SKKN Một số lưu ý khi giải quyết các bài toán tích phân và ứng dụng của tích phân trong tính diện tích, thể tích

DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT
THPT: Trung học phổ thông
TĐ: tác động
SGK: sách giáo khoa
SKKN: sáng kiến kinh nghiệm
MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Hiện nay, đổi mới phương pháp dạy học để phù hợp với phương án thi trắc nghiệm là một việc mà bất kể giáo viên dạy toán nào cũng phải thực hiện, đổi mới từ cách dạy lý thuyết, dạy bài tập đến đổi mới cách ra đề kiểm tra. Trong đề thi THPT Quốc gia của các năm gần đây , bài toán tích phân hầu như không thể thiếu. 
Tuy nhiên đối với nhiều học sinh THPT, bài toán tích phân là một trong những bài toán khó, đã có nhiều học sinh đưa ra những lời giải sai dẫn đến sai lầm trong việc chọn phương án đúng trong bài toán trắc nghiệm tích phân (Điều này tôi đã phát hiện ra qua chấm bài kiểm tra thường xuyên, định kì và chấm bài thi thử THPT Quốc gia ). 
Là một giáo viên trực tiếp ôn thi THPT Quốc gia cho các em, tôi mong muốn các em đạt kết quả cao, có kĩ năng làm bài trắc nghiệm. Chính vì vậy, trong quá trình dạy phần tích phân cho học sinh lớp 12 tôi đã nhận ra những lời giải sai mà học sinh hay mắc phải. Để giúp các em tránh được những sai lầm đáng tiếc khi giải bài toán trắc nghiệm tích phân. Tôi đã áp dụng một số kinh nghiệm sau “ Một số lưu ý khi giải quyết các bài toán tích phân và ứng dụng của tích phân trong tính diện tích, thể tích ”
Hi vọng rằng với sự chia sẻ kinh nghiệm này, học sinh của chúng ta sẽ có kết quả cao hơn trong các kì thi, đặc biệt là kì thi THPT Quốc gia.
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu các bài toán về tích phân và ứng dụng của tích phân để tính diện tích, thể tích.
- Nghiên cứu các sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân.
- Nghiên cứu kỹ thuật ra đề kiểm tra trắc nghiệm theo định hướng đổi mới
- Nghiên cứu kỹ năng làm bài tập trắc nghiệm
	- Rèn luyện kỹ năng làm bài tập trắc nghiệm và tạo hứng thú học toán cho học sinh.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Các sai lầm thường gặp của học sinh khi tính tích phân
- Quá trình dạy học phần tích phân và ứng dụng của tích phân trong hình học giải tích lớp 12 THPT ban cơ bản vào lớp 12A8 nhằm giúp học sinh có lời giải đúng.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến nội dung, phương pháp và biện pháp 
Phương pháp điều tra, khảo sát.
Phương pháp quan sát sư phạm.
Phương pháp thống kê, tổng hợp, so sánh.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Dựa trên nguyên tắc của quá trình nhận thức của con người đi từ “ Cái sai đến cái gần đúng, rồi mới đến khái niệm đúng ”, các nguyên tắc dạy học và đặc điểm của quá trình nhận thức.
2.2. Thực trạng của vấn đề
Trong thực tế đa số học sinh thường tính tích phân một cách hết sức máy móc, đó là: 
+ Tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của tích phân hoặc phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân từng phần
 + Rất ít khi học sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay không ? Phép đặt biến mới trong phương pháp đổi biến số có nghĩa không ? Phép biến đổi hàm số có tương đương không ? 
Vì thế trong qúa trình tính tích phân học sinh thường mắc phải những sai lầm dẫn đến giải sai. 
2.3. Giải pháp thực hiện để giải quyết vấn đề trên
2.3.1. Giải pháp chung
	+ Lựa chọn và phân tích tỉ mỉ các bài tập minh họa cụ thể rồi để thấy những sai lầm của học sinh. Từ đó hướng dẫn học sinh tránh được sai lầm khi giải.
+ Vận dụng kết quả nghiên cứu vào giảng dạy nhằm giúp học sinh tìm lời giải, suy luận đúng và cuối cùng là quyết định đúng trong việc chọn đúng đáp án bài tập trắc nghiệm về tích phân.
	+ Kiểm nghiệm tính hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm khi áp dụng thực tiễn.
2.3.2. Các bài tập minh họa 
Bài 1: Tính tích phân I = [1]
A. 	B. 	C. - 	D. - 
* Sai lầm thường gặp: 	Đặt t = 2x +1
Khi x = 0 Þ t =1
Khi x = 2 Þ t =5
Ta có: I == =
* Nguyên nhân sai lầm: Vì dt = 2dx
* Lời giải đúng: Đặt t = 2x +1 dt = 2dx
Khi x = 0 Þ t =1
Khi x =2 Þ t =5
Ta có: I == =
Vậy đáp án đúng là B
* Chú ý đối với học sinh: Khi đổi biến nhớ phải tính vi phân.
Bài 2: Tính tích phân: [1]
A. 	B. 
C. 	D. 
* Sai lầm thường gặp: 
Đặt 
Đổi cận : x = -1 thì t = -2
 x = 1 thì t = 2
* Nguyên nhân sai lầm:
 là sai vì trong chứa x = 0 nên không chia cả tử và mẫu cho được.
* Lời giải đúng: Xét hàm số ; 
Do đó 
Vậy đáp án đúng là C
* Chú ý đối với học sinh: Khi tính tích phân cần chia cả tử và mẫu của hàm số cho x , cần chú ý rằng trong đoạn lấy tích phân phải không chứa điểm x = 0.
Bài 3: Tính tích phân: I = dx [3]
A. -1 	 	 B. 1 	C. 0 	 D. 
* Sai lầm thường gặp: 
Đặt u = (x + 1 )2 Þ du = 2 (x + 1)dx Þ dx =
Đổi cận : x = -2 Þ u = 1
 x = 0 Þ u =1
Ta có: 
* Nguyên nhân sai lầm: 
Khi xÎ[-2;0] thì u Î[ 0;1] Þ Phải chăng sai lầm khi đổi cận ?
Giả sử học sinh khắc phục được sai lầm về đổi cận như sau:
Đặt u = ( x + 1 )2, x Î[-2;0] 
Ta có: u’ = 2 (x +1)
 x
-¥ -2 -1 0 ¥ 
 u’
 - 0 +
 u
 1 0 1
Bảng biến thiên:
Như vậy với xÎ[-2;0] thì u Î[ 0;1]
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra: I = dx = 
= = 
Tuy nhiên, ở cách giải sau đã khắc phục được sai lầm khi đổi cận nhưng phép biến đổi mới, hàm số không xác định tại u = 0
* Lời giải đúng : I = dx = d(x + 1) = 
Vậy đáp án đúng là D
* Chú ý đối với học sinh: Khi đổi biến số t = u (x) thì phải lưu ý u(x) phải xác định trên [a;b]. 
Bài 4: Tính tích phân: [5]
A. 	B. 	
C. 	D. Tích phân trên không tồn tại. 
* Sai lầm thường gặp 
* Nguyên nhân sai lầm: Hàm số không xác định tại suy ra hàm số không liên tục trên nên không sử dụng được công thức Newton- Leibnitz như cách giải trên.
* Lời giải đúng: Hàm số không xác định tại suy ra hàm số không liên tục trên do đó tích phân trên không tồn tại.
Vậy đáp án đúng là D
* Chú ý đối với học sinh: Khi tính cần chú ý xem hàm số có liên tục trên không? Nếu có thì áp dụng phương pháp đã học để tính tích phân đã cho, nếu không thì kết luận ngay tích phân này không tồn tại.
Bài 5: Tính tích phân [1]
A. 2 	B. -2 	C. 1 	D. -1.
* Sai lầm thường gặp: Đặt 
Đổi cận: Khi thì không xác định. Do đó tích phân trên không tồn tại.
* Nguyên nhân sai lầm: Khi thì không xác định
* Lời giải đúng: 
Vậy đáp án đúng là A
* Chú ý đối với học sinh: Khi tính cần chú ý xem hàm số có liên tục trên không? Nếu có thì áp dụng phương pháp đã học để tính tích phân đã cho, nếu không thì tìm cách biến đổi khác.
Bài 6: Tính tích phân [5]
A. -4 	B. -2 	C. -5 	 D. 5
*Sai lầm thường gặp:
* Nguyên nhân sai lầm: 
Phép biến đổi với là không tương đương.
* Lời giải đúng : 
Vậy đáp án đúng là D
* Chú ý đối với học sinh: với 
ta phải xét dấu hàm số trên rồi dùng tính chất tích phân tách I thành tổng các tích phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Bài 7: Tính tích phân [3]
A.-1 	 B. 1 C.0 D. 2
* Sai lầm thường gặp:
* Nguyên nhân sai lầm: 
* Lời giải đúng:
Vậy đáp án đúng là B
* Chú ý đối với học sinh: Khi biến đổi hàm số ta phải để ý xem phép biến đổi có tương đương trên đoạn đang xét hay không.
Bài 8: Tính tích phân: I = [5]
A. B. 0 	C. 	D. 
* Sai lầm thường gặp: Đặt t = p - x Þ dt = - dx
Ta có: sint = sin ( p - x) = sinx
I = Þ I = 0
* Nguyên nhân sai lầm: Vì xÎ[0;p] thì t Î[ p;0]
* Lời giải đúng: I = 
Vì 
Ta có: I = 
I = 
= =
Vậy đáp án đúng là A
* Chú ý đối với học sinh: Khi đổi biến phải đổi cận.
Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 
* Sai lầm thường gặp: Diện tích hình phẳng là:
O 
y
1
3
4 
x 
* Nguyên nhân sai lầm: Áp dụng sai công thức tính diện tích	
* Lời giải đúng: Diện tích hình phẳng là:	
Bài 10: 
Tính diện tích hình giới hạn bởi: 
* Sai lầm thường gặp: 
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là:
* Nguyên nhân sai lầm: Xác định sai hình cần tính diện tích do không vẽ đường giới hạn
* Lời giải đúng: Vẽ hình giới hạn:
Vậy diện tích hình giới hạn là:
 với :
 Bài 11: 
Tìm diện tích hình giới hạn bởi:
 [6]	
* Sai lầm thường gặp: 
Vậy diện tích của hình giới hạn là:
1 
3 
* Nguyên nhân sai lầm: Xác định sai hình cần tính giới hạn y=(x-1)2 y=(x-3)2
* Lời giải đúng: 
Diện tích hình giới hạn là:
Vậy S = 
 Bài 12: 
Tính thể tích hình xuyến gây bởi hình tròn quay quanh trục Ox.
y
· b
O
x
* Sai lầm thường gặp: 
Phương trình đường tròn (C): có thể viết
Vậy thể tích của hình xuyến là:	
* Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù kết quả đúng nhưng sai công thức thể tích:
 mà .
* Lời giải đúng: 
Bài 13: 
Tính Voy của hình 
* Sai lầm thường gặp: 
* Nguyên nhân sai lầm: Đã sử dụng công thức đây là công thức tính diện tích Vox. Vậy nên lời giải bị sai.
* Lời giải đúng: 
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 
Sáng kiến kinh nghiệm được thực hiện trong năm 2018 – 2019 trên các lớp 12A5, 12A8.
Trước khi áp dụng SKKN tôi cho học sinh 2 lớp 12A5, 12A8 làm bài kiểm tra số 1. Sau khi áp dụng SKKN tôi cho học sinh 2 lớp trên làm bài kiểm tra số 2. ( 2 bài kiểm tra này tương đương về kiến thức ).
Kết quả thu được như sau:
Lớp
Sĩ số
Kết quả học tập môn Toán đầu năm 2017-2018
Khá - giỏi
Trung bình
Yếu - kém
Số học sinh
Tỉ lệ %
Số học sinh
Tỉ lệ %
Số học sinh
Tỉ lệ %
12A5
34
3
8,82
26
76,47
5
14,71
12A8
44
2
4,45
24
53,33
19
42,22
Sau khi tiến hành nghiên cứu trên lớp 12A5 còn lớp 12A8 để đối chứng, khi kiểm tra số 2 tôi đã thu được kết quả sau: 
Lớp
Sĩ số
Kết quả làm bài kiểm tra đánh giá
Khá - giỏi
Trung bình
Yếu - kém
Số học sinh
Tỉ lệ %
Số học sinh
Tỉ lệ %
Số học sinh
Tỉ lệ %
12A5
34
3
8,82
27
79,41
4
11,77
12A8
44
3
6,82
29
65,91
12
27,27
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận 
Như vậy, bằng việc phân tích tỉ mỉ một số sai lầm của học sinh khi vận dụng các phương pháp tích phân để giải các bài toán tích phân, tôi đã thu được kết quả sau:
+ Nâng cao được kỹ thuật giải bài toán tích phân của học sinh lớp thực nghiệm.
+ Giúp học sinh có những hiểu biết thấu đáo về vấn đề này. Qua đó các em đã tránh được những sai lầm đáng tiếc khi tính tích phân, đưa ra phương án đúng cho bài toán trắc nghiệm tích phân, góp phần nâng cao kết quả học tập của mình.
3.2. Kiến nghị
+ Trong quá trình dạy học sinh về phần tích phân, giáo viên nên lưu ý những sai lầm mà học sinh hay mắc phải trong quá trình giải bài toán trắc nghiệm tích phân. Từ đó giúp học sinh tránh được những suy luận sai, lời giải sai khi làm những bài tập loại này.
XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ
Phó Hiệu trưởng
Đỗ Duy Thành
Thanh Hóa, ngày 17 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
 Ngô Thị Duyên
TÀI LIỆU THAM KHẢO
 [1]. Phương pháp giải toán tích phân (Trần Đức Huyên - Trần Chí Trung- NXB Giáo Dục.
[2]. Sách giáo khoa Giải tích 12 - Ngô Thúc Lanh chủ biên - NXB Giáo Dục- 2000
[3]. Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán - Trần Phương- Lê Bích Ngọc- NXB Hà Nội- 2005.
[4]. https://www.slideshare.net/megabookvn/11-sai-lm-thng-gp-khi-tnh-tch-phn-megabookvn
[5]. https://sites.google.com/site/toanhoctoantap/kien-thuc-toan/nhung-sai-lam-khi-giai-toan-tich-phan
[6]. 
DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Ngô Thị Duyên
Chức vụ và đơn vị công tác: Trường THPT Thạch Thành 3
TT
Tên đề tài SKKN
Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh...)
Kết quả đánh giá xếp loại (A, B, hoặc C)
Năm học đánh giá xếp loại
1
Phát triển tư duy qua việc giải bài tập dựng hình bằng phép đối xứng trục trong mặt phẳng
Sở GD&ĐT 
C
2013 - 2014
1
Một vài kinh nghiệm đưa các bài toán có nội dung thực tiễn và liên môn vào dạy chương phương trình, hệ phương trình Đại số 10 – THPT
Sở GD&ĐT 
C
2015 - 2016
PHỤ LỤC
Đề kiểm tra đánh giá số 1: ( Bài kiểm tra 15 phút )
Tính tích phân sau: 
A.	B. 	C. không tồn tại	D.	
2. Tính tích phân sau: 
A. 2	B. -2	C. không tồn tại	D. 1	
3. Tính tích phân sau: 
A. 	B. -	C. -	D. 
4. Tính tích phân sau: 
A. -2	B. -4	C. -5	D. 5 	
5. Tính tích phân sau: 
A. 	B. -	C. -	D.
 6. Tính tích phân sau: 
A.	B. 	C. không tồn tại	D.	
7. Tính tích phân sau: 
A.	 B. 	 C. 	 D. 	
8. Tính tích phân sau: 
A.	B. 	C. -2	D.2	
9. Tích phân có giá trị bằng: 
A. 	B. 	C. 23	D. 32.
10. Tích phân có giá trị bằng: 
A. 	B. 	C. 	D. .
Đề kiểm tra đánh giá số 2: ( Bài kiểm tra 15 phút )
1. Tính tích phân sau: 
A. 0	B. 1	C. không tồn tại	D. -1	
2. Tính tích phân sau: 
A. 1	B. 0	C. không tồn tại	D.	
3. Tính tích phân sau: 
A. 2	B. 0	C. 1	D.-2	
4. Tính tích phân sau: 
A.	B. 	C. 	D.	
5. Tính tích phân sau: 
A.	B.	C. 1	D.	
6. Tích phân có giá trị bằng: 
	A. 	B. 	C. 43	D.34.
7. Tích phân có giá trị bằng: 
A. 	 B. 	C. 	 D. .
8. Tích phân có giá trị bằng: 
	A. 	B. 	C. 	D. .
9. Tích phân có giá trị bằng: 
	A. 	B. 	C. 	D. .
10. Tích phân có giá trị bằng: 
	A. 	B. 	C. 	D. .