SKKN Một số phương pháp giải nhanh các bài toán về tính tổng, tích và cực trị của hàm số mũ, hàm số lôgarit nhằm giúp học sinh đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc gia

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Hàm số mũ và hàm số lôgarit là phần kiến thức cơ bản, nhưng nếu đi sâu vào việc tính tổng, tích và các bài toán cực trị của chúng lại là một phần kiến thức khó trong chương trình môn Toán lớp 12 bởi đa số học sinh không xác định được hướng giải. Đặc biệt những năm gần đây trong đề thi THPT Quốc gia thì dạng toán này lại rất phổ biến.
Để học sinh lớp 12 tự tin giải chính xác dạng toán này là một điều không hề dễ vì cần phải kết hợp rất nhiều mảng kiến thức, đòi hỏi sự lập luận, suy luận cao, tư duy lôgic cộng với việc tính toán nhanh. Đó là thách đối với học sinh khiến tôi luôn trăn trở tìm tòi cách giảng dạy hiệu quả nhất bằng cách đưa ra một số bài toán tổng quát và vạch ra các bước giải cụ thể. 
Từ những lý do trên cùng với kinh nghiệm giảng dạy tôi đã quyết định chọn đề tài: “Một số phương pháp giải nhanh các bài toán về tính tổng, tích và cực trị của hàm số mũ, hàm số lôgarit nhằm giúp học sinh đạt kết quả cao trong kỳ thi THPT Quốc gia” làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm trong năm học 2018 – 2019. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến, nhận xét và đánh giá của đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn.
1.2. Mục đích nghiên cứu
	Đề tài tập trung vào mục đích nghiên cứu là hình thành cách giải nhanh, chính xác một số bài toán về hàm số mũ và lôgarit khó trong chương trình Giải tích 12 nhằm rèn luyện các kỹ năng toán học và định hướng phát triển cho học sinh những năng lực sau:
	- Năng lực tư duy, năng lực tính toán, năng lực tự học và giải quyết vấn đề.
	- Năng lực sử dụng công nghệ thông tin (máy tính cầm tay casio).
	- Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học.
	- Kỹ năng vận dụng kiến thức về các phương pháp tính tổng, tích và cực trị của hàm số mũ, hàm số lôgarit.	
1.3. Đối tượng nghiên cứu
	Đối tượng nghiên cứu của đề tài là cách giải các bài toán về tổng, tích, cực trị của hàm số mũ và hàm số lôgarit - Chương II – Giải tích 12 để rèn luyện các kỹ năng và phát triển các năng lực Toán học của học sinh.
	1.4. Phương pháp nghiên cứu 
	Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm:
	- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Dựa vào sách giáo khoa Giải tích 12 - Nâng cao và Cơ bản, sách bài tập Giải tích 12 - Nâng cao và Cơ bản, tài liệu phân phối chương trình, tài liệu về dạy học theo định hướng phát triển năng lực học sinh.
	- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn:
	+ Điều tra, khảo sát, phỏng vấn, dự giờ dạy học phần hàm số mũ và hàm số lôgarit ở trường THPT Triệu Sơn 3 để từ đó thấy được tầm quan trọng của việc áp dụng phương pháp này trong việc nâng cao chất lượng dạy học. 
	+ Thống kê, phân loại, đánh giá kết quả khảo sát và thực nghiệm.
	+ So sánh, đối chiếu giữa lí luận và thực tiễn dạy học, giữa thể nghiệm và đối chứng để qua đó thấy được hiệu quả của đề tài. 
	2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
	2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Trong nghiên cứu khoa học thì việc tìm ra quy luật, phương pháp để giải quyết một vấn đề là vô cùng quan trọng. Nó giúp ta có định hướng tìm được lời giải của một lớp các bài toán. Trong dạy học giáo viên là người có vai trò thiết kế và điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập các hoạt động tương thích với nội dung dạy học. Vì vậy trang bị về phương pháp, tập trung dạy cách học, rèn luyện các kỹ năng, phát triển các năng lực cho học sinh... là một nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên.
	Trong phần “Hàm số mũ và hàm số lôgarit” (Chương II sách giáo khoa Giải tích lớp 12) chỉ đưa ra tính chất, tính đồng biến nghịch biến đồ thị của hàm số mũ và hàm số lôgarit, còn việc khai thác tổng, tích, cực trị rất ít. Vì vậy, tôi nhận thấy mình cần bổ sung thêm một số bài toán tổng quát về tổng, tích và cực trị giúp học sinh biết cách giải quyết dạng toán này. 
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trường THPT Triệu Sơn 3 là một trường nằm ở phía tây của huyện, có nhiều xã miền núi, đặc biệt khó khăn thuộc vùng V135, V134, có nhiều học sinh là con em dân tộc thiểu số nên điểm đầu vào thấp. Tư duy của học sinh chậm, điều kiện kinh tế khó khăn, đường đi học còn xa và khó đi nên ảnh hưởng rất nhiều đến kết quả học tập của các em. 
Trong quá trình dạy học tôi nhận thấy một điều đó là để biết làm và làm tốt tổng, tích, cực trị của hàm số mũ và hàm số lôgarit thì cần phải nắm vững nhiều kiến thức, đòi hỏi học sinh phải có khả năng phán đoán, phân tích tốt đồng thời cần có kỹ năng trình bày chặt chẽ và tư duy logic cao, kỹ năng phân tích dạng toán. Nhưng trên thực tế điều này lại là điểm yếu của không ít học sinh, kể cả học sinh khá giỏi, do đó dẫn đến tâm lý chán, ngại làm các dạng toán khó này. 
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Ôn tập một số kiến thức cần dùng cho học sinh.
+) Tính chất của hàm số mũ và hàm số lôgarit.
+) Bất đẳng thức Cauchy. 
+) Định lí Viét.
+) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:
1.1. Nếu hàm số liên tục và đơn điệu trên thì ta có: 
1.2. Nếu hàm số liên tục và đơn điệu trên thì phương trình 
(k là một hằng số) có nhiều nhất một nghiệm trên khoảng 
1.3. Nếu hai hàm số; liên tục và đơn điệu trên thì phương trình 
 có nhiều nhất một nghiệm trên khoảng 
2.3.2. Hướng dẫn và rèn luyện một số dạng tổng, tích các hàm số mũ và lôgarit thường gặp thông qua các bài toán tổng quát giúp học sinh làm toán trắc nghiệm nhanh, chính xác.
Bài toán tổng quát 1: Với hàm số 
 Ta có tính chất: 
Thật vậy:
Bài 1: Cho hàm số. Tính giá trị của biểu thức: 
 .
 A. 	 B. 	 C. 	 D. 
Hướng dẫn: 
- Đây là hàm số dạng (1)
- Có 2019 số hạng (số lẻ), suy ra có 1009 cặp cộng với 
- Đáp số là . Chọn A.
Bài 2: Cho hàm số Tính giá trị của biểu thức: 
 .
A. 	B. 	C. 	 D. 
Hướng dẫn: 
- Đây là hàm số dạng (1)
- Có 2018 số hạng (số chẵn), suy ra có 1009 cặp 
- Đáp số là 1009. Chọn B.
*Nhận xét: Khi học sinh nắm được bài toán tổng quát thì việc giải quyết bài toán trở nên dễ, đơn giản hơn nhiều và không mất nhiều thời gian cho việc tính toán. Vấn đề còn lại là kiểm tra xem đề cho các số hạng là số lẻ hay số chẵn thì học sinh sẽ tính ngay kết quả.
Bài 3: Xét hàm số với m là tham số thực. Gọi là tập hợp tất cả các tham số sao cho với mọi số thực x, y thỏa mãn: Tính số phần tử của S. 
 A. 	B. 	C. Vô số 	D. 
 (Trích đề thi THPT Quốc gia năm 2017 - Câu 50 - Mã đề 103).
Hướng dẫn: 
Từ hàm số ta nghĩ ngay đến 
Dựa vào bài toán tổng quát 
Chọn D.
Cách giải thông thường:
Theo giả thiết ta có: 
Đặt 
Bảng biến thiên:
 u 1 
 g’(u)	 - 0 +
 g(u)	
 0	 
Từ BBT ta có: 
Mặt khác:
Chọn D.
* Nhận xét: Lời giải này tương đối dài và khó, mất nhiều thời gian.
Bài toán tổng quát 2: Với hàm số 
 	Ta có tính chất: 
Thật vậy:
Bài 1: Cho hàm số Tính giá trị của biểu thức 
A. 	B. 	C. 	 D. 
Hướng dẫn: 
- Đây là hàm số dạng (2)
	- Có 2019 số hạng (số lẻ), suy ra có 1009 cặp cộng với 
	- Đáp số là . Chọn C.
Bài 2: Cho hàm số Biết . Tính giá trị của biểu thức 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn: 
- Đây là hàm số dạng (2)
- Vì . 
- Đáp số là . Chọn B.
*Nhận xét: Khi gặp dạng toán này nếu không nhớ bài toán tổng quát ta xét tổng , từ đó sẽ tính được kết quả.
Bài toán tổng quát 3: Cho hàm số 
Ta có tính chất: 
Thật vậy:
Bài 1: Cho hàm số. Tính tổng: 
 .
 	A. 	 B. 	 C. 	 	 D. 
Hướng dẫn: 
- Đây là hàm số dạng (3)
	- Có số hạng (số lẻ), suy ra có cặp cộng với 
	- Đáp số là . Chọn D.
Bài 2: Cho hàm số. Tính tổng: 
 	 .
 A. 	 B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn: 
 - Đây là hàm số dạng (3)
 - Có số hạng (số chẵn), suy ra có cặp 
 - Đáp số là . Chọn A.
*Nhận xét:
 - Chú ý quan trọng là hai giá trị trong ngoặc có tổng bằng một, từ đó ghép hai giá trị có tổng không đổi để tính kết quả.
 - Nhìn vào bài toán tương đối phức tạp nhưng lại được giải quyết nhanh gọn.
Bài toán tổng quát 4: Cho hàm số. 
Thật vậy, xét các số thực ta có 
Bài 1: Cho hàm số . 
 	Tính .
 	A. B. C. D. 
Hướng dẫn: 
 Chọn C.
Bài 2: Cho hàm số . Biết rằng với m, n là các số tự nhiên và là phân số tối giản. Tính 
A. B. C. D. 
Hướng dẫn: 
Phân số là phân số tối giản, nên 
 	Chọn D.
*Nhận xét:	
	- Nếu học sinh chưa gặp dạng này và không nắm được công thức tổng quát thì đây là vấn đề vô cùng khó trong lúc làm trắc nghiệm vì sẽ mất rất nhiều thời gian. Nhưng khi nắm được công thức tổng quát thì chỉ việc thay số và có kết quả ngay.
 	 - Trên cơ sở các bài toán tổng quát ta có thể xây dựng được một lớp bài toán tương tự. 
2.3.3. Rèn luyện cho học sinh kỹ năng tìm cực trị các hàm số mũ và lôgarit.
Phương pháp chung:
Bước 1: Kỹ năng biến đổi linh hoạt tính chất của hàm số mũ và lôgarit 
Bước 2: Sử dụng một số bất đẳng thức đơn giản để tìm miền giá trị của ẩn
Bước 3: Biến đổi, sử dụng tính đơn điệu của hàm số để tìm mối liên hệ giữa các ẩn
Bước 4: Dồn biến
Bước 5: Xét hàm một biến để tìm cực trị
Tùy từng bài ta có thể giảm bớt một hoặc hai bước.
Phần 1: Hàm số mũ.
Bài 1: Cho các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
A. B. C. D.
Phân tích: Bài này có tính chất đối xứng ta sẽ nghĩ ngay đến việc sử dụng BĐT Cauchy hoặc có thể dồn biến để xét hàm. 
Hướng đẫn: 
Cách 1: 
Áp dụng BĐT Cauchy ta có 
Vậy Chọn B.
Cách 2: Áp dụng BĐT Cauchy ta có 
 Chọn B.
Bài 2: Cho nguyên và lớn hơn 1, có hai nghiệm phân biệt và 
có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của 
	 A. B. C. D. 
Phân tích: Với bài này ta sẽ liên hệ đến định lí Viét. Tìm điều kiện của và mối liên hệ giữa 
Hướng dẫn: 
+ 
Phương trình có hai nghiệm phân biệt 
 theo Viét 
+ 
phương trình này luôn có hai nghiệm vì Theo Viét 
Từ 
Do 
 Chọn C. 
Bài 3: Cho các số thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
	A. 	 B. C. D. 
Phân tích: Với bài này ta sẽ đưa về hàm đặc trưng (bằng cách dồn cái chung về một vế) để tìm mối liên hệ giữa và sau đó xét hàm một biến. 
Hướng dẫn: 
	Từ 
Xét hàm đặc trưng 
là hàm số đồng biến 
Bảng biến thiên
 y	 0 
 P’	 + 0 - 0 +
 P
	Nhìn vào bảng biến thiên, ta có Chọn B. 
*Nhận xét: Khi học sinh đọc đề đa số các em sẽ cảm nhận ngay là rất khó khăn và mất phương hướng. Nhưng bình tĩnh lại các em thực hiện từng bước, tìm được mối liên hệ giữa các ẩn, quy về một biến và bước giải cuối cùng là xét hàm một biến lại trở thành bài toán bình thường với đa số học sinh lớp 12.
Phần 2: Hàm số lôgarít.
Dạng 1: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số
Bài 1: Xét các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của . 
A. B. C. D. 
 (Trích đề thi THPT Quốc gia năm 2017- Câu 47 - Mã đề 101)
Phân tích: Với bài này ta sử dụng tính chất của lôgarit đưa về hàm đặc trưng để tìm mối liên hệ gữa x và y, sau đó xét hàm một biến. 
Hướng đẫn: 
Cách 1: 
Từ 
Xét hàm số 
 đồng biến trên 
Cách 2: Bấm máy tính tìm mối liên hệ giữa và : Cho.
	 Do 
Bảng biến thiên
 x	 0 3 
 P’	 + 0 - 0 +
 P
	Nhìn vào bảng biến thiên, ta có Chọn D. 
Bài 2: Bài tập tương tự: Cho thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của .
 A. 	B. C. D. 
 (Trích đề thi THPT Quốc gia năm 2017- Câu 46 - Mã đề 102)
Bài 3: Cho thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của .
 	A. 	 B. C. 	 D. 
Hướng đẫn: 
Cách 1: 
Từ 
Xét hàm số 
 đồng biến trên 
 Cách 2: Bấm máy tính tìm mối liên hệ giữa và : 
 Cho.
	Vậy Chọn C.
 *Nhận xét: Việc bấm máy tính để tìm mối liên hệ giữa các ẩn đối với học sinh đã trở thành một công việc đơn giản. Phần xét hàm một biến các em cũng có thể bấm máy tính mode7.
Bài 4: Cho các số thỏa mãn và 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
	A. 	 B. C. D. 
Hướng dẫn: 
Ta có 
Vậy 
Xét hàm Chọn A.
Bài 5: Cho các số không âm thỏa mãn 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
	A. 	 B. C. D. 
Hướng dẫn: 
Ta có 
Xét hàm đồng biến 
	VT là hàm đồng biến, VP là hàm nghịch biến, suy ra phương trình nếu có nghiệm thì nghiệm đó là nghệm duy nhất. 
	Nhận thấy là một nghiệm của phương trình (1), vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất .
Bảng biến thiên: 
 x	0 
 f’(x)	 - 0 +
 f(x)	 
 Vậy Chọn B.
*Nhận xét: 
	- Để đưa về được hàm đặc trưng đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng thêm bớt, biến đổi linh hoạt các biểu thức lôgarit.
 - Với dạng toán trên ta có thể xây dựng được một lớp bài toán tương tự 
Bước 1: Xét hàm số 
Bước 2: Chọn theo . 
Bước 3: Tính giá trị min, max của biểu thức theo . 
Ví dụ minh họa: 
Ví dụ 1: Chọn 
Ta được: 
Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Ví dụ 2: Chọn 
Ta được: 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Dạng 2: Sử dụng một số bất đẳng thức đơn giản.
Bài 1: Cho thỏa mãn 
Giá trị của bằng
A. 	B. 	C. 	D. 
 (Trích đề thi THPT Quốc gia năm 2018 - câu 44 - Mã đề 101)
Phân tích: Với bài này ta sử dụng BĐT Cauchy để tìm mối liên hệ giữa 
Hướng dẫn: 
Ta có nên 
Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương ta được
Vì dấu đã xảy ra nên
Vậy . Chọn C.
Tương tự: 
Bài 2: Cho thỏa mãn 
Giá trị của bằng
	A. 	 B. C. D. 
 (Trích đề thi THPT Quốc gia năm 2018 - câu 37 - Mã đề 102)
Bài toán tổng quát: 
Cho thỏa mãn 
Tính giá trị của 
Cách giải: 
 Sử dụng một số bất đẳng thức đơn giản nhằm biểu thị được ẩn này theo ẩn kia.
Bài 3: Cho thỏa mãn 
Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 A. 	 B. C. D. 
Hướng dẫn: 
, vì 
Cách 1: Mode 7, Start End 10 Step 
Cách 2: 
 (vì ).
Bảng biến thiên: 
 x	0 
 f’(x)	 - 0 +
	0	 
 f(x)
	Nhìn vào bảng biến thiên, ta có Chọn B. 
Bài 4: Cho 2 số thực x, y thỏa mãn 
Giá trị lớn nhất của biểu thức bằng:
	A. 	 B. C. D. 
Phân tích: Với bài này ta biến đổi lôgarit và dễ dàng đánh giá hai vế để có dấu “=” xuất hiện. 
Hướng dẫn: 
Điều kiện Ta có 
Dễ thấy: + Nếu 
 + Nếu 
Từ (*) 
Mặt khác 
Vậy 
Đặt . Xét hàm 
 Chọn B.
Bài 5: Cho các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
	A. 	 B. C. D. 
Hướng dẫn: 
Từ giả thiết 
Vậy: 
	Chọn C.
Bài 6: Cho các số thực thỏa mãn 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
	A. 	 B. C. D. 
Hướng dẫn: 
Ta có 
Đặt 
 Xét hàm Chọn C.
Bài 7: Cho các số thực thỏa mãn 
	Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
 	A. 	 B. C. D. 
Hướng dẫn: 
Ta có:
Từ 
Đặt 
Bảng biến thiên
 t 0 3 6 
 P’	 - 0 + 0 - 0 +
 81
 P
	Dựa vào BBT Chọn B.
Bài 8: Cho các số thực dương thỏa mãn 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
	A. 	 B. C. D. 
Phân tích: Dựa vào giả thiết ta tìm mối liên hệ giữa các ẩn và dồn biến sử dụng BĐT tìm điều kiện của ẩn, sau đó xét hàm một biến. 
Hướng dẫn: 
Ta có: 
 Đặt 
Suy ra P là hàm số đồng biến trên 
Vậy Chọn C.
*Nhận xét: 
	- Đây là các bài toán khó đối với nhiều học sinh, nhưng nếu các em biết khai thác, phát triển tốt cách giải trên thì mọi khó khăn đều được tháo gỡ. 
	- Trong các buổi sinh hoạt chuyên môn tại tổ chuyên môn, tôi đã đưa ra cách làm này và đều được các đồng nghiệp đánh giá đây là cách giải hiệu quả giúp học sinh có phương hướng xác định giảm bớt nổi hoang mang khi gặp các bài toán dạng này.
2.3.4. Hệ thống bài tập sử dụng các cách giải trên giúp học sinh rèn luyện.
Bài 1: Cho hàm số. Tính giá trị của biểu thức 
 A. 	B. 	 C. 	D. 
Bài 2: Cho hàm số Tính giá trị của biểu thức 
 A. 	B. 	C. 	 D. 
Bài 3: Cho hàm số Tính tổng: 
	.
 A. 	B. 	C. 	 D. 
Bài 4: Cho các số thực thỏa mãn đồng thời Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số Khi đó giá trị của biểu thức S =M+m bằng:
 A. B. C. D. Không tồn tại 
Bài 5: Cho 2 số thực dương thỏa mãn
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 	 A. 	 B. C. D. 
Bài 6: Cho 2 số thực dương thỏa mãn 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
A. 	 B. C. D. 
Bài 7: Cho 2 số thực thỏa mãn và 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
 	A. 	 B. C. D. 
Bài 8: Cho các số thực dương thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là
 A. 	B. 	C. D. 
(Trích đề thi thử THPT Quốc gia năm 2019 lần 2 - câu 34 -Mã đề 132 - Trường THPT Triệu Sơn 2 -Thanh Hóa)
Bài 9: Xét các số nguyên dương sao cho phương trình có hai có hai nghiệm phân biệt và phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của 
 A. B. C. D. 
Bài 10: Cho các số thỏa mãn 
Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức Mệnh đề nào sau đây đúng? 
	 A. B. C. D. 
(Trích đề thi thử THPT Quốc gia năm 2019 lần 4 - câu 44 -Mã đề 132 - Trường THPT chuyên Thái Bình)
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
2.4.1. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục
Thông qua việc đưa ra các bài toán tổng quát, các bước giải cụ thể đồng thời hướng dẫn học sinh cách áp dụng từng dạng toán tôi thấy học sinh thoải mái, tự tin hơn, tính nhanh và đạt độ chính xác cao hơn. Từ đó kết quả kiểm tra tiến bộ rõ rệt.
Qua kiểm tra thử nghiệm với hai lần kiểm tra học sinh của các lớp 12D2 và 12D5 mặc dù đề kiểm tra lần 2 ra mức độ khó hơn và trong thời gian làm bài ngắn hơn nhưng kết quả tốt hơn nhiều. Kết quả khảo sát và thực nghiệm cụ thể như sau: 
Kết quả kiểm tra lần 1
Lớp
Số HS thực nghiệm
Điểm dưới 5
Điểm 5-6
Điểm 7-8
Điểm 9-10
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12D2
38
8
21,1%
20
52,6%
9
23,7%
1
2,6%
12D5
41
12
29,3%
23
56,1%
6
14,6%
0
0%
Kết quả kiểm tra lần 2
Lớp
Số HS thực nghiệm
Điểm dưới 5
Điểm 5-6
Điểm 7-8
Điểm 9-10
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
12D2
38
0
0
9
23,7%
19
50,0%
10
26,3%
12D5
41
0
0
11
26,8%
22
53,7%
8
19,5%
Kết quả thu được:
Qua quan sát thực tế và các bài kiểm tra về dạng toán này, tôi thấy
- Học sinh đã định hướng và giải khá nhanh các bài toán về tổng, tích và cực trị của mũ và lôgarít được tôi sưu tầm từ các đề thi THPT Quốc gia của các trường THPT trong cả nước. 
- Học sinh đã rèn luyện thành thục kỹ năng giải các bài toán về hàm số mũ, lôgarit, kỹ năng tính toán, kỹ năng tìm mối liên hệ giữa các ẩn và phát huy tính sáng tạo tìm tòi lời giải cho một bài toán, một dạng toán.
- Tiết học sôi nổi, học sinh hứng thú và chủ động khai thác kiến thức, 100% học sinh trong lớp đã thực hiện các nội dung theo yêu cầu câu hỏi và có kết quả tốt hơn khi chưa áp dụng kinh nghiệm giảng dạy trên.
Từ những kết quả trên tôi khẳng định những giải pháp mà đề tài đưa ra là hoàn toàn khả thi và có thể áp dụng hiệu quả trong quá trình dạy học.
	 2.4.2. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Qua thực tế giảng dạy tôi thấy rằng cách làm này đã nâng cao chất lượng giảng dạy phần hàm số mũ và lôgarit của bản thân, từ đó góp phần vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy môn Toán của nhà trường.
	 3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
	3.1. Kết luận
	Từ kinh nghiệm thực tiễn của bản thân trong quá trình dạy học, sự giúp đỡ đồng nghiệp, thông qua việc nghiên cứu các tài liệu có liên quan đề tài đã hoàn thành và đạt được những kết quả chính sau đây:
+ Đề tài giúp cho các em có thói quen tư duy vận dụng kiến thức một cách linh hoạt, đặc biệt giúp học sinh giải nhanh bài toán trắc nghiệm phù hợp với cách thi trắc nghiệm THPT quốc gia hiện nay.
+ Đề tài đã đưa ra giải pháp thiết thực trong việc rèn luyện kĩ năng tính tổng, tích và tìm cực trị cho các bài toán khó mà đòi hỏi phải giải quyết trong thời gian ngắn.
+ Đề tài đã nêu được các ví dụ minh chứng điển hình cho các giải pháp.
+ Đề tài đã đưa ra một số bài tập áp dụng trên cơ sở các dạng bài tập quen thuộc và hệ thống các bài tập luyện tập được trích từ các đề thi THPT Quốc Gia, các đề thi thử của các trường THPT, của Sở giáo dục ở một số tỉnh, thành phố trên cả nước để học sinh được rèn luyện kỹ năng giải trắc nghiệm Toán. Đồng thời chúng tôi cũng thu được nhiều điều bổ ích phục vụ tốt hơn cho quá trình dạy Toán trắc nghiệm.
Với phạm vi một sáng kiến kinh nghiệm, đề tài mà tôi nghiên cứu sẽ khó tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được đồng nghiệp góp ý kiến để đề tài hoàn thiện hơn.
	3.2. Kiến nghị
	Đối với Sở giáo dục cần mở thêm lớp bồi dưỡng chuyên môn, nghiệp vụ, chuyên đề để giáo viên trao đổi về các phương pháp, kỹ thuật giải trắc nghiệm môn Toán nhằm nâng cao hơn nữa chất lượng giảng dạy trong thời gian tới. 
Đối với Nhà trường cần tăng cường sinh hoạt chuyên môn, trang bị tài liệu, sách tham khảo, ...
Đối với giáo viên cần tự giác chủ động tự bồi dưỡng, tích cực tìm tòi các phương pháp, công thức, thủ thuật giải nhanh những bài Toán trắc nghiệm nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học hiện nay.
Trên đây là sáng kiến và kinh nghiệm tôi đã thực hiện tại đơn vị trường THPT Triệu Sơn 3 trong các năm học vừa qua. Rất mong đề tài này được xem xét, mở r