SKKN Một số phương pháp giải nhanh các dạng bài tập số phức ở trung tâm GDTX thành phố Thanh Hóa

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
TRUNG TÂM GDTX THÀNH PHỐ THANH HÓA
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH
CÁC DẠNG BÀI TẬP SỐ PHỨC 
Ở TRUNG TÂM GDTX THÀNH PHỐ THANH HÓA
Người thực hiện: Nguyễn Thị Quý
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc môn: Toán
 THANH HOÁ NĂM 2018
MỤC LỤC
Trang
1. Mở đầu .2
1.1. Lí do chọn đề tài2
1.2. Mục đích nghiên cứu.2
1.3. Đối tượng nghiên cứu.3
1.4. Phương pháp nghiên cứu...3
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm ...3
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm......3
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm...4
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề......4
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm ...17
3. Kết luận, kiến nghị .......18
3.1. Kết luận........18
3.2. Kiến nghị......18
Tài liệu tham khảo.......19
1. Mở đầu.
1.1. Lí do chọn đề tài.
Số phức có vai trò quan trọng trong toán hoc, gần như trường số phức thỏa mãn các yêu cầu của toán học. Chính vì thế mà mặc dù gọi là số ảo nhưng trường số phức đóng vai trò quan trọng trong đời sống thực của chúng ta. Đặc biệt ở cấp trung học phổ thông nó có rất nhiều ứng dụng dễ dàng tiếp cận bài toán sơ cấp khó, vì vậy trong những năm gần đây Bộ Giaó dục đã đưa vào chương trình giảng dạy ở cấp phổ thông. Nhằm mục đích giới thiệu đến quý thầy cô giáo và các em học sinh một cách chi tiết hơn về số phức, cách tiếp cận cũng như ứng dụng của nó trong việc giải các bài toánôn thi đại học nên tôi viết chuyên đề này. Hy vọng rằng qua chuyên đề này quý thầy cô giáo và các em học sinh phát hiện được các vấn đề mới mẻ và hấp dẫn cũng như ứng dụng đa dạng của số phức trong giải toán phổ thông. Góp phần nâng cao chất lượng dạy và học trong kiến thức SỐ PHỨC.
 “Số phức” là kiến thức mới được đưa vào chương trình cải cách mấy năm gần đây. Kiến thức về “số phức” đối với học sinh cấp III chỉ mang tính chất giới thiệu và làm quen. Tuy vậy học sinh vẫn không khỏi bỡ ngỡ và lúng túng khi làm toán trên tập số phức (Kí hiệu là ). Nhất là đối với học sinh trung tâm, các em có hạn chế về tư duy và khả năng tiếp thu. 
1.2. Mục đích nghiên cứu
Bất kỳ môn học nào, đặc biệt là Toán đều cần đến cái Gốc. Có dễ mới có khó, có đơn giản mới đến phức tạp. Nhưng đối với học sinh TT GDTX TP , hầu hết các em học từ ngọn. Hầu hết các em yếu và kém về mặt nhận thức, mất gốc. Có những em chưa thành thạo các phép tính, chưa giải được phương trình bậc hai. Học theo lớp ngồi, cái gì Giáo viên cũng tìm mọi cách để đơn giản kiến thức mà dạy. Đối với SỐ PHỨC cũng vậy, bản chất của nó là các phép toán trên đơn thức, đa thức. Âý vậy mà chúng tôi- những người trực tiếp giảng dạy gặp nhiều khó khăn: kiến thức mới khó tiếp thu , khó nhớ. Nguyên nhân sâu xa của vấn đề là:
* Nguyên nhân từ phía gia đình
Gia đình có vai trò quan trọng đối với con cái, do thiếu sự quan tâm và giáo dục của các bậc phụ huynh ; cũng có nhiều gia đình có hoàn cảnh éo le, bố mẹ chia tay hoặc bố mất, mẹ mất,...các em sao nhãng việc học. Thêm vào đó là phần đa phụ huynh nghĩ rằng con họ có học cũng không vào, nên kệ con em mình. Miễn sao con em mình lên lớp là được.
* Nguyên nhân từ phía người thầy:
Tất cả giáo viên dạy chương trình GDTX đều phải tự soạn, tự nghiên cứu và tự sưu tầm tài liệu để dạy sao cho hiệu quả . Giáo viên dạy GDTX vẫn phải hoàn tất công tác giảng dạy như mọi giáo viên, đôi khi còn kiêm nhiệm nhiều công tác khácnên không có điều kiện đầu tư thời gian, trí lực cho việc cung cấp kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài cho học sinh. 
* Nguyên nhân từ phía học sinh:
Đối tượng học sinh của Trung Tâm GDTX Thành Phố Thanh Hóa thường tiếp thu chậm, hiểu nội dung mơ hồ, khả năng tư duy Toán chưa tốt,...Do đó các em không có vốn kiến thức cơ bản tương xứng để học và làm toán . 
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
 Khi học khái niệm mới “Số phức”, học sinh mắc phải một số sai lầm khi: nhân hai số phức, chia hai số phức hay giải phương trình nghiệm phức Trong quá trình học ở trường đại học và dạy ở trung tâm tôi có nguyện vọng được hệ thống lại “số phức” một cách tường minh và dễ hiểu. Giúp học sinh hiểu và làm bài tập tốt hơn. Phục vụ quá trình học tập, ôn thi tốt nghiệp đối với học sinh là kiến thức căn bản để ôn thi đại học của một số học sinh có nguyện vọng. 
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Chủ yếu dùng phương pháp khảo sát thực tế, luyện tập kỹ năng để hình thành thói quen giải toán.
- Cho học sinh làm bài kiểm tra để đánh giá hiệu quả.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
	1.Định nghĩa số phức.
Mỗi biểu thức dạng , trong đó , gọi là một số phức.
Đối với số phức ta nói là phần thực, là phần ảo của . Tập các số phức kí hiệu là . 
Ví dụ: , , ,  
	2. Số phức bằng nhau:
3. Biểu diễn hình học một số phức
Điểm trong hệ toạ độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức . 
0
x
M
1
2
y
Ví dụ: biểu diễn số phức 
	(1;2)
4. Mô đun của số phức
Độ dài được gọi là mô đun của số phức và kí hiệu là 
0
x
M
y
Vậy hay 
5. Số phức liên hợp 
Cho . Ta gọi là số phức liên hợp của và kí hiệu là 
6. Các phép toán trên tập số phức
Phép cộng và phép trừ
Phép cộng:
.
 Phép trừ
Phép nhân
Chú ý: Nhân hai số phức theo quy tắc nhân hai đa thức với chú ý: 
Phép cộng và phép nhân các số phức có tất cả các tính chất của phép cộng và phép nhân số thực.
Phép chia
Chia số phức cho số phức khác 0 là tìm số phức sao cho . Số phức được gọi là thương trong phép chia cho và kí hiệu là .
Quy tắc tìm : Để tính , ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của .
7. Phương trình bậc hai hệ số thực nghiệm phức 
 với ; . Có có hai nghiệm 
.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Số Bài kiểm tra
Học sinh làm được trên 70 % bài tập 
 ( Khá)
Học sinh làm được 
50 – 70 % bài tập.
(TB)
Học sinh làm dưới 50% bài tập.
(Yếu)
34 bài
Sốlượng
Tỉ lệ %
Sốlượng
Tỉ lệ %
Sốlượng
Tỉ lệ %
4 bài
11,8%
12 bài
35,3 %
18 bài
52,9 %
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
Dạng 1: Thực hiện các phép toán trên tập số phức 
*Mức độ Hiểu biết
 Bài tập 1: Tìm với
a. , 
b. , 
c. , 
d. , 
 Lời giải:
a. ; 
b. ; 
c. ; 
d. ; 
 Bài tập 2: Thực hiện phép tính
a. 
b. 
c. 
 Lời giải: Nhân hai số phức là nhân 2 hay nhiều đa thức (với )
a. = 
b. = 
c. = 
 Bài tập 3: Tính
a. 
b. 
 Lời giải:
a. 
b. 
 Bài tập 4: Thực hiện các phép tính
a. b. 
c. d. 
e. f. 
 Lời giải:
a. 
b. Tương tự.
c. 
* Mức độ vận dụng.
 Bài tập 4: Tính 
 Lời giải:
Ta có 
Với ta có:
Với ta có: 
*Mức độ vận dụng cao
 Bài tập 6: Tính 
 Lời giải:
Dạng 2: Xác định số phức và biểu diễn số phức 
*Mức độ Hiểu biết
Bài tập 1: Tìm các số thực biết: 
a. 
b. 
*Phương pháp (P2) dạng toán này bản chất là giải các phương trình và hệ phương trình bậc nhất để tìm .
Lời giải: 
a. 
b. 
Bài tập 2: Tìm số phức liên hợp của
a. 
b. 
c. 
d. 
* Mức độ vận dụng.
Bài tập 3: Trên mặt phẳng toạ độ tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức thoã mãn: 
 a. d. 
b. e. 
c. 
P2: dạng bài tập này là tìm các tập điểm t/m các điều kiện: hoành độ -phần thực
, tung độ -phần ảo.
x
0
-3
y
 Lời giải:
a. 
Là đường thẳng 
4
x
y
0
b. 
Là đường thẳng 
c. 
0
x
y
-2
3
Là miền giới hạn bởi 2 đường thẳng 
d. 
Ta có là đường tròn có tâm và 
x
-2
2
y
2
-2
e. 
Ta có là mặt phẳng giới hạn bởi đường tròn (kể cả điểm thuộc đường tròn
x
-1
1
y
1
-1
Dạng 3. Giải các phương trình nghiệm phức.
*Mức độ Hiểu biết
 Bài tập 1: Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức
a. 
b. 
 Lời giải:
a. 
b. 
* Mức độ vận dụng
 Bài tập 2: Giải các phương trình sau trên tập số phức
a. 
b. 
 Lời giải:
a. Ta có . Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
b. Ta có . Phương trình có 2 nghiệm phân biệt
* Mức độ vận dụng cao
 Bài tập 3: Giải phương trình sau trên tập 
a. 
b. . Biết phương trình có nghiệm thực.
 Lời giải:
a. 
Từ đó ta suy ra phương trình có 3 nghiệm là 
 ; ; 
b. Vì phương trình có nghiệm thực nên
 thoã mãn cả 2 pt của hệ.
Phương trình đã cho tương đương với
; ; 
Dạng 4. Mô đun của số phức.
*Mức độ Hiểu biết
 Bài tập 1: Tìm biết
a. 
b. 
 Lời giải:
a. 
b. 
* Mức độ vận dụng
Bài tập 2: Tìm số phức thoã mãn.
 và 
 Lời giải:
Giả sử ( là số thực). Từ giả thiết ta có
 hoặc .
Vậy có 2 số phức thoã mãn điều kiện.
Dạng 5. Chứng minh bất đẳng thức 
*Mức độ vân dụng cao
Bài tập 1: Chứng minh rằng nếu thì 
Lời giải:
Giả sử () thì . Ta có
. 
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 
 Bài tập 2: Cho số phức khác không thoả mãn điều kiện Chứng minh rằng: 
 Lời giải:
Dễ dàng chứng minh được với 2 số phức bất kỳ ta có 
Ta có 
Đặt ta có 
III. Bài tập tự luyện.
*Mức độ hiểu biết và vận dụng
 Bài tập 1: Tìm tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn cho số phức thoãn mãn :
a. 
b. và 
c. 
d. 
e. 
f. 
 Bài tập 2: Tìm phần thực, phần ảo và mô đun của số phức sau:
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
 Bài 3: Tính
a. 
b. 
 Bài 4: Giải các phương trình sau trên trường số phức
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
g. 
h. 
i. 
j. 
k. 
l. 
m. 
n. 
s. 
t. 
*Mức độ vận dụng cao
 Bài tập 1: Tính các tổng sau, khi 
a. 
b. 
 Bài tập 2: Tính các tổng hữu hạn sau
a. 
b. 
 Bài tập 3: Chứng minh rằng 
IV.Câu hỏi trắc nghiệm Số phức
*Mức độ hiểu biết và vận dụng
Câu 1: Gọi và là các nghiệm của phương trình . Tính 
A. –14	B. 14	C. -14i	D. 14i
Câu 2: Gọi là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình . Tọa độ điểm M biểu diễn số phức là:
A. 	B. 	C.	D. 
Câu 3: Cho số phức z có phần ảo âm và thỏa mãn . Tìm mô đun của sốphức:
	A. 4	B. 	C. 	D. 5
Câu 4:Gọi và lần lượt là nghiệm của phươngtrình: . Tính 
A.	B. 10 	C. 3	D. 6	
Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn: Hiệu phần thực và phần ảo của số phức z là:
A. 1	B. 0	C. 4	D.6
Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn:.Tìm mô đun số phức.
A. 4	B. 	C. 	D. 5
Câu 7: Dạng z = a+bi của số phức là số phức nào dưới đây?
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 8: Mệnh đề nào sau đây là sai, khi nói về số phức?
A. là số thực	B. 	C. là số thực.	D.
Câu 9: Cho số phức . Khi đó môđun của là:
A. 	B.	C. 	D. 
 Câu 10:Cho số phức . Trong các kết luận sau kết luận nào đúng?
A. .	B. là số thuần ảo.	
C. Mô đun của bằng 1	D.có phần thực và phần ảo đều bằng 0.
Câu 11: Điểm biểu diễn số phức có tọa độ là
A. (1;-4)	B. (-1;-4)	C. (1;4)	D. (-1;4)
Câu 12: Tập hợp nghiệm của phương trình là:
A.	B. 	C. 	D. 
Câu 13: Tập nghiệm của phương trình là :
A.	B. 	C. 	D. 
Câu 14: Tìm hai số phức có tổng và tích lần lượt là -6 và 10.
A. -3-i và -3+i 	B. -3+2i và -3+8i	C. -5 +2i và -1-5i	D. 4+4i và 4-4i
Câu 15: Cho số phức và là số phức liên hợp của . Phương trình bậc hai nhận và làm nghiệm là:
A.	B. 	C. 	D. 
Câu 16: Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Số phức có phần thực là:
A. 	B.	C. 	D. 
Câu 17: Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Số phức có phần ảo là:
	A. 	B.	C. 	D. 
Câu 18: Trong , cho phương trình bậc hai az2 + bz + c = 0 (*) (a ¹ 0). 
Gọi D = b2 – 4ac. Ta xét các mệnh đề:
	1) Nếu D là số thực âm thì phương trình (*) vô nghiệm
	2) Néu D¹ 0 thì phương trình có hai nghiệm số phân biệt
	3) Nếu D = 0 thì phương trình có một nghiệm kép
	Trong các mệnh đề trên:
	A. Không có mệnh đề nào đúng	B. Có một mệnh đề đúng
	C. Có hai mệnh đề đúng	D. Cả ba mệnh đề đều đúng
Câu 19: Điểm biểu diễn của số phức z = là:
	A. 	B.	C. 	D. 
Câu 20: Số phức nghịch đảo của số phức z = 1 - là:
	A. = 	B. = 	C. = 1 + 	D. = -1 + 
Câu 21: Số phức z = bằng:
	A.	B. 	C. 	D. 
Câu 22: Thu gọn số phức z = ta được: 
	A. z = 	B. z = 	C. z = 	D. z = 
Câu 23 : Cho số phức z = a + bi. Khi đó số là:
	A. Một số thực	B. 0	C. Một số thuần ảo	D. i
Câu 24:Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. (Trong đó a, b, a’, b’ đều khác 0) điều kiện giữa a, b, a’, b’ để là một số thuần ảo là:
	A. a + a’ = b + b’	B. aa’ + bb’ = 0	C. aa’ - bb’ = 0	D. a + b = a’ + b’
Câu 25: Cho số phức z = a + bi. Để z3 là một số thực, điều kiện của a và b là:
	A.	B. 	C. b = 3a	D. b2 = 5a2
Câu 26: Cho số phức z = a + bi. Để z3 là một số thuần ảo, điều kiện của a và b là:
	A. ab = 0	B. b2 = 3a2	C.	D. 
Câu 27: Cho số phức z = x + yi ¹ 1. (x, y Î R). Phần ảo của số là: 
	A. 	B.	C. 	D. 
Câu 28: Trong C, phương trình z2 + 4 = 0 có nghiệm là:
	A.	B. 	C. 	D. 
Câu 29: Trong C, phương trình có nghiệm là:
	A. z = 2 - i	B. z = 3 + 2i	C. z = 5 - 3i	D. z = 1 + 2i
*Mức độ vận dụng cao
Câu 30:Cho phương trình z2 + bz + c = 0. Nếu phương trình nhận z = 1 + i làm một nghiệm thì b và c bằng (b, c là số thực) :
	A. b = 3, c = 5	B. b = 1, c = 3	C. b = 4, c = 3	D. b = -2, c = 2
Câu 31: Cho phương trình z3 + az2 + bz + c = 0. Nếu z = 1 + i và z = 2 là hai nghiệm của phương trình thì a, b, c bằng (a,b,c là số thực):
	A.	B. 	C. 	D. 
Câu 32:Cho số phức z = a + bi ¹ 0. Số phức z-1 có phần thực là:
	A. a + b	B. a - b	C.	D.
Câu 33 : Cho số phức z = a + bi ¹ 0. Số phức có phần ảo là :
	A. a2 + b2	B. a2 - b2	C. 	D.
Câu 34:Tính .
A.	B. 	C. 	D. 
Câu 35: Điểm M biểu diễn số phức có tọa độ là :
A.M(4;-3)	B(3;-4)	C. (3;4)	D(4;3)
Câu 36: Số phức nào sau đây là số thực:
A. 	B. 	
C. 	D. 
Câu 37: Biết rằng nghịch đảo của số phức z bằng số phức liên hợp của nó, trong các kết luận sau, kết luận nào đúng.?
A. z∈R	B.z=1	C. z là số thuần ảo.	D. z=-1	
Câu 38: Nghiệm của phương trình 4+7iz-5-2i=6iz là:
A. 	B.	C. 	D. 
Câu 39: Tìm số phức z biết rằng 
A.	B. 	C. 	D. 
Câu 40:Gọi và là các nghiệm của phương trình . Gọi M, N là các điểm biểu diễn của và trên mặt phẳng phức. Khi đó độ dài của MN là:
A. 	B. 	C. 	D.
Câu 41: Gọi và là các nghiệm của phương trình . Gọi M, N, P lần lượt là các điểm biểu diễn của , và số phức trên mặt phẳng phức. Khi đó tập hợp điểm P trên mặt phẳng phức để tam giác MNP vuông tại P là:
A. Đường thẳng có phương trình 
B. Là đường tròn có phương trình 
C. Là đường tròn có phương trình , nhưng không chứa M, N.
D. Là đường tròn có phương trình , nhưng không chứa M, N.
Câu 42 : Gọi và là các nghiệm của PT . Giá trị của là:
A. P = 0	B. P = 1	C. P = 2	D. P = 3
Câu 43 : Biết số phức z thỏa phương trình . Giá trị của là:
A. P = 0	B. P = 1	C. P = 2	D. P = 3
Câu 44: Tập nghiệm của phương trình là:
A. 	B.	C. 	D. 
Câu 45: Cho số phức z thỏa mãn: . Tìm môđun của . 
A.	 B. 	C. 8	D. 4
Câu 46: Tập nghiệm của phương trình : là:
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 47: Cho số phức z thỏa mản . Phần thực và phần ảo của z là:
A. 2; 3	B. 2; -3	C. -2; 3	D. -2; -3
Câu 48: Gọi và là các nghiệm của phương trình . Gọi M, N, P lần lượt là các điểm biểu diễn của , và số phức trên mặt phẳng phức. Để tam giác MNP đều thì số phức k là:
A.
B. 
C. 
D. Một đáp số khác.
Câu49: Biểu diễn về dạng của số phức là số phức nào?
A. 	B. 	C. 	D.
Câu 50: Phần thực và phần ảo của là;
A. 0; -1	B. 1; 0	C. -1; 0	D. 0; 1
2.4. Hiệu quả của sáng kiến sau khi áp dụng.
Số Bài kiểm tra
tập.Học sinh làm được trên 70 % bài tập.
Học sinh làm được 50 – 70 % bài tập.
Học sinh làm dưới 50% bài tập.
34 bài
Sốlượng
Tỉ lệ %
Sốlượng
Tỉ lệ %
Sốlượng
Tỉ lệ %
10 bài
29,4 %
17 bài
50 %
7 bài
20,6 %
3. Kết luận, kiến nghị.
3.1. Kết luận.
Trên đây là sáng kiến kinh nghiệm với đề tài “Một số phương pháp giải nhanh các dạng bài tập số phức ở Trung tâm GDTX thành phố Thanh Hóa” mà tôi đã đúc rút. Qua việc thực nghiệm trên đối tượng học sinh trung tâm, tôi thấy hiệu quả tích cực của các sáng kiến mà tôi đề xuất.
Số phức là kiến thức mới đối với học sinh. Trên đây là một số dạng toán về số phức giúp các em học sinh trung tâm thuận lợi hơn khi học tập, ôn thi tốt nghiệp. Tuy nhiên để ôn thi đại học cần luyện thêm một số dạng toán số phức nâng cao: dạng lượng giác của số phức, khai căn một số phức, giải phương trình hệ phương trình bậc cao nghiệm phức, chứng minh bất đẳng thức phức, bài toán nâng cao liên quan đến mô đun số phức 
Sau khi giảng dạy về chương số phức cho học sinh, tôi đã thu được kết quả khả quan: phần lớn học sinh thực hiện được các phép toán trên số phức, giải các phương trình đơn giản. Tôi hy vọng sáng kiến kinh nghiệm này sẽ có tác dụng đối với nhiều học sinh hơn nữa.
3.2. Kiến nghị
- Đối với Sở Giáo dục và Đào tạo: Cần tạo điều kiện, có những chính sách ưu tiên và khuyến khích để công tác nghiên cứu khoa học và đúc rút kinh nghiệm ngày càng nhiều hơn, có nhiều đề tài có chất lượng, có tính khả thi hơn.
- Đối với Trung tâm: Cần tạo điều kiện, khuyến khích và hỗ trợ kinh phí cho các đề tài nghiên cứu khoa học, sáng kiến kinh nghiệm có tính thực nghiệm.
- Đối với đồng nghiệp: Đây là một sáng kiến có tính khả thi trong việc nâng cao hứng thú học tập, tính tự học, khả năng tư duy của học sinh, thông qua đó nâng cao kết quả học tập và chất lượng giáo dục. Chính vì thế có thể từng bước áp dụng cho các năm học tới.
XÁC NHẬN CỦA Thanh Hóa, ngày 27 tháng 5 năm 2018
THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan đây là SKKN của
 mình viết, không sao chép nội dung 
 của người khác 
 Nguyễn Thị Quý
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. Sách giáo khoa Giải tích 12, Nxb Giáo dục Việt Nam.
2. Sách giáo khoa Bài tập Giải tích 12, Nxb Giáo dục Việt Nam.
3. Phương pháp giải các chủ đề căn bản Giải tích 12, Nxb ĐHQG Hà nội.
4. Phương pháp giải nhanh Toán trắc nghiệm Giải tích và Số phức, Nxb ĐHQG Hà nội.