SKKN Một số phương pháp giải các bài toán về modul của số phức

MỤC LỤC
I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
Với việc đổi mới hình thức thi tốt nghiệp THPT và xét tuyển Đại học như hiện nay, môn Toán được kiểm tra đánh giá bằng hình thức thi trắc nghiệm. Mảng kiến thức về số phức trước đây vốn được học và thi khá nhẹ nhàng, nhưng hiện nay đã được khai thác khá sâu trong hệ thống các câu hỏi trắc nghiệm. Một trong những dạng toán được hỏi khá nhiều đó là các bài toán về modul của số phức. Để giải các bài toán này nhanh chóng, chính xác nhằm lựa chọn được phương án trả lời đúng trong đề bài, chúng ta cần hướng dẫn cho học sinh có một tư duy linh hoạt và nhạy bén. Ngoài yêu cầu đòi hỏi học sinh cần hiểu sâu và rộng kiến thức, người thầy còn phải biết cách dạy học sinh các kĩ năng như loại trừ, thử đáp án, chọn lựa...và đặc biệt là kĩ năng sử dụng máy tính cầm tay để giải quyết. Đó là lí do tôi chọn đề tài này.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Mục đích nghiên cứu của SKKN này là nghiên cứu các phương pháp để hướng dẫn học sinh nhanh chóng giải quyết được bài toán về modul của số phức, đặc biệt là các bài toán về “tìm modul của số phức ’’, “tìm modul lớn nhất, nhỏ nhất của số phức ’’, “tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z’’... Để giải quyết tốt các loại toán này, ta cần vận dụng thành thạo các kiến thức về bất đẳng thức, hình học, lượng giác, hàm số, đánh giá...Tuy nhiên phần lớn học sinh lại gặp rất nhiều khó khăn khi vận dụng. Với thực trạng như vậy, tôi viết sáng kiến kinh nghiệm “Một số phương pháp giải các bài toán về modul của số phức”. Sáng kiến kinh nghiệm này chứa đựng những kĩ năng cơ bản quan trọng mà học sinh cần phải nắm được nếu muốn tiến đến trình độ giải quyết tốt các bài toán số phức, đồng thời chứa đựng những kĩ thuật, kĩ xảo, ý tưởng vận dụng các năng lực toán học tương đối cao, phức tạp trong tư duy.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đối tượng nghiên cứu là:
* Các quỹ tích quen thuộc của điểm biểu diễn của số phức như đường thẳng, đường tròn, đường elíp. 
* Cách vận dụng các phương pháp như bất đẳng thức, phương pháp hình học, phương pháp hàm số. lượng giác hóa, đánh giá, mối quan hệ giữa số phức và số phức liên hợp của nó để giải quyết các bài toán về modul của số phức. 
* Một số phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo dùng để giải quyết một bài toán trắc nghiệm.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Tự giải các bài toán về số phức bằng nhiều cách, kết hợp với thực tế giảng dạy để đúc rút nên cách thức giảng dạy phù hợp nhất.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.1.1. Những kiến thức cơ bản:
2.2.1.1. Một số phức là một biểu thức có dạng , trong đó x,y∈R, và i là số thoả mãn . Ký hiệu số phức đó là z và viết .
* i được gọi là đơn vị ảo	
* x được gọi là phần thực, kí hiệu là Re(z). 
* y được gọi là phần ảo, kí hiệu là Im(z).
* Tập hợp các số phức ký hiệu là C .
2.2.1.2. Hai số phức bằng nhau.
Cho 2 số phức z = x + yi và z’ = x’ + y’i khi đó z = z’ Û 
2.2.1.3. Biểu diễn hình học của số phức.
Mỗi số phức được biểu diễn bởi một điểm M(x; y) trên mặt phẳng toạ độ Oxy.
Ngược lại, mỗi điểm M(x;y) biểu diễn một số phức là z = x +ybi .
2.2.1.4. Modul của số phức: Cho số phức z = x + yi có điểm biểu diễn là M(x; y), khi đó ta định nghĩa modul của số phức z là khoảng cách OM.
z=OM=a2+b2
2.2.1.5. Phép cộng và phép trừ các số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:
2.2.1.6. Phép nhân số phức.
Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa:
2.2.1.7. Số phức liên hợp. 
Cho số phức z = a + bi. Số phức = a – bi gọi là số phức liên hợp với số phức trên.
Tính chất của số phức liên hợp:
* 
* 
* 
* z.z=a2+b2=z2=z2 
2.2.1.8. Phép chia số phức khác 0.
Cho số phức z = a + bi ≠ 0 (tức là a2+b2 > 0 )
Ta định nghĩa số nghịch đảo của số phức z ≠ 0 là số z-1 được xác định bởi
	z-1= 	
Thương của phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ 0 được xác định như sau: 
Với các phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói trên nó cũng có đầy đủ tính chất giao hoán, phân phối, kết hợp như các phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thông thường.
2.2.1.9. Các đẳng thức và bất đẳng thức về modul của số phức:
* z2=z2=z2=z2=z.z. Đặc biệt: Khi z=1 thì z=1z hoặc z=1z.
* z là khoảng cách từ điểm M biểu diễn của số phức z đến gốc tọa độ O của mặt phẳng phức.
* z-z' là khoảng cách từ điểm M biểu diễn của số phức z đến điểm M’ biểu diễn của số phức z’.
* z.z'=z.z', zz'=zz'.
* z-z'≤z-z'≤z+z'≤z+z'.
2.1.2. Các dạng quỹ tích thường gặp đối với điểm biểu diễn của một số phức
2.1.2.1. Quỹ tích điểm biểu diễn là đường thẳng:
Ta xét một ví dụ mẫu như sau:
Ví dụ 1 : Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn 
3z+1-i=-3z+2+3i
Giải:
Cách 1: (Tự luận) Đặt z = x + yi (x, y ∈R), ta có
(3x + 1)2 + (3y – 1)2 = (-3x + 2)2 + (3y + 3)2 Û 18x – 24y – 11 = 0
Vậy quỹ tích điểm M là đường thẳng: 18x – 24y – 11 = 0
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.
Dự đoán: Quỹ tích điểm M là đường thẳng có dạng ax + by + c = 0. Ta tìm a, b, c như sau:
Vào môi trường tính toán của số phức bằng cách bấm tổ hợp phím 
3X+1-i2--3conjgX+2+3i2 CALC X = 0 → -11 →c= -11
3X+1-i2--3conjgX+2+3i2+11 CALC X = 1 →18→a= 18
	CALC X = i →-24→b= -24
Vậy quỹ tích điểm M là đường thẳng: 18x – 24y – 11 = 0
Nhận xét: Đây là một bài toán không khó đối với học sinh khá giỏi, nhưng với học sinh trung bình và yếu thì nếu biến đổi theo kiểu tự luận một cách nhanh và chính xác cũng mất vài ba phút, chưa kể nhầm lẫn. Bằng cách sử dụng máy tính cầm tay, thì kể cả các học sinh yếu kém cũng có thể giải quyết bài toán trong vòng trên dưới 20 giây.
Chú ý: Để có dự đoán trên ta cần chứng minh cho học sinh hiểu rằng nếu số phức z thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
mz+a+bi=m'.z+a'+b'i
mz+a+bi=|m'.z + a' + b'i|
mz +a+bi=|m'.z + a' + b'i|
Mà m = m’ hoặc m = - m’ thì quỹ tích các điểm biểu diễn của z là một đường thẳng.
2.1.2.2. Quỹ tích điểm biểu diễn là đường tròn:
Ta xét 2 ví dụ mẫu như sau:
Ví dụ 2: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn 
z-(a+bi)=R với R>0
Giải: Dễ thấy quỹ tích điểm M là đường tròn tâm I(a; b), bán kính R
Ví dụ 3: Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn 
z+1-i=-3z+2+3i
Giải:
Cách 1: (Tự luận) Đặt z = x + yi (x, y ∈R), ta có
(x + 1)2 + (y – 1)2 = (-3x + 2)2 + (3y + 3)2 Û -8x2 – 8y2 +14x – 20y – 11 = 0
Û x2+y2-74x+52y+118=0
Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn: x2+y2-74x+52y+118=0
Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay.
Dự đoán: Quỹ tích điểm M là đường tròn có dạng x2 + y2+ ax + by + c = 0. Ta tìm a, b, c như sau:
Vào môi trường tính toán của số phức bằng cách bấm tổ hợp phím 
(X+1-i2--3conjgX+2+3i2):(12--32)-X2 CALC X = 0 → 118 →c= 118
(X+1-i2--3conjgX+2+3i2):(12--32)-X2-118 
CALC X = 1 → -74 →a= -74
CALC X = i → 52 →b= 52
Vậy quỹ tích điểm M là đường tròn: x2+y2-74x+52y+118=0
Nhận xét: Cũng như dạng toán có quỹ tích điểm biểu diễn là đường thẳng, đây cũng là một bài toán không khó đối với học sinh khá giỏi, nhưng với học sinh trung bình và yếu thì nếu biến đổi theo kiểu tự luận một cách nhanh và chính xác cũng mất vài ba phút, chưa kể nhầm lẫn. Bằng cách sử dụng máy tính cầm tay, thì kể cả các học sinh yếu kém cũng có thể giải quyết bài toán trong vòng trên dưới 20 giây.
Chú ý: Để có dự đoán trên ta cần chứng minh cho học sinh hiểu rằng với số phức z thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
mz+a+bi=m'.z+a'+b'i
mz+a+bi=|m'.z + a' + b'i|
mz +a+bi=|m'.z + a' + b'i|
Mà m ≠ m’ và m ≠ -m’ thì quỹ tích các điểm biểu diễn của z là một đường tròn
2.1.2.3. Quỹ tích điểm biểu diễn là elip: 
Ta thường gặp bài toán:
Tìm quỹ tích điểm M biểu diễn cho số phức z thỏa mãn z-c+z+c=2a với a > c > 0.
Giải: Gọi F1(-c; 0), F2(c; 0). Từ điều kiện bài toán, ta có MF1 + MF2 = 2a. Dựa vào định nghĩa của elip, ta dễ dàng nhận thấy quỹ tích của M là elip có phương trình :
 x2a2+y2b2=1 với b2=a2-c2
2.1.3. Tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất trong đó điểm biểu diễn của số phức đó là đường tròn, đường thẳng hoặc elip.
Phương pháp chung: 
Bước 1. Tìm tập hợp (G) các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện, đây cũng là quá trình tìm biểu thức liên hệ giữa phần thực và phần ảo của số phức z.
Bước 2. 
Sử dụng bất đẳng thức để đánh giá.
Phân tích biểu thức thành tổng bình phương để đánh giá.
Khảo sát hàm số để đánh giá.
Sử dụng phương pháp lượng giác hóa.
Dùng tính chất hình học để đánh giá bằng cách: Tìm số phức z tương ứng với điểm biểu diễn M ∈ (G) sao cho khoảng cách tương ứng với điều kiện bài toán có giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất).
2.1.3.1. Dạng 1: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng (5 cách giải )
Ví dụ 4: Tìm z sao cho đạt giá trị nhỏ nhất. Biết số phức z thỏa mãn điều kiện là số thực.
Giải: Giả sử z = x + yi (x, y ∈R), khi đó
Ta có . 
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng (d): .
Cách 1: (Hình học) Giả sử M(x; y) là điểm biểu diễn z thì , ta được M(-2; 2).
Cách 2. (Phân tích thành tổng bình phương). Ta có .
Vậy 
Cách 3. (Phương pháp hàm số) 
Xét hàm số f(x) = là hàm bậc 2 có a > 0 nên hàm số đạt min tại x=-b2a=-2 
Cách 4: (Dùng BĐT Bunhiacopxki) 
.
Cách 5:( Dùng máy tính cầm tay CASIO Fx 570 VN Plus)
Vào môi trường khảo sát hàm số bằng cách bấm tổ hợp phím 
Nhận thấy z nhỏ nhất là = 22 tại x = -2, nên y = 2 
hay z = -2 + 2i
Ví dụ 5: Tìm modul nhỏ nhất của số phức z – 3 + 2i . Biết số phức z thỏa mãn điều kiện z+1-3i=-z+1+i 
Giải:
Tập hợp các điểm M(x; y) biểu diễn của z là đường thẳng: x - y + 2 = 0
Cách 1: (Hình học) Ta thấy z-3+2i nhỏ nhất có giá trị là khoảng cách từ điểm I(3; -2) đến đường thẳng x – y + 2 = 0 và bằng 722
Cách 2. (Phân tích thành tổng bình phương). Ta có 
z-3+2i=(x-3)2+(y+2)2=(x-3)2+(x+4)2 
= 2x2+2x+25=2(x+12)2+492 ≥492=722
Cách 3. (Phương pháp hàm số) z-3+2i=2x2+2x+25
Xét hàm số fx=2x2+2x+25 là hàm bậc 2 có a > 0 nên hàm số đạt min tại x=-b2a= -12 
Cách 4: (Dùng BĐT Bunhiacopxki) 
.
Cách 5: (Dùng máy tính cầm tay CASIO Fx 570 VN Plus)
Vào môi trường khảo sát hàm số bằng cách bấm tổ hợp phím 
Nhận thấy f(x) nhỏ nhất là = 492 tại x = -2
nên z-3+2i nhỏ nhất là 722
 2.1.3.2. Dạng 2: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn ( 5 cách giải)
Ví dụ 6: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện .Tìm số phức z có môđun lớn nhất, nhỏ nhất.
Giải: Giả sử điểm M(x; y) biểu diễn số phức z=x+yi. Khi đó tập hợp điểm M là đường tròn I(2;4), bán kính , có phương trình: 
Cách 1: (Sử dụng BĐT Bunhiacopxki) Ta có
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
 (3)
Từ (2), (3) ta suy ra: .Vậy:
Cách 2: (Định lý về dấu của tam thức bậc 2)
Đặt . Do 
Ta có , Suy ra 
Vậy 
Cách 3: ( Phương pháp lượng giác hóa)
Đặt 
Ta có : 
Do 
Vậy 
Cách 4. (Phương pháp hình học) 
Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z, khi đó 
Ta có phương trình đường thẳng OI là:.
Đường thẳng OI cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B có toạ độ là nghiệm của hệ phương trình: 
Với mọi điểm M thuộc đường tròn (C) thì . Hay 
Vậy: 
Cách 5. (Phương pháp hình học)
Đường thẳng OI cắt đường tròn (C) tại 2 điểm A, B như hình vẽ.
Ta có M trùng với điểm A trên (C) gần O nhất
Ta có 
Kẻ theo định lý Ta lét ta có: 
M trùng với điểm B trên (C) xa O nhất. 
Kẻ , theo định lý Ta lét ta có: 
Ví dụ 7: Cho hai số phức thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Giải: Chúng ta có thể giải bằng 5 phương pháp đã nêu trên, ở đây tôi chọn phương pháp hình học để trình bày lời giải
Ta có
Quỹ tích điểm biểu diễn của số phức z1 là đường tròn tâm I(-5; 0), bán kính R = 5
Quỹ tích điểm biểu diễn của số phức z1 là đường thẳng .
Dễ thấy đường thẳng không cắt do d(I; ) = 152>R. Theo hình vẽ ta thấy 
 2.1.3.3. Dạng 3: Cho số phức z thỏa mãn z+A=k, A,B ∈C, k>0 . Tìm z sao cho P=z+B đạt min, max.
Hướng giải: Ngoài 5 phương pháp trên, ta còn có thể áp dụng tính chất sau:
Đặt T = A-B, khi đó ta có T-k≤P≤T+k
Chứng minh: Gọi M là điểm biểu diễn của z, -A là điểm biểu diễn của số phức –A, -B là điểm biểu diễn của số phức –B. Khi đó M thuộc đường tròn tâm là –A, bán kính k. 
Ta thấy M1B ≤P≤ M2B Û A-B-k≤P≤A-B+k
Áp dụng tính chất trên ta dễ dàng giải được các bài toán sau:
Ví dụ 8: Cho z-2-4i=5. Tìm min,maxcủa P= z+1
Đáp số: 5-5≤P≤5+5
Ví dụ 9: z-2-4i=5. Tìm min,maxcủa P= z
Đáp số: 5≤P≤5
Ví dụ 10: Cho z-1=1. Tìm z để z-i đạt GTNN
Giải: Dễ thấy GTNN của z-i là 2-1, để tìm z, ta xét hệ 
z-1=1z-i=2-10x-12+y2=1x2+y-12=3-22x=2-22y=22
Û z=2-22+22i
Nhận xét: Từ dạng toán trên ta có ngay cách giải dạng toán sau: Cho số phức z thỏa mãn Az+B=k, A,B ∈C, k>0 . Tìm z sao cho P=Cz+D đạt min, max.
Giải: Az+B=kz+BA=kA, ta xem BA=A', kA = k’
P=Cz+DPC=z+DC, ta xem DC=B', PC=P'
Đặt T = A'-B', ta quay về dạng toán trên
Ví dụ 11: Cho số phức z thỏa mãn
 1+iz-2i+1=1. Tìm min,maxcủa modul của P=i+2z-i+1
Giải: 
Áp dụng ta có 1+iz-2i+1=1z-12-35i=12
P=i+2z-i+1Pi+2=z+15-35i, T = 13010
Từ đó 13010-22≤P≤13010+22
2.1.3.4. Dạng 4: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường elíp (4 cách giải)
Ví dụ 12: Tìm số phức z sao cho môđun của z đạt giá trị nhỏ nhất, lớn nhất. Biết số phức z thoả mãn điều kiện:	
Giải: Ta thấy tập hợp các điểm M là elip có phương trình là:
 Cách 1: (Phân tích thành bình phương) Ta có 
Do 
Vậy : 
Cách 2:(Đánh giá) Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn z 
Khi đó: 
Từ đó, ta được . Vậy: 
Cách 3: (Lượng giác hóa) Đặt , 
Ta có: 
Do .
Vậy: 
Cách 4: (Hình học)
Theo hình vẽ ta thấy 3≤OM≤2. Vậy :
zmin=3 hoặc B’
zmax= hoặc A’
2.1.4. Sử dụng mối quan hệ của số phức và số phức liên hợp của nó
Với mỗi số phức z, ngoài một số mối quan hệ quen thuộc ta nêu thêm một số quan hệ sau với số phức liên hợp của nó:
z+z=2.Re(z)
z-z=2.Imz.i
z là số thực Û z=z
z là số thuần ảo Û z=-z Û z+z=0
Ví dụ 13: Cho số phức z ≠1 thỏa mãn z+1z-1 là số thuần ảo. Tìm z
Giải: z+1z-1 là số thuần ảo Ûz+1z-1+z+1z-1=0 
Û z.z-z+z-1+z.z+z-z-1Û 2z.z-2=0Ûz=1
Ví dụ 14: Cho số phức z thỏa mãn z=5 và i.z + 4 là số thuần ảo, tìm z?
Giải: Do i.z + 4 là số thuần ảo nên iz+4+iz+4=0 Û iz-iz+8=0
Û i(z-z)=-8 Û Imz=4→Rez=±3. Vậy z = ±3+4i
Ví dụ 15: Cho số phức z ≠1 thỏa mãn z=1 tìm phần thực của 11-z
Giải: Ta có: 2.Re(11-z)=11-z+(11-z)=11-z+11-z=2-z-z1-z-z+zz=1. Vậy Re(11-z)=12
Ví dụ 16: Cho số phức thỏa mãn 1z-z có phần thực bằng 4. Tính z
Giải: Từ giả thiết, ta có
1z-z+1z-z =8 Û1z-z+1z-z=8 Û2z-z-zz2-zz+z+z.z=8
Û2z-z-zz(2z-z+z)=8 Û 1z=8 Û z=18 
Ví dụ 17: Cho 2 số phức z1, z2 thỏa mãn z1=z2=1 và z1.z2≠1 Tìm phần ảo của w=z1+z21+z1z2
Giải: Vì z1=z2=1 nên z1=1z1, z2=1z2 . Ta có 
w=z1+z21+z1z2=1z1 +1z21+1z1.1z2=z1+z21+z1z2= w. Vậy w là số thực
Ví dụ 18: Cho 3 số phức a, b, c thỏa mãn a=b=c=1 , a+b+c=0 . 
Tính w = a2 + b2 + c2
Giải: Ta có w = a2 + b2 + c2 = (a + b + c)2 – 2(ab + bc + ca) = -2abc(1a+1b+1c)
= -2abc(a+b+c) = -2abc.a+b+c = 0
Ví dụ 19: Cho số phức z thỏa mãn: z6 – z5 + z4 – z3 + z2 – z + 1 = 0. Tìm phần thực của w = z3 – z2 + z
Giải: Ta có z7+1z+1=0Þ z7=-1Þ z=1Þ z3=1
Mặt khác: z6 – z5 + z4 – z3 + z2 – z + 1 = 0 nên (z3 - 1)(z3 – z + 1) + 1 = 0
Þ w=11-z3. Dễ thấy Rew=1211-z3+11-z3=122-z3-z31-z3-z3+z3z3=12
Ví dụ 19: Cho số phức z thỏa mãn: z+1z=23. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z.
Giải: Ta có z+1z2=12 Ûz+1zz+1z=12 Û z4+(z+z)2-2z2+1z2=12
Từ đó 12=z4+(z+z)2-2z2+1z2≥z4-2z2+1z2Þ z4-2z2+1≤12z2
Þ 7-43≤z2≤7+43Þ 2-3≤z≤2+3
Vậy:
Giá trị lớn nhất của z là 2+3 , đạt được tại z = (2+3)i
Giá trị nhỏ nhất của z là 2-3 , đạt được tại z = (2-3)i
2.1.5. Một số bài toán trắc nghiệm về modul của số phức
Trong phần này tôi đưa ra một số bài toán trắc nghiệm để minh họa cho tính linh hoạt và đa dạng của tư duy nhằm chọn được đáp án đúng.
Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn z-3+z+3=10. Tổng các GTLN và GTNN của z là
10	B. 6	C. 9	D. 13
Hướng dẫn: Dựa vào định nghĩa về elip thì tập hợp điểm biểu diễn của z là elip có bán trục lớn bằng 5, bán trục bé bằng 4 nên 4≤z≤5. Đáp án C
Bài 2: Cho 3 số phức a, b, c thỏa mãn a=b=c=1 và a+b+c=0 . 
Khi đó w = a2 + b2 + c2 có giá trị là
1	B. 2	C. 3	D. 0
Hướng dẫn: Theo ví dụ 18 phía trên thì ta có đáp án D
Cách khác: Ta chọn 3 số a, b, c thỏa mãn 2 điều kiện trên, có thể nhận thấy các nghiệm phức của phương trình z3 – 1 = 0 ( hoặc z3 + 1 = 0) sẽ thỏa mãn đủ 2 điều kiện đó. Thay các nghiệm vào biểu thức a2 + b2 + c2 và bấm máy tính , ta sẽ có kết quả bằng 0.
Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn z2-2z+5=(z-1+2i)(z+3i-1). Tìm giá trị nhỏ nhất của w với w = z – 2 + 2i
wmin=32	 B. wmin=2	 C. wmin=1	D. wmin=12
Hướng dẫn: 
z2-2z+5=z-1+2iz+3i-1
Û(z-1+2i)(z-1-2i)=z-1+2iz+3i-1
Ûz-1+2iz-1-2i-z-1+3i=0
Ûz=1-2i (1)z-1-2i-z-1+3i (2)
Với (1), ta có w=1
Với (2), ta có đường thẳng chứa các điểm biểu diễn của z có phương trình là y=-12. Do đó w có giá trị nhỏ nhất bằng với khoảng cách từ điểm (2; -2) đến đường thẳng nên w≥32 
Kết luận: wmin=1. Đáp án C
Bài 4: Nếu số phức z ≠3 và z=3 thì phần thực của 13-z bằng
13	B. 16	C. 6	D. 3
Hướng dẫn: 
Cách 1: Tự luận Re 13-z=1213-z+13-z=126-z-z9-3z+z+zz=16 đáp án B
Cách 2: Chọn z = -3 thay vào ta có ngay kết quả 16 
Bài 5: Cho 2 số phức a và b thỏa mãn a + b = 8 + 6i và a-b=2. 
Tính |a|2+|b|2
52	B. 56	C. 28	D. 48
Tìm GTLN của M =a+b.
226	B. 56	C. 26	D. 564
Hướng dẫn: 
a+b=8+6iÞ a+b=8-6iÞ a.a+b.b+a.b+b.a=100
a-b=2Þ a-ba-b=4Þ a.a+b.b-a.b-b.a=4
Cộng các vế ta có: |a|2+|b|2=52. Đáp án A
Theo câu 1, ta có |a|2+|b|2=52≥12(a+b)2Þ a+b≤226 Cách khác: chọn a = 5 + 3i, b = 3 + 3i, thì a, b thỏa mãn 2 điều kiện trên và a+b=24+18 lớn hơn 56, 26, 564. Đáp án A
Bài 6: Cho số phức z thỏa mãn z=1. Gọi M và m lần lượt là GTLN và GTNN của biểu thức P=z+1+z2-z+1. Tính giá trị của M.m
1334	B. 394	C. 33	D. 134
Hướng dẫn: Đặt z = x + yi, ta có x2 + y2 = 1 hay y2 = 1 – x2 và -1≤x≤1
 P=(x+1)2+y2+(2x2-x)2+y2(2x-1)2 =2x+2+2x-1
Sử dụng máy tính cầm tay: chức năng 
Ta thấy:
f(x) lớn nhất có giá trị xấp xỉ như hình bên 
f(x) nhỏ nhất có giá trị xấp xỉ như hình bên 
Nhân 2 giá trị này ta được đáp án A
Bài 7: Cho số phức z thỏa mãn z-3-4i=5. Gọi M và m lần lượt là GTLN và GTNN của biểu thức P=z+22-z-i2. 
Tính modul của w = M + m.i
w=2314	B. w=1258	C. w=3137	D.w=2309
Hướng dẫn: Dễ thấy tập hợp điểm biểu diễn của z là đường tròn 
(x – 3)2 + (y – 4)2 = 5
Ta có: P = 4x + 2y + 3 = 4(x – 3) + 2(y – 4) + 23 
Û P - 23 = 4(x – 3) + 2(y – 4) Þ (P-23)2≤(42+22)((x-3)2+y-4)2=100Þ 13≤P≤33Þ w=33+13iÞ w=1258 . Đáp án B.
Bài 8: Cho số phức z thỏa mãn z=1. Gọi M và m lần lượt là GTLN và GTNN của biểu thức P=z3+3z+z-z+z. Tính M + m
74	B. 134	C. 34	D. 154
Hướng dẫn: Ở bài này do bậc của z khá cao nên ta khéo léo giảm bậc của z bằng biến đổi sau:
Từ z=1Þ z=1. Ta có P=z3+3z+z-z+z=zz3+3z+z-z+z= z2+3+z2-z+z = 4x2 - 2x + 1
Dùng máy tính cầm tay , ta thấy
Vậy: Min P = 0.75 
Vậy: Max P = 3 
Vậy M + m = 154. Đáp án D
Bài 9: Cho các số phức a, b, c thỏa mãn a.b.c = 12+32i. Tính GTNN của biểu thức P=a2+b2+c2
Pmin = 1 `	B. Pmin = 2 	C. Pmin = 3 	D. Pmin = 4 
Hướng dẫn: 
P=a2+b2+c2≥33a2.b2.c2=33a.b.c2=3. Đáp án C
Bài 10: Cho số phức z thỏa mãn z=1. Tìm GTNN của biểu thức
 P=1+z+1+z2+1+z3
Pmin = 1 `	B. Pmin = 2 	C. Pmin = 3 	D. Pmin = 4 
Hướng dẫn: 
P=1+z+z+z+1+z.1-z+z2=1+z+z+z+1+z.z+z-1
=z+z+1+z.z+z-1+1=2x+2x+2.(2x-1+1)
Dùng máy tính cầm tay ta thấy
	Min P = 2 khi z = -1. Đáp án B
Bài 11: Cho số phức z thỏa mãn 6z-i2+3iz≤1. Tìm giá trị lớn nhất của z
maxz=12	 B. maxz=34	 C. maxz=13	D. maxz=1
Hướng dẫn: 6z-i2+3iz≤1Û 6z-i≤2+3izÛ 6z-i≤3z-2i
Tập hợp các điểm biểu diễn của z là hình tròn: x2+y2≤19. Dễ thấy giá trị lớn nhất của z là 19. Đáp án C.
Bài 12: Gọi z là số phức có phần thực lớn hơn 1 và thỏa mãn 
z+1+i=2z+z-5-3i sao cho biểu thức P = z-2-2i đạt GTNN. Tìm phần thực của z.
Re(z) = 8+72	 B. Re(z) = 8+22	C. Re(z) = 4+62	D. Re(z) = 12+22
Hướng dẫn: Tập hợp các điểm biểu diễn của z là parabol: y = (x – 2)2, khi đó
P = z-2-2i=(x-2)2+((x-2)2-2)2. Để P đạt GTNN thì 
f(t) = t2 – 3t + 4 đạt GTNN Û t=32Û x-2=62Û x=4+62 . Đáp án C
Bài 13: Giả sử là các số phức khác không, thỏa mãn gọi A, B là các điểm biểu diễn tương ứng của . Khẳng định nào sau đây đúng
∆OAB vuông tại A	C. ∆OAB đều	
∆OAB cân tại A	D. ∆OAB vuông cân tại O
Hướng dẫn: 
Ta có , suy ra:
.
Lại có
 nên 
	Suy ra AB=OA=OB đều. Đáp án C
Cách khác: Chọn z1=12+32i, z2=-12+32i . Khi đó dễ thấy 
 OA = OB = AB = 1 nên ∆OAB đều. Đáp án C
Bài