SKKN Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh trường THPT Tĩnh Gia 3 giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 3
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH TRƯỜNG THPT TĨNH GIA 3 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
 	Người thực hiện: Lê Văn Dũng
 	Chức vụ: Giáo viên
 	SKKN thuộc môn: Toán
THANH HÓA NĂM 2018
MỤC LỤC
NỘI DUNG
TRANG
1. Mở đầu
2
1.1.Lý do chọn đề tài
2
1.2.Mục đích nghiên cứu
2
1.3.Đối tượng nghiên cứu
2
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2
2. Nội dung nghiên cứu
2
2.1.Cơ sở lý luận
2
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
3
2.3. Các giải pháp giải quyết vấn đề
4
Bài toán 1
4
Bài toán 2
5
Bài toán 3
7
Bài toán 4
8
Bài toán 5
8
Bài toán 6
9
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
12
3. Kết luận, kiến nghị
13
3.1. Kết luận
13
3.2. Kiến nghị
14
Tài liệu tham khảo
15
MỞ ĐẦU
 Lí do chọn đề tài
Trong chương trình toán ở bậc THPT học sinh gặp nhiều bài toán liên quan đến hệ phương trình. Đặc biệt trong các kì thi Đại học, Cao đẳng, kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn toán các bài toán về hệ phương trình là bài toán khó và gây nhiều khó khăn cho học sinh. Chính vì thế mà các dạng bài toán về hệ phương trình có sự hấp dẫn, kích thích sự tìm tòi của những người yêu toán. Việc giúp học sinh tìm tòi nhiều cách giải cho một bài toán là một việc mà các thầy cô giáo tâm huyết cần phải làm. Là một giáo viên được trực tiếp giảng dạy môn toán với thời gian hơn 10 năm ở trường THPT Tĩnh Gia 3, được giao trọng trách giảng dạy đội tuyển toán của nhà trường cũng như học sinh thi đại học tôi luôn không ngừng tìm tòi, nghiên cứu để tìm ra các phương pháp giảng dạy hiệu quả nhất, những phương pháp giải phù hợp với nhiều đối tượng học sinh ở đơn vị công tác.
Dưới đây tôi xin được trao đổi với quý đồng nghiệp đề tài: "Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh trường THPT Tĩnh Gia 3 giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số"
 Mục đích nghiên cứu
Qua sáng kiến kinh nghiệm tôi mong muốn trang bị cho học sinh một phương pháp giải hệ phương trình mang lại hiệu quả rõ nét. Bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹ năng giải toán. Qua đó học sinh nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo.
 Đối tượng nghiên cứu
Các dạng toán giải hệ phương trình nằm trong chương trình toán phổ thông
Một số bài toán giải hệ phương trình trong các đề thi tốt nghiệp THPT Quốc gia và các đề thi học sinh giỏi tỉnh.
 Phương pháp nghiên cứu
Thông qua các ví dụ, các bài tập cụ thể với cách giải đơn giản nhằm làm cho học sinh thấy được thế mạnh của việc sử dụng phương pháp hàm số để giải hệ phương trình. Từ đó học sinh biết sử dụng phương pháp hàm số để giải hệ phương trình một cách hiệu quả nhất.
Thực nghiệm sư phạm.
NỘI DUNG NGHIÊN CỨU.
 Cơ sở lí luận
Sử dụng phương pháp hàm số để giải hệ phương trình là một phương pháp có tính hiện đại, cách giải hay, nhanh gọn và độc đáo.
Do sự giảm tải của kiến thức ở bậc THPT nên SGK cơ bản không đề cập đến dạng bài tập liên quan đến phương pháp này nhưng trong các đề thi thì vẫn có. Do vậy phương pháp này không phổ biến và bắt buộc. Chính vì lẽ đó mà đại đa số học sinh sử dụng phương pháp này một cách máy móc hoặc chưa biết sử dụng.
Đối với học sinh khá giỏi thì việc tiếp cận phương pháp này để giải toán là một vấn đề cấp thiết giúp các em có kỹ năng, kỹ xảo trong việc giải bài tập bằng phương pháp hàm số đồng thời chuẩn bị cho các em một kiến thức vững vàng và đạt kết quả cao trong các kỳ thi học sinh giỏi, tốt nghiệp THPT Quốc gia.
Do vậy, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đính giúp cho học sinh THPT vận dụng và tìm ra phương pháp giải hệ phương trình khi gặp các bài toán liên quan đến sử dụng phương pháp hàm số.
Để giúp cho hoc sinh phân tích bài toán và tìm ra phương pháp giải, tôi hướng dẫn học sinh tiến hành theo các bước sau đây:
Bước 1: Dự đoán hàm đặc trưng 
Bước 2: Chứng minh hàm đặc trưng đơn điệu trên miền xác định, từ đó tìm mối liên hệ giữa các ẩn.
Để thực hiện được 2 bước trên ta phải nắm vững các dạng toán sau:
Dạng 1: phương trình 
Bước 1: Xét hàm số , dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (giả sử hàm số đồng biến)
Bước 2: nhận xét:
Với , do đó là nghiệm phương trình
Với , do đó phương trình vô nghiệm
Với , do đó phương trình vô nghiệm
Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình
Dạng 2: Phương trình 
Bước 1: Xét 2 hàm số và , dùng lập luận khẳng định hàm số là đồng biến còn hàm số là nghịch biến.
Bước 2: Xác định sao cho , suy ra phương trình có nghiệm duy nhất 
Dạng 3: Phương trình 
Bước 1: Xét hàm số , dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu.
Bước 2: 
 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Trong sách giáo khoa Toán ở bậc trung học phổ thông hiện nay các bài toán về hệ phương trình sử dụng phương pháp hàm số có số lượng ít và mức độ khó chưa tương xứng với yêu cầu của các đề thi hiện nay. Hầu hết học sinh đều gặp khó khăn khi giải các bài toán dạng này.
Trong suốt quá trình giảng dạy ở trường THPT Tĩnh gia 3 tôi nhận thấy là học sinh khi gặp những bài toán về "Sử dụng phương pháp hàm số giải hệ phương trình" thường tỏ ra rất hoang mang và khó khăn khi giải.
" Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh trường THPT Tĩnh Gia 3 giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số " là chìa khóa gỡ nút thắt trong các bài toán hệ phương trình.
" Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh trường THPT Tĩnh Gia 3 giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số " cho ta cách nhìn đa chiều về một bài toán, kích thích sự sáng tạo tính ham học hỏi, ham khám phá của học sinh.
 Các giải pháp giải quyết vấn đề
Nhằm giúp cho học sinh có kĩ năng giải các bài toán về hệ phương thình, giúp cho các em có kiến thức vững vàng và có kết quả cao trong các kì thi tuyển sinh.
Giáo viên nên mạnh dạn giới thiệu các phương pháp này cho học sinh từ năm lớp 11, 12. Giáo viên phải dựa vào trình độ của khối lớp để có thể đưa ra các dạng bài tập từ cấp độ thấp đến cấp độ cao mang tính vừa sức, giúp cho các em quen dần với các phương pháp này.
Đối với học sinh ôn thi học sinh giỏi và ôn thi đại học cần tạo thành chuyên đề rõ ràng, học sinh biết nhận dạng và có kỹ năng làm bài tốt.
Một số bài toán giải hệ phương trình áp dụng phương pháp hàm số:
Bài toán 1:
Giải hệ phương trình : 
 ( Đề thi chọn HSG cấp tỉnh môn toán Thanh Hóa 2014-2015)
Lời giải:
Điều kiện: 
Xét hàm số với , ta có
Kết hợp với ta có 
Thay vào phương trình của hệ, ta được
, với .
(vì với mọi thuộc TXĐ)
Với 
Với 
Thử lại ta thấy nghiệm của hệ phương trình đã cho là 
Bài toán 2: Giải hệ phương trình 
Lời giải:
Đk: 
 Đặt . Khi đó , phương trình trở thành
.
Xét hàm số .
 là hàm đồng biến trên R. Khi đó 
Đối chiếu với (**) và thấy thỏa mãn .
Vậy hệ có nghiệm là 
FNhận xét: Ở hai bài toán trên việc tìm ra hàm đặc trưng là rất quan trọng,là cơ sở tìm ra mối liên hệ giữa 2 ẩn, nếu không tìm ra hàm dặc trưng bài toán sẽ rất phức tạp
Bài toán 3: Giải hệ phương trình 
Lời giải:
Giải phương trình 
+) Với thay vào (1) ta được 
+) từ phương trình (1) ta có 
Xét hàm số 
Dấu xảy ra khi 
Vậy tập nghiệm của hệ là 
Bài toán 4: Giải hệ phương trình
Lời giải:
Xét hàm số , hàm đồng biến trên R.
.
Với , 
Xét hàm số đồng biến trên R.
Vậy hệ phương trình có nghiệm: 
FNhận xét: Đây là hai bài toán khó trong đề thi đại học, nhờ cách ứng dụng phương pháp hàm số ta đã có lời giải rất nhẹ nhàng.
Bài toán 5: Giải hệ phương trình 
Lời giải: Xét hàm đặc trưng: với 
Ta có đồng biến
Giả sử: 
Hệ 
Vậy tập nghiệm của hệ là 
Bài toán 6 : Giải hệ phương trình :
 (Đề thi HSG quốc gia THPT năm 2006)
Lời giải:
 Điều kiện: .
Hệ đã cho tương đương với:
Xét hàm số trên 
 là hàm số đồng biến trên 
Xét hàm số trên 
	 là hàm số nghịch biến trên 
Khi đó hệ ban đầu có dạng 
Giả sử là một nghiệm của hệ phương trình. Không mất tính tổng quát ta giả sử thì sẽ xảy ra một trong hai trường hợp sau:
1. .
Do là hàm số đồng biến nên 
Do là hàm số nghịch biến nên . Suy ra .
Thay vào (2) và (3) ta có : .
Vậy 
2. .
Do là hàm số đồng biến nên 
Do là hàm số nghịch biến nên . Suy ra .
Thay vào (1) và (3) ta có : .
Vậy 
Vậy hệ (I.6) 
Do là hàm số đồng biến trên , là hàm số nghịch biến trên mà nên .
Vậy hệ (I.6) 
FNhận xét: Hai hệ phương trình (I.5) và (I.6) đều là hệ phương trình hoán vị 3 ẩn, khi sử dụng phương pháp hàm số để giải bài toán trở nên nhẹ nhàng hơn. Sau đây tôi sẽ đưa ra cách giải tổng quát có sử dụng phương pháp hàm số để giải hệ phương trình hoán vị 3 ẩn.
Xét hệ phương trình hoán vị 3 ẩn dạng: 	
Trong đó hàm số là hai hàm số đơn điệu trên thì bằng cách lý luận tương tự như trên ta có hệ (I.7).
Chứng minh: 
Trường hợp 1: Giả sử là hai hàm số đồng biến trên . Vì hệ không thay đổi khi hoán vị vòng quanh đối với nên không mất tính tổng quát ta giả sử .
Nếu. 
Dolà hàm số đồng biến nên 
Dolà hàm số đồng biến nên . Vậy 
Suy ra 
Nếu . Do là hàm số đồng biến nên 
Do là hàm số đồng biến nên . Vậy 
Suy ra 
Vậy hệ (I.7)
Trường hợp 2: Giả sử là hàm số đồng biến, là hàm số nghịch biến. Vì hệ không thay đổi khi hoán vị vòng quanh đối với nên không mất tính tổng quát ta giả sử .
Nếu. 
Dolà hàm số đồng biến nên 
Dolà hàm số nghịch biến nên . Suy ra: . 
Thay vào hệ ta có:. Dolà hàm số đồng biến nên
Vậy 
Nếu . 
Do là hàm số đồng biến nên 
Do là hàm số nghịch biến nên . Suy ra:
Thay vào hệ ta có:. Do là hàm số nghịch biến nên 
Vậy 
Vậy hệ (I.7)
 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
"Sử dụng phương pháp hàm số giải hệ phương trình" đã được bản thân tôi và các đồng nghiệp cùng đơn vị thí điểm trên các em có học lực từ khá trở lên. Kết quả thu được rất khả quan, các em học tập một cách say mê hứng thú. Tất cả các em trong đội tuyển toán đều làm được bài hệ phương trình trong đề thi học sinh giỏi. Trên 80% học sinh lớp 12C1 làm được các bài toán về hệ phương trình trong các đề thi khảo sát do Bộ, Sở và Nhà trường tổ chức.
Tuy nhiên với đề tài này người thầy phải biết vận dụng sáng tạo các phương pháp, luôn không ngừng tìm tòi, tham khảo các tài liệu, tham khảo đồng nghiệp, xâu chuỗi chúng lại và cho học sinh các bài tập định hướng để các em học tập, tìm hiểu.
Đối tượng học sinh là học sinh khá giỏi, luôn tin tưởng ở thầy, có điều kiện học tập, nghiên cứu.
KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
 Kết luận
Sáng kiến kinh nghiệm đã thu được một số kết quả sau đây:
1. Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải được khái niệm kĩ năng và sự hình thành kĩ năng học và giải bài tập toán cho học sinh
2. Thống kê được một số dạng toán điển hình liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện.
3. Xây dựng một số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải quyết các vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực hiện.
4. Thiết kế các thức dạy học một số ví dụ, hoạt động theo hướng dạy học tích cực.
5. Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh học tính khả thi và hiệu quả của những biện pháp sư phạm được đề xuất.
Như vậy có thể khẳng định rằng: mục đích nghiên cứu đã được thực hiện, nhiệm vụ nghiên cứu đã được hoàn thành và giả thuyết khoa học là chấp nhận được.
Trong quá trình giảng dạy môn Toán tại trường THPT Tĩnh Gia 3, từ việc áp dụng các hình thức rèn luyện cách trình bày lời giải bài toán cho học sinh đã có kết quả rõ rệt, bản thân tôi rút ra được nhiều bài học kinh nghiệm về phương pháp rèn luyện cách trình bày lời giải bài toán cho học sinh đó là :
1 – Trình bày bài giải mẫu.
2 – Trình bày phương pháp giải những bài toán liên quan đến chuyên đề.
3 – Hệ thống hóa thành những nhóm bài toán có sử dụng phương pháp trong chuyên đề.
Cũng qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, với nội dung và phương pháp nêu trên đã giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về Toán học nói chung. Vấn đề tôi thấy học sinh khá, giỏi rất hứng thú với việc làm mà giáo viên đã áp dụng trong chuyên đề này. 
 Kiến nghị
1. Với Sở giáo dục và đào tạo
 - Quan tâm hơn nữa đến việc bồi dưỡng chuyên môn, nghiệp vụ cho giáo viên dạy toán. Nên tổ chức các hội thảo chuyên đề chuyên sâu cho giáo viên trong tỉnh.
2. Với Ban Giám Hiệu nhà trường
- Nhà trường cần quan tâm hơn nữa về việc trang bị thêm sách tham khảo môn Toán để học sinh được tìm tòi, học tập khi giải toán để các em có thể tránh được những sai lầm trong khi làm bài tập và nâng cao hứng thú, kết quả học tập môn toán nói riêng, nâng cao kết quả học tập của học sinh nói chung.
3. Với Phụ huynh học sinh
- Quan tâm việc tự học, tự làm bài tập ở nhà của con cái. Thường xuyên kiểm tra sách, vở và việc soạn bài trước khi đến trường của các con.
Để có những tiết học đạt hiệu quả cao nhất ngoài trình độ chuyên môn người giáo viên phải luôn tâm huyết với nghề,luôn học hỏi và trau dồi những phương pháp đổi mới. Phải có trách nhiệm "thắp sáng ngọn lửa" truyền cảm hưng đến học sinh, kích thích các em hăng say nghiên cứu, khả năng tự học. Qua nghiên cứu và áp dụng " Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh trường THPT Tĩnh Gia 3 giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số " cho học sinh Trường THPT Tĩnh Gia 3 tôi thu được hiệu quả nhất định, các em học sinh đã tự tin hơn và kết quả có nhiều tiến bộ. Để kết quả thật sự bền vững và có tính kế thừa, tôi kính mong đồng nghiệp và hội đồng khoa học của trường THPT Tĩnh Gia 3 cũng như hội đồng khoa học của Sở Giáo Dục và Đào Tạo Tỉnh Thanh Hóa góp ý kiến thêm để đề tài của tôi hoàn thiện hơn, có ứng dụng rộng rãi trong quá trình giảng dạy và bồi dưỡng học sinh.
 Trong khi chờ sự xem xét, nghiên cứu đánh giá của Hội đồng khoa học các cấp tôi xin chân thành cảm ơn nhiều. Chúc hội đồng khoa học các cấp sức khỏe, hạnh phúc, thành đạt. 
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1.Các bài toán về hàm số, Phan Huy Khải - NXB Hà Nội 1997.
2.Các chuyên đề Hàm số ,Trần Phương,NXB Hà Nội 2006.
3. Các sáng kiến kinh nghiệm đạt giải cấp tỉnh trong trường và ngoài trường.
4.Đề luyện thi tuyển sinh môn toán, NXB Giáo dục Việt Nam 2006.
5. Đề thi Đại học , Cao Đẳng các năm.
6.Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao-NXB Giáo dục Việt Nam 2013.
7.Tạp chí toán học và tuổi trẻ( các năm 2009-2018)
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 25 tháng 04 năm 2018
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
 Lê Văn Dũng