SKKN Một số phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi Toán – Phần so sánh phân số - Lớp 4, 5

1/PHẦN MỞ ĐẦU
 1.1/. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
 	Thực tế dạy học về phân số và các phép tính, xác định giá trị các phân số cho thấy các bài tập về phân số luôn là những bài tập khó đối với học sinh. Các bài tập về so sánh hai phân số, hay sắp xếp các phân số theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần thường khiến học sinh lúng túng và mất nhiều thời gian làm bài. Sách giáo khoa không dành nhiều thời lượng cho các bài tập về so sánh phân số. Bên cạnh đó, sách giáo khoa cũng chỉ giới thiệu một số dạng cơ bản nhất về so sánh phân số cho học sinh. Trong chương trình toán lớp 4, học sinh được học so sánh hai phân số có cùng mẫu số; so sánh hai phân số khác mẫu số bằng cách quy đồng mẫu số, sau đó củng cố trong 4 tiết luyện tập, luyện tập chung. 
 	 Lên lớp 5, các em được ôn tập so sánh phân số trong hai tiết. Ngoài cách so sánh phân số như trên, các em được biết thêm cách so sánh hai phân số có cùng tử số. Các bài tập so sánh phân số được phân chia thành 3 dạng cơ bản: 
 1. So sánh hai phân số có cùng mẫu số;
 2. So sánh hai phân số có cùng tử số; 
 3. So sánh hai phân số khác mẫu số bằng cách quy đồng mẫu số.
Vì vậy, khi gặp những bài so sánh phân số có mẫu số lớn hoặc tử số lớn thì gây khó cho học sinh, hoặc có một số bài có dạng tổng quát nhưng sách giáo khoa không giới thiệu.
 Trong những năm học gần đây, nhiều trường Tiểu học thực hiện giảng dạy chương trình 10 buổi/ tuần nên buổi 2 trong ngày là khoảng thời gian cần rèn kĩ năng và đưa một số kiến thức nâng cao phù hợp với học sinh. Đặc biệt, với đối tượng học sinh khá giỏi, ngoài việc thực hiện các bài tập trong SGK, các em cần được nâng cao kiến thức và bồi dưỡng về môn toán. Vì vậy các em thường xuyên phải làm các bài tập so sánh phân số phức tạp hơn. Với dạng 1 và 2, các em chỉ cần áp dụng quy tắc so sánh như SGK là hoàn thành bài tập. Với dạng thứ 3, một số bài tập có thể đưa về một trong hai trường hợp trên để so sánh. Tuy nhiên, trong quá trình làm bài tập, nếu chỉ vận dụng những cách so sánh như SGK đã nêu thì nhiều lúc học sinh phải tính toán phức tạp, mất nhiều thời gian. Có những bài tập yêu cầu so sánh hai phân số bằng cách thuận tiện, Sắp xếp các phân số theo thứ tăng dần (hoặc giảm dần), so sánh một tổng các phân số với một tổng các phân số, tìm các phân số ở giữa hai phân số đã cho, thì chỉ với các cách trên, học sinh không thực hiện được bài tập theo đúng yêu cầu. Đặc biệt với học sinh giỏi, phần so sánh phân số là một nội dung quan trọng, rất nhiều bài yêu cầu so sánh phân số phức tạp, mẫu số lớn, nhiều bài yêu cầu so sánh phân số bằng cách nhanh nhất hay cách thuận tiện nhất. Trong các kì thi HSG cấp Quận, mảng kiến thức so sánh phân số cũng rất được chú trọng. Khi dạy- học phần này, cả giáo viên và học sinh đều gặp rất nhiều khó khăn. Vì vậy, khi giảng dạy lớp 4-5, đặc biệt là dạy học sinh giỏi, tôi đã nghiên cứu, học hỏi kinh nghiệm của đồng nghiệp và tích luỹ được một số kinh nghiệm về các cách so sánh phân số thuận tiện. Tôi mạnh dạn viết kinh nghiệm sáng kiến: 
Một số phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi Toán – Phần so sánh phân số - Lớp 4,5
1.2/MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
- Sáng kiến kinh nghiệm: Một số phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi Toán – Phần so sánh phân số - Lớp 4,5 nhằm mục đích nghiên cứu các phương pháp so sánh phân số SGK đã đưa ra, nêu các phương pháp so sánh phân số bằng cách thuận tiện để giáo viên, học sinh tham khảo và áp dụng vào quá trình dạy - học., góp phần bồi dưỡng và nâng cao kiến thức về môn Toán cho HS, đặc biệt là học sinh giỏi.
1.3/ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU, PHẠM VI NGHIÊN CỨU
a/. Đối tượng nghiên cứu
- Một số phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi Toán – Phần so sánh phân số - Lớp 4,5 
b/ Phạm vi nghiên cứu 
- Các phương pháp so sánh phân số cơ bản và các phương pháp so sánh phân số bằng cách thuận tiện, một số dạng bài tập ứng dụng.
1.4/. KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU, PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU, THỜI GIAN HOÀN THÀNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
a/. Kế hoạch nghiên cứu
- Đối tượng điều tra: Giáo viên dạy lớp 4-5 Trường Tiểu học Trần Phú; Học sinh khá giỏi lớp 4 - 5 Trường Tiểu học Trần Phú
 	- Đối tượng thực nghiệm: Học sinh Trường Tiểu học Trần Phú .
	- Thời gian bắt đầu: Bắt đầu từ năm học 2015-2016.
b/. Phương pháp nghiên cứu
Trong sáng kiến kinh nghiệm này, tôi sử dụng một số phương pháp nghiên cứu sau:
 	 - Phương pháp thu thập và xử lí tài liệu.
 - Phương pháp quan sát- dự giờ.
 	- Phương pháp thống kê
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
- Phương pháp so sánh- đối chiếu.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
2/NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1/ CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Trong các môn học ở Tiểu học, cùng với môn Tiếng Việt, môn Toán có vị trí quan trọng. Các kiến thức, kĩ năng của môn toán ở Tiểu học có nhiều ứng dụng trong đời sống góp phần quan trọng để học sinh học tốt các môn học khác ở tiểu học và tiếp tục học môn toán ở trung học.
 	Môn toán giúp học sinh nhận biết những mối quan hệ về số lượng và hình dạng không gian của thế giới hiện thực. Môn toán còn góp phần quan trọng trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp giải quyết vấn đề; nó góp phần phát triển trí thông minh, cách suy nghĩ độc lập, linh hoạt sáng tạo; nó đóng góp vào việc hình thành các phẩm chất cần thiết và quan trọng của người lao động như cần cù, cẩn thận, có ý chí vượt khó khăn, làm việc có kế hoạch, có nền nếp và tác phong khoa học.
 	 Môn toán ở tiểu học hình thành hệ thống các kiến thức cơ bản, đơn giản như cách đọc , viết số tự nhiên, các phép tính với số tự nhiên, giải toán với các phép tính trên số tự nhiên. Lên lớp 4, các em được làm quen với một loại số mới: Phân số. 
Phân số giúp các em giải quyết được nhiều hạn chế trong làm toán mà số tự nhiên không khắc phục được như: Viết thương của phép chia có dư , viết số phần bằng nhau của đơn vị, so sánh một phần của của vật này với một phần của vật kia.. Trong chương trình toán lớp 4, bài học về phân số chiếm 43 tiết và học rải rác trong chương trình toán 4, có nhiều ứng dụng trong giải toán; là một trong những nội dung cơ bản của toán lớp 4. Lên lớp 5, các em tiếp tục học ôn về phân số. Phần so sánh phân số là một nội dung quan trọng trong phần phân số. So sánh phân số là việc làm để xác định thứ tự, vị trí của các phân số trong hai phân số hay trong dãy các phân số. Bài toán về so sánh các phân số , sắp xếp các phân số theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần xuất hiện khá nhiều trong sách giáo khoa, các tài liệu và đề thi trong chương trình của lớp 4-5. Phân số là một nội dung mới với học sinh Tiểu học, đặc biệt là phần so sánh phân số gây nhiều khó khăn cho học sinh và cũng nhờ đó mà chương trình đã tạo cho học sinh sức sáng tạo, tư duy lô-gic trong việc tìm cách giải và đi vào giải các bài tập liên quan đến so sánh các phân số. Vì vậy, cách so sánh các phân số là một vấn đề mà rất nhiều giáo viên và học sinh quan tâm.
2.2. Thực trạng
2.2.1. Sách giáo khoa.
 - Sách giáo khoa toán 4 và toán 5 chỉ đưa ra dạng bài cơ bản: So sánh các phân số cùng mẫu số, cùng tử số, so sánh các phân số khác mẫu số bằng cách quy đồng mẫu số, ngoài ra có một vài bài tập so sánh phân số với 1.
 Như vậy các bài tập trong SGK chỉ phù hợp cho học sinh đại trà, chưa có bài tập dành cho HS Giỏi (các bài toán nâng cao)
2.2.2. Về giáo viên
- Những giáo viên chưa qua dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, những giáo viên trẻ có kiến thức nhưng kinh nghiệm chưa nhiều đều gặp khó khăn khi thực hiện các bài tập so sánh phân số theo yêu cầu nâng cao. Vì vậy, đa số vẫn chỉ dừng ở việc áp dụng các quy tắc so sánh như SGK đã nêu.
2.2.3. Về học sinh
- Học sinh còn lúng túng khi thực hiện so sánh phân số bằng cách thuận tiện,
(đa số vẫn áp dụng quy đồng mẫu số rồi so sánh), chưa có kĩ năng lựa chọn phương pháp so sánh phù hợp cho mỗi bài tập.
2.2.4.Những vấn đề cần giải quyết
 Để học sinh lớp 4-5 có kĩ năng so sánh phân số bằng cách thuận tiện, cần giải quyết những vấn đề sau:
 Vấn đề thứ nhất: HS nắm vững các cách so sánh phân số dạng cơ bản trong sách giáo khoa.
 Vấn đề thứ hai: Các phương pháp so sánh phân số bằng cách thuận tiện.
 Vấn đề thứ ba: Một số dạng bài tập nâng cao ứng dụng phương pháp so sánh phân số .
 2.3./ BIỆN PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
 2.3.1.Vấn đề thứ nhất: HS nắm vững các cách so sánh phân số dạng cơ bản 
trong sách giáo khoa.
 a/. HS nắm vững cách so sánh hai phân số có cùng mẫu số; hai phân số có cùng tử số.
So sánh hai phân số có cùng mẫu số và so sánh hai phân số có cùng tử số là hai dạng cơ bản trong sách giáo khoa. Học sinh nắm chắc cách so sánh hai dạng này để thực hiện tốt các bài tập trong sách giáo khoa, là nền tảng để thực hiện các bài tập nâng cao.
 Vì vậy các em phải thuộc lòng và vận dụng tốt quy tắc so sánh hai phân số có cùng mẫu số; hai phân số có cùng tử số
Trường hợp 1. So sánh hai phân số có cùng mẫu số, SGK đưa ra quy tắc như sau.
 Trong hai phân số có cùng mẫu số:
Phân số nào có tử số bé hơn thì bé hơn.
Phân số nào có tử số lớn hơn thì lớn hơn. 
Nếu tử số bằng nhau thì hai phân số đó bằng nhau.
Ví dụ. So sánh hai phân số và 
Giải
 Vì 4 4 nên > 
Trường hợp 2. So sánh hai phân số có cùng tử số, trong SGK không có quy tắc cụ thể mà từ các bài tập cụ thể SGK Toán 5, tôi đã rút ra kết luận cho học sinh dễ nhớ, dễ thực hiện.
 Ví dụ. So sánh các phân số:
 a/ và ; b/ và ; c/ và 
 Dựa vào khái niệm phân số, tôi hướng dẫn HS so sánh để thấy được:
 > ; 
 Cụ thể: và 
- Dựa vào khái niệm phân số, ta có:
 tức là 1 đơn vị chia thành 5 phần bằng nhau, lấy 2 phần
 tức là 1 đơn vị chia thành 7 phần bằng nhau, lấy 2 phần.
 1 đơn vị chia thành nhiều phần bằng nhau hơn thì giá trị 1 phần nhỏ hơn.
 Vì 5 
Tương tự với phần b,c.
 Từ đó rút ra cho HS cách so sánh hai phân số có cùng tử số như sau:
 Trong hai phân số có cùng tử số, phân số nào có mẫu số bé hơn thì phân số đó lớn hơn; phân số nào có mẫu số lớn hơn thì phân số đó bé hơn.
b/. So sánh các phân số có mẫu số khác nhau.
 	Sách giáo khoa đưa ra quy tắc: Muốn so sánh hai phân số khác mẫu số, ta có thể quy đồng mẫu số hai phân số đó , rồi so sánh các tử số của hai phân số mới.
Ví dụ: So sánh các phân số sau
 và 
Giải
 Quy đồng mẫu số các phân số, ta có: = = ; = = 
 Vì < nên < 
Thực tế, khi gặp trường hợp so sánh các phân số khác mẫu số, học sinh thường vận dụng quy đồng ngay mẫu số các phân số, nhiều khi rất mất thời gian. Vì vậy, ngay khi vận dụng quy tắc sách giáo khoa cũng phải hướng dẫn 
học sinh vận dụng cách thuận tiện nhất. 
Tôi đưa ra những lưu ý khi thực hiện quy đồng mẫu số các phân số là:
Thứ nhất: Chọn mẫu số chung nhỏ nhất.
Thứ hai: Đưa về phân số tối giản trước khi quy đồng.
Thứ ba: Nếu các phân số đã cho có thể áp dụng các phương pháp so sánh thuận tiện mà không cần quy đồng thì nên vận dụng phương pháp so sánh thuận tiện.
2.3.2. Vấn đề thứ hai: Các phương pháp so sánh phân số bằng cách thuận tiện
 Trong quá trình giảng dạy, học hỏi đồng nghiệp và tích luỹ kinh nghiệm, tôi đã đúc kết một số phương pháp so sánh phân số bằng cách thuận tiện là:
 Cách 1. So sánh hai phân số bằng cách quy đồng tử số.
 Cách 2. So sánh hai phần bù tới 1 của mỗi phân số.
 Cách 3. So sánh hai phần hơn của mỗi phân số với 1
 Cách 4. So sánh qua một số trung gian.
 Cách 5. So sánh bằng cách đưa về phân số tối giản 
 Cách 6. So sánh hai phân số bằng cách chuyển phân số thành hỗn số.
 Cách 7. So sánh bằng đảo ngược phân số 
 Cách 8: .So sánh hai phân số bằng cách độc đáo
 Cách 9.So sánh hai phân số bằng cách phân tích mỗi phân số thành tổng hoặc thành hiệu của hai phân số mới có liên quan để so sánh.
 Để áp dụng có hiệu quả các phương pháp so sánh phân số bằng cách thuận tiện, cần nắm vững cách làm cụ thể của từng phương pháp so sánh và có kĩ năng nhận dạng để chọn cách so sánh phù hợp cho từng bài.. Giáo viên cung cấp kiến
thức từng cách so sánh cho học sinh và được coi như đó là “ công thức” so sánh. Cụ thể như sau: 
 ** Cách 1. So sánh hai phân số bằng cách quy đồng tử số.
 Nếu hai phân số có mẫu số khác nhau mà mẫu số lại lớn, việc đưa hai phân số về cùng tử số nhanh và thuận tiện hơn thì ta có thể dựa vào tính chất cơ bản của phân số để quy đồng tử số. (Đưa các phân số về cùng tử số)
 Hướng dẫn cụ thể:
- Cách quy đồng tử số của hai phân số:
 Tôi gợi mở để học sinh tìm ra cách quy đồng tử số:
+ Nêu cách quy đồng mẫu số?
+ Tương tự như cách quy đồng mẫu số, hãy tìm cách để tử số của hai phân số bằng nhau?
 Từ ví dụ cụ thể, rút ra cách quy đồng tử số của hai phân số như sau: 
 + Lấy tử số và mẫu số của phân số thứ nhất nhân với tử số của phân số thứ hai.
 + Lấy tử số và mẫu số của phân số thứ hai nhân với tử số của phân số thứ nhất.
- So sánh mẫu số của hai phân số và kết luận về hai phân số cần so sánh như phần so sánh hai phân số có cùng tử số.
 Ví dụ: So sánh hai phân số: và 
 Giải
 Quy đồng tử số các phân số, ta có:
 Ta có: = = = = 
 Vì 36 > 34 nên < . Vậy : < 
**Cách 2. So sánh hai phân số bằng cách so sánh hai “phần bù” đến 1 của mỗi phân số.
 Trước hết cần giải thích cho HS hiểu phần bù đến 1 của mỗi phân số là phần phải bù thêm vào phân số để được 1 đơn vị.
 Nhận dạng để so sánh: Chọn phương pháp so sánh hai phần bù đến 1 của mỗi phân số khi :
 + Hai phân số cần so sánh đều nhỏ hơn 1 
 + Hiệu giữa mẫu số và tử số của hai phân số bằng nhau (lấy mẫu số trừ đi tử số của phân số đó, ta được hai hiệu bằng nhau) 
 Muốn tìm phần bù đến 1 của mỗi phân số, ta chỉ việc lấy 1 trừ đi chính phân số đó.
 Ví dụ 1: So sánh hai phân số và bằng cách thuận tiện
 + Nhận xét: < 1; < 1 và 13 -12 = 1; 14 - 13 = 1
+ Chọn phương pháp so sánh hai phần bù đến 1 của mỗi phân số 
Giải
 Ta có: 1 - = 1 - = 
 Vì > (Theo cách so sánh hai phân số có cùng tử số)
 Nên < (Hai phép trừ có số bị trừ bằng nhau, nếu phép trừ nào có hiệu lớn hơn thì số trừ nhỏ hơn và ngược lại).
Ví dụ 2. So sánh các phân số sau bằng cách thuận tiện.
 và 
+ Nhận xét: Cả 2 phân số đều nhỏ hơn 1.
 Hiệu giữa mẫu số và tử số: 125 - 123 = 2; 113 - 111 = 2
+ Chọn phương pháp so sánh phần bù đến 1 của mỗi phân số 
 Giải
 Ta có: 1 - = ; 1 - = 
 Vì 
 Từ các ví dụ, tôi khái quát thành các bước so sánh như sau:
 + Bước 1: Tìm phần bù đến 1 của mỗi phân số .
 + Bước 2: So sánh hai phần bù “đến 1” của mỗi phân số.
 + Bước 3: Kết luận về hai phân số cần so sánh: 
 Trong hai phân số, phân số nào có phần bù đến 1 lớn hơn thì phân số đó bé hơn và ngược lại.
 Để học sinh dễ nhớ, có thể khái quát như sau:
 Nếu 1- 
 Cách so sánh này không chỉ áp dụng khi so sánh hai phân số mà có thể áp dụng để so sánh 3 phân số, 4 phân số, .
Ví dụ . So sánh các phân số sau bằng cách thuận tiện:
 ; và 
+ Nhận xét: cả 3 phân số đều nhỏ hơn 1.
 Hiệu giữa mẫu số và tử số: 15 - 13 = 2; 19 - 17 = 2; 23 - 21 = 2
+ Chọn phương pháp so sánh phần bù đến 1 của mỗi phân số 
 Giải
 Ta có: 1 - = ; 1 - = ; 1 - = 
 Vì > > ( theo cách so sánh các phân số có cùng tử số)
 Nên < < (Hai phép trừ có số bị trừ bằng nhau, nếu phép trừ nào có hiệu lớn hơn thì số trừ nhỏ hơn và ngược lại).
** Cách 3. So sánh hai “phần hơn” của mỗi phân số với 1.
 Trước hết cần giải thích cho HS hiểu phần hơn của mỗi phân số với 1 chính là 
hiệu của mỗi phân số cần so sánh và 1.
 Nhận dạng để so sánh: Chọn phương pháp so sánh hai phần hơn của mỗi phân số với 1 khi:
 + Hai phân số cần so sánh đều lớn hơn 1
 + Hiệu giữa tử số và mẫu số của hai phân số bằng nhau (lấy tử số của mỗi phân số trừ đi mẫu số của phân số đó, ta được hai hiệu bằng nhau.)
 Muốn tìm phần hơn của mỗi phân số với 1, ta lấy phân số đó trừ đi 1.
 Ví dụ : Không quy đồng mẫu số, hãy so sánh hai phân số sau 
 và 
+ Nhận xét: cả 2 phân số đều lớn hơn 1.
 Hiệu giữa tử số và mẫu số của mỗi phân số: 17 - 16 = 1; 16 - 15 = 1
+ Chọn phương pháp so sánh phần hơn của mỗi phân số với 1
 Giải
 Ta có: - 1 = - 1 = 
 Vì < (Theo cách so sánh hai phân số có cùng tử số)
 Nên < (Hai phép trừ có số trừ bằng nhau, phép trừ nào có hiệu lớn hơn thì số bị trừ lớn hơn và ngược lại).
 Từ các ví dụ, tôi khái quát thành các bước so sánh như sau:
 + Bước 1. Tìm “phần hơn” của mỗi phân số với 1.
 + Bước 2. So sánh hai “phần hơn” của mỗi phân số với 1
 + Bước 3. Kết luận về hai phân số cần so sánh: Trong hai phân số, phân số nào có phần hơn so với 1 lớn hơn thì phân số đó lớn hơn và ngược lại.
 Khái quát: Nếu -1 > - 1 thì > 
 Cách so sánh này không chỉ áp dụng khi so sánh hai phân số mà có thể áp dụng để so sánh 3 phân số, 4 phân số, 
Ví dụ: So sánh các phân số sau bằng cách thuận tiện 
 ; và 
+ Nhận xét: cả 3 phân số đều lớn hơn 1.
 Hiệu giữa tử số và mẫu số của mỗi phân số: 2006 - 2001 = 5
 2002 - 1997 = 5; 2012 - 2007 = 5
+ Chọn phương pháp so sánh phần hơn của mỗi phân số với 1
 Giải
 Ta có: - 1 = ; - 1 = ; - 1 = 
 Vì < < nên < < 
 ** Cách 4. So sánh các phân số qua một số trung gian. (So sánh bắc cầu).
Trường hợp 1. Chọn 1 làm số trung gian
 Nhận dạng để so sánh: Trong các phân số cần so sánh mà: 
 + Một phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số 
 + Một phân số có tử số lớn hơn mẫu số
 ( hoặc phân số có tử số bằng mẫu số) thì chọn số trung gian là 1.
 Khi so sánh phân số với 1: Nếu phân số có: tử số nhỏ hơn mẫu số thì phân số nhỏ hơn 1; nếu tử số lớn hơn mẫu số thì phân số lớn hơn 1; nếu tử số bằng mẫu số thì phân số bằng 1.
 Ví dụ : So sánh hai phân số sau bằng cách nhanh nhất.
 và 
 Giải
 Vì 9 > 7 nên > 1 ; 15 < 18 nên < 1
 Vậy > 1 > 
 Trường hợp 2. So sánh qua một phân số trung gian
So sánh qua một phân số trung gian là cách so sánh hay, giải quyết được rất nhiều bài tập so sánh phân số bằng cách thuận tiện. Có trường hợp so sánh phức tạp thì việc tìm được một phân số trung gian không dễ. Khi tìm được phân số trung gian có thể coi như đã tìm ra bí quyết để so sánh các phân số đó.
Nhận dạng để so sánh: Hai dạng bài tập so sánh thường sử dụng cách so sánh qua một phân số trung gian là:
Nếu hai phân số có tử số của phân số này lớn hơn tử số của phân số kia, đồng thời mẫu số của phân số này bé hơn mẫu số của phân số kia hoặc ngược lại thì ta chọn cách so sánh qua phân số trung gian.
2. Tử số của phân số này lớn hơn tử số của phân số kia và mẫu số của phân số này cũng lớn hơn mẫu số của phân số kia. Khi lấy mẫu số của mỗi phân số chia cho tử số, ta có thể dựa vào thương để tìm được một số trung gian giữa hai phân số.
 Tìm phân số trung gian bằng cách nào?
 Việc tìm phân số trung gian phải dựa vào đặc điểm của các phân số đã cho.
 + Trường hợp 1: Tử số của phân số thứ nhất nhỏ hơn tử số của phân số thứ hai và mẫu số của phân số thứ nhât lớn hơn mẫu số của phân số thứ hai hoặc ngược lại, có hai cách chọn phân số trung gian:
Cách1: Lấy tử số của phân số thứ nhất làm tử số của phân số trung gian và mẫu số của phân số thứ hai làm mẫu số của phân số trung gian
Cách 2: Lấy tử số của phân số thứ hai làm tử số của phân số trung gian và mẫu số của phân số thứ nhất làm mẫu số của phân số trung gian.
 Ví dụ 1: So sánh hai phân số bằng cách thuận tiện nhất.
 và 
+ Nhận xét: 24 26
+ Chọn phương pháp so sánh qua phân số trung gian
Giải
 * Chọn phân số trung gian là: 
Ta thấy: < (So sánh hai phân số có cùng tử số)
 < (So sánh hai phân số có cùng mẫu số)
 Suy ra: < < vậy < 
 + Trường hợp 2. Tử số của phân số này lớn hơn tử số của phân số kia và mẫu số của phân số này cũng lớn hơn mẫu số của phân số kia. Ta xác định phân số trung gian dựa vào thương giữa mẫu số và tử số (Nếu cả hai phân số có mẫu số lớn hơn tử số), cụ thể như sau:
 Phân số thứ nhất: Lấy mẫu số chia cho tử số được thương là a dư r 
 Phân số thứ hai: Lấy mẫu số chia cho tử số được thương là (a-1) dư r 
 thì chọn phân số trung gian là 
 Từ các bài toán thực tế, giáo viên cần khái quát lại cho học sinh dễ nhớ: 
 Nếu < và < thì < 
 Tuy nhiên có trường hợp không chọn ngay được phân số trung gian mà phải gấp cả tử số và mẫu số của một phân số lên một số lần rồi mới chọn được phân số trung gian .
 Ví dụ: So sánh phân số mà không quy đồng.
 và 
 Giải
 Nhân cả tử số và mẫu số của phân số với 4, ta có:
 = = 
 So sánh và bằng cách chọn phân số trung gian là hoặc 
**Cách 5. So sánh bằng cách đưa về