SKKN Một số kinh nghiệm khi dạy học phần nguyên hàm cho học sinh trường thpt Lê Lai

I. Mở đầu.
1.1. Lý do chọn đề tài.
Nguyên hàm là phần khó học đối với học sinh bởi nó là bài toán ngược của bài toánđạo hàm nên đòi hỏi học sinh phải nắm thật vững cách tínhđạo hàm và có khả năng bao quát, tư duy sâu. Các công thức tính nguyên hàm trình bày trong sách giáo khoa Giải tích 12 cũng giúp học sinh tìm được nguyên hàm các hàm số thường gặp nhưng đối với đối tượng học sinh trung bình yếu phảiđúng nguyên dạng công thức thì học sinh mới làm được, còn khi gặp bài hơi khác dạng một chút là học sinh lúng túng, mà các bài toán khác dạng hiện nay rất phổ biến, thêm vàođó là hình thức thi trắc nghiệm như hiện nay cũngđòi hỏi học sinh tốc độ làm bài phải thật nhanh ra kết quả nên đòi hỏi cần bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp tổng quát hơn nữa. Một khó khăn nữa với học sinh trong quá trình học nguyên hàmlà sử dụng các phương pháp tìm nguyên hàm, các em chưa biết khi nào thì sử dụng phương pháp đổi biến, khi nào thì sử dụng phương pháp từng phần và các bước làm cụ thể khi sử dụng hai phương pháp này. Với các lý do trên tôi viết sáng kiến kinh nghiệm(SKKN) có tên “MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI DẠY HỌC PHẦN NGUYÊN HÀM CHO HỌC SINH TRƯỜNG THPT LÊ LAI-NGỌCLẶC” với mong muốn giải quyết được các khó khăn trên mà hiện nay chưa có tài liệu nào bàn sâu về vấn đề này.
1.2. Mụcđích nghiên cứu.
Nhưđã trình bàyở trên, SKKN này giúp học sinh tìm nhanh và dễ dàng hơn các nguyên hàm thường gặp mà nếu chỉ học thuộc bảng các nguyên hàm trong sách giáo khoa thì học sinh vẫn còn khó khăn, lúng túng trong tìm kết quả. Mụcđích thứ hai của SKKN là giúp học sinh thành thạo, linh hoạt hai phương pháp tìm nguyên hàm là phương pháp đổi biến và từng phần, qua đó giúp các em tự tin hơn khi đứng trước bài toán nguyên hàm, tích phân.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
SKKN tập chung nghiên cứu về các công thức tìm nguyên hàm của các hàm số thường gặp và hai phương pháp tìm nguyên hàm là đổi biến và từng phần. Cụ thể là SKKN trình bày bảng tìm nguyên hàm mới các hàm số thường gặp và nêu dấu hiệu nhận biết khi nào sử dụng phương pháp đổi biến, khi nào sử dụng phương pháp từng phần cùng với các bước làm cụ thể khi sử dụng hai phương pháp này.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
SKKN sử dụng một số phương pháp nghiên cứu như: xây dựng cơ sở lý thuyết, phương phápđiều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin.
II. Nội dung của SKKN.
2.1. Cơ sở lý luận của SKKN.
2.1.1.Các công thức tìm nguyên hàm của các hàm số thường gặp.
a. Vi phân của một hàm số.
Định nghĩa:
Cho hàm số y = f(x) xácđịnh trên (a;b) và có đạo hàm tại x ∈a;b.Giả sử∆x là số gia của x sao cho x + ∆x∈(a;b). Tích f'x∆x (hayy'.∆x) được gọi là vi phân của hàm số f(x) tại x, ứng với số gia ∆x, kí hiệu là df(x) hay dy. 
Chú ý. Vì dx = ∆x nên: dy = f'(x)dx.1
b. Định nghĩa nguyên hàm. Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng của R.
Cho hàm số f(x) xác định trên K. Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F'x= f(x), với mọix∈ K.2
 Kí hiệu họ các nguyên hàm của f(x) là: fxdx=Fx+ C, trong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x) và C∈R.
c. Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp.
1. xαdx= 1α+1xα+1+ C (α≠-1)
2. 1xdx=lnx+ C
3. axdx= axlna+ Ca>0, a≠1
4. cosxdx=sinx+C
5. sinxdx= -cosx+C
6. 1sin2xdx=-cotx+C
7. 1cos2xdx=tanx+C
 Bảng 1 3
* Chú ý: 
1. Kết quả nguyên hàm không phụ thuộc vào kí hiệu biến:
cosxdx=sinx+C; costdt=sint+C; cosudu=sinu+C
2. Khi tìm nguyên hàm của một hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên từng khoảng xácđịnh của nó.
3. Nếu k là một hằng số khác 0 thìk.fxdx=k.fxdx
2.1.2. Tìm nguyên hàm theo phương pháp đổi biến số.
Định lí 1.
Nếufudu=Fu+ Cvàu=u(x) là hàm số cóđạo hàm liên tục thìfux.u'xdx=Fu(x)+ C
* Hệ quả.
Với u = ax + b(a≠ 0) ta có: fax+bdx= 1aFax+b+ C 4
* Chú ý: Khi sử dụng phương pháp đổi biến đặt u = u(x) thì kết quả cuối cùng phải viết theo biến x.
2.1.3. Tìm nguyên hàm theo phương pháp từng phần.
Định lí 2.
Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì ux.v'xdx=uxvx-u'x.vxdx
* Chú ý: Vì v'xdx=dv; u'xdx=du, nên đẳng thức trên còn được viếtở dạng: udv=uv-vdu. 5
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN.
Trước khi áp dụng SKKN này trong giảng dạy thì học sinh rất khó khăn trong việc đưa ra kết quả nguyên hàm khi gặp các bài toán tìm nguyên hàm của hàm số thường gặp cho dù các em có thuộc bảng nguyên hàm các hàm số thường gặp trong sách Giải tích 12(Bảng 1), chẳng hạn như khi yêu cầu tìm x5dx thì các em chỉ ra được kết quả nhưng khi yêu cầu tìm (2x+3)5dx thì học sinh hoàn toàn lúng túng, chỉ có khoảng 20% học sinh làm được bài. Đối với việc vận dụng các phương pháp tìm nguyên hàm thì học sinh cũng rất khó khăn trong việc phân biệt khi nào thì dùng phương pháp đổi bến, khi nào thì dùng phương pháp từng phần và trong quá trình áp dụng hai phương pháp trên thì cụ thể các bước tiến hành như thế nào các em vẫn còn mờ mịt, chỉ khoảng 5% học sinh khá giỏi có thể tiến hành làm trọn vẹn bài toán tìm nguyên hàm nhưng cũng phải mất một thời gian nhất định làm nhiều bài tập các em mới làm được.
2.3.Một số kinh ngiệm trong dạy học nguyên hàm.
2.3.1. Kinh ngiệm trong dạy học công thức tìm các nguyên hàm của một số hàm số thường gặp.
a. Hình thành bảng tìm nguyên hàm mới.
- Sau khi giới thiệu bảng các công thức tìm nguyên hàm thường gặp trong sách Giải tích 12(Bảng 1) ta có thể thay x trong hàm số dưới dấu ∫bằng biểu thức bậc nhất của x dạng (ax + b) với a ≠ 0, ta được bảng nguyên hàm mới như sau:
1. (ax+b)αdx= 1α+1(ax+b)α+1+ C (α≠-1)
2. 1ax+bdx=lnax+b+ C
3. amx+ndx= amx+nlna+Ca>0, a≠1
4. cos⁡(ax+b)dx=sin⁡(ax+b)+C
5. sin⁡(ax+b)dx= -cosx(ax+b)+C
6. 1sin2(ax+b)dx=-cot⁡(ax+b)+C
7. 1cos2(ax+b)dx=tan⁡(ax+b)+C
Bảng 2
Chứng minh: 
 Ta chỉ cần chứng minh một trường hợp cos⁡(ax+b)dx=sin⁡(ax+b)+C, các trường hợp còn lại chứng minh tương tự
- Đạo hàm vế phải:sinax+b+ C' ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét:
1. Ta có thể chứng minh Bảng 2 sau khi có phương pháp đổi biến số, chẳng hạn để chứng minh cos⁡(ax+b)dx=sin⁡(ax+b)+C ta đặt u = ax + b
suy ra du = adx. Khi đó ta được:
cos⁡(ax+b)dx=1acosudu=1asinu+C= 1asinax+b+ C.
Hoặc có thể hiểu Bảng 2 có được là sự kết hợp giữa Bảng 1 với hệ quả 4.
2. Khi học sinh đã học thuộc bảng công thức tìm nguyên hàm mới(Bảng 2) thì sẽ dễ dàng hơn rất nhiều trong việc tìm ra kết quả nguyên hàm các hàm số thường gặp và khi đó học sinh có thể “tạm quên” Bảng 1 cũng được.
b. Các ví dụ áp dụng bảng nguyên hàm mới.
Ví dụ 1: Tìm:
a.3x+15dx c. 42x-3dx
b.12-4xdx d.e12x-5dx
Hướng dẫn: Áp dụng các công thức tìm nguyên hàm trong Bảng 2.
Ví dụ 2: 
a. cos 3-xdx c. sinπ-2x3dx
b. 1sin2(5x+2)dx d. 1cos24xdx
Hướng dẫn: Áp dụng các công thức tìm nguyên hàm trong Bảng 2.
Nhận xét: Học sinh chỉ cần thuộc bảng tìm nguyên hàm mới(Bảng 2) là sẽ chỉ ra ngay kết quả. Giáo viên nên đưa ra nhiều ví dụ khác nhau sao cho đa dạng, vét hết các trường hợp mà học sinh có thể lúng túng, các ví dụ đưa ra nên theo cấp độ từ dễ đến khó, ví dụ trước gợi ý cách làm cho ví dụ sau, chẳng hạn:
Ví dụ 3: Tính các nguyên hàm sau:
x5dx→1x5dx→1(3x+2)5dx→1(3x+2)43dx→13x+2dx
Hướng dẫn: Áp dụng công thức (ax+b)αdx= 1α+1(ax+b)α+1+ C cho x5dx với a =1, b = 0 và α=5. Các nguyên hàm còn lại đều biến đổi về dạng của công thức trên.
2.3.2. Kinh nghiệm trong dạy học tìm nguyên hàm theo phương pháp đổi biến số.
a. Dấu hiệu và các bước làm:
Nếu hàm số f(x) dưới dấu ∫có chứa ngoặc, căn, mẫu số, biểu thức mũ thì ta thường dùng phương pháp đổi biến như sau:
Bước1: Đặt u = biểu thức trong ngoặc
 = căn hoặc biểu thức trong căn
 = mẫu số
 = biểu thức mũ.
Bước 2: Tính vi phân du.
Bước 3: Biến đổi toàn bộ biểu thức f(x)dx dưới dấu ∫ từ biến x về biến u.
Bước 4: Áp dụng các công thức tìm nguyên hàm ta tìm nguyên hàm theo biến u, sau khi có kết quả theo biến u ta thay u theo x như đã đặt ở bước 1.
b. Các ví dụ áp dụng tìm nguyên hàm theo phương pháp đổi biến.
Ví dụ 4: Tìm 2x(x2+ 1)2017dx
Hướng dẫn: Đặt u = x2 + 1→ du = 2xdx, khi đó:
2x(x2+ 1)2017dx=u2017du= u20182018+ C= (x2+ 1)20182018+ C
Ví dụ 5: Tínhex2+3x+12x+3dx
Hướng dẫn: Đặt u = x2 + 3x + 1→ du = (2x + 3)dx, khi đó ta có:
ex2+3x+12x+3dx=eudu=eu+ C= ex2+ 3x+1+ C
*Chú ý:
 1. Không phải bài nào cũng cho dấu hiệu ngoặc, có bài lại có nhiều ngoặc hoặc có ngoặc và cả mẫu số, có bàiđòi hỏi phải biến đổi hàm số dưới dấu∫mới đổi biến được. Do vậy cần vận dụng linh hoạt phương pháp đổi biến.
Ví dụ 6: Tìm
a. sin3x.cosxdx b. ln3xxdx
Hướng dẫn:
a. Viết lạisin3x.cosxdx= (sinx)3cosxdx . Từ đó đặt u = sinx suy ra du = cosxdx, ta có kết quả là sin3x.cosxdx= u3du= u44+ C=sin4x4+ C
b. Viết lại ln3xxdx= (lnx)3xdx . Từ đó đặt u = lnx suy ra du=1xdx, ta có kết quả là.
ln3xxdx= u3du= u44+ C= ln4x4 + C.
Ví dụ 7: Tính I = exex+e-xdx
Hướng dẫn: Lưu ý cho học sinh nếu vận dụng máy móc phương pháp là đặt u bằng mẫu số hoặc đặt u bằng phần mũ thì không tính được I, khó khăn ở đây là phần mũ của e là (-x), ta phải xử lý chỗ này.
Biến đổi như sau: I = exex+e-xdx= exex+ 1exdx= e2xe2x+ 1dx
Đếnđây ta đặt u = e2x+ 1, từ được kết quả I = 12lnu+C= 12lne2x+1+ C
 2. Ngoài nhận dạng phương pháp đổi biến theo các dấu hiệu như đã trình bày ở bước 1, nên rèn luyện cho học sinh cách xét mối liên hệ giữa các biểu thức dưới dấu∫như: liên hệ giữa cosx với sinxdx; sinx với cosxdx; lnx với1xdx; 1xvới1x2dx ; tanx với1cos2xdx; cotx với1sin2xdx;
Mối liên hệ ở đây là: sinxdx chính là vi phân của cosx, vì vậy nếu đặt u = cosx thì du = sinxdx. Tương tự cho việc xét mối liên hệ cho các trường hợp còn lại, từ đó ta sử dụng phương pháp đổi biến cho hợp lý.
Ví dụ 8: Tính I =1x2sin1xcos1xdx
Hướng dẫn: Đặt u = 1x→du= -1x2dx, ta có: I = -sinu.cosudu=-12sin2udu
Nhận xét: Khi làm đếnđây thì thực tế cho thấy nếu chưa được học bảng tìm nguyên hàm mới(Bảng 2) học sinh rất lúng túng, mất thời gian, nhưng nếu được học bảng công thức mới thì học sinh rất phấn khởi vì chỉ ra được ngay kết quả, bài toán tìm nguyên hàm nhẹ nhàng đi rất nhiều, vì vậy việc trang bị cho học sinh bảng công thức tìm nguyên hàm mới(Bảng 2) là rất cần thiết.
Áp dụng Bảng 2 ta được kết quả của ví dụ 8 là:
 I = 14cos2u+C= 14cos2x+ C.
Ví dụ 9: Tính:
a. x12.sinx32+1dx b. 1x2cos⁡(1x-1)dx c. sin⁡(2x+1)cos2(2x+1)dx
Hướng dẫn: 
a. Đặt u = biểu thức trong ngoặc là: u = x32+1→du=32x12dx, khi đó ta có:
x12.sinx32+1dx=23sinudu=-23cosu+C=-23cosx32+1+ C
b.Tương tự câu a. Đặt u = biểu thức trong ngoặc là: u = 1x-1
c. Đặt u = cos(2x+1).
3. Một trường hợp đặc biệt là khi hàm số dưới dấu∫có chứaa2- x2(hoặc có chứa 1a2+x2 )thì ta có thể khử căn bằng cách đặt x = g(u) = asinu(hoặc đặt x = g(u) = a.tanu) chẳng hạn:
Ví dụ 10. Cho Tính I = 11- x2 dx
Hướng dẫn: Đặtx = sinu suy ra dx = cosudu, khi đó ta có
I = 11-sin2u.cosudu= cosucosudu= du, nếu cosu >0-du, nếu cosu <0
(Dạng này thường gặp khi tính tích phân có cận vì vậy giáo viên chỉ cần định hướng cách làm của các dạng toán này là được)
2.3.3. Kinh nghiệm trong dạy học tìm nguyên hàm theo phương pháp từng phần.
a. Dấu hiệu và các bước làm.
Thường thì khi gặp 4 dạng sau ta sử dụng phương pháp từng phần
Dạng 1: fx.sinxdx
Dạng 2: fx.cosxdx
Dạng 3: fx.exdx
Dạng 4: fx.lnxdx
Các bước làm: Đối với dạng 1, dạng 2, dạng 3 ta tiến hành như sau:
Bước 1: Đặt u = f(x); dv = phần còn lại dưới dấu∫
Bước 2: Tính du và tìm v.
Bước 3: Áp dụng công thức từng phần udv=uv- vdu.(3)
Trong đó nguyên hàm mới xuất hiện là vdu sẽ đơn giản và dễ tìm.
Riêng đối với dạng 4 thì ta tiến hành như sau.
Bước 1: Đặt: u = lnx; dv = f(x)dx
Bước 2 và bước 3 như trên.
b. Các ví dụ áp dụng.
Ví dụ 11: Tính I = 2x+1sinxdx
Hướng dẫn:
Đặt u = 2x+ 1; dv = sinxdx, khi đó du = 2dx, v = -cosx. 
Theo công thức nguyên hàm từng phần, ta được kết quả:
I = -(2x+1)cosx + 2cosxdx = -(2x+1)cosx + 2sinx + C.
Ví dụ 12: Tính I = 1-xlnxdx
Hướng dẫn: 
Đặt u = lnx; dv = (1 - x)dx, khi đódu=1xdx, v=x-x22
Theo công thức nguyên hàm từng phần, ta được kết quả:
I = x-x22lnx- 1xx-x22dx= x-x22lnx+14x2-x+C.
Nhận xét:
1. Trong bài toán tìm nguyên hàm từng phần nhiều bài sử dụng bảng nguyên hàm mới(Bảng 2) rất hiệu quả trong việc tính v và tìm nguyên hàm mới xuất hiệnvdu trong công thức từng phần.
Ví dụ 13: Tính I = x.cos2x+1dx
Hướng dẫn:
Đặt u = x; dv = cos(2x +1)dx →du=dx;v= 12sin⁡(2x+1)
Áp dụng công thức từng phần, ta được:
 I = 12xsin2x+1- 12sin2x+1dx
 I = 12xsin2x+1 + 14cos2x+1+ C
2. Có những bài tìm nguyên hàm phải sử dụng cả hai phương pháp đổi biến và từng phần hoặc sử dụng đổi biến nhiều lần hoặc từng phần nhiều lần.
Ví dụ 14: Tính I = x2e-3xdx
Hướng dẫn: Đặt u = x2; dv = e-3xdx, khi đó du = 2xdx, v = -13e-3x
Áp dụng công thức nguyên hàm từng phần ta có
I = -13x2e-3x+ 23xe-3xdxI1
Tiếp tục sử dụng phương pháp từng phần cho nguyên hàm mới xuất hiện là I1=xe-3xdx , ta được kết quả I = -13e-3x(x2+23x + 29)+C.
Ví dụ 15: Tính I = exsinxdx
Hướng dẫn: Đặt u = ex; dv = sinxdx→ du = exdx; v = - cosx
Áp dụng công thức từng phần ta có: I = - excosx + excosxdxI1(*)
Tiếp tục áp dụng công thức nguyên hàm từng phần cho I1 ta có:
I1 = exsinx- exsinxdx.Thay I1 vào (*) ta được:
I = -excosx + exsinx- exsinxdxI . Suy ra: 2I = ex(sinx – cosx) 
Vậy: I = 12exsinx-cosx+ C.
Ví dụ 16: Tính I = xsinxdx
Hướng dẫn: Học sinh phải thấy được khó khăn đầu tiên khi tính I là có kí hiệu căn, vì vậy ta sử dung phương pháp đổi biến trước để khử căn.
Đặt u = x→I=2u2sinudu
Đến đây sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần, đặt v = u2; dw = sinudu, khi đó dv = 2udu, w = -cosu. Theo công thức nguyên hàm từng phần, ta có
I=2(-u2cosu+2u.cosuduI1)
Tiếp tục tính I1 theo phương pháp nguyên hàm từng phần, ta được
I=2-u2cosu+2u.sinu+2cosu+ C
VậyI=2-xcosx+2x sinx+ 2cosx+ C.
2.4. Hiệu quả của SKKN.
Trước khi SKKN đượcáp dụng tại trường THPT Lê Lai - Ngọc Lặc thì học sinh rất ngại học phần nguyên hàm, khả năng tìm các nguyên hàm dạng cơ bản thường gặp rất yếu, việc vận dụng hai phương pháp tìm nguyên hàm là đổi biến và từng phần còn lúng túng , số lượng học sinh làm được bài chỉ từ 15% đến 20%. Trong những năm gầnđây, khi đượcáp dung SKKN này vào trong giảng dạy thì các em học sinh cảm thấy dễ dàng hơn trong bài toán tìm nguyên hàm, số lượng học sinh làm được bài tăng lên rõdệt(đã có khoảng 80% học sinh làm được bài) và các em không còn sợ phần nguyên hàm – tích phân nữa, thậm chí còn thích học phần này. Đối với đồng nghiệp trong trường thì sau khi tham khảo vàáp dụng SKKN này vào trong giảng dạy cũngđã công nhận tác dụng và hiệu quả cao của SKKN.
III. Kết luận, kiến nghị.
3.1. Kết luận.
Từ bảng các công thức tìm nguyên hàm của các hàm số thường gặp trong sách Giải tích 12 kết hợp với phương pháp đổi biến, SKKN nàyđã trình bày thêm một bảng mới các công thức tìn nguyên hàm các hàm số thường gặp, tổng quát hơn, mang lại hiệu quả cao trong dạy học của giáo viên và học tập của học sinh.Trong quá trình giảng dạy tôi cũngđã học hỏi và rút ra được một số kinh ngiệm trong giảng dạy phần các phương pháp tìm nguyên hàm, từđóđưa ra các dấu hiệu nhận biết khi nào thì dùng phương pháp đổi biến, khi nào thì dùng phương pháp từng phần và các bước làm cụ thể khi áp dụng hai phương pháp này, điềuđó cũng giúp cho học sinh có cơ sở trong việcáp dụng các phương pháp tìm nguyên hàm và tiến hành tìm nguyên hàm dễ dàng hơn. Nếu đượcáp dụng hợp lý SKKN này trong quá trình giảng dạy thì việc dạy học phần nguyên hàmở trường THPT Lê Lai nói riêng và cácđơn vị khác cùng cấp học mà có chất lượng học sinh tương đương với trường THPT Lê Lai(chất lượng đầu vào của trường THPT Lê Lai rất thấp, học sinh chỉ không bị điểm liệt là đậu) chắc chắn sẽ đạt hiệu quả cao.
3.2. Kiến nghị.
Với hiệu quả của SKKN nàyđã được chứng minh trong thực tế giảng dạy, tôi mong rằng nội dung của SKKN sẽ đượcáp dụng linh hoạt, rộng rãi ở cácđơn vị khácđể việc dạy học phần nguyên hàmđạt kết quả cao. Tuy đã nỗ lực nhiều trong việcđúc kết kinh nghiệm và trình bày nhưng cá nhân tôi có thể chưa thấy hết được cácđiểm chưa hay, chưa hợp lý hay các khiếm khuyết cần bổ xung của SKKN này, rất mong quý đồng nghiệp gópý để SKKN này được hoàn thiện và mang lại hiệu quả cao hơn nữa.
TÔI XIN TRÂN TRỌNG CẢM ƠN!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 22 tháng05 năm 2017
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
(Ký và ghi rõ họ tên)
Phạm Chí Đạt