SKKN Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh Lớp 12 giải quyết các bài toán tìm số phức Z có môđun lớn nhất, nhỏ nhất

	MỤC LỤC
I.MỞ ĐẦU
1.1.Lí do chọn đề tài.........................1
1.2.Mục đích nghiên cứu..1
1.3.Đối tượng nghiên cứu.1
1.4.Phương pháp nghiên cứu....................1
II.NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM2 
2.1.Cở sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm2
2.2.Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm3
2.3.Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề3
2.3.1.Nội dung hướng dẫn học sinh..3
2.3.2.Bài tập củng cố17
2.4.Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục ,
với bản thân,đồng nghiệp và nhà trường ..19
III.KẾT LUẬN,KIẾN NGHỊ..20
3.1.Kết luận..20
3.2.Kiến nghị20
TÀI LIỆU THAM KHẢO21
 I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
 Ở các lớp dưới ,học sinh mới chỉ tính toán ,giải toán trên tập số thực.Lên lớp 12 các em phải tính toán và giải toán trên tập số phức 
 Số phức là một nội dung mới trong các đề thi Đại học ,Cao đẳng và thực sự gây không ít khó khăn bởi nguồn tài liệu tham khảo hạn chế.
 Các bài toán về số phức liên quan đến nhiều kiến thức của lớp dưới,đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiến thức như giải phương trình,hệ phương trình ,bài toán tìm GTLN,GTNN,bài toán hình giải tích trong mặt phẳng và phải thấy được mối liên hệ giữa kiến thức cũ và kiến thức mới ,từ đó biết qui lạ thành quen.
Đặc biệt việc giải bài toán “Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức” không phải là bài toán quá khó đối với học sinh. Các em chỉ cần nắm được kiến thức cơ bản về số phức: phần thực, phần ảo, môđun của số phức, các phép toán về số phức kết hợp với kiến thức về phương trình đường thẳng, đường tròn, đường Elíp,... thì các em sẽ giải quyết tốt bài toán trên.Vấn đề là thông qua bài toán này học sinh biết khai thác kiến thức cơ bản của bài toán trên, kết hợp vận dụng kiến thức về bất đẳng thức, đạo hàm, lượng giác, bài toán cực trị trong hình học,.. để từ đó giải quyết được bài toán “Tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất thoả mãn điều kiện cho trước”. 
Trên cơ sở ấy các em có thể phát huy được sức sáng tạo và tư duy logíc của mình. Riêng bản thân, ở mỗi tiết dạy, ở mỗi bài dạy tôi luôn trăn trở tìm ra những phương pháp dạy học thích hợp để tác động tới từng đối tượng học sinh, và tìm mọi cách để xoá bỏ việc tiếp thu kiến thức một cách thụ động. Đồng thời nâng cáo trình độ tư duy và sức sáng tạo của học sinh.
 Trong những năm gần đây, bài toán có liên quan đến số phức đã có mặt trong các đề thi THPT Quốc gia. Đặc biệt, năm học 2016- 2017, lần đầu tiên Bộ giáo dục đào tạo chuyển hình thức thi từ tự luận sang trắc nghiệm đối với môn Toán, và số lượng bài toán tìm số phức z để môđun lớn ,nhất nhỏ nhất đã xuất hiện nhiều hơn qua các đề minh họa và thử nghiệm của Bộ. Điều đó không chỉ gây lúng túng, khó khăn cho học sinh mà còn gây trăn trở cho giáo viên trong việc giảng dạy các dạng toán này. Bởi vậy, tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh Lớp 12 giải quyết các bài toán tìm số phức z có môđun lớn nhất, nhỏ nhất’’.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Nội dung sáng kiến kinh nghiệm nhằm mục đích hướng tới giải quyết các vấn đề sau:
-Định hướng giải và phân dạng các bài tập thường gặp 
-Xây dựng một số bài toán trắc nghiệm ứng dụng trong quá trình học tập và thi THPTQG của học sinh
-Rèn luyện kỹ năng làm toán thông qua hệ thống bài toán viết dưới dạng trắc nghiệm có hướng dẫn và hệ thống bài tập tự rèn luyện
-Đề xuất một phương án khai thác trong dạy học ,nhằm góp phần gây hứng thú học tập đối với học sinh
1.3.Đối tượng nghiên cứu
	- Học sinh khối 12 THPT ôn thi THPT quốc gia
	- Giáo viên giảng dạy môn Toán bậc THPT
1.4.Phương pháp nghiên cứu
 Để thực hiện mục đích chọn đề tài ,trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng một số phương pháp sau:
1.4.1. Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các sách, báo, tư liệu, các công trình nghiên cứu các vấn đề có liên quan đến đề tài.
1.4.2.Phương pháp điều tra thực tế:
+ Điều tra GV và HS THPT về tình hình thực tiễn có liên quan.
+ Tham khảo ý kiến của giáo viên Toán về kinh nghiệm xây dựng và khai thác các bài toán có nội dung thực tiễn.
1.4.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm:
Sử dụng phương pháp thử nghiệm sư phạm để kiểm tra tính khả thi và hiệu quả của giải pháp đề ra.
II. NỘI DUNG
2.1.Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
	Mục đích của dạy học toán là cung cấp cho học sinh những kiến thức phổ thông,những kiến thức cơ bản từ đó rèn luyện tư duy logic, phát triển năng lực tìm tòi sáng tạo góp phần tạo thế giới ,nhân sinh quan đối với học sinh. 
	Bài toán “Tìm số phức để môđun đạt GTLN,GTNN” có nhiều phương pháp giải ,yêu cầu cần phải từ giả thiết bằng những kiến thức đã học có thể chuyển về những bài toán tìm GTLN,NN đã học ,rồi sử dụng các công cụ đạo hàm ,khảo sát hàm số,lượng giác ,hình học phẳng
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Số phức là vấn đề hoàn toàn mới và khó đối với học sinh bậc trung học phổ thông hiện nay. Vì mới đưa vào chương trình Sách giáo khoa nên có rất ít tài liệu về số phức để học sinh và giáo viên tham khảo. Bên cạnh đó, lượng bài tập cũng như các dạng bài tập về số phức trong Sách giáo khoa còn nhiều hạn chế. Chính vì vậy mà việc giảng dạy và học tập của giáo viên và học sinh gặp không ít những khó khăn. 
 Trước đây trong các đề thi ít đề cập đến phần tìm ra được môđun số phức lớn nhất, nhỏ nhất.Đa phần giáo viên chỉ giới thiệu và hướng dẫn học sinh một số ít bài tập .Học sinh cũng chỉ một số ít quan tâm và số đông các em chỉ học những phần liên quan đến thi cử, các em khá lúng túng khi sử dụng các kiến thức đã học để xử lý các bài toán này, 
+ Nhận dạng và sử dụng kiến thức ứng dụng chưa nhanh nhạy
+ Chưa có thói quen tự nghiên cứu và kiểm tra lời giải
+ Chưa biết hệ thống và phân loại các loại bài tập nhằm rèn kỷ năng
Với hình thức trắc nghiệm trong kì thi THPTQG ta thấy một thực tế là dạng toán tìm ra được môđun số phức lớn nhất, nhỏ nhất vẫn có trong các đề thi 
Bên cạnh đó, bài toán tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z và bài toán tìm số phức z có môđun lớn nhất, nhỏ nhất có quan hệ mật thiết vơi nhau. Trong quá trình giảng dạy phần nội dung này tôi nhận thấy vẫn còn một số học sinh chưa giải quyết được bài toán tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức mặc dù tập hợp các điểm cần tìm thông thường là đường thẳng, đường tròn, đường Elíp, đường Hybebol, đường Parabol,...Nhiều học sinh lại gặp rất nhiều khó khăn khi giải quyết bài toán tìm số phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhât. Để làm tốt được bài toán này trước hết học sinh phải tìm được tập hợp các điểm biểu diễn số phức sau đó áp dụng kiến thức về bất đẳng thức, đạo hàm, lượng giác, hình giải tích trong mặt phẳng: đường thẳng, đường tròn, Elíp, ...để từ đó tìm ra được môđun số phức lớn nhất, nhỏ nhất.
 2.3. Các giải pháp. 
 Để hướng dẫn cho học sinh vận dụng kiến thức đã học để giải quyết các bài toán “Tìm số phức z để môđun lớn nhất, nhỏ nhất”tôi đã hướng dẫn học sinh thực hiện theo các bước sau:
 Bước 1: Dựa trên các giả thiết và yếu tố của đề bài, ta xây dựng mô hình Toán học cho vấn đề đang xét
 Đây là bước quan trọng,từ giả thiết của bài toán và các mối liên hệ ta xây dựng,thiết lập và biểu diễn chúng dưới dạng các biến số,lập hàm số tìm các điều kiện tồn tại của chúng
	Bước 2: Sử dụng các công cụ toán học để khảo sát và giải quyết bài toán ở bước 1
 Với các kiến thức đã học ta vận dụng giải quyết bài toán như: sử dụng công cụ đạo hàm để khảo sát hàm số hoặc áp dụng công thức lượng giác, giải phương trình, các bài toán hình học phẳngvà giải quyết bài toán hình thành ở bước 1.Và đặc biệt tôi luôn lưu ý các em về các điều kiện ràng buộc của biến số và hướng dẫn các em sử dụng CASIO để tính toán nhanh,chính xác và tiết kiệm thời gian.
	Bước 3:Kiểm tra kểt quả thu được ở bước 2 rồi rút ra kết luận
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Số phức
Định nghĩa: Sô phức là một biểu thức dạng a+bi,trong đó a,b là các số thực và số i thoả mãn 
Kí hiệu: z=a+bi
	i:đơn vị ảo a:Phần thực b:Phần ảo
Chú ý:
 z=a+0i được gọi là số thực 	
 z=0+bi được gọi là số ảo 
 0=0+0i vừa là số thực vừa là số ảo
Biểu diễn hình học của số phức:
 	 M(a,b) biểu diẽn số phức z 
2.Hai số phức bằng nhau
Cho hai số phức với 
3.Cộng và trừ số phức
 +Cho hai số phức với 
	 +Số đối của là 
4.Nhân hai số phức
 Cho hai số phức với 
5.Số phức liên hợp của số phức là 
	z là số thực ; z là số ảo 
6.Môđun của số phức z=a+bi
7.Chia hai số phức khác 0
Số phức nghịch đảo của : 
	Thương của z’ chia cho : 
	Với ,
B. MỘT SỐ KIẾN THỨC ÁP DỤNG
1.Bất đẳng thức :Bun-nhi-a-cốp-xki với 4 số thực 
 Với 4 số thực a,b,c,d ta có : 
 Dấu đẳng thức xảy ra khi ad=bc
2.Định lý về dấu tam thức bậc hai 
3.Sự đồng biến ,nghịch biến của hàm số và bảng biến thiên
4.Giao điểm của đường thẳng và đường thẳng,đường thẳng và đường tròn
5.Tính chất của hàm số lượng giác
6.Tập hợp các điểm biểu diễn số phức thường gặp
 +Phương trình đường thẳng :ax+by+c=0
 +Phương trình đường tròn (x-a)2+(y-b)2=R2
 +Phương trình đường Elip: 
 C. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM SỐ PHỨC CÓ MÔĐUN LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT
Tìm số phức z có môđun lớn nhất(hoặc nhỏ nhất) thoả mãn điều kiện cho trước
Phương pháp chung:
Bước 1:Tìm tập hợp (G) các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện 
Bước 2:Tìm số phức z tương ứng với điểm M thuộc (G) sao cho OM có giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất)
 Ngoài ra ta xét ba bài toán sau:
Bài toán 1: Cho đường tròn (T) cố định có tâm I,bán kính R và điểm A cố định .Điểm M di động trên đường tròn (T). Hãy xác định vị trí của điểm M sao cho AM lớn nhất,nhỏ nhất
Bài giải:
TH1:A thuộc đường tròn (T)
Ta có :AM đạt GTNN bằng 0 khi M trùng với A
 AM đạt GTLN bằng 2R khi M là điểm đối xứng với A qua I 
TH2:A không thuộc đường tròn (T)
 Gọi (d) là đường thẳng đi qua hai điểm 
A và I. Gọi B,C là giao điểm của đường 
thẳng d và đường tròn (T) ,giả sử AB<AC 
+Nếu A nằm ngoài đường tròn (T) thì 
với điểm M bất kì trên (T) ta có:
 .
Đẳng thức xáy ra khi M trùng B
.Đẳng thức xáy ra khi M trùng C
+Nếu A nằm trong đường tròn (T) 
thì với điểm M bất kì trên (T) ,ta có 
 .
Đẳng thức xáy ra khi M trùng B
 .
Đẳng thức xáy ra khi M trùng C
Vậy khi M trùng với B thì AM đạt GTNN
 Khi M trùng với C thì AM đạt GTLN
Bài toán 2: Cho hai đường tròn (T1) có tâm I, bán kính R1; đường tròn (T2) có tâm J, bán kính R2.Tìm ví trí của điểm M trên (T1), điểm N trên (T2) sao cho MN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Bài Giải 
 -Gọi d là đường thẳng đi qua I,J
d cắt đường tròn (T1) tại hai 
điểm A,B ( giả sử ),
d cắt (T2) tại hai điểm C,D
 (giả sử 
 -Với điểm M bất kì trên (T1) 
và điểm N bất kì trên (T2),ta có :
 + 
 Đẳng thức xảy ra khi M trùng với A và N trùng với D
 + 
Đẳng thức xảy ra khi M trùng với B và N trùng với C
Vậy khi M trùng với A và N trùng với D thì MN đạt GTLN, Khi M trùng với B và N trùng với C thì MN đạt giá trị nhỏ nhất 
Bài toán 3:Cho đường tròn (T) có tâm I,bán kính R,đường thẳng không có điểm chung với (T). Tìm vị trí điểm M trên (T) ,điểm N trên sao cho MN đạt giá trị nhỏ nhất
Giải :
 Gọi H là hình chiếu vuông góc
 của I trên .Đoạn IH cắt (T) tại J
 Với N thuộc đường thẳng ,M
 thuộc đường tròn (T) ,ta có :
 =const.
Đẳng thức xáy ra khi N trùng H, 
M trùng J
Vậy khi M trùng H ,N trùng J thì MN đạt giá trị nhỏ nhất 
D. BÀI TẬP MINH HOẠ
 Dạng 1:Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn
Bài 1: Cho số phức z thoả mãn .Tìm số phức z có môđun lớn nhất,nhỏ nhất
 A. B. 
	 C. D. 
Bài giải
Cách 1: Phương pháp lượng giác hoá
Giả sử điểm M(x;y) biểu diễn số phức .
Khi đó 
 Đặt . Khi đó 
 Vì nên 
Vậy môđun lớn nhất của z bằng 9 khi 
 Môđun nhỏ nhất của z bằng 1 khi 
Chọn phương án A
Cách 2:Dùng bất đẳng thức Bun-nhi-a-cốp-xki
Giả sử điểm M(x;y) biểu diễn số phức .Khi đó 
Mặt khác 
Áp dụng bất đẳng thức Bun-nhi-a-cốp-xki,ta có
Vậy môđun lớn nhất của z bằng 9 khi 
 	Môđun nhỏ nhất của z bằng 1 khi 
Chọn phương án A
Cách 3:Qui về bài toán 1
Giả sử điểm M(x;y) biểu diễn số phức .Khi đó 
Vậy điểm M biểu diễn cho số phức z thuộc đường tròn (T) có tâm 
I(3;-4),bán kính R=4
 nên O nằm ngoài đường tròn (T)
|z| lớn nhất (nhỏ nhất) khi OM lớn nhất (nhỏ nhất)
Phương trình đường thẳng OI là 4x+3y=0
Đường thẳng OI cắt đường tròn (T) tại hai điểm A,B có toạ độ là nghiệm của hệ phương trình
	Với mọi điểm M thuộc đường tròn (T) thì 
Vậy môđun lớn nhất của z bằng 9 khi 
 	 Môđun nhỏ nhất của z bằng 1 khi 
Chọn phương án A
Cách 4: Định lý về dấu tam thức bậc hai 
Đặt 
Ta có 
Vì suy ra 
Vậy môđun lớn nhất của z bằng 9 khi 
 	 Môđun nhỏ nhất của z bằng 1 khi 
Chọn phương án A
Cách 5:Phương pháp hình học 
Giả sử điểm M(x;y) biểu diễn số phức
 .Khi đó 
Vậy điểm M biểu diễn cho số phức z thuộc 
đường tròn (T) có tâm I(3;-4),bán kính R=4
Đường thẳng OI cắt đường tròn (T) tại hai 
điểm A,B như hình vẽ
Ta có M trùng với A trên (T) gần O
 nhất
	Kẻ ,theo định lý Talet ta có
 	Vậy 
Tương tự M trùng với điểm B trên (T) ở xa O nhất suy ra 
Vậy môđun lớn nhất của z bằng 9 khi 
 	 Môđun nhỏ nhất của z bằng 1 khi 	
Chọn phương án A
Cách 6: Sử dụng bất đẳng thức tam giác
	Giả sử điểm M(x;y) biểu diễn số phức .
Gọi biểu diễn cho số phức 
|z|=OM, 
Ta có 
Vậy môđun lớn nhất của z bằng 9 khi 
 	 Môđun nhỏ nhất của z bằng 1 khi 
Chọn phương án A
Bài 2: (Qui về bài toán 2)
Cho các số phức thoả mãn : ,tìm số phức sao cho đạt giá trị lớn nhất 
 	A. 
B. 
C. 
D. 
Bài giải
	Gọi 
 được biểu diễn bởi điểm M(a,b); được biểu diễn bởi điểm N(c,d) trong mặt phẳng toạ độ Oxy
 suy ra M thuộc đường tròn tâm I(1,1),bán kính R=1
 suy ra N thuộc đường tròn tâm J(6,6),bán kính R’=6
Đường thẳng IJ có phương trình y=x,đường thẳng IJ cắt đường tròn tâm I tại hai điểm 
Đường thẳng IJ có phương trình y=x,đường thẳng IJ cắt đường tròn tâm J tại hai điểm 
Vậy thì đạt GTLN
Chọn phương án D
Bài 3(Qui về bài toán 3)
Cho các số phức thoả mãn : là một số thực .Tìm số phức sao cho đạt giá trị nhỏ nhất
A B.
C. D.
Bài giải
Gọi lần lượt biểu diễn cho trong hệ toạ độ Oxy
suy ra M thuộc đường tròn (T) có tâm O,bán kính R=1 
 là một số thực 
	Vì nên và (T) không có điểm chung
	 vì ( )
	Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên 
	Đoạn OH cắt đường tròn (T) tại 
	Với N thuộc đường thẳng ,M thuộc đường tròn (T),ta có 
	 .Đẳng thức xảy ra khi
	Vậy P đạt GTNN bằng 
Chọn phương án C
Dạng 2:Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là một đường thẳng
Bài 4:Trong các số phức z thoả mãn |z-2-4i|=|z-2i|.Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất 
 A. B. C. D. 
Bài giải
Cách 1:
Giả sử 
Đẳng thức xảy ra khi x=2,y=2
Vậy |z| đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi 
Chọn phương án B
Cách 2:
 Giả sử 
 	 (d)
 	Gọi M là điểm biểu diễn số phức z thì 
	Vậy |z| đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi 
Chọn phương án B
Cách 3: Giả sử 
	Xét hàm số 
	Vậy |z| đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi 
Chọn phương án B
Cách 4:Giả sử M(x;y) là điểm biểu diễn cho số phức 
Chọn phương án B
Dạng 3:Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường Elip
Bài 5:Trong các số phức z thoả mãn điều kiện .Tìm số phức z có môđun lớn nhất
A. B. 
C. 	 D. 
Bài giải
Trong mặt phẳng Oxy,gọi các điểm M,F1,F2 lần lượt biểu diễn các số phức z,3,-3 suy ra M(x,y);F1(3,0);F2(-3,0) , 
Vậy tập hợp các điểm M là Elip có độ dài trục lớn bằng 10 và độ dài trục bé bằng 4 suy ra phương trình Elip : 
Cách 1:
	Ta có 
	Vì nên 
	Vậy 
Chọn phương án D
Cách 2:
 	 OM đạt GTLN bằng 5 khi 
	Vậy 
Chọn phương án D
Cách 3:
	Đặt 
	Suy ra 
Chọn phương án D
 E. BÀI TẬP CỦNG CỐ
Bài 1: (Câu 23-Đề thi thử Trần Hưng Đạo-Ninh Bình-Lần 3)
 Trong các số phức thoả mãn điều kiện .Tìm số phức có môđun nhỏ nhất ?
 A. B. C. D. 
Bài 2: ( Câu 48-Đề minh hoạ lần 3)
 Xét số phức z thoả mãn: .Gọi m,M lần lượt là GTNN,GTLN của .Tính P=m+M
 A. B. 
 C. D.
Bài 3: (Câu 46-Đề THPT Chuyên-Trường Đại Học Vinh-Lần IV)
Cho số phức thoả mãn z không phải là số thực và là số thực .Giá trị lớn nhất của biểu thức là:
 A. B. C.2 D.8
Bài 4:Cho số phức z thoả mãn .Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất
 A. B. C. D. 
Bài 5: Cho số phức z thoả mãn điều kiện: .Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất
 A. B. 
 C. D. 
Bài 6:Trong các số phức z có môđun bằng .Tìm số phức có môđun lớn nhất
 A. B. C. D. 
Bài 7:Cho số phức z thoả mãn .Tìm số phức z có môđun lớn nhất,nhỏ nhất
 A. 
 B. 
 C. 
 D. 
Bài 8:Trong các số phức thoả mãn : có phần thực bằng
 -26; .Tìm số phức sao cho đạt giá trị nhỏ nhất,lớn nhất 
Bài 9:Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất .Biết số phức z thoả mãn điều kiện 
A. B. 
C. D. 
Bài 10:Trong các số phức z có môđun bằng .Tìm số phức z sao cho biểu thức đạt giá trị lớn nhất 
A. B. C. D. 
Bài 11:Trong các số phức z có môđun bằng 2.Tìm số phức z sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất
A. 49 B. 7 	C.4 	D. 0
Bài 12: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện .Tìm số phức có môđun lớn nhất,nhỏ nhất
 A. B. 
 C. D. 
Bài 13: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện .Tìm số phức có môđun lớn nhất,nhỏ nhất
 A. B. 
 C. D. 
Bài 14: Tìm z sao cho môđun của z đạt giá trị nhỏ nhất .Biết số phức z thoả mãn các điều kiện sau là số thực	
 A. B. C. D. 
Bài 15: Tìm z sao cho môđun của z đạt giá trị nhỏ nhất .Biết số phức z thoả mãn các điều kiện 
 A. B. C. D. 
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
 Sau khi tiến hành thử nghiệm dạy lớp 12A10, lớp đối chứng là 12A6- trường THPT Hoằng Hóa 4; hai lớp này có lực học là tương đương; qua quá trình thiết kế bài soạn, thực nghiệm giảng dạy và kiểm tra đánh giá kết quả, tôi thấy rằng:
- Học sinh lớp 12A10 rất hứng thú học tập và tiếp thu khá nhanh kiến thức đưa ra. Các em có khả năng vận dụng các kiến thức đó để giải quyết và làm bài toán có liên quan đến số phức . Từ đó tư duy toán học của các em được nâng lên, chất lượng môn Toán được nâng lên đáng kể.
Qua đợt khảo sát chất lượng Lớp 12 của Sở giáo dục đào tạo Thanh Hóa, đề thi hay, phù hợp và bám sát với thi THPT Quốc Gia, có 6 bài toán liên quan đến số phức, 80% học sinh 12A10 làm đúng 6 bài toán đó
Kết quả thu được như sau :
Điểm
4-4.8
5-5.8
6-6.8
7-7.8
8-8.8
9-9.8
10
 Tổng
Lớp
số
12A 6
6
8
10
 9
7
2
0
42
12A10
2
3
4
12
15
8
1
45
 Qua đây, học sinh có hứng thú hơn trong học tập nhất là cùng một bài toán mà có thể tìm ra được nhiều phương pháp giải. Các em không còn thấy “xa lạ” với các bài toán trắc nghiệm. Giáo viên sẽ tích cực giảng dạy, khai thác sâu hơn các bài toán liên quan đến số phức
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận.
 Việc viết sáng kinh nghiệm là một trong những vấn đề cấp thiết nhất cho gian đoạn hiện nay ,giai đoạn công nghiệp hóa hiện đại hóa đất nước, một đất nước đang phát triển như Việt nam ta nói chung ,riêng đối với ngành giáo dục cần phải đổi mới nhanh chóng, song ở mỗi bộ môn đặc biệt các môn tự nhiên điều cốt lõi mà chương trình lớp trên kế thừa và áp dụng thì mỗi giáo viên chúng ta nên chỉ ra và tạo mọi điều kiện để các em nắm bắt được. Có như vậy, tình trạng hổng kiến thức cơ bản mới hạn chế và dần khắc phục được.
Đề tài này tôi đã phân dạng và xây dựng được một số phương pháp giảng dạy phù hợp với từng đối tượng học sinh.Chính vì vậy đã phần nào tạo điều kiện thuận lợi cho giáo viên khi giảng dạy ở những tiết bài tập trong quá trình ôn thi THPTQG.
 Nêu bật được ứng dụng các phương pháp trong việc giải quyết một bài toán kể cả dùng kiến thức của hình học phẳng.
Đề tài có thể là tài liệu tham khảo giảng dạy cho giáo viên Toán hoặc sử dụng làm tài liệu liên môn, cũng như tài liệu học tập cho học sinh lớp 12. 
Đề tài của tôi trên đây còn mang màu sắc chủ quan, chắc chắn còn nhiều thiếu sót và hạn chế .Vì vậy tôi rất mong được sự đóng góp ý kiến quí báu, phê bình, phản hồi của các thầy cô, các đồng nghiệp để càng hoàn thiện hơn.
3.2. Kiến nghị.
 -Từ kết quả nghiên cứu đã đạt được trên đây, tôi xin mạnh dạn đề xuất một số kiến nghị như sau:
 Một là, đối với Sở giáo dục và đào tạo: Cần tổ chức tập huấn cho giáo viên nhiều hơn nữa về việc đổi mới phương pháp dạy học, đặc biệt là tập huấn việc ra đề trắc nghiệm. 
Hai là, đối với nhà trường: cần tạo điều kiện thuận lợi về cơ sở vật chất, trang thiết bị hỗ trợ giáo viên. Có chế độ khen thưởng kịp thời đối với giáo viên có nhiều sáng kiến