SKKN Một số kinh nghiệm góp phần nâng cao chất lượng dạy học phần ứng dụng của Tích phân, thông qua việc sử dụng một số dạng phương tiện dạy học trực quan

MỤC LỤC
NỘI DUNG
Trang
1. MỞ ĐẦU
1
1.1. Lý do chọn đề tài
1
1.2. Mục đích nghiên cứu
2
1.3. Đối tượng nghiên cứu
2
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
2
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
3
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
4
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
12
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
13
3.1. Kết luận
13
3.2. Kiến nghị
13
1. MỞ ĐẦU:
1.1. Lý do chọn đề tài:
Trong xã hội công nghệ thông tin như hiện nay, kiến thức và khoa học kỹ thuật phát triển như vũ bão thì kiến thức mà học sinh học được trong nhà trường không thể đáp ứng đòi hỏi của xã hội. Do đó đổi mới phương pháp dạy - học là cần thiết và cấp bách; phải dạy học sinh để từ vốn kiến thức học được trong nhà trường kết hợp với phương pháp tư duy hợp lý giải quyết được các vấn đề thực tiễn đặt ra. Một trong những hướng quan trọng của sự phát triển phương pháp hiện đại trong dạy học Toán là xây dựng các phương tiện dạy học và chỉ dẫn phương pháp sử dụng chúng trong các giờ Toán, nhằm hình thành ở học sinh các hình ảnh cảm tính của đối tượng nghiên cứu, gợi cho học sinh các tình huống có vấn đề, tạo nên sự hứng thú trong các giờ học Toán.
Cùng với sự tiến bộ khoa học kỹ thuật và sự phát triển lý luận dạy học, nhiều dạng phương tiện dạy học đã xuất hiện ở trường phổ thông. Nó không chỉ là nguồn kiến thức, cho hình ảnh minh họa mà còn là phương tiện tổ chức điều khiển hoạt động nhận thức của học sinh, là phương tiện tổ chức khoa học hoạt động sư phạm của giáo viên và học sinh.
Thực tế dạy học ở nhà trường THPT nước ta là học sinh ngại học giải tích; đặc biệt theo SGK Phân ban hiện nay, khái niệm nguyên hàm - tích phân được trình bày một cách giản lược. Như khái niệm Tích phân xác định được trình bày thông qua nguyên hàm và nhờ công thức Newton - Leibnitz mà không trình bày thông qua giới hạn tổng tích phân - độc lập với nguyên hàm. Với lý do giảm tải, giảm tính chất hàm lâm - kinh viện nên kiến thức Nguyên hàm - Tích phân được trình bày như hiện nay làm cho giáo viên khi dạy khó giải thích việc dùng các công thức để chỉ nguyên hàm, tích phân và việc vận dụng tích phân để tính diện tích, thể tích, quãng đường đi được của vật,... Học sinh thường gặp không ít khó khăn khi lĩnh hội khái niệm đạo hàm, nguyên hàm và tích phân; nhiều học sinh có thể nhớ các công thức, học thuộc khái niệm, nhưng không được giải thích đầy đủ ý nghĩa và bản chất của nó, từ đó dẫn tới việc vận dụng một cách máy móc, hoặc không biết hướng vận dụng. Do vậy việc sử dụng các PTTQ vào quá trình dạy học là việc làm cần thiết và phù hợp với xu thế đổi mới phương pháp dạy học hiện nay ở trường phổ thông.
Để có thể hoàn thành mục đích dạy học môn Toán trong nhà trường phổ thông với thời lượng hạn chế như hiện nay, thì việc sử dụng các phương tiện dạy học trực quan trong môn Toán nước ta là cấp thiết. Xu thế chung của phương pháp dạy học môn Toán mà nhiều nước đã khẳng định là phải sử dụng nhiều loại hình phương tiện dạy học nhằm hỗ trợ lẫn nhau, đặc biệt là ứng dụng công nghệ thông tin và các phần mềm dạy học nhằm hỗ trợ lẫn nhau, thúc đẩy hoạt động nhận thức tích cực của học sinh, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán.
Từ thực tế đó tôi chọn đề tài nghiên cứu của mình với tiêu đề: "Một số kinh nghiệm góp phần nâng cao chất lượng dạy học phần ứng dụng của Tích phân, thông qua việc sử dụng một số dạng phương tiện dạy học trực quan".
1.2. Mục đích nghiên cứu:
- Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 12 ở trường THPT, cùng với kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy. Tôi đã tổng hợp, khai thác và hệ thống hoá lại các kiến thức thành: "Một số kinh nghiệm góp phần nâng cao chất lượng dạy học phần ứng dụng của Tích phân, thông qua việc sử dụng một số dạng phương tiện dạy học trực quan".
Đề tài đã xác định một số dạng phương tiện dạy học trực quan cần thiết và chỉ dẫn phương pháp sử dụng chúng trong dạy học Giải toán phần tích phân ở SKG Giải tích 12.
 Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các em học sinh có một cái nhìn toàn diện cũng như phương pháp giải một số các bài toán về ứng dụng tích phân thông qua sử dụng một số dạng phương tiện trực quan.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Hình thành các yêu cầu sư phạm của các dạng PTTQ trong dạy học phần ứng dụng của tích phân và thể hiện cụ thể qua một số dạng PTTQ tương ứng với các hoạt động chủ yếu trong dạy học toán.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
Phương pháp: 	
- Nghiên cứu lý luận chung.
- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học .
- Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm.
Cách thực hiện:
- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn 
- Liên hệ thực tế trong nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm qua quá trình giảng dạy.
- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 12 trong năm học từ 2008 đến 2019.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:
- Nhiệm vụ trung tâm trong trường học THPT là hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ thông đặc biệt là bộ môn toán học rất cần thiết không thể thiếu trong đời sống của con người. Môn Toán là một môn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến thức rộng, đa phần các em ngại học môn này. 
- Trong thực tiễn dạy học, HS thường gặp khó khăn khi chuyển từ cụ thể lên trừu tượng và khi đi từ cái trừu tượng lên cái cụ thể trong tư duy. Khó khăn đó nằm chủ yếu ở chỗ: khi tri giác cái cụ thể hiện thực HS không biết phát hiện ra cái chung bản chất và chủ yếu ẩn nấp hoặc bị che lấp trong muôn vàn cái riêng không bản chất và thứ yếu của cái cụ thể; ngược lại, khi vận dụng khái niệm, định lý vào những trường hợp cụ thể thì HS lại lúng túng trong việc tìm ra cái riêng biệt đơn nhất, độc đáo của chúng mặc dù chúng đều có cùng một cái chung bản chất.
Mặt khác, không phải bất cứ cái cụ thể hiện thực nào cũng có thể mang đến cho HS tri giác trực tiếp được. Vì vậy nhà trường phải nghiên cứu một dạng phương tiện dạy học là: “Phương tiện dạy học trực quan" để giúp HS dễ dàng chuyển tư duy của mình từ diện cụ thể cảm tính sang diện trừu tượng, khái quát hóa và từ đó lên cái cụ thể trong ý thức .
Phương tiện dạy học trực quan tạo điều kiện thuận lợi cho việc tổ chức quá trình học tập. Chúng có thể tiếp nối, mở rộng giác quan của con người, hình thành những môi trường có dụng ý sư phạm, mô phỏng những hiện tượng, quá trình phức tạp hoặc khắc phục những hạn chế về mặt thời gian, không gian và kinh phí.
Trong dạy học nói chung PTTQ là rất cần thiết, vì từ trực quan HS có được cảm nhận đầu tiên về vấn đề cần tiếp thu. Điều đó giúp cho HS sau này khi gặp vấn đề cần phải có sự liên tưởng tới kiến thức đã học thì HS sẽ có tư duy tốt hơn.
Trong dạy học Toán nói riêng việc sử dụng hợp lý các PTTQ đóng một vai trò rất quan trọng. Phương tiện trực quan không chỉ giúp cho việc minh họa và tập trung sự chú ý của HS vào những thuộc tính và đặc điểm bên ngoài của đối tượng và hơn thế PTTQ còn giúp HS nhanh chóng phát hiện những thuộc tính bên trong, những mối quan hệ bản chất của đối tượng và cho phép nhận ra nó như một cái toàn bộ thống nhất.
Phương tiện trực quan không chỉ tham gia vào quá trình hình thành khái niệm mà còn hỗ trợ đắc lực cho dạy học định lý, dạy giải bài tập toán... Phương tiện trực quan là cầu nối, là khâu trung gian trong giai đoạn trừu tượng hóa (từ cụ thể trừu tượng lên khái niệm lý thuyết) và cả trong giai đoạn cụ thể hóa (tái tạo ra cái cụ thể trong tư duy
Khẳng định của V.I. Lênin về mối quan hệ biện chứng của nhận thức là rất sâu sắc khi cho rằng nhận thức phát triển là do sự tác động lẫn nhau của ba yếu tố: Trực quan sinh động, tư duy trừu tượng và thực tiễn. Mỗi yếu tố đó đều cần thiết và mang lại cái mà yếu tố khác không thể đem lại được. Sự tác động lẫn nhau đó quán xuyến toàn bộ quá trình nhận thức từ đầu chí cuối "Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, rồi từ trừu tượng đến thực tiễn. Đó là con đường biện chứng của sự nhận thức chân lý, của sự nhận thức hiện thực khách quan". 
Vai trò của PTTQ trong quá trình dạy học là rất quan trọng. Do đặc điểm của Toán học, hình thức trực quan được sử dụng rộng rãi nhất, có ý nghĩa nhất trong môn toán là trực quan tượng trưng (hình vẽ, sơ đồ, đồ thị, bảng, công thức, kí hiệu...). Phương tiện trực quan tượng trưng là một hệ thống ký hiệu quy ước nhằm biểu diễn tính chất muốn nghiên cứu tách rời khỏi tất cả các tính chất khác của đối tượng và hiện tượng .
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Học sinh trường THPT Thạch Thành 2 nói riêng và một số học sinh của các trường miền núi nói chung, đa số là học sinh ở vùng nông thôn, khu vực đặc biệt khó khăn, còn thiếu thốn về mọi mặt- vật chất, các thiết bị dạy học cũng như các kiến thức THCS còn non yếu, tiếp thu bài còn chậm, chưa tự hệ thống được kiến thức. Khi gặp các bài toán về tích phân cũng như các bài toán vận dụng tích phân vào thực tế khiến học sinh chưa phân loại và định hình được cách giải, lúng túng khi phân chia các trường hợp cách tính diện tích, thể tích của vật thể và thường xuyên mắc sai lầm. Nhưng bên cạnh đó chương trình Giải tích 12 không nêu cách giải tổng quát cho từng dạng, thời lượng dành cho phần này là quá ít.Trong khi đó mấy năm lại gần đây trong cấu trúc đề thi THPT quốc gia thì câu hỏi vận dụng tích phân vào các bài toán thực tế gặp rất nhiều và câu lấy điểm 8 đôi khi là điểm 9, điểm 10 đòi hỏi mức độ tư duy cao của học học sinh.
Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ và việc học tập, làm bài tập hàng ngày nhận thấy học sinh thường bỏ qua hoặc không giải được hoặc gặp sai lầm lớn khi giải các dạng bài toán phần này.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
Một số dạng và phương pháp giải:
Qua nghiên cứu trao đổi và đúc rút kinh nghiệm từ thực tế và ý kiến của đồng nghiệp tôi mạnh dạn đưa ra hướng gải quyết các vấn đề trên của học sinh.
 Khái niệm tích phân có nhiều ứng dụng trong Toán học và thực tiễn, nhưng trong khuôn khổ chương trình Giải tích 12 Nâng cao, tích phân có những ứng dụng như: Tính quãng đường đi được của vật khi biết phương trình vận tốc, tính diện tích hình giới hạn bởi đồ thị các hàm số và các đường, tính thể tích của vật thể giới hạn bởi các mặt với giả thiết là biết được diện tích thiết diện của vật thể với mặt là một hàm của biến c; và bài toán tính thể tích của một vật thể tròn xoay sinh bởi một hình phẳng D khi quay quanh trục Ox hoặc Oy. Trong phần này, tôi chỉ đi vào việc xác định và xây dựng một số PTTQ sau:
2.3.1. Sử dụng các phương tiện trực quan trong dạy học ứng dụng tích phân tính diện tích của hình phẳng
Đây là một ứng dụng quan trọng của tích phân, có nhiều ý nghĩa trong thực tiễn. Sử dụng PTTQ không chỉ giúp HS học tốt nội dung này mà còn làm cho HS nhận thức sâu hơn bản chất của phép tính tích phân để có thể vận dụng kiến thức đã học vào thực tiễn cuộc sống. Phương tiện trực quan ở đây chủ yếu là các hình vẽ minh họa được thiết lập nhờ phần mềm và máy tính.
Sử dụng công cụ của Maple để tạo ra các hình ảnh trực quan và các thông số tính toán cần thiết để hình thành công thức tính diện tích của hình được giới hạn bởi đồ thị của hàm số không âm trên [a; b], trục hoành và các đường là .
Sau đó xét một số hình ảnh tương tự với hàm f(x) liên tục trên [a; b], từ trực quan để HS nhận thức thấy rằng nếu thay hàm f(x) bởi hàm thì diện tích không thay đổi. Từ đó nhận được diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị hàm số, trục hoành và các đường được tính bởi công thức. Sau đó có thể dùng trực quan để HS nhận thấy cách tính tích phân của hàm dưới dấu tích phân nằm trong giá trị tuyệt đối.
Từ công thức, sử dụng trực quan là đồ thị của hai hàm số và trên cùng một hệ trục tọa độ và hình ảnh diện tích tương ứng của hai hình lần lượt giới hạn bởi đồ thị các hàm và với trục Ox,. Giáo viên nên cho HS nhận được hình ảnh với tuần tự các trường hợp như sau: 
Trên [a; b] hai hàm số có đồ thị nằm về hai phía của trục hoành. (Hình 2.1.a)
Trên [a; b] hai hàm số có đồ thị nằm về cùng một phía của trục hoành. (Hình 2.1.b)
Hình 2.1.a
Hình 2.1.b
Trên [a;b] chỉ có một đồ thị cắt trục hoành.(Hình 2.1.c)
Trên [a;b] cả hai đồ thị đều cắt trục hoành. (Hình 2.1.d) 
Hình 2.1.c
Hình 2.1.d
Hình 2.2
Sau khi quan sát các hình tượng trưng cùng với sự phân tích của GV; như thế HS có thể nhận thấy được là diện tích của hình giới bởi đồ thị của hai hàm số và trục hoành được tính bởi công thức 
Sau khi nêu công thức, GV cho HS nhắc lại phương pháp tính tích phân mà hàm dưới dấu tích phân nằm trong giá trị tuyệt đối. Và xét bài toán mà diện tích của hình được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số bằng ở hình 2.2.
Hình 2.3
Cho HS nhận dạng và thể hiện lần lượt các bài toán sau:
Bài toán 2.1. (Bài tập 27,tr 167 Giải tích 12 Nâng cao)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục hoành, trục tung và đường thẳng 
Diện tích cần tính là: Từ hình minh họa cho HS xây dựng quy trình giải bài toán tính diện tích của hình thang
Hình 2.4
Bài toán 2.2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parbol và đường thẳng.
Với bài toán này HS sẽ gặp khó khăn khi vận dụng công thức ở trên. Là do HS không phát hiện ra hai hàm số f(x) và g(x) như trong công thức. Dựa vào trực quan, giúp HS phát hiện ra hình này được giới hạn bởi đồ thị của các hàm số, và đường thẳng; và tính chất đối xứng của hình. 
Suy ra diện tích được tính bởi công thức:
 (đvdt) 
Tuy nhiên, với HS khá có thể nhận ra rằng diện hình trên có thể được tính khi xem x là hàm của biến y và tính tương tự như biến x.
Hình 2.5
 (đvdt)
Bài toán 2.3. Tính diện tích của hình phẳng giới bởi đồ thị các hàm số sau:
. (Hình 2.5)
Hình này được giới hạn bởi bốn đường cong nên việc áp dụng công thức sẽ phức tạp hơn, khi sử dụng công cụ trực quan thì áp dụng công thức sẽ chính xác và đơn giản hơn.
2.3.2. Sử dụng các phương tiện trực quan trong dạy học ứng dụng tích phân tính thể tích của vật thể
Với tính năng minh họa trực quan của Maple 12 nhờ gói công cụ Volume of Revolution Tutor, GV có thể thực hiện việc chia một vật thể thành nhiều khối nhỏ hơn. Khi quan sát trực tiếp, GV có thể thay đổi linh hoạt số hình phân chia; quan sát hình nguyên bản, hình thay thế và đồng thời. Ngoài ra HS còn thấy được kết quả thể tích của vật thể và tổng thể tích của các hình được phân chia. Qua đó HS có thể liên tưởng lại bài toán tính diện tích hình thang cong, với sự tương ứng chiều cao hình phẳng với diện tích mặt đáy vật thể. Từ đó, nhận thức của HS tiếp nhận công thức tính thể tích một cách tự nhiên hơn. Công thức tính thể tích của vật thể tròn xoay được hình thành từ việc kết hợp trực quan với suy luận. Cho HS quan sát hình 2.6 và trả lời các câu hỏi như sau:
Câu hỏi 1: Để áp dụng công thức trên vào tính thể tích vật thể cần xác định được những yếu tố nào?
V = 193,496 (đvtt)
V = 193, 256 (đvtt)
Hình 2.6
Câu hỏi 2. Khi cắt vật thể tròn xoay bởi một mặt phẳng vuông góc với trục thì thiết diện là hình gì?
Câu hỏi 3: Khi đó diện tích thiết diện S(x) được tính bởi công thức nào?
Câu hỏi 4: Vậy thể tích có công thức tính như thế nào? 
Hình 2.7
Hoạt động nhận dạng và thể hiện là ví dụ tính thể tích của khối chỏm cầu. Hoạt động tư duy tiếp theo có thể không cần trực quan, nếu ta thay đổi vai trò của x và y thì kết quả là công thức tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số, trục tung và các đường quay quanh trục tung. 
Trên cơ sở các kiến thức cơ bản trên, GV nên cho HS phát triển thêm với các bài toán tổng quát sau:
Bài toán 2.4. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm số, ( và c cùng dấu) và các đường thẳng (a, b và c là các hằng số). Tìm thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi hình D quay quanh trục Ox, Oy. (Hình 2.7) 
Bài toán 2.5. Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm số, ( cùng dấu trên) và các đường thẳng (a, b là các hằng số). Tìm thể tích của vật thể tròn xoay sinh bởi hình D quay quanh trục Ox, Oy. (Hình 2.8, 2.9) 
Hình 2.8
Hình 2.9
2.3.2.1 Một số ứng dụng thực tế của tích phân
Ngoài hai ứng dụng đã nêu ở mục trên thì tích phân còn có rất nhiều ứng dụng. Các ứng dụng khác của tích phân có thể phân ra thành hai nhóm, ứng dụng trực tiếp vào các nội dụng khác của toán - ứng dụng trong toán; các ứng dụng trong các môn học khác, trong thực tiễn - ứng dụng ngoài toán. 
Trong mỗi ứng dụng ta sẽ xét tới một số ví dụ cụ thể. Nội dung này có ý nghĩa, làm cho khái niệm tích phân trở nên gần gũi hơn.
Nội dung chính của mục này là xét các ứng dụng của tích phân trong môn Đại số ở chương trình Toán phổ thông.
a. Tính giá trị của biểu thức 
Với chương trình Toán hiện nay, phần Đại số Tổ hợp được học ở lớp 11 nên một số bài tập về mối liên hệ giữa các số và được giảm bớt để phù hợp với kiến thức của chương trình. Nhưng sau khi học tích phân, GV nên nêu lên một số ví dụ để các em làm quen.
Ví dụ 2.3.1	 Tính giá trị của biểu thức sau theo n:
Phân tích: Biểu thức của S có chứa các số với chỉ số k tăng dần, tương tự trong khai triển theo công thức nhị thức Newton; nhưng từ số hạng giúp ta liên hệ tới . Từ đây giúp ta xác định cần lấy tích phân với cận từ 0 đến 1. 
Từ (1) và (2) suy ra:
Ví dụ 2.3.2. Tính giá trị của biểu thức sau theo n:
b. Chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình
Để giải được các bài tập phần này, ta bổ sung một số định lý sau:
Định lý 2.1 Giả sử hàm số xác định và liên tục trong [a; b] và giả sử F(x) là một nguyên hàm của nó. Khi đó nếu tồn tại các số thực với, sao cho thì phương trình có nghiệm trong đoạn.
Chứng minh. Giả sử phương trình không có nghiệm thực thuộc. Vì liên tục, nên suy ra hoặc.
Nếu thì đồng biến trên đoạn. Suy ra, mâu thuẫn với giả thiết.
Nếu thì nghịch biến trên đoạn. Suy ra, mâu thuẫn với giả thiết.
Cả hai trường hợp đều cho. Vậy phương trình có nghiệm trong .
Định lý trên còn có thể phát biểu như sau:
Nếu hàm số xác định và liên tục trong [a; b] và nếu tồn tại các số thực sao cho thì phương trình có nghiệm trong đoạn .
Định lý 2.2 Cho hai số thực a, b trái dấu () và f(x) là một hàm số liên tục, không âm (có thể bằng 0 tại một số hữu hạn điểm) trên [a; b]. Khi đó, trong [a; b] phương trình 
. Có nghiệm duy nhất .
Chứng minh:
Ta thấy là một nguyên hàm của f(x) trên [a; b].
Nếu thì. Suy ra là một nghiệm của phương trình .
Nếu và, thì từ giả thiết, suy ra đồng biến trên [a; b] và, tức phương trình không thể có nghiệm trên [a; b].
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất trên [a; b].
Bằng cách chứng minh tương tự, ta có:
Định lý 2.3 Cho hai số thực a, b trái dấu và f(x) là một hàm số liên tục, không dương (có thể bằng 0 tại một số hữu hạn điểm) trên [a; b]. Khi đó, trong [a; b] phương trình
. Có nghiệm duy nhất.
Định lý 2.4 Cho hai số thực a, b trái dấu () và f(x) là một hàm số liên tục, không dương (không âm, có thể bằng 0 tại một số hữu hạn điểm trên) trên . Khi đó, trong phương trình
. Có nghiệm duy nhất thuộc .
Ví dụ 2.5. Cho tam thức bậc hai 
Thỏa mãn điều kiện.
Chứng minh phương trình có nghiệm trong.
Nhận xét: Học sinh khi nói tới tam thức bậc hai sẽ liên tưởng tới định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai; và đi xét điều kiện nhưng từ điều kiện này để đi tới giả thiết sẽ rất khó khăn.
Xét hàm số 
Ta thấy, là một hàm liên tục trên và có một nguyên hàm
Và, nên theo định lý 2.1 thì phương trình có nghiệm trong. Suy ra phương trình có nghiệm trong . (Vì)
Ví dụ 2.6. Chứng minh rằng , nếu các hệ số của phương trình
Thỏa mãn điều kiện:. Thì phương trình có nghiệm trong (0; 1).
Nhận xét: Đây là phương trình có các hệ số chưa xác định, nếu thực hiện biến đổi tương đương để giải thì sẽ rất phức tạp. Ta áp dụng định lý trên:
Xét hàm số là hàm số xác định và liên tục trên , và có một nguyên hàm.
Ta có: và. 
Vậy theo định lý trên thì phương trình có nghiệm thuộc (0; 1).
Ví dụ 2.7. Chứng minh phương trình 
. Có nghiệm duy nhất là.
Nhận xét: Khi gặp bài toán chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất, HS thường liên tưởng tới cách giải: