SKKN Một số kinh nghiệm rèn luyện kĩ năng giải bài tập về phương trình mặt phẳng cho học sinh lớp 12 ở trường THPT Triệu Sơn 2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 2
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ KINH NGHIỆM 
RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI BÀI TẬP 
VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG CHO 
HỌC SINH LỚP 12 Ở TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 2
Người thực hiện: Nguyễn Thị Thức
Chức vụ: Tổ phó tổ chuyên môn Toán
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HÓA, NĂM 2019
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
	Trong những năm gần đây cùng với sự đổi mới trong giáo dục là đổi mới trong thi cử, môn Toán đóng một vai trò quan trọng khi chuyển từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm. Vì vậy đòi hỏi người dạy và học phải linh hoạt nắm bắt thông tin kiến thức nhanh, nhạy bén, chính xác để giải quyết vấn đề và đưa ra đáp án một cách chính xác, nhanh, gọn. Trang bị những kiến thức, kĩ năng và phát triển tư duy, trí tuệ cho học sinh là mục tiêu hàng đầu trong các mục tiêu dạy học môn Toán nói chung và chương trình môn Toán lớp 12 phần phương trình mặt phẳng nói riêng. Phương trình mặt phẳng là một phần quan trọng trong chủ đề phương pháp tọa độ trong không gian ở chương trình toán THPT có thể phát triển khả năng tư duy Toán học cho học sinh, được áp dụng nhiều trong các kì thi. Từ những kinh nghiệm giảng dạy, tích lũy chuyên môn, phụ đạo học sinh yếu kém và bồi dưỡng học sinh khá giỏi lớp 12, luyện thi THPT Quốc Gía, tôi đã lựa chọn đề tài "Một số kinh nghiệm rèn luyện kĩ năng giải bài tập về phương trình mặt phẳng cho học sinh lớp 12 ở trường THPT Triệu Sơn 2" mong muốn giúp các em có kĩ năng, kiến thức vững vàng, tự tin khi giải bài tập, là tài liệu tham khảo giúp đồng nghiệp có thêm kinh nghiệm khi dạy giải bài tập, luyện thi cho học sinh phần này
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Phát triển năng lực cho học sinh trong dạy học phương trình mặt phẳng ở hình học lớp 12. 
- Hệ thống kiến thức bằng sơ đồ, bảng tóm tắt thật đơn giản, dễ hiểu, dễ nhớ. Có cách giải nhanh, học sinh có thể sử dụng được máy tính cầm tay để giải quyết bài toán. 
- Chia sẻ với đồng nghiệp kinh nghiệm để rèn luyện kĩ năng giải bài tập về phương trình mặt phẳng cho học sinh lớp 12 ở trường THPT Triệu Sơn 2.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
 Đề tài tập trung nghiên cứu các câu hỏi và bài tập trắc nghiệm ngắn gọn, có các mức độ nhận biết, thông hiểu và vận dụng phù hợp với đa số học sinh lớp 12 ở trường THPT Triệu Sơn 2.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: tìm kiếm, nghiên cứu các tài liệu.
- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: khảo sát, thực nghiệm, thống kê, so sánh số liệu.
1.5. Những điểm mới của SKKN 
* Điểm mới cơ bản
+ Các hoạt động chỉ ra trong sáng kiến đều dựa trên cấu trúc của công văn về việc hướng dẫn xây dựng kế hoạch giáo dục theo định hướng phát triển năng lực học sinh.
+ Hoạt động trong dạy học được thể hiện như sau:
- Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động thành phần 
tương thích với nội dung và mục đích dạy học, gợi động cơ cho các hoạt động học tập.
- Giúp HS chiếm lĩnh tri thức, đặc biệt là tri thức phương pháp, như phương tiện và kết quả hoạt động.
- Phân bậc hoạt động làm căn cứ điều khiển quá trinh dạy học.
- Khuyến khích phát triển một số loại hình tư duy nhất định bằng cách cho HS, mà là tổ chức những hoạt động đặc trưng cho mỗi loại hình tư duy.
- Phát huy tính tự giác, tích cực, sáng tạo của người học.
+ Điều kiện để phát triển năng lực người học:
- Thông qua nội dung dạy học. Không có kiến thức thì không có năng lực, nhưng kiến thức cần chọn lọc và khai thác hợp lý. 
- Thông qua phương pháp dạy học và môi trường giáo dục. Có sự giao lưu học hỏi giữa HS với HS.
* Quy trình của giải pháp
 Để thuận tiện cho việc tổ chức khai thác và chỉ ra các hoạt động giúp phát triển năng lực cho học sinh trong dạy học phương trình mặt phẳng ở hình học lớp 12 cần tập trung vào một số hoạt động sau:
HĐ: Dạy học khái niệm
HĐ: Dạy học định lí.
HĐ: Dạy học giải toán	
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Tổ chức hoạt động trong dạy học khái niệm, định lí 
2.1.1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 
 Trong không gian , cho mặt phẳng. Vectơ được gọi là vectơ
 pháp tuyến (VTPT) của mặt phẳng nếu giá của nó vuông góc với .
 Chú ý: Nếu mặt phẳng chứa (hoặc song song) với giá của hai vectơ 
 không cùng phươg thì nhận 
là một VTPT.
2.1.2. Phương trình mặt phẳng 
 . 
 Dạng tổng quát: 
. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn: 
 .
2.1.3. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng
Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai mặt phẳng 
 , có một VTPT là , 
 và , có một VTPT là . 
Vị trí tương đối
Điều kiện
Mô tả
 và song song
 và trùng nhau
 và cắt nhau
Chú ý: 
2.1.4. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 
Cho điểm và mặt phẳng có phương trình 
Khoảng cách từ điểm đến được xác định bởi công thức: 
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.2.1. Thực trạng của vấn đề 
- Trong chương trình toán THPT nói chung, phần hình học tọa độ trong không gian nói riêng thì bài tập phương trình mặt phẳng mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu, liên hệ với những nội dung nhất định, một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung những tri thức nào đó được trình bày trong phần lí thuyết. Câu hỏi và bài tập để người học kiến tạo những tri thức nhất định trên cơ sở thực hiện những mục tiêu dạy học. Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác nhau: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra. Tuy nhiên với tiến trình dạy học: Hoạt động gợi động cơ ít được quan tâm, hoạt động đánh giá còn đơn điệu chỉ có kiểm tra miệng đầu giờ duy trì thường xuyên và những bài kiểm tra định kì. Còn kiểm tra đột xuất đánh giá từng thời điểm còn ít.
- Trong tổ chức các hoạt động: Phần lớn là giao bài tập mang tính chất dành cho cả lớp. Hoạt động nhóm ít được quan tâm, nhiều thầy cô phản ánh là tốn nhiều thời gian để triển khai và công sức chuẩn bị. Hoạt động cá nhân thì không tạo được sức cạnh tranh, không chú ý đến mức kiến thức cho từng đối tượng nên bài khó thì chỉ HS khá mới chú ý đến còn lại đều khó khăn dẫn đến không khí lớp học không sôi nổi.
2.2.2. Về phía học sinh
Dựa trên kết quả các phiếu thăm dò học sinh tôi nhận thấy:
- Phần lớn đều tập trung vào hoạt động nghe GV giảng bài, quan sát SGK, ghi chép vào vở.
- Trao đổi với bạn để giải quyết vấn đề nêu ra ít được quan tâm.
- Tự mình hoạt động hoặc kết hợp nhóm rất bị động.
- HS nắm kiến thức một cách máy móc, hình thức và hay mắc sai lầm như: trong nội dung phương trình mặt phẳng không xác định được vectơ pháp tuyến, cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng dẫn đến không viết được phương trình mặt phẳng. 
2.2.3. Về phía giáo viên
 Bộ sách giáo khoa hiện hành các bài tập trên 90% là tự luận, các bài tập cũng được thiết kế dạy và học theo kiểu truyền thống. Do đó:
- GV ít chú ý đến dạy học bằng cách tạo các hoạt động dẫn đến tình huống có vấn đề để học sinh phải dự đoán, tranh luận, tự đề xuất giải pháp. 
- Phần lớn giáo viên còn sử dụng phương pháp thuyết trình, không để ý đến nhu cầu, hứng thú của học sinh trong quá trình học. Đặc biệt với những nội dung kiến thức mới thường mang tính chất giới thiệu gây cảm giác áp đặt cho HS.
- Khi dạy học giáo viên chỉ chú trọng vào phương pháp giải bài tập toán theo mẫu mà không nhấn mạnh, lưu ý học sinh về ý nghĩa, bản chất của phương pháp tọa độ trong không gian khi dạy học phương trình mặt phẳng. 
2.2.4. Kết quả của thực trạng
 Đa số các em tuy nắm lí thuyết nhưng rất lúng túng trong việc áp dụng vào bài làm, việc trình bày còn rối, dẫn tới không tìm ra được kết quả hoặc kết quả sai.
 HS có thói quen tiếp cận kiến thức một cách máy móc, phiến diện, hổng kiến thức đã học về phương trình mặt phẳng. 
2.3. Giải quyết vấn đề
2.3.1. Giải pháp mới 
 Để thuận tiện cho việc tổ chức khai thác và chỉ ra các hoạt động giúp phát triển năng lực cho học sinh trong dạy học phương trình mặt phẳng ở hình học lớp 12 cần tập trung vào một số hoạt động sau:
HĐ: Dạy học khái niệm
HĐ: Dạy học định lí.
HĐ: Dạy học giải toán	 	
2.3.2. Tổ chức hoạt động dạy học giải toán 
 Bài tập phương trình mặt phẳng mang những hoạt động mà việc thực hiện các hoạt động đó thể hiện mức độ đạt mục tiêu, liên hệ với những nội dung nhất định, một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ sung những tri thức nào đó được trình bày trong phần lí thuyết. Câu hỏi và bài tập để người học kiến tạo những tri thức nhất định trên cơ sở thực hiện những mục tiêu dạy học. Trong thực tiễn dạy học, bài tập được sử dụng với những dụng ý khác nhau: Đảm bảo trình độ xuất phát, gợi động cơ, làm việc với nội dung mới, củng cố hoặc kiểm tra. Các bài toán phương trình mp được phân thành những dạng sau:
2.3.2.1. Dạng 1: Xác định điểm thuộc hoặc không thuộc mặt phẳng
Câu 1. Trong không gian , cho mặt phẳng . Điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng ? 
 A. .	B. .	C. .	D. 
Lời giải. Chọn B
Phương pháp chung: kiểm tra điểm thuộc hay không thuộc mặt phẳng ta làm như sau:
+ Thay vào phương trình mặt phẳng .
+ Nếu thì kết luận .
+ Nếu thì kết luận .
Phương pháp giải nhanh:
 + Phương trình có hệ số của bằng vì vậy ta chỉ cần quan tâm đến 
hoành độ và tung độ của điểm.
 + Điểm thuộc .
Điểm có Loại A
Điểm có Chọn B
Điểm có Loại C
Điểm có Loại D
Câu 2. Trong không gian , cho các điểm , , , , , , . Trong số các điểm trên có bao nhiêu điểm thuộc mặt phẳng .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải. Chọn B
Những điểm thuộc mặt phẳng có cao độ bằng .
Do vậy có điểm thuộc mặt phẳng là .
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Câu 3. Trong không gian, cho mặt phẳng Điểm nào dưới đây không thuộc
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 4. Trong không gian, cho mặt phẳng Điểm thuộc là?
A. 	B. 	C. 	D. 
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 3. Thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt phẳng ta được:
Với : Loại.
Với : Loại.
Với : Loại.
Với : Đáp án D.
Câu 4. Thay tọa độ các điểm vào phương trình mặt phẳng ta được: 
Với :
Với : 
Với : 
Với : Đáp án D. 
2.3.2.2. Dạng 2: Phương trình mặt phẳng 
* Phương pháp 1:
Bước 1: Xác định VTPT của mặt phẳng.
Bước 2: Xác định tọa độ một điểm nằm trên mặt phẳng.
Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng qua điểm và có một VTPT
 có dạng: 
Chú ý: Khi biêt các giao điểm của mặt phẳng với các trục tọa độ thì cách viết PTMP đơn giản nhất là sử dụng phương trình mặt phẳng ở dạng đoạn chắn.
 qua .
* Phương pháp 2: 
Bước 1: Gọi phương trình mặt phẳng là 
Bước 2: Dựa vào dữ kiện bài toán, thiết lập hệ gồm 3 pt 4 ẩn .
Bước 3: Giải hệ phương trình tìm . Từ đó có được PTMP.
Bài toán 1 Xác định phương trình mặt phẳng khi biết một điểm đi qua và một VTPT
Đây là bài toán cơ bản của dạng toán xác định của PTMP. Trong bài toán này, phương pháp sử dụng thường là phương pháp 1, trong đó xác định VTPT của mặt phẳng là rất quan trọng. Dưới đây là cách xác định VTPT của mặt phẳng (P) trong một số trường hợp thường gặp.
Giả thiết
VTPT của 
Mô tả
có VTCP 
 có VTPT 
Mặt phẳng là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng .
BÀI TẬP MẪU
Câu 5. Trong không gian , cho điểm . Phương trình mặt phẳng qua và vuông góc với trục là
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải
 Phương trình mặt phẳng qua và vuông góc với trục nhận làm VTPT là: . Đáp án	B.
Phương pháp giải nhanh:
 Phương trình mặt phẳng vuông góc với trục có dạng , ở đó là hoành độ điểm đi qua. Chọn B.
Các trường hợp đặc biệt: là mặt phẳng qua điểm .
. Nếu thì phương trình của là .
. Nếu thì phương trình của là .
. Nếu thì phương trình của là .
Câu 6: Trong không gian , cho và véc tơ . Phương trình
nào dưới đây là phương trình mặt phẳng qua điểm và nhận làm VTPT?
A. .	B. .
C. .	D. .
Hướng dẫn giải. Chọn B
 Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và nhận làm VTPT là:
Câu 7:	Trong không gian , cho và đường thẳng . Phương trình mặt phẳng đi qua điểm và vuông góc với đường thẳng là
A. .	B. .
C. .	D. .
Hướng dẫn giải . Chọn B
 Đường thẳng có VTCP là: . Vì mặt phẳng vuông góc với nên 
 là một VTPT của mặt phẳng đó.
 Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng là: 
Câu 8:	Trong không gian , cho và mặt phẳng . Gọi là mặt phẳng qua điểm và song song với mặt phẳng . Phương trình của là
A. .	B. .
C. .	D. .
Hướng dẫn giải. Chọn A
Mặt phẳng có VTPT 
 Vì nên mặt phẳng cũng nhận làm một VTPT.
 Phương trình mặt phẳng là: .
Phương pháp giải nhanh:
 nên phương trình mặt phẳng có dạng Loại C, D
Thử với hai đáp án còn lại:
Đáp án A: Chọn A
Đáp án B: Loại B .
Câu 9:	Trong không gian , là mặt phẳng đi qua điểm và song song với mặt phẳng . Phương trình mặt phẳng là
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải. Chọn C
 nên mặt phẳng nhận là một VTPT.
 Phương trình mặt phẳng là: 
Phương phán giải nhanh:
 nên phương trình mặt phẳng có dạng trong đó là tung độ điểm đi qua Chọn C
Câu 10:	Trong không gian , cho hai điểm . Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng ?
A. .	B. .
C. .	D. .
Hướng dẫn giải. Chọn C
 Để viết được phương trình của mặt phẳng em cần tìm đủ hai yếu tố là điểm thuộc mặt phẳng và VTPT của mặt phẳng đó.
 Gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng . Khi đó đi qua trung điểm của đoạn thẳng và nhận làm VTPT.
 Tọa độ trung điểm . Phương trình mặt phẳng là: 
 . 
Bài toán 2. Xác định phương trình mặt phẳng khi biết một điểm đi qua và cặp VTCP
 Đây là bài toán co bản của dạng toán xác định phương trình của mặt phẳng.
 Trong bài toán này, phương pháp xác định VTPT của mặt phẳng dựa vào tính chất tích có hướng của hai véc tơ. Cụ thể:
 Nếu mặt phẳng chứa hoặc song song với giá của hai véc tơ không 
cùng phương thì véc tơ là một VTPT của .
Dưới đây là cách xác định VTPT của mặt phẳng trong một số trường hợp thường gặp.
Giả thiết
VTPT 
của 
Mô tả
qua 3 điểm 
không thẳng hàng.
, có VTCP 
 đi quacó VTCP 
 đi quacó VTCP 
 đi quacó VTCP 
 có VTPT 
Chú ý: Quan hệ “ chứa” 
có thể được thay thế bởi 
quan hệ “ song song ” 
của đối với . 
đi qua M có VTCP 
đi qua M có VTCP 
Chú ý: Quan hệ “ chứa ” 
có thể được thay thế bởi 
quan hệ “ song song ” 
của đối vơi .
 có VTPT 
 có VTPT 
BÀI TẬP MẪU 
Câu 11:	Trong không gian , gọi là mặt phẳng đi qua ba điểm . Phương trình của mặt phẳng là
A. .	B. .	
C. .	D. .
Hướng dẫn giải. Chọn A
 Vì chứa giá của hai véc tơ nên véc tơ có giá vuông góc với .
 Ta có . Từ đó tính được .
 Chọn véc tơ là VTPT của. Phương trình mặt phẳng là:
Câu 12:	Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm và cùng vuông góc với hai mặt phẳng ?
A. .	B. .
C. .	D. 
Hướng dẫn giải. Chọn B
 có VTPT , có VTPT .
 Gọi là mặt phẳng thỏa mãn điều kiện bài toán và là VTPT của mp.
 Do vuông góc với cả và nên chọn .
 Phương trình mặt phẳng là: 
Vận dụng 
Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ với giá trị nào của thì hai mặt phẳng song song?
 A. B. C. D. 
Bài toán 3. Xác định phương trình mặt phẳng sử dụng phương trình dạng đoạn chắn
BÀI TẬP MẪU 
Câu 14:	Trong không gian , cho là mặt phẳng cắt các trục 
theo thự tự tại . Điểm nào trong các điểm sau không thuộc ?
A. .	B. .
C. .	D. .
Hướng dẫn giải. Chọn D
 Phương trình mặt phẳng ở dạng đoạn chắn là: .
 Với ta có Loại A
 Tương tự: và đều thuộc mặt phẳng Loại B, C
 Với ta có: 
Vận dụng
Câu 15:	Trong không gian , cho điểm . Mặt phẳng đi qua M cắt trục tọa độ lần lượt tại A, B, C thỏa mãn M là trọng tâm tam giác ABC. Phương trình mặt phẳng là
A. .	B. .	
C. .	D. .
Lời giải. 
 Giả sử tọa độ các giao điểm là: .
 M là trọng tâm tam giác ABC nên . Suy ra .
Phương trình dạng đooạn chắn của mặt phẳng là:
Nâng cao
Câu 16:	Trong không gian , cho điểm . Mặt phẳng đi qua M
cắt trục tọa độ lần lượt tại A, B, C thỏa mãn là trực tâm tam giác
ABC. Phương trình mặt phẳng là
A. .	B. .	
C. .	D. .
Lời giải. 
 Chú ý: Tứ diện có các góc đỉnh là góc vuông được gọi là tam diện vuông. Khi đó nó có một tính chất: Hình chiếu của đỉnh ên trùng với trực tâm tam giác ABC. Do đó . 
 Từ đó suy ra là một VTPT của mặt phẳng .
 Do vậy qua và nhận là một VTPT, phương trình mặt phẳng là: 
 . Đáp án B. 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Câu 17:	Trong không gian , cho điểm ,Phương trình
mặt phẳng vuông góc với đường thẳng AB tại A là
A. .	B. .	
C. .	D. .
Câu 18:	Trong không gian , cho điểm và đường thẳng 
 . Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng d là
A. .	B. .	
C. .	D. .
Câu 19: Trong không gian , cho điểm và vectơ .
Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và nhận 
làm VTPT?
A. .	B. .	
C. .	D. .
Câu 20:	Trong không gian , cho điểm và mặt phẳng 
 . Gọi là mặt phẳng qua điểm M và song song với mặt 
phẳng . Phương trình mặt phẳng là
	A. .	 B. .	
C. .	D. .
Câu 21:	Trong không gian , cho điểm . Phương 
trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AB ?
A. .	B. .	
C. .	D. .
Câu 22:	Trong không gian , là mặt phẳng đi qua ba điểm 
. Phương trình mặt phẳng là 
A. .	B. .	
C. .	D. .
Câu 23:	Trong không gian , phương trình nào dưới đây là phương trình mặt 
phẳng đi qua điểm và vuông góc với hai mặt phẳng ?
A. .	B. .	
C. .	D. .
Câu 24:	Trong không gian , cho điểm . Gọi lần 
lượt là điểm đối xứng với M qua mặt phẳng . Phương trình 
mặt phẳng là
A. .	B. .	
C. .	D. .
Câu 25:	Trong không gian , cho hai điểm và mặt 
phẳng . Gọi là mặt phẳng đi qua hai điểm B, C và vuông 
góc với . Phương trình mặt phẳng là
A. .	B. .	
C. .	D. . 
HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 17: Mặt phẳng qua và có VTPT nên phương trình : . Chọn A.
Câu 18: Đường thẳng d có VTCP là .
 Vì mặt phẳng vuông góc với d nên cũng là một VTPT của mặt phẳng đó. Phương trình mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d là . Chọn C
Phương pháp giải nhanh:
Vì là VTPT của mặt phẳng nên loại B, D
Với hai đáp án A, C em thay tọa độ điểm vào từng phương trình sẽ được thuộc mặt phẳng : .
Câu 19: Phương trình mặt phẳng đi qua điểm và nhận là: 
 . Chọn C.
Câu 20: Vì nên phương trình mặt phẳng có dạng 
 ( Loại A,C 
Thử M với hai đáp án còn lại: Đáp án B : chọn B.
 Đáp án D: loại D. Chọn B.
Câu 21: là trung điểm của , . Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn là: 
. Chọn D. 
Câu 22: Mặt phẳng chứa giá của hai vectơ. .nên cùng phương với VTPT của . 
 Ta có Từ đó tính được.. 
 Chọn vectơ..là VTPT của .Phương trình của mặt phẳng là:
 . Chọn B.
Câu 23: Có VTPT , Có VTPT 
 Gọi là mặt phẳng thỏa mãn điều kiện bài toán và là VTPT của mặt phẳng . Do vuông góc với cả , .nên chọn 
 Phương trình mặt phẳnglà: 1(y-1) + 1(z-3) = 0 y + z – 4 = 0. Chọn C.
Câu 24: Ta có 
. .
 Mặt phẳngđi qua điểm có VTPT
 Phương trình mặt phẳng
 . Chọn C.
Câu 25: có VTPT , . Gọi là VTPT của mặt phẳng . Do vuông góc với và chứa nên chọn 
 . Phương trình mặt phẳng là : 
 Đáp án D. 
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
2.4.1. Ưu điểm chung
- Hệ thống kiến thức bằng sơ đồ, bảng tóm tắt thật đơn giản, dễ hiểu, dễ nhớ. 
- Các câu hỏi và bài tập trắc nghiệm ngắn gọn, có các mức độ nhận biết, thông hiểu và vận dụng phù hợp với đa số học sinh lớp 12 ở trường THPT Triệu Sơn 2.
- Có cách giải nhanh, học sinh có thể sử dụng được máy tính cầm tay để giải quyết bài toán. 
2.4.2. Về phía học sinh
Sau khi tiến hành dạy thực nghiệm nhận thấy:
- Đa số HS đều tham gia vào các hoạt động do SK đề xuất, một số rất hứng thú và tích cực tìm hiểu, phát hiện kiến thức.
- Song bên cạnh đó vẫn còn một số HS kiến thức chưa tốt nên kết quả hoạt động nhóm chưa cao, một số còn bị động. 
- Việc sử dụng hợp lí các phương pháp, đã lôi cuốn được sự chú ý, tìm tòi của HS, giờ dạy trở nên sinh động và hấp dẫn. HS rất hứng thú và nhanh chóng làm quen với việc học hình học bằng phương pháp tọa độ trong không gian. Điều đó càng khích lệ HS phấn khởi, tự tin, chủ động tích cực học tập. Sau đợt thử nghiệm, HS thấy yêu thích môn Toán hơn.
- Các hoạt động đều hướng đến đối tượng là HS, muốn hiểu rõ kiến thức thì HS phải tham gia tích cực. 
Để đánh giá tác dụng của sáng kiến tôi đã tiến hành kiểm tra, thực hiện kiểm tra nhanh 15 phút sau khi tiết dạy kết thúc, so sánh kết quả giữa các lớp thực nghiệm và các lớp đối chứng. Dùng phương pháp kiểm nghiệm giả thuyết. Cụ thể như sau:
Kết quả bài kiểm tra:
Lớp
Sĩ số
Điểm
 < 5