SKKN Một số phương pháp giải phương trình, hệ phương trình bồi dưỡng học sinh khá giỏi

DANH MỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT
TÊN
	VIẾT TẮT
Giáo viên
GV
Học sinh
HS
Trung học phổ thông
THPT
Sáng kiến kinh nghiệm
SKKN
Phương trình
PT
Ví dụ
VD
Bài tập
BT
MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài. 
Mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam là hình thành những cơ sở ban đầu và trọng yếu của con người mới: phát triển toàn diện phù hợp với yêu cầu và điều kiện hoàn cảnh đất nước con người Việt Nam.
Trong giai đoạn hiện nay, mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam đã được cụ thể hoá trong các văn kiện của Đảng, đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ VIII Đảng cộng sản Việt Nam và kết luận của hội nghị trung ương khoá IX, mục tiêu này gắn với chính sách chung về giáo dục và đào tạo “Giáo dục và đào tạo gắn liền với sự phát triển kinh tế, phát triển khoa học kĩ thuật xây dựng nền văn hoá mới và con người mới”
“Chính sách giáo dục mới hướng vào bồi dưỡng nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có trí thức, có tay nghề”
Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng là môn học công cụ . Nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán cùng với phương pháp làm việc trong toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học khác.
Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết môn Toán còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ.
Đất nước ta đang trên bước đường xây dựng, phát triển và giáo dục đã được Đảng, Nhà nước coi là quốc sách hàng đầu, để chấn hưng nền giáo dục của nước nhà thì việc đổi mới phương pháp giảng dạy được Bộ giáo dục luôn coi là một nhiệm vụ cấp thiết cần phải thực hiện một cách có hiệu quả. Muốn làm tốt công việc đó thì người thầy phải phấn đấu tự học, tự rèn nhằm nâng cao nhận thức, nghiệp vụ chuyên môn, từ đó tìm ra cho mình phương pháp giảng dạy đạt hiệu quả cao nhất, tạo được sự hứng thú và niềm tin ở học trò nhằm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục. Một trong những cách để tạo sự chuyển biến tích cực trong công tác giảng dạy đó là giáo viên viết các chuyên đề, sáng kiến kinh nghiệm phục vụ cho việc dạy và học. Thực tế qua quá trình giảng dạy và một vài năm tham gia ôn thi học sinh giỏi tôi nhận thấy cần có những tài liệu hệ thống lại các đơn vị kiến thức ở các phần khác nhau. 
Trong các đề thi học sinh giỏi ở các vòng của THPT hiện nay có rất nhiều các đơn vị kiến thức nâng cao rất nhiều so với chương trình toán cơ bản . Tài liệu ôn thi học sinh giỏi toán cũng rất nhiều,vì thế việc chọn ra những đơn vị kiến thức phù hợp để ôn cho các em học sinh một cách có hệ thống cũng là một vấn đề rất quan trọng. Một trong các phần đó là phần giải phương trình, hệ phương trình.
Trước thực tế đó, nhằm giúp các thầy cô và các em học sinh khá giỏi có thêm một tài liệu tham khảo trong giảng dạy và học tập phần PT, HPT góp phần nâng cao khả năng giải quyết các bài tập về phần này một cách thành thạo, nhằm phát huy khả năng suy luận, óc phán đoán tính linh hoạt của học sinh. Giúp các em tìm tòi, phát hiện kiến thức, tạo hứng thú trong quá trình học bộ môn Toán, và hơn nữa là góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy, nay tôi viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số phương pháp giải phương trình, hệ phương trình bồi dưỡng học sinh khá giỏi”.
1.2. Mục tiêu của sáng kiến
Cung cấp một số phương pháp giải hữu ích để giáo viên giảng dạy và học sinh có thể tiếp cận, giải quyết được các bài tập về phương trình và hệ phương trình trong các đề thi học sinh giỏi cấp trường, cấp tỉnh . Từ đó giúp các em nắm vững và khắc sâu các kiến thức hơn, biết cách vận dụng, khai thác một số dạng toán phương trình, hệ phương trình hay và khó.
1.3. Về đối tượng nghiên cứu 
Phương trình và hệ phương trình trong chương trình môn Toán THPT và các đề thi học sinh giỏi cấp trường,cấp tỉnh và thi THPT Quốc Gia .
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lí luận : Nghiên cứu các tài liệu về lí luận và phương pháp dạy học môn Toán.
Quan sát, điều tra : Thông qua thực tế giảng dạy của bản thân và học hỏi kinh nghiệm từ các đồng nghiệp.
- Thực nghiệm sư phạm : Để kiểm nghiệm kết quả đề tài được áp dụng trong thực tiễn dạy học.
2. NỘI DUNG 
2.1.	Cơ sở viết sáng kiến
* Cơ sở triết học:
Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá trình phát triển. Vì vậy trong quá trình giúp đỡ học sinh, Giáo viên cần chú trọng gợi động cơ học tập giúp các em thấy được sự mâu thuẫn giữa những điều chưa biết với khả năng nhận thức của mình, phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh trong việc lĩnh hội tri thức. Tình huống này phản ánh một cách lôgíc và biện chứng trong quan niệm nội tại của bản thân các em. Từ đó kích thích các em phát triển tốt hơn.
* Cơ sở tâm lý học:
Theo các nhà tâm lí học: Con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh nhu cầu tư duy khi đứng trước một khó khăn cần phải khắc phục. Vì vậy GV cần phải để học sinh thấy được khả năng nhận thức của mình với những điều mình đã biết với tri thức của nhân loại. 
Căn cứ vào quy luật phát triển nhận thức và hình thành các đặc điểm tâm lí thì từ những lớp cuối của cấp THCS, học sinh đã bộc lộ thiên hướng, sở trường và hứng thú đối với những lĩnh vực kiến thức, kĩ năng nhất định. Một số học sinh có khả năng và ham thích Toán học, các môn khoa học tự nhiên; số khác lại thích thú văn chương và các môn khoa học xã hội, nhân văn khác. Ngoài ra còn có những học sinh thể hiện năng khiếu trong những lĩnh vực đặc biệt 
* Cơ sở giáo dục học:
Để giúp các em học tốt hơn. GV cần tạo cho học sinh hứng thú học tập. Cần cho học sinh thấy được nhu cầu nhận thức là quan trọng, con người muốn phát triển cần phải có tri thức cần phải học hỏi. Thầy giáo biết định hướng, giúp đỡ từng đối tượng học sinh.
2.2.	Thực trạng của vấn đề cần giải quyết.
* Phương trình, hệ phương trình là nền tảng của toán học phổ thông. Xu thế thi ngày càng khó, số câu vận dụng và vận dụng cao cũng tăng lên trong lĩnh vực đại số giải tích hầu hết đưa về những phương trình, hệ phương trình không mẫu mực mà đa số học sinh lúng túng.Hiểu được bản chất, mấu chốt của vấn đề các em sẽ dễ dàng thực hiện ước mơ của mình vượt qua tất cả các kỳ thi.
 * Tôi nhận thấy đa số học sinh có kết quả rất thấp. Vì vậy việc lĩnh hội kiến thức và rèn luyện kĩ năng ở học sinh đòi hỏi nhiều công sức và thời gian. Sự nhận thức của học sinh thể hiện khá rõ.
* Thực tế qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy đại đa số các em học sinh đều ngại và lúng túng khi gặp các bài toán không mẫu mực, không có phương pháp rõ ràng, ngay cả các em học sinh lớp 12 khi đã được trang bị công cụ là đạo hàm cũng thấy khó khăn.
2.3. Các giải pháp thực hiện
Phương pháp 1. Dùng đạo hàm để giải phương trình
 Ta biết rằng mọi phương trình đều có thể đưa về dạng , trong đó hàm số thể hiện đầy đủ tính chất của nghiệm phương trình này. Do đó khi ta khảo sát được hàm số , ta có thể có được cái nhìn tổng quát về phương trình, xác định được rằng phương trình đó có bao nhiêu nghiệm, thuộc những miền nào,những tính chất này tất nhiên không thể rõ ràng bằng nghiệm cụ thể của phương trình nhưng nó vẫn có nhiều lợi ích khi mà việc tìm lời giải cho bài toán đó không tiến hành thuận lợi bằng các cách giải thông thường nữa.
 Và như thế công công cụ hàm trong trường hợp này thực sự thể hiện rõ tính hiệu quả của nó, bằng cách dùng đạo hàm ta có thể xác định được chính xác số nghiệm của một phương trình cho trước; sau đó ta tiến hành một bước trong lập luận cho điều kiện đủ của bài toán mà thông thường gọ là “nhẩm nghiệm” để chỉ ra rằng phương trình chỉ có bao nhiêu nghiệm đó thôi và hoàn tất lời giải.
Sử dụng đạo hàm để giải phương trình.
 Trong phần này, chúng ta sẽ tìm hiểu một số ứng dụng trực tiếp của đạo hàm vào giải phương trình và thấy rằng có nhiều bài toán thì đây là cách duy nhất có thể thực hiện được.
Trước hết ta có những kết quả quen thuộc sau:
(1). Trên miền xác định D của hàm số , nếu hoặc thì hàm số đơn điệu và phương trình có không quá một nghiệm.
(2). Nếu hàm số liên tục trên và thì phương trình có ít nhât một nghiệm trên .
(3). Giả sử có đạo hàm đến cấp n trên khoảng . Khi đó nếu phương trình có k nghiệm thì phương trình chỉ có tối đa k+1 nghiệm. (hệ quả của định lí Rolle).
(4). Nếu hàm số liên tục trên và có đạo hàm trên khoảng thì tồn tại sao cho .
 Vì vậy việc trình bày lời giải bài toán theo ý này có thể qua hai bước chính là:
Dùng đạo hàm chứng minh phương trình có không quá k nghiệm.
Chỉ ra được đầy đủ k nghiệm đó.
Ví dụ 1. Giải PT: 
Lời giải.
 Ta thấy với phương trình này cách đặt ẩn phụ hay biến đổi tương đương không còn tác dụng nữa.
Ta giải bằng đạo hàm như sau:
Điều kiện xác định của PT là 
Xét hàm số: 
Nhưng do nên tức là hàm số đồng biến hay phương trình có không quá một nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=0.
Ta xét thêm một ví dụ nữa để thấy tác dụng của công cụ này.
Ví dụ 2. Giải PT: 
Lời giải. Điều kiện xác định 
Xét hàm số 
Suy ra PT đã cho có không quá một nghiệm, ta dễ dàng nhẩm được nghiệm đó là và lời giải hoàn tất.
Ví dụ 3. Chứng minh PT sau có đúng một nghiệm dương:
 với mọi 
Lời giải. Xét hàm số 
 tức là hàm số đồng biến hay PT đã cho có không quá một nghiệm.
Hơn nữa nên PT đã cho có ít nhất một nghiệm thuộc và đây là nghiệm dương.
Từ hai điều này suy ra PT đã cho có đúng một nghiệm dương.
Ví dụ 4. Giải PT: 
Lời giải. Rõ ràng khi đứng trước những PT ở dạng hỗn hợp, vừa có hàm mũ, vừa có hàm tuyến tính thế này ta cũng không thể áp dụng những biến đổi đại số thông thường. Việc sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số là tất yếu.
Xét hàm số 
Ta có suy ra PT có không quá hai nghiệm.
Ta nhẩm được hai nghiệm này là .
Vậy PT đã cho có hai nghiệm .
Ví dụ 5. Giải PT: 
Lời giải. Phương trình đã cho có dạng 
Xét hàm số , trong đó x0 là nghiệm của PT trên.
PT đã cho có thể viết lại là: 
Rõ ràng hàm số này liên tục trên nên theo định lí Lagrange thì tồn tại sao cho 
PT này có đúng hai nghiệm là nên nếu x0 là nghiệm của phương trình đã cho thì nó phải thuộc . Thử lại thấy thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho coa hai nghiệm là 
Sử dụng đạo hàm để giải hệ phương trình.
Những ứng dụng của đạo hàm trong việc giải hệ phương trình xoay quanh một số vấn đề chủ yếu là:
Tìm được mối quan hệ giữa các biến trong một phương trình nào đó của hệ để thế vào các phương trình khác rồi giải.
Dùng tính đơn điệu của hàm số để giải các bài toán về hệ lặp.
Ví dụ 6. Giải hệ phương trình:
Lời giải. Ta thấy bài toán dạng này rất đặc trưng cho phương pháp được nêu và cách ra đề này cũng thường hay được sử dụng trong các đề thi.
Điều quan trọng là chứng minh được x = y từ hệ trên.
Điều này cũng không khó, từ phương trình thứ hai của hệ ta thấy . Khi đó, ta xét hàm số thì , suy ra nghịch biến. Phương trình thứ nhất thực chất là : .
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được .
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là .
Ví dụ 7. Giải hệ phương trình:
Lời giải. Xét hàm số . Ta có:
Suy ra đồng biến.
Giả sử thì từ hệ phương trình trên suy ra .
Do đó hay .Ta thay lại vào hệ quy về việc giải phương trình:
.
Lại xét hàm số: 
, tức hàm này cũng đồng biến.
Hơn nữa ta thấy phương trình có một nghiệm t = 1
Từ đó suy ra hệ đã cho có duy nhất một nghiệm .
BÀI TẬP ÁP DỤNG:
Giải các phương trình sau:
Giải các phương trình sau:
Giải các hệ phương trình sau:
Phương pháp 2. Giải PT,HPT bằng phương pháp hàm số:
Định lí 1:Nếu hàm số y=f(x) luôn đb (hoặc luôn ngb) thì số nghiệm của pt : f(x)=k
Không nhiều hơn một và f(x)=f(y) khi và chỉ khi x=y
Định lí 2: Nếu hàm số y=f(x) luôn đb (hoặc luôn ngb) và hàm số y=g(x) luôn ngb (hoặc luôn đb) trên D thì số nghiệm trên D của pt: f(x)=g(x) không nhiều hơn một
Định lí 3:Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm đến cấp n và pt có m nghiệm, khi đó pt có nhiều nhất là m+1 nghiệm
Các ví dụ:
VÝ dô 1:Giải PT:
Giải: Ta thấy PT chỉ có nghiệm trong 
Với u=-3x, v=2x+1; u,v>0. Xét hàm số với t >0
Ta có 
(1)u=v -3x=2x+1 là nghiệm duy nhất của pt
VÝ dô 2: Giải PT: 
Giải: Xét hàm số : , ta có 
Vì 
Nên dấu của f’(x) chính là dấu của sinx. Từ đây ta có 
Vậy pt đã cho có nghiệm duy nhất x = 0
Ví dụ 3. Giải PT: 
Giải: Xét hàm số : 
Ta có: 
vô nghiệm nên phương trình đã cho có nhiều nhất hai nghiệm.
Mà ta thấy f(1)=f(0)=0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 0 và x = 1.
Ví dụ 4.Giải pt: 
Giải: Đk: 
Xét hàm số: ta có f(t) là hàm đồng biến nên
Xét hàm số: 
 có nhiều nhất là hai nghiệm, mà f(0)=f(1)=0 nên pt đã cho có hai nghiệm x=0 và x=1
Ví dụ 5. Giải hệ pt: 
Giải: Từ (2) và (3) ta có : 
. Xét hàm số f(t)=sint-3t với ta có f(t) là hàm nghịch biến nên f(x)=f(y)x=y thay vào (2) ta có là nghiệm của hệ
Ví dụ 6. Giải hệ: 
Giải: Đk: (*)
(1) (do hàm số là hàm đồng biến)
Thay vào (2) ta có: 
Vậy là nghiệm duy nhất của hệ đã cho 
HỆ HOÁN VỊ VÒNG QUANH:
Định nghĩa:Là hệ có dạng: (I)
Định lí 1: Nếu f,g là các hàm cùng tăng hoặc cùng giảm trên A và là nghiệm của hệ trên A thì 
Định lí 2:Nếu f,g khác tính đơn điệu trên A và là nghiệm của hệ trên A thì nếu n lẻ và nếu n chẵn 
Ví dụ 7:Giải hệ: 
Giải:Ta giả sử (x,y,z) là no của hệ. Xét hàm số 
ta có: nên f(t) là hàm đồng biến
Ta giả sử: x=Max{x,y,z} thì 
Vậy ta có x=y=z. Vì pt có nghiệm duy nhất x=1 nên hệ đã cho có nghiệm là x=y=z=1
Ví dụ 8. Giải hệ: 
Giải: Hệ 
Trong đó với 
Ta có f(t) là hàm nghịch biến, g(t) là 
hàm đồng biến nên ta có nếu (x,y,z) là nghiệm của hệ thì x=y=z thay vào hệ ta có:
 pt này có nghiệm duy nhất x=3.
Vậy nghiệm của hệ đã cho là x=y=z=3.
Bài tập:
1. Giải hệ: 
2. Tìm a để hệ sau đây có nghiệm duy nhất 
3.Giải hệ:
Phương pháp 3. Tham số hóa
 Ví dụ 1. Giải phương trình 
Lời giải
Viết phương trình đã cho dưới dạng . Ta cần chọn sao cho vế phải có dạng một bình phương đúng
Khi đó phương trình đã cho tương đương với
 Ví dụ 2. Giải phương trình
Lời giải
Ta tìm cách viết vế trái của phương trình dưới dạng . Như vậy thì là nghiệm của hệ phương trình là nghiệm của phương trình 
Khi đó phương trình đã cho tương đương với
Ví dụ3. Giải phương trình chứa căn
Lời giải.
Tập xác định 
Ta tìm sao cho 
khi đó phương trình viết lại như sau
đặt , ta được
 Ví dụ 4. Giải hệ phương trình
Lời giải
Hệ đã cho được viết lại như sau
Suy ra 
Ta cần chọn sao cho có dạng
So sánh và thì
Như vậy ta có
+) thay vào ta được
 .
+) thay vào ta được
 .
Kết luận: Hệ đã cho có hai nghiệm là
 .
Nhận xét: Với cách làm này thì cho dù bài toán có các hệ số lớn thì chúng ta vẫn giải quyết được. Có thể hình dung tác giả đã sang tạo bài toán như sau:
Xuất phát từ ta có
Nếu các bạn để ý một chút thì thấy rằng trong hệ không chứa đơn thức dạng . Do đó ta sẽ tách các ẩn riêng như trên và đưa về hằng đẳng thức. Bây giờ, bằng một phép đổi biến ta có hệ phương trình khó hơn.
Ví dụ 5. Giải hệ phương trình 
Lời giải
Đặt suy ra thay vào các phương trình của hệ và biến đổi 
 trở thành
 trở thành
Ta có hệ
Suy ra
Ta cần chọn sao cho có dạng
So sánh và suy ra
Như vậy ta có , thay vào ta được
+) ta có hệ phương trình
+) ta có hệ phương trình
Kết luận: Hệ đã cho có hai nghiệm là 
 .
Bài tập tự luyện
Giải các phương trình sau: 
 1. 
 2. 
 3. 
Hiệu quả của sáng kiến:
 Khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy đã mang lại một hiệu quả bất ngờ, các em học sinh thấy hứng thú hơn với môn toán. Đối với học sinh lớp 10 các em hầu như không còn sợ phương trình và hệ phương trình không mẫu mực như trước. Còn đối với lớp 12 nhiều em đã giải tốt những phương trình và hệ phương trình mũ- logarit ở mức độ vận dụng cao trong các kỳ thi thử THPT Quốc Gia
 Các em học sinh sau khi được tiếp cận với chuyên đề trên đã cảm thấy dễ dàng, hứng thú hơn trong quá trình giải quyết các bài toán liên quan đến phương trình và hệ phương trình khó.
 Thông qua bài khảo sát chất lựơng tôi thu được kết quả như sau:
Lớp 10 A2: (42 học sinh)
Xếp loại
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
Số lượng
7
25
10
0
0
Lớp 12B6: (40 học sinh)
Xếp loại
Giỏi
Khá
TB
Yếu
Kém
Số lượng
8
17
15
0
0
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận 
 - Trong giai đoạn giáo dục hiện nay, đổi mới phương pháp giảng dạy là một nhiệm vụ hết sức quan trọng nhằm đào tạo cho xã hội một nguồn nhân lực thực thụ. Bản thân tôi mong muốn làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập của học sinh nên tôi luôn cố gắng tìm tòi và ứng dụng những cái mới vào việc giảng dạy trên cở sở kinh nghiệm qua những năm đứng lớp .
 - Phương trình và hệ phương trình là một dạng khó đối với các em học sinh, nên tôi đã cố gắng tập hợp, giải quyết các bài toán đó thông qua các phương pháp giải cụ thể để học sinh dễ hiểu . Qua ứng dụng SKKN này giảng dạy cho học sinh tôi nhận thấy đối với bài toán về phương trình, hệ phương trình không mẫu mực thì đạo hàm và hàm số là công cụ tuyệt vời và dễ hiểu, giúp các em học sinh tự tin lên rất nhiều khi đối mặt với dạng bài tập này.
 - Như vậy, với SKKN này dù ít hay nhiều cũng giúp ích cho cho công việc giảng dạy của tôi, nâng cao chất lượng học môn toán hơn trước. Đối với bản thân tôi, là một giáo viên đứng lớp viết SKKN này cũng giúp ích rất nhiều trong việc tự học và trau dồi chuyên môn, nghiệp vụ của mình.
 - Từ quá trình áp dụng SKKN tôi thấy bài học kinh nghiệm được rút ra là khi giảng dạy giáo viên phải giúp học sinh tiếp thu kiến thức một cách nhẹ nhàng và tự nhiên, không nên gò ép, áp đặt, phải đưa ra được phương pháp giải đối với từng loại toán. Có như vậy học sinh mới hứng thú học tập và yêu thích môn toán.
3.2. Kiến nghị 
Bài toán giải phương trình, hệ phương trình đại số hay mũ- logarit, kể cả lượng giác là bài toán khó trong chương trình toán THPT, hầu hết học sinh đều gặp khó khăn khi tiếp cận với bài toán này. Để giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về phương pháp toán, đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức đó để giải quyết nhiều tình huống khác nhau tôi xin nêu một số giải pháp đề nghị sau:
 1. Đối với tổ chuyên môn và chuyên môn nhà trường cho phép tôi được áp dụng SKKN với một số lớp bằng cách cho học sinh đi học phụ đạo buổi chiều.
2. Tổ chuyên môn thường xuyên đóng góp ý kiến cho SKKN của tôi trong quá trình tôi thực hiện SKKN này
Do kinh nghiệm còn thiếu, thời gian nghiên cứu và ứng dụng chưa dài nên đề tài của tôi không tránh khỏi còn nhiều hạn chế. Rất mong được sự đóng góp của các đồng nghiệp để tôi có thể hoàn thiện hơn đề tài của mình.
XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 24 tháng 5 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
Người viết
 Nguyễn Thị Thúy
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Phương pháp giảng dạy môn toán.
Tác giả: Vũ Dương Thụy – Nguyễn Bá Kim – NXB Giáo dục
Trọng tâm kiến thức đại số 10
Tác giả: Phan Huy Khải – Nhà xuất bản Giáo dục.
Sách giáo khoa đại số 10 nâng cao.
Nhà xuất bản Giáo dục.
Sách bài tập đại số 10 nâng cao.
Nhà xuất bản Giáo dục.
Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao.
Nhà xuất bản Giáo dục.
Sách bài tập giải tích 12 nâng cao.
Nhà xuất bản Giáo dục.
Ngoài ra tôi còn tham khảo một số tài liệu trên mạng, trong nhóm Word toán,
DANH MỤC
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả:......Nguyễn Thị Thúy ....................................................
Chức vụ và đơn vị công tác:...Giáo viên toán.......................................................,
TT
Tên đề tài SKKN
Cấp đánh giá xếp loại
(Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh...)
Kết quả đánh giá xếp loại
(A, B, hoặc C)
Năm học đánh giá xếp loại
Ứng dụng phần mềm Cabri 3D nâng cao hiệu quả bài dạy “Mặt cầu- khối cầu”.
Cấp tỉnh
C
2013-2014
Sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian giải một số bài toán hình học không gian.
Cấp tỉnh
C
2016-2017