SKKN Một số kinh nghiệm giúp học sinh lớp 7 trường THCS thị trấn Vạn Hà rèn luyện tốt kĩ năng cộng, trừ đa thức

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO THIỆU HOÁ
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH LỚP 7 TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN VẠN HÀ RÈN LUYỆN TỐT KĨ NĂNG CỘNG, TRỪ ĐA THỨC
 Người thực hiện: Lê Thị Thanh Tân
 Chức vụ: Giáo viên
 Đơn vị công tác: Trường THCS Thị Trấn Vạn Hà
 SKKN thuộc môn : Toán
THANH HOÁ NĂM 2018
MỤC LỤC
STT
Nội dung
Trang
1
1. Mở đầu 
1
2
1.1.Lý do chọn đề tài
1
3
1.2. Mục đích nghiên cứu
1
4
1.3. Đối tượng ngiên cứu
1
5
1.4. Phương pháp nghiên cứu
1
6
2.Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2
7
2.1.Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh ngiệm
2
8
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
3
9
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
5
10
2.4. Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường.
16
11
3. Kết luận và kiến nghị
18
12
Tài liệu tham khảo
19
1. MỞ ĐẦU
1.1.Lí do chọn đề tài:
 Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên rất cần thiết và quan trọng trong khoa học kỹ thuật cũng như trong đời sống sinh hoạt của loài người. Toán học đã mang lại không ít những thành quả vĩ đại. Toán học không những cung cấp cho học sinh những kỹ năng tính toán cần thiết mà còn là điều kiện chủ yếu rèn luyện khả năng tư duy lô gic, một phương pháp luận khoa học.
 Là giáo viên dạy Toán trong trường THCS tôi nhận thấy học môn Toán chưa được như mong muốn vì các lý do sau:
+ Không thuộc kiến thức cơ bản và không nắm vững kiến thức cơ bản.
 + Lý do quan trọng hơn là: các em chưa linh hoạt khi làm toán mà ta gọi đó là phương pháp giải, nhất là các phương pháp đặc trưng cho các dạng, cho từng loại toán. Đứng trước một bài toán, học sinh phải có trong mình một vốn kiến thức cơ bản, vững chắc về mặt lý thuyết. Có được những thủ pháp cơ bản thuộc dạng toán đó, từ đó mới tìm cho mình con đường giải bài toán nhanh nhất.
 Trong môn toán ở trường THCS có một chủ đề vô cùng qua trọng và xuyên suốt các khối lớp đó là chủ đề về đa thức. Trong chương trình Đại số lớp 7, sinh nắm chắc kiến thức một cách hệ thống từ cơ bản đến mở rộng nâng cao thì trước hết phải xuất phát từ người thầy, người thầy phải đầu tư soạn bài theo từng chuyên đề của dạng toán một cách cơ bản, sâu rộng, sẽ giúp được học sinh sẽ linh hoạt hơn khi vận dụng, thuận lợi hơn khi giải toán, đặc biệt có tác dụng trong việc giảng dạy trên lớp, bồi dưỡng học sinh giỏi và thi tuyển sinh. 
 Trong thực tế giải các bài toán về cộng, trừ đa thức không phải là khó, tuy nhiên không những học sinh đại trà, mà ngay cả học sinh khá giỏi vẫn còn lúng túng, vấp phải những sai sót. Với mục đích giải quyết một vấn đề rất nhỏ nhưng có tính ảnh hưởng lâu dài đến quá trình học tập của học sinh về sau. Tạo cho học sinh tính tư duy logic toán học, khả năng nhận xét và kỹ năng trình bày bài toán, giúp các em có được một trong nền tảng cơ bản của môn Đại số. Vì vậy tôi xin được trình bày một kinh nghiệm của mình khi giảng dạy môn Đại số 7, kinh nghiệm:
 “Một số kinh nghiệm giúp học sinh lớp 7 trường THCS Thị Trấn Vạn Hà rèn luyện tốt kĩ năng cộng, trừ đa thức”.
1.2. Mục đích nghiên cứu:
 Từ lí luận và thực tiễn, đề xuất một số kinh nghiệm giúp học sinh lớp 7 trường THCS Thị Trấn Vạn Hà rèn luyện tốt kĩ năng cộng, trừ đa thức.
1.3. Đối tượng nghiên cứu: 
 Một số kinh nghiệm giúp học sinh lớp 7 trường THCS Thị Trấn Vạn Hà rèn luyện tốt kĩ năng cộng, trừ đa thức. 
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu lí thuyết.
- Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế.
- Phương pháp thu thập thông tin.
- Phương pháp thống kê, xử lí số liệu.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm:
 Trong chương IV – Đại số lớp 7, một số lý thuyết cơ bản học sinh cần nắm được:
2.1.1. Định nghĩa về đơn thức:
Đơn thức là biểu thức đại số gồm một số ;hoặc một biến ; hoặc một tích giữa các số và các biến [1].
2.1.2. Định nghĩa về đa thức:
- Đa thức là tổng các đơn thức. Mỗi đơn thức trong tổng gọi là hạng tử của đa thức - Đơn thức cũng là đa thức có 1 hạng tử [1].
2.1.3. Định nghĩa về đa thức một biến:
- Đa thức một biến là tổng của những đơn thức của cùng một biến[1].
2.1.4. Các bước cộng hai (trừ) đa thức:
B1. Viết hai đa thức trong dấu ngoăc kèm theo dấu của chúng
B2. Thực hiện bỏ dấu ngoặc (theo quy tắc dấu ngoặc)
B3. Thu gọn các số hạng đồng dạng (nếu có) [1].
Chú ý : Cộng trừ đa thức một biến ta có thẻ sắp đặt theo luỹ thừa tăng hoặc giảm dần các luỹ thừa cùng bậc cùng cột rồi cộng trừ theo từng cột .
2.1.5. Các bước cộng, trừ hai đa thức một biến:
- Để thực hiện cộng trừ hai đơn thức một biến, ta có thể thực hiện một trong hai cách sau:
+ Cách 1: tương tự như cộng, trừ đa thức nhiều biến.
+ Cách 2: Sắp xếp chúng theo lũy thừa giảm (hoặc tăng) của biến và đặt phép tính như cộng, trừ các số (theo cột dọc): đặt các đơn thức đồng dạng ở cùng một cột, sau đó thực hiện cộng hai đơn thức đồng dạng trên cùng một cột[6].
2.1.6. Sự cần thiết phải giúp học sinh lớp 7 rèn luyện tốt kĩ năng cộng, trừ đa thức:
 Trong thực tế bài toán cộng trừ đa thức học sinh hay mắc sai lầm nhất là bước 2 thực hiện bỏ dấu ngoặc mà trước ngoặc là dấu trừ, hoặc khi áp dụng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm các hạng tử các em thường bị nhầm dấu dẫn đến kết quả sai, nhưng nếu giáo viên rèn luyện kĩ năng giải toán một cách linh hoạt, rèn luyện tính cẩn thận thì bài toán trở nên dễ dàng hơn nhiều, các em sẽ tự tin, sáng tạo, tư duy tốt hơn để có thể giải được nhiều dạng toán tương tự.
 Kiến thức cộng trừ đơn thức, đa thức là kiến thức tương đối mới với học sinh lớp 7, các em đã quen thực hiện các phép tính cộng trừ với các số cụ thể, nên khi thực hiện kỹ năng cộng trừ đơn thức, đa thức các em không biết bắt đầu từ đâu, cần phải làm như thế nào. 
 Kỹ năng cộng trừ đa thức là kỹ năng cơ bản để các em thực hiện các phép tính Đại số trong chương trình lớp 7, 8, 9 như giải phương trình, bất phương trình, chứng minh đẳng thức
 Khi giáo viên rèn luyện cho học sinh kỹ năng thực hiện tốt cộng trừ đa thức, đơn thức là đã giúp các em có được một trong nền tảng cơ bản của môn Đại số. Giúp các em học sinh tự tin và yêu thích môn Toán, không còn lo sợ các phép tính chứa các biến x, y, z
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
 Trong trong giảng dạy phân môn Đại số nhiều dạng toán đòi hỏi học sinh phải có kĩ năng tốt, hết sức linh hoạt khi vận dụng các tính chất, các quy tắc vào thực hiện giải toán. Đặc biệt chương IV – Đại số 7, khi học về cộng, trừ đa thức, đa số học sinh còn máy móc khi vận dụng các tính chất để giải, chưa linh hoạt biến đổi về dạng thuận lợi để vận dụng dữ kiện bài cho, thậm chí sai sót ngay trong cách trình bày, sai xót khi thực hiện quy tắc bỏ dấu ngoặc, vì vậy học sinh thường gặp khó khăn khi giải các dạng toán: tìm tổng hoặc hiệu của các đa thức; tìm đa thức khi biết tổng hoặc hiệu của nó; tính giá trị của đa thức; tìm nghiệm của đa thức...
Do vậy kết quả giảng dạy trong năm học 2016 – 2017 trở về trước còn chưa đạt được như mong muốn. Kết quả khảo sát thực tế cộng trừ đa thức, đơn thức qua bài kiểm tra chương IV năm học 2016 – 2017 (với mức độ phù hợp với tất cả đối tượng học sinh) như sau:
ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG IV - MÔN ĐẠI SỐ 7
NĂM HỌC 2016 - 2017
Thời gian: 45’ (Không kể thời gian giao đề)
Câu 1: (2, 5đ). 
 Cho đơn thức: 
a) Thu gọn đơn thức, tìm bậc và hệ số của đơn thức đó.
b) Tính giá trị của đơn thức tại x = 1; y = - 1; z = 2
Câu 2: (2, 5đ). 
a) Tìm đa thức M, biết: M + (x2y - 2xy2 + xy + 1) = x2y + xy2 - xy - 1
b) Tính giá trị của đa thức M, biết x = 1; y = 2
Câu 3: (2đ). 
 Cho hai đa thức: P(x) = 6x4 + 3x2 + 5 ; Q(x) = 4x4 - 6x3 +7x2 - 9.
a) Tính P(x) + Q(x); 
b) Chứng tỏ rằng đa thức P(x) không có nghiệm.
Câu 4: (2,0 đ). 
1. Tìm nghiệm của đa thức sau:
a) x + 5 ;	b) x2 – 2x 
2. Chứng tỏ rằng x = là nghiệm của đa thức P(x) = 2x2 – x – 1
Câu 5: (1,0đ). 
Cho A(x) = ax3 + 4x 3 – 4x + 8
 B(x) = x3 – 4bx + c – 3 (trong đó a, b, c là các hằng số)
Xác định các hệ số a, b, c để A(x) = B(x) [7].
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG IV MÔN ĐẠI SỐ 7
NĂM HỌC 2016 - 2017
Thời gian: 45’ (Không kể thời gian giao đề)
Câu
Nội dung đáp án
Điểm
1
a) Thu gọn : = 
Đơn thức trên có bậc là : 14 và hệ số của đơn thức đó là: -6. 
b) Tính giá trị của đơn thức tại x = 1; y = -1; z = 2
Thay x = 1; y = -1; z = 2 vào đơn thức ta có: - 6.17 . (-1)4 . 23 = - 48. 
Vậy giá trị của đơn thức bằng - 48 khi x = 1; y = -1; z = 2 
1,0
0,5
0,75
0,25
2
a) M = x2y + xy2 - xy – 1 - (x2y - 2xy2 + xy + 1) 
 M= 3xy2 -2xy-2
b) Ta thay x = 1; y = 2 vào đa thức M ta có:
M = 3.1.22 -2 . 1. 2 – 2 = 6 
Vậy giá trị của đa thức M = 6 khi x = 1; y = 2 
1,5
0,75
0,25
3
a) P(x) + Q(x) = (6x4 + 3x2 + 5) + (4x4 - 6x3 +7x2 - 9) 
 = 10x4 – 6x3 +10x2 – 4. 
b) Vì x4 0 và x2 0 với mọi x và 5 > 0 nên P(x) 5 với mọi x 
do đó P(x) > 0 với mọi x. Vậy đa thức P(x) không có nghiệm. 
0,5
0,5
0,5
0,5
4
a) x + 5 = 0 => x = - 5 . 
Vậy đa thức x + 5 có nghiệm là x = - 5 	
b) x2 – 2x = 0 => x(x – 2) = 0 nên x = 0 hoặc x – 2 = 0 
Vậy đa thức x2 – 2x có hai nghiệm là x1 = 0 và x2 = 2.
0,75
0,75
0,5
5
Ta có: A(x) = ax3 + 4x 3 – 4x + 8 = (a + 4)x3 – 4x + 8
 B(x) = x3 – 4bx + c – 3 
 (trong đó a, b, c là các hằng số)
Để A(x) = B(x) khi các hệ số của các đơn thức đồng dạng của hai đa thức trên bằng nhau 
0,5
0,5
*) Kết quả tổng hợp qua bài kiểm tra:
Lớp
Sĩ số
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
7B
32
4
12,5
8
25,0
12
37,5
8
25,0
7A
31
6
19,4
10
32,3
7
22,6
8
25,7
*) Đồ thị minh họa:
 Đây là một kết quả mà tôi không thể không suy nghĩ, trăn trở, băn khoăn. Chính vì vậy tôi đã đi sâu, nghiên cứu đề tài này, nhằm đưa ra một số giải pháp giúp học sinh lớp 7 rèn luyện tốt kĩ năng cộng, trừ đa thức, tạo nền tảng cơ bản cho các em học tốt môn Đại số.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 
Giải pháp 1: Hướng dẫn học sinh rèn luyện tốt kỹ năng thu gọn các đa thức:
 Để thực hiện tốt các bài toán cộng, trừ đa thức trước hết các em phải nắm chắc kĩ năng về thu gọn đa thức, quy tắc cộng các đơn thức đồng dạng: ta cộng (trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến.Vì vậy GV cần hướng dẫn rèn tốt kĩ năng cơ bản này thì việc giải các bài toán về đa thức trở nên dễ dàng hơn.
* Phương pháp giải: Để thu gọn một đa thức ta thực hiện qua hai bước:
Bước 1: Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau
Bước 2: Cộng, trừ các đơn thức đồng dạng trong từng nhóm[3].
Bài toán 1: 
 Thu gọn đa thức:
A = 8x2 + 2xy2 – 5x2y2 – 2xy2 + 5x2y2
B = x2y2 + 5x2y2z2 + 2x2y2 – y7 - 5x2y2z2 [4].
- Với dạng toán này GV cần hướng dẫn HS xác định các nhóm đa thức đồng dạng.
- Khi nhóm các số hạng đồng dạng cần chú ý dấu “+” hoặc “–” đặt trước ngoặc, để khi mở ngoặc giá trị của nó không thay đổi như đề bài đã cho, để tránh nhầm lẫn nhiều GV có thể hướng dẫn HS nên đặt trước các nhóm số hạng đồng dạng là dấu “+”, rồi sau đó viết đúng dấu của mỗi số hạng vào trong ngoặc.
- Cuối cùng thu gọn các nhóm đồng dạng theo quy tắc cộng, trừ đa thức đã học.
- Sau khi hướng dẫn GV cho HS lên bảng thực hành, HS khác nhận xét, sau đó GV nhận xét và chú ý lại những sai lầm mà HS hay mắc phải, để bài sau tương tự các em làm tốt hơn.
Gi¶i:
a) A = 8x2 + 2xy2 – 5x2y2 – 2xy2 + 5x2y2
 = 8x2 + ( 2xy2 - 2xy2) - (5x2y2 - 5x2y2) = 8x2 
B = x2y2 + 5x2y2z2 + 2x2y2 - y7 - 5x2y2z2
 = (x2y2 + 2x2y2) + (5x2y2z2 - 5x2y2z2) - y7
 = ( + 2) x2y2 + 0 - y7
 = x2y2 - y7
 GV đưa một số bài toán tương tự yêu cầu HS giải:
Bài toán 2: 
 Hãy rút gọn đa thức sau: P = 4x3y2z - xy2z + 6 x3y2z + 1,25x3y2z [4].
Gi¶i:
Ta có: P = 4x3y2z - xy2z + 6 x3y2z + 1,25x3y2z 
 = ( 4 + 6 + 1,25) x3y2z - xy2z
 = 11,25 x3y2z – 0,5 xy2z
Bài toán 3: 
 Thu gọn các đa thức sau:
4x3y – 2xy2 + x2y – x + 2x3y + xy2 - x – 4x2y
0,25xyz – 0,15x2 + 0,16y2 – 1 + 0,75xyz – 0,85x2 + 1 + 0,84y2 [4].
Gi¶i:
4x3y – 2xy2 + x2y – x + 2x3y + xy2 - x – 4x2y
 = 6x3y – xy2 - x2y -x
b ) 0,25xyz – 0,15x2 + 0,16y2 – 1 + 0,75xyz – 0,85x2 + 1 + 0,84y2
= xyz – x2 + y2.
 Khi HS đã làm tốt dạng bài thu gọn đa thức, GV có thể đưa bài toán viết một đa thức thành tổng hoặc hiệu của hai hay nhiều đa thức để các em rèn luyện thêm kĩ năng sử dụng quy tắc “ dấu ngoặc” như sau:
Bài toán 4: 
Cho đa thức: P = 5x5 - 4x4 + 3x3 - 2x2 + x - 8
Biểu diễn đa thức P thành tổng của hai đa thức.
Biểu diễn đa thức P thành tổng của hai đa thức [4].
Gi¶i:
 Với bài toán này HS có nhiều cách tách đa thức P thành tổng các các đa thức khác nhau, ví dụ: 
a) Ta có thể biểu diễn đa thức P thành tổng của hai đa thức như sau:
P = 5x5 - 4x4 + 3x3 - 2x2 + x - 8 = (5x5 - 4x4 )+ (3x3 - 2x2 + x - 8)
P = 5x5 - 4x4 + 3x3 - 2x2 + x - 8 = (5x5 - 4x4 + 3x3 ) + (- 2x2 + x - 8)
P = 5x5 - 4x4 + 3x3 - 2x2 + x - 8 = (5x5 - 4x4 - 2x2 + x)+ ( 3x3 - 8)
b) Ta có thể biểu diễn đa thức P thành tổng của hai đa thức như sau:
P = 5x5 - 4x4 + 3x3 - 2x2 + x - 8 = (5x5) – ( 4x4 - 3x3 + 2x2 - x + 8)
P = 5x5 - 4x4 + 3x3 - 2x2 + x - 8 = (5x5 - 4x4 + 3x3 ) - ( 2x2 - x + 8)
P = 5x5 - 4x4 + 3x3 - 2x2 + x - 8 = (5x5 - 4x4 - 2x2 + x) - ( - 3x3 + 8)
Bài tập vận dụng: 
Bài tập 1: Thu gọn các đa thức sau:
5x2yz + 8 xyz2 – 3 x2yz – xyz2 + x2yz + xyz2
y3 + 2x2y - y3 – y3 – x2y
8,197x – 0,002x – 3,98y – 9,387x – 1,11y [3].
Bài tập 2: Thu gọn các đa thức sau:
x3 - 5xy + 3x2 + xy – x2 + xy - x2 
x6 + x2y5 + xy6 + x2y5 – xy6 [2].
Bài tập 3: Thu gọn các đa thức sau:
x7 – x4 + 2x3 – 3x4 – x2 + x7 – x + 5 – x3 
2x2 – 3x4 – 3x2 – 4x5 - x – x2 + 1 [2].
Bài tập 4: Viết đa thức x5 + 2x4 – 3x2 – x4 + 1 – x thành:
Tổng của hai đa thức
Hiệu của hai đa thức [2].
 Giải pháp 2: Hướng dẫn học sinh rèn luyện tốt kỹ năng tính tổng, hiệu của các đa thức:
 GV cần hướng dẫn học sinh: Đây là dạng toán tính tổng, hoặc hiệu các đa thức, các em cần nắm vững quy tắc cộng hai số hạng đồng dạng: ta cộng (trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến. GV yêu cầu HS thực hiện theo 3 bước đã học, đặc biệt ở bước 2 khi thực hiện bỏ dấu ngoặc ( theo quy tắc dấu ngoặc) các em phải chú ý khi trước ngoặc là dấu “-” phải đổi dấu tất cả các hạng tử trong ngoặc, chỉ cần các em nhầm một dấu dẫn đến kết quả bài toán đó là sai.
Bài toán 1: 
 Tính tổng của hai đa thức P và Q, biết:
 P = 6x2y – 6xy2 + xy và Q = 7xy + 4xy2 + y [4]. 
- GV: Bài toán này yêu cầu tính tổng hai đa thức.
- GV hướng dẫn HS viết hai đa thức trong ngoặc và đặt dấu cộng giữa hai ngoặc. Đối với bài toán này khi phá ngoặc ta chỉ cần bỏ các dấu ngoặc đi, còn dấu các số hạng không đổi.
- Bước tiếp theo là nhóm các số hạng đồng dạng, rồi thu gọn.
Gi¶i:
Ta có: 
P + Q = (6x2y - 6xy2 + xy) + (7xy + 4xy2 + y)
 = 6x2y - 6xy2 + xy + 7xy + 4xy2 + y
 = 6x2y + (xy + 7xy) + (4xy2 - 6xy2) + y
 = 6x2y + 8xy - 2xy2 + y
Bài toán 2: 
 Tính P – Q, biết: P = x2y3 + x2y – 6xy2 và Q = -2xy2 + 9x2y – 8 [4].
 Với bài toán 2 thực hiện phép trừ hai đa thức, các bước cũng tương tự bài toán 1, tuy nhiên các em cần chú ý khi phá ngoặc mà trước ngoặc là dấu “ - ”cần đổi dấu tất cả các hạng tử trong ngoặc. Bước tiếp theo là nhóm các số hạng đồng dạng, rồi thu gọn.
Giải: 
Ta có: P – Q = (x2y3 + x2y – 6xy2) – (-2xy2 + 9x2y – 8)
 = x2y3 + x2y – 6xy2 + 2xy2 - 9x2y + 8
 = x2y3 + (x2y - 9x2y ) +(- 6xy2 + 2xy2) + 8
 = x2y3 - 8x2y - 4xy2 + 8
Bài toán 3: 
 Cho hai đa thức: P = 8x3 - 2x2 + x + 2 và Q = x4 - x3 + 3x
Tính P + Q ; P – Q [4].
 Giải: 
Ta có: P + Q = (8x3 - 2x2 + x + 2) + (x4 - x3 + 3x)
 = 8x3 - 2x2 + x + 2 + x4 – x3 + 3x
 = (8x3 - x3) - 2x2 + (x + 3x) + x4 + 2
 = x4 + 7x3 - 2x2 + 4x + 2 
Ta có: P - Q = (8x3 - 2x2 + x + 2) - (x4 - x3 + 3x)
 = 8x3 - 2x2 + x + 2 - x4 + x3 - 3x
 = (8x3 + x3) - 2x2 + (x - 3x) + x4 + 2
 = x4 + 9x3 - 2x2 - 2x + 2 
Bài toán 4: 
 Cho hai đa thức:
 A(x) = x7 - 2x4 + 3x3 – 3x4 + 2x7 – x + 7 – 2x3 
 B(x) = 3x2 - 4x4 - 3x2 – 5x5 - 0,5x – 2x2 - 3
Tính A(x) + B(x); A(x) - B(x) [7].
Giải: 
 Với dạng bài tập cộng trừ đa thức một biến GV có thể hướng dẫn HS ngoài cách cộng trừ như các bài toán trên (cộng theo hàng ngang, ta có thể cộng, trừ theo cột dọc tương tự như cộng các số như sau:
 A(x) = x7 - 2x4 + 3x3 – 3x4 + 2x7 – x + 7 – 2x3 
 = (x7+ 2x7 ) + (- 2x4 – 3x4 )+ ( 3x3 – 2x3) - x + 7 
 = 3x7 - 5x4 + x3 - x + 7
 B(x) = 3x2 - 4x4 - 3x2 - 5x5 - 0,5x - 2x2 - 3
 = - 5x5 - 4x4 + ( 3x2 - 3x2 - 2x2) - 0,5x- 3
 = - 5x5 - 4x4 - 2x2 - 0,5x- 3
 A(x) + B(x) = 3x7- 5x5- 9x4+ x3 - 2x2- 1,5x+ 4
 A(x) + B(x) = 3x7+ 5x5- x4+ x3 + 2x2- 0,5x + 10
 Với dạng bài toán này GV cần lưu ý cho HS trước khi thực hiện phép cộng (trừ) các em cần phải thu gọn ( nếu đa thức chưa thu gọn), sau đó sắp xếp theo lũy thừa tăng dần hoặc giảm dần của biến, rồi đặt phép tính theo cột dọc tương tự như cộng, trừ các số (chú ý đặt các đơn thức đồng dạng ở cùng một cột).
Bài toán 5: 
 Cho hai đa thức:
 P = 5x2 + 6xy - y2 và 
 Q = 2y2 - 2x2 - 6xy
 Chứng minh rằng tổng của hai đa thức trên luôn không âm với mọi x, y [7].
Giải: 
 Bài toán này mới đọc đề các em có thể thấy khác lạ so với các bài toán đã làm ở trên, tuy nhiên giáo viên cần hướng dẫn, để giải bài toán này trước hết ta cũng cần tính tổng của chúng, sau đó dựa vào tổng đó chỉ ra rằng tổng đó không âm với mọi x, y. Có như vậy HS sẽ thấy bài toán trở nên quen thuộc và dễ dàng hơn nhiều. Ta giải như sau:
 Ta có: P + Q = (5x2 + 6xy - y2 ) + (2y2 - 2x2 - 6xy)
 = 5x2 + 6xy - y2 +2y2 - 2x2 - 6xy
 = 3x2 + y2
 Vì 3x2 với mọi x
 y2 với mọi y
nên: 3x2 +y2 với mọi x, y 
Vậy P + Q luôn không âm với mọi x, y.
Bài tập vận dụng: 
Bài tập 1: Tính tổng của hai đa thức sau: 
a) 7x2y - 7xy2 + xy + 5 và 7xy2 – xy + 3x2y + 10 
b) x3 + y3 + z3 và x3 - y3 + z3 + 1 [3].
Bài tập 2: Cho hai đa thức:
M = 5xyz – 5x2 + 8xy + 5
N = 3x2 + 2xyz – 8xy – 7 + y2
Tính M + N; M – N; N – M [3].
Bài tập 3: Cho hai đa thức: 
C(x) = -1 + 5x6 - 6x2 – 5 – 9x6 + 4x4 - 3x2
D(x) = 2 - 5x2 + 3x3 - 4x2 + 2x + x3 - 6x5 – 7x [7].
 Giải pháp 3: Hướng dẫn học sinh rèn luyện tốt kỹ năng tìm đa thức khi biết tổng hoặc hiệu của nó:
 GV: Với dạng bài toán tìm đa thức khi biết tổng hoặc hiệu của nó, giáo viên cần hướng dẫn học sinh phương pháp giải dạng toán này:
Nếu có: M + B = A thì M = A – B
Nếu có: M - B = A thì M = A + B
Nếu có: A - M = B thì M = A - B[4].
Bài toán 1: Tìm đa thức M biết:
 a) ( 6x2 - 3xy2) + M = x2 + y2 – 2xy2; 
 b) M – ( 2xy – 4y2) = 5xy + x2 – 7y2 [4]. 
- GV yêu cầu HS nêu cách tìm đa thức M. 
GV nhấn mạnh: ở câu a) tìm đa thức M tương tự bài toán tìm số hạng khi biết tổng và số hạng kia, còn ở câu b) thì tương tự bài toán tìm số bị trừ khi biết hiệu và số trừ, từ đó học sinh thấy bài toán này dễ dàng hơn.
GV yêu cầu HS tự làm, từ đó nhận xét, nhắc nhở các em tránh sai lầm mắc phải.
Giải : 
a) ( 6x2 - 3xy2) + M = x2 + y2 – 2xy2; 
 M = x2 + y2 – 2xy2 - ( 6x2 - 3xy2)
 M = - 5x2 + y2 + xy2
b) M – ( 2xy – 4y2) = 5xy + x2 – 7y2
 M = ( 2xy – 4y2) + (5xy + x2 – 7y2)
 M = 7xy + x2 – 11y2
Bài toán 2: 
 Tìm đa thức M sao cho tổng của đa thức M và đa thức: x2 + 3xy – y2 + 2xz - z2 , không chứa biến x [4].
Giải : 
 GV có thể cho Hs tự tìm ra vô số đa thức thõa mãn đề bài, sao cho đa thức đó có các hạng tử -x2; -3xy; -2xz. Kết quả của tổng đa thức m và đa thức đã cho không còn chứa biến x.Ví dụ:
 M = -x2 - 3xy - 4y2 - 2xz + 3z2 + 1
Ta có: (-x2 - 3xy - 4y2 - 2xz + 3z2 + 1) + (x2 + 3xy – y2 + 2xz – z2)
 = -5y2 + 2z2 + 1
(đa thức này không chứa biến x).
Bài toán 3: 
 Tìm đa thức M sao cho tổng của đa thức M và đa thức: 
 x2 + 3x2y – 5xy2 - 7xy – 2 là một đa thức 0 [4].
Giải :
 GV gợi ý cho HS: hai số như thế nào thì có tổng bằng 0, tương tự như các số, tổng của hai đa thức bằng 0 khi chúng đối nhau, từ đó GV yêu cầu HS chỉ ra đa thức M.
 Ta có: M + (x2 + 3x2y – 5xy2 - 7xy – 2) = 0
M = 0 - (x2 + 3x2y – 5xy2 - 7xy + 2)
M = - x2 - 3x2y + 5xy2 + 7xy + 2)
 GV đưa dạng toán với đa thức một biến.
 Để giải dạng toán này, ta có thể “tách” mỗi hệ số của đa thức đã cho thành tổng hoặc hiệu của hai số. Các số này là hệ số của lũy thừa cùng bậc của hai đa thức phải tìm. 
Bài toán 4: 
Cho hai đa thức: f(x) = 2x4 + 5x3 – x + 8 và g(x) = x4 – x2 + 3x + 9
Tìm đa thức h(x) sao cho:
f(x) - h(x) = g(x)