1. Đó là hàm số có cực trị tại x0 khi y’ = 0 có nghiệm và đổi dấu khi qua x0.
- Từ quy tắc 1 trên suy ra để thỏa mãn yêu cầu bài toán khi phương trình 1 phải có nghiệm kép hoặc vô nghiệm.
Lời giải đúng:
- Ta có y’ = 4x3 – 2(5 – 2m)x
 y’ = 0 x(2x2 – 5 + 2m) = 0 
- Nhận thấy y’ = 0 luôn có nghiệm cố định x = 0 nên hàm số có 1 cực trị khi 
Phương trình (1) có nghiệm kép hoặc vô nghiêm.
 .
* Khái quát vấn đề (Chọn nhanh đáp án theo định hướng đề thi trắc nghiệm).
1) Đối với hàm số .
+) Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho có 3 cực trị là: .
+) Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho có 1 cực trị là: .
+) Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho có 3 cực trị mà trong đó gồm 2 cực đại và 1 cực tiểu là:.
+) Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho có 3 cực trị mà trong đó gồm 1 cực đại và 2 cực tiểu là:.
+) Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho chỉ có 1 cực tiểu là: .
+) Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho chỉ có 1 cực đại là: .
2) Điều kiện để hàm số , có cực trị .
Phương pháp: Chỉ ra: có 2 nghiệm phân biệt .
+ Điều kiện để hàm số , có cực trị thỏa mãn tính chất K
Phương pháp: Trước hết, chỉ ra: có 2 nghiệm phân biệt .
Sau đó, giải điều kiện K, rồi đối chiếu với và kết luận.
2.3.3. Bài tập tự luyện
Bài 1. Xét sự biến thiên của hàm số y = .
Bài 2. Xét tính đơn điệu của hàm số y = .
Bài 3. Xét tính đơn điệu của hàm số y = .
Bài 4. Tìm các giá trị của m để hàm số y = đồng biến trên .
Bài 5. Tìm m để hàm số y = đồng biến trên từng khoảng xác định.
Bài 6. Tìm m để hàm số nghịch biến trên R.
Bài 7. Cho hàm số với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng ?
Bài 8. Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 3(m2 – 1)x + m. Tìm m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.
Bài 9. Cho hàm số .Gọi là hai điểm cực trị của hàm số. Tìm m để . 
Bài 10. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số không có cực đại. 
Bài 11. Cho hàm số . Với giá trị nào của m thì hàm số có 3 điểm cực trị. 
Bài 12. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để đồ thị của hàm số có hai điểm cực trị và sao cho tam giác có diện tích bằng với là gốc tọa độ.
Bài 13. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.
Bài 14. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số để đồ thị của hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác c