SKKN Một số kinh nghiệm giúp học sinh lớp 12 giải nhanh bài toán trắc nghiệm dạng tính tích phân chứa hàm ẩn

1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài.
Từ năm 2017 môn Toán trong kỳ thi THPT Quốc gia chuyển từ bài thi tự luận thành bài thi trắc nghiệm nên đề thi có rất nhiều đổi mới về cấu trúc đó là:
 - Tăng số lượng các câu dễ.
 - Đề thi có tính phân loại cao.
 - Nội dung kiến thức bao phủ toàn bộ chương trình lớp 12, vì vậy xuất hiện một số dạng toán mới chưa từng xuất hiện trong các bài thi tự luận trước đây, điển hình là bài toán tính tích phân chứa hàm ẩn. 
Trong khi đó các bài toán trắc nghiệm dạng tính tích phân chứa hàm ẩn tôi thấy trong sách giáo khoa và sách tham khảo đề cập chưa nhiều, tài liệu nêu phương pháp giải dạng toán này còn ít, học sinh thực sự gặp khó khăn, thường lúng túng khi gặp những dạng bài toán này.
Với hình thức thi trắc nghiệm như hiện nay, thì việc giải nhanh các bài toán là yêu cầu hàng đầu của người học. Phương pháp giải nhanh một bài toán sẽ giúp học sinh tiết kiệm được thời gian làm bài, rèn luyện được tư duy và năng lực phát hiện vấn đề.
Vì những lí do trên để giúp các em có được kỹ năng, kỹ xảo khi gặp các bài toán trắc nghiệm dạng tính tích phân chứa hàm ẩn trước khi bước vào những kì thi quan trọng của lớp 12 tôi đã lựa chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Một số kinh nghiệm giúp học sinh lớp 12 giải nhanh bài toán trắc nghiệm dạng tính tích phân chứa hàm ẩn”
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Giúp cho các em học sinh lớp 12 có được kỹ năng, kỹ xảo khi giải các bài toán tính tích phân chứa hàm ẩn nói chung, các bài toán tích phân nói riêng để các em có sự chuẩn bị tốt nhất trong các kỳ thi quan trọng của lớp 12. 
Những kiến thức đưa ra phải chính xác, có chọn lọc để phù hợp với khả năng tiếp thu của học sinh, đảm bảo tính vừa sức và tính sáng tạo của học sinh, dựa trên kiến thức sách giáo khoa và tài liệu tham khảo. 
Giúp học sinh có thể chủ động để giải quyết tốt các bài tập thuộc từng dạng đồng thời lựa chọn được cách giải nhanh nhất trong lúc làm bài thi trắc nghiệm.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Các dạng toán tính tích phân chứa hàm ẩn thường gặp trong các kỳ thi lớp 12 đặc biệt là kỳ thi THPT Quốc gia. 
Phương pháp giải nhanh các dạng, có ví dụ minh họa được chọn lọc và sắp xếp theo hệ thống để học sinh từng bước vận dụng lý thuyết đã học vào giải quyết các yêu cầu từ đơn giản đến phức tạp. Có bài tập để học sinh tự rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo ở nhà. 
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Đã sử dụng các phương pháp để hoàn thiện sáng kiến kinh nghiệm này cụ thể là: 
- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách bài tập Giải tích 12 cơ bản và nâng cao, đề thi THPT Quốc gia môn Toán các năm 2017; 2018, các đề minh họa thi THPT Quốc gia của Bộ giáo dục, các đề thi thử THPT Quốc gia của các Sở giáo dục đào tạo của các tỉnh và các trường THPT trong cả nước các năm 2017; 2018; 2019. Các đề thi học kỳ II lớp 12 năm học 2017-2018; 2018-2019 của các Sở giáo dục và đào tạo trong cả nước. 
- Phương pháp điều tra thực tiễn: Dự giờ, quan sát việc dạy và học phần bài tập loại này.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm.
- Phương pháp thống kê.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
a. Các phương pháp tư duy toán học: Đặc biệt hóa; tổng quát hóa ...là những phương pháp quan trọng, thường xuyên được sử dụng trong quá trình học tập môn Toán. 
b. Các tính chất của tích phân.
Tính chất 1: 	
Tính chất 2: 	
Tính chất 3: 	
 , 
b. Phương pháp tính tích phân.
- Phương pháp đổi biến số.
Định lí: Giả sử hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn sao cho . Nếu trong đó liên tục trên đoạn thì 
- Phương pháp tính tích phân từng phần. 
Định lí: Nếu và là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn , thì
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Trong quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh thường mắc những khó khăn sau:
- Học sinh không biết cách liên hệ giữa tích phân cần tính với tích phân cho trước trong đề bài cũng như chọn tích phân nào để xét.
- Học sinh còn lúng túng trong việc chọn phương pháp giải hoặc chọn phương pháp giải tối ưu để tìm ra phương án đúng trong khoảng thời gian ngắn nhất.
	2.3. Giải pháp thực hiện để giải quyết vấn đề.
	Thực hiện nội dung này thông qua 4 tiết học vào thời điểm sau khi các em học xong bài Tích phân (Giải tích 12). Trong mỗi tiết học Giáo viên hướng dẫn để các em tự tìm tòi ra các phương pháp giải đồng thời có so sánh các phương pháp đó với nhau để học sinh nhận ra phương pháp nào tối ưu hơn, mất ít thời gian hơn. Sau mỗi tiết học có bài tập về nhà để các em luyện tập thêm về kỹ năng, có theo dõi, kiểm tra, nhận xét đánh giá vào tiết học tiếp theo. 
Tiết thứ nhất: Hướng dẫn học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán dạng 1.
Tiết thứ hai: Hướng dẫn học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán dạng 2.
Tiết thứ ba: Hướng dẫn học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán dạng 3.
Tiết thứ tư: Hướng dẫn học sinh rèn luyện kỹ năng giải toán dạng 4.
Sau khi học xong cho học sinh làm 1 bài kiểm tra 45 phút để lấy kết quả nội dung triển khai và kỹ năng mà học sinh đạt được. 
Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Sử dụng định nghĩa, tính chất của tích phân.
1. Phương pháp giải.
Bước 1: Sử dụng các tính chất của tích phân để phân tích tích phân cần tính theo các tích phân đã cho và các tích phân đơn giản.
Bước 2: Thay giá trị tích phân đã cho và tính giá trị tích phân đơn giản có liên quan suy ra giá trị tích phân cần tìm.
Bước 3: Chọn phương án đúng.
2. Các ví dụ minh họa 
Ví dụ 1: Cho và . Tính .
	A. .	B. .	C. .	D. .
	Phân tích
	- Cận của các tích phân trong bài toán không thay đổi 
	- Sử dụng các tính chất 1 và tính chất 3 của tích phân ta có thể phân tích được tích phân I theo các tích phân đã biết ; và tích phân đơn giản .
Giải: 
.2-3.(-1) = . Chọn phương án C. 
Ví dụ 2: Cho , khi đó bằng
 A. . B. . C. . D. .
	Phân tích
	- Cận của các tích phân trong bài toán không thay đổi. 
	- Sử dụng các tính chất 1 và tính chất 3 của tích phân ta có thể phân tích được tích phân và theo các tích phân và .
	- Xem hai tích phân và là ẩn thì ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. 
Giải:
Đặt . 
Ta có: (1)
 (2)
Từ (1) và (2) ta có: .Chọn phương án B
Ví dụ 3: Cho hàm số f(x) liên tục trên , nếu và (với ) thì bằng
 A. 3. 	 B. 7. C. . D. 10.
	Phân tích
	- Cận của các tích phân trong bài toán thay đổi 
	- Sử dụng các tính chất 2 của tích phân ta có thể phân tích được tích phân theo các tích phân đã biết là và . 
Giải:
Ta có: . 
Chọn phương án A.
Ví dụ 4: Cho hàm số f(x) liên tục trên thỏa mãn , khi đó bằng 
 A. 3. 	 B. 2. C. 4. D. 1. 
	Phân tích
	- Cận của các tích phân trong bài toán thay đổi 
- Sử dụng các tính chất 2 của tích phân ta có thể phân tích được tích phân theo các tích phân .
Giải: 
Ta có: 
 = . Chọn phương án C.
3. Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho và , khi đó bằng
 A. -3.	B. 12.	C. -8.	D. 1.
Bài 2: Cho , là các hàm số liên tục trên với , và . Tính . 
 A. .	B. . C. . D. .
Bài 3: Cho hàm số liên tục trên và là một nguyên hàm của trên đoạn thỏa mãn . Tính 
 A. 	B. C. D. 
Bài 4: Cho hàm số liên tục trên đoạn thỏa mãn và . Tính giá trị của biểu thức 
 A. 	 	B. 	 	C. 	D. 
Bài 5: Cho và . Tính 
 A. 	 	 B. 	 C. 	 D. 
Dạng 2: Sử dụng phương pháp đặc biệt hóa.
1. Phương pháp.
Bước 1: Đặc biệt hóa hàm số hoặc đặc biệt hóa đối số để tìm ra được một hàm số đơn giản nhất thỏa mãn các điều kiện đề bài.
Bước 2: Suy ra hàm số trong tích phân cần tính, thay vào tích phân đó rồi tính. 
Bước 3: Chọn phương án đúng.
2. Các ví dụ minh họa. 
Ví dụ 1: Cho . Tính 
A. 	B. 	C. 	D. 	Phân tích
- Hàm số đơn giản nhất thuận lợi cho việc giải toán là hàm đa thức
- Vì đề bài chỉ có một điều kiện là nên luôn tồn tại hàm là hàm hằng thỏa mãn điều kiện này
- Nếu Với là hằng số, 
Giải: 
Cách 1:
Chọn hàm số ( thỏa mãn đề bài) 
 Chọn phương án C
Cách 2:
Đặt 
Đổi cận: 
Ta có: Chọn phương án C.
Nhận xét
	- Đối với cách 1, học sinh có thể chọn ngay được hàm số là hàm hằng thỏa mãn đề bài. Từ đó kết hợp với sử dụng MTCT để tìm ra giá trị của tích phân cần tìm một cách nhanh chóng.
	- Đối với cách 2, liên quan đến nhiều phép toán hơn đặc biệt là các phép toán có liên quan đến lượng giác thì học sinh hay lúng túng và hay tính sai.
 Ví dụ 2: Cho là hàm số chẵn có đạo hàm trên đoạn . Biết rằng và . Tính tích phân 
A. 	 B. C. D. 
Phân tích
- Hàm số đơn giản nhất thuận lợi cho việc giải toán là hàm đa thức.
- Vì hàm số thỏa mãn hai điều kiện và nên trong các hàm đa thức chẵn đơn giản: 
thì hàm hằng không thể thỏa mãn hai điều kiện trên. Vậy ta chọn có dạng là đơn giản nhất.
Giải: 
Cách 1
Chọn hàm số 
Ta có: 
Vậy: . Chọn phương án D.
	Cách 2
Vì là hàm số chẵn nên 
Xét 
Đặt 
Đổi cận: 
Khi đó 
Vậy Chọn phương án D.
Nhận xét
	- Đối với cách 1, học sinh định hướng được cách giải nhanh hơn. Quy trình giải đơn giản và dễ nhớ hơn. Học sinh có thể vận dụng ngay cách giải vào những bài toán tương tự.
	- Đối với cách 2, liên quan đến nhiều tính chất và đòi hỏi kỹ năng giải toán cao hơn. 
Ví dụ 3: Cho là hàm số có đạo hàm trên tập hợp và thỏa mãn và . Giá trị của bằng 
A. 	B. 	C. D. 
Phân tích
- Hàm số đơn giản nhất thuận lợi cho việc giải toán là hàm đa thức.
 	- Trong các hàm số đa thức thì hàm hằng không thể thỏa mãn hai điều kiện và nên ta chọn hàm số đơn giản nhất có dạng 
Giải:
Cách 1
Chọn hàm số 
Ta có: 
. Vậy: . Chọn phương án A.
Cách 2
Xét 
Đặt 
Đổi cận: 
Khi đó 
 Xét 
Đặt 
 Ta có: Chọn phương án A.
 Nhận xét
	- Đối với cách 1, học sinh có thể xác định được ngay cách giải. Quy trình giải đơn giản và dễ nhớ hơn. Học sinh có thể vận dụng ngay cách giải vào những bài toán tương tự.
	- Đối với cách 2, liên quan đến việc phải sử dụng nhiều phương pháp như phương pháp đổi biến số, phương pháp tích phân từng phần và đòi hỏi kỹ năng giải toán cao hơn. 
Ví dụ 4: Cho là hàm số có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn điều kiện và . Tính tích phân 
 A. 	 B. C. 	 D. 
Phân tích
- Hàm số đơn giản nhất thuận lợi cho việc giải toán là hàm đa thức.
 	- Trong các hàm số đa thức thì hàm hằng không thể thỏa mãn hai điều kiện và nên ta chọn hàm số đơn giản nhất có dạng 
Giải: 
Cách 1
Chọn hàm số 
Ta có: 
Do đó: 
. Chọn phương án D. 
Cách 2
Ta có: 
Xét . Đặt 
 Chọn phương án D.
Nhận xét 
	- Đối với cách 1, cách làm đơn giản hơn, phép toán ít và đơn giản dẫn đến tiết kiệm được thời gian trong lúc làm bài thi. 
	- Đối với cách 2, liên quan đến việc phải sử dụng nhiều phương pháp và công thức, phép tính dài phức tạp hơn đòi hỏi kỹ năng giải toán cao hơn. 
Ví dụ 5: Cho hàm số liên tục trên thỏa mãn , . Tính 
A. 	B. 	C. 	D. 
Phân tích
Hàm số có là hàm số chẵn vì Chọn thì thỏa mãn 
Giải: 
Chọn hàm số 
Ta có: . Chọn phương án D.
 Ví dụ 6: Cho hàm số liên tục trên và thỏa mãn Tính tích phân 
A. 	B. C. D. 
Phân tích
 Nếu ta đặc biệt hóa đối số bằng cách thay bởi thì thành và thành . Do đó khi xem và là ẩn thì ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Giải hệ phương trình tìm được hàm số thỏa mãn đề bài. 
Giải: 
Cách 1
Ta có: (1)
Thay bởi ta được: (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Do đó: . Chọn phương án B.
Cách 2
Ta có 
Xét . Đặt 
Đổi cận: 
Khi đó 
 Chọn phương án B.
Nhận xét 
	- Đối với cách 1, cách làm đơn giản và dễ nhớ hơn, nhìn vào bài toán tương tự học sinh có thể định hướng ngay được phương pháp giải. Phép toán ít và đơn giản dẫn đến tiết kiệm được thời gian trong lúc làm bài thi. 
	- Đối với cách 2, liên quan đến việc phải sử dụng nhiều phương pháp và công thức, phép tính dài phức tạp hơn đòi hỏi kỹ năng giải toán cao hơn. 
Ví dụ 7: Cho hàm số liên tục trên , thỏa mãn Tính tích phân 
A. 	 B. C. D. 
Phân tích
Nếu ta đặc biệt hóa đối số bằng cách thay bởi thì thành và thành . Do đó khi xem và là ẩn thì ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Giải hệ phương trình tìm được hàm số thỏa mãn đề bài. 
Giải:
Ta có: (1)
Thay bởi ta được: 
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:
Do đó . 
Chọn phương án A.
3. Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho hàm số có đạo hàm trên , thỏa mãn và . Tính tích phân 
A. 	B. C. D. 
Bài 2: Cho hàm số liên tục trên đoạn , thỏa mãn và Tính tích phân 
A. 	 B. C. D. 
Bài 3: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn , thỏa mãn và Tính tích phân 
A. 	 B. C. D. 
Bài 4: Cho hàm số liên tục trên , thỏa mãn Tính tích phân 
A. 	B. C. D. 
Bài 5: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn , thỏa mãn . Tính tích phân 
A. 	 B. C. D. 	
Bài 6: Cho hàm số liên tục trên , thỏa mãn và . Tính tích phân 
A. 	 B. C. D. 
Dạng 3: Sử dụng phương pháp đổi biến số.
1. Phương pháp.
Xét tích phân thích hợp trong bài toán (thường là tích phân phức tạp hơn) 
Bước 1: Đặt 
Bước 2: Đổi cận: 
 	Bước 3: Biến đổi thành dạng . 
	Bước 4: Liên hệ với tích phân cần tính, suy ra giá trị của tích phân cần tính.
	Bước 5: Trả lời phương án đúng. 
2. Các ví dụ minh họa 
Ví dụ 1: Cho hàm số liên tục trên , thỏa mãn với và Giá trị bằng
A. 	 B. C. D. 
Phân tích
- Khi đưa ra bài toán này, giáo viên đặt vấn đề yêu cầu các em thử giải theo phương pháp đặc biệt hóa như ở trên.
- Sau khi thấy các em gặp khó khăn không thể vượt qua là tìm được một hàm số thỏa mãn điều kiện đề bài thì giáo viên giới thiệu cho các em thêm một kỹ năng khác khi trong đề bài cho một phương trình hàm đó là lấy tích phân hai vế rồi kết hợp với các phương pháp đổi biến số hoặc phương pháp từng phần để giải. 
Giải:
Ta có: 
Xét . Đặt 
Đổi cận: 
Ta có 
Mà 
Ví dụ 2: Cho hàm số liên tục trên , thỏa mãn và Tính tích phân 
A. 	 B. C. D. 
Phân tích 
- Các tích phân cho trước có đặc điểm phức tạp hơn tích phân cần tìm.
- Các tích phân cho trước có dạng nên nghĩ đến việc xét các tích phân cho trước và sử dụng phương pháp đổi biến số. 
Giải:
- Xét . Đặt 
Đổi cận: . Suy ra 
- Xét Đặt 
Đổi cận: . Suy ra 
Vậy Chọn phương án C.
	Nhận xét
Sử dụng phương pháp đổi biến số vào những tích phân phức tạp hơn và có dạng ở trong đề bài. 
Ví dụ 3: Cho hàm số liên tục trên , thỏa mãn và Tính tích phân 
A. 	 B. C. D. 
Giải:
- Xét . Đặt 
Đổi cận: . Suy ra 
Vậy . Chọn phương án B.
Ví dụ 4: Cho hàm số liên tục trên đoạn , biết rằng với , ta có và ( với là hằng số ). Tính tích phân . 
A. 	 B. C. D. 
Giải:
- Xét . Đặt 
Đổi cận: 
Suy ra 
. Chọn phương án B. 
3. Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho Khi đó bằng
A. 	 B. C. D. 
Bài 2: Cho hàm số liên tục trên đoạn , biết rằng với ta có và . Tính . 
A. 	 B. C. D. 
Bài 3: Cho hàm số liên tục trên đoạn , biết rằng với , 
ta có và . Tính . 
A. 	 B. C. D. 
Bài 4: Cho hàm số liên tục trên , thỏa mãn và Tính tích phân 
 A. 	 B. C. D. 	 
Dạng 4: Sử dụng phương pháp tích phân từng phần.
	1. Phương pháp.
Bước 1: Xét tích phân thích hợp.
Bước 2: Đặt u và du từ đó tính du và v.
Bước 3: Áp dụng công thức tích phân từng phần.
Bước 4: Liên hệ với tích phân cần tính, suy ra giá trị của tích phân cần tính.
	Bước 5: Trả lời phương án đúng. 
Nhận xét
Tích phân có dạng thường sử dụng phương pháp từng phần, bằng cách đặt: 
2. Các ví dụ minh họa. 
Ví dụ 1: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thảo mãn . Tính tích phân .
 A. 	 B. 	 C. 	 D. 
Phân tích
- Khi đưa ra bài toán này, giáo viên đặt vấn đề yêu cầu các em thử giải theo phương pháp đặc biệt hóa như dạng 2 ở trên được không ?
- Sau khi thấy các em gặp khó khăn không thể vượt qua là tìm được một hàm số thỏa mãn điều kiện đề bài thì giáo viên định hướng để các em nhận ra tích phân cho trước có chứa đạo hàm , vậy thì nếu dùng phương pháp từng phần sẽ biến đổi ra tích phân chứa hàm 
 Giải:
Xét 
Ta có 
Đặt 
Ta được . Chọn phương án C.
Ví dụ 2: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và . Tính tích phân theo và .
 A. 	 B. C. D. 
Phân tích
- Tích phân cho trước có chứa đạo hàm , tích phân phải tìm không chứa đạo hàm. 
- Trong đề bài tích phân cho trước có dạng nên khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần sẽ biến đổi ra tích phân chứa hàm số bằng cách đặt .
Giải:
Xét . Đặt 
Ta có 
 . Chọn phương án A. 
Ví dụ 3: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên , thỏa mãn và Tính tích phân .
 A. 	 B. C. D. 
 Phân tích
Tích phân cho trước có chứa đạo hàm và có dạng , nên muốn biến đổi ra tích phân chứa hàm số thì ta phải sử dụng phương pháp tích phân từng phần bằng cách đặt .
Giải:
Xét . Đặt 
Ta có: 
 . Chọn phương án D.
Ví dụ 4: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn và . Tính tích phân . 
 A. 	 B. C. D. 
 Phân tích
Tích phân cho trước có chứa đạo hàm và có dạng , nên muốn biến đổi ra tích phân chứa hàm số thì ta phải sử dụng phương pháp tích phân từng phần bằng cách đặt 
Giải:
Xét . Đặt 
Khi đó 
Ta có 
Do đó . Chọn phương án D.
Ví dụ 5: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn , và . Tích phân bằng 
 A. 	 B. C. D. 
Phân tích
Tích phân cho trước ta sẽ biến đổi ra tích phân có chứa để liên kết với tích phân . Như vậy ta phải lựa chọn phương pháp từng phần bằng cách đặt . 
Giải:
Xét hay . Đặt 
Ta có 
Chọn 
Vì 
Vậy . Chọn phương án A.
3. Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho . Tính tích phân 
 A. 	 B. C. D. 
Bài 2: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn , và . Tích phân bằng 
 A. 	 B. C. D. 
Bài 3: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn , và . Tích phân bằng 
 A. 	 B. C. D. 
Bài 4: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn Biết và . Tính tích phân . 
 A. 	 B. C. D. 
Bài 5: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn Biết và . Tính tích phân . 
 A. 	 B. C. D. 
2.4. Hiệu quả của đề tài.
 Qua thực tế giảng dạy lớp 12 về việc giải nhanh bài toán tính tích phân chứa hàm ẩn, nếu thực hiện theo tiến trình của đề tài này thì học sinh nắm kiến thức chắc chắn, có hệ thống. Nên khi gặp các bài toán cùng dạng các em nhạy bén trong việc chọn phương pháp tính và giải quyết nhanh chóng, chính xác. 
 Tôi đã thử nghiệm đối với 2 lớp 12 năm học 2018-2019 với học lực trung bình hoàn toàn như nhau với hai tiến trình khác nhau:
 - Lớp 12 C2 tôi dạy theo tiến trình của đề tài này.
 - Lớp 12 C3 tôi dạy theo tiến trình khác.
Kết quả thu được sau khi kiểm tra khảo sát với mức độ đề như trong đề thi THPT Quốc gia các năm trước thì thu được kết như sau: 
 Lớp
Sỉ số
 Giỏi
Khá
Trung bình
 Yếu
12C2
50
12%
40%
 43,8%
 4,2%
12C3
41
 0
25%
35%
 40%
3. Kết luận và kiến nghị
3.1. Kết luận.
Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy việc sắp xếp các vấn đề, các dạng toán theo một hệ thống thì không riêng gì phần tích phân mà tất cả các phần nói chung là sự cần thiết. Nó giúp cho học sinh nắm vấn đề rõ ràng hơn, không bị lúng trong việc lựa chọn được phương pháp tối ưu, đặc biệt trong việc ôn tập để chuẩn bị tốt cho kỳ thi THPT Quốc gia sắp tới.
Là một người giáo viên để giảng dạy ngày càng có kết quả cao hơn thì phải thường xuyên học hỏi, đúc rút kinh nghiệm cho bản thân để ngày càng nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ và hiểu biết về lĩnh vực khoa học để phục vụ cho việc giảng dạy của mình. 
3.2. Kiến nghị.
Sáng kiến kinh nghiệm này chỉ là một số kinh nghiệm nhỏ của bản thân thu được trong quá trình dạy một phạm vi học sinh nhỏ hẹp. Vì vậy sự phát hiện ra những ưu nhược điểm chưa được đầy đủ và sâu sắc. Rất mong được sự góp ý phản hồi từ hội đồng khoa học ngành, các đồng nghiệp những ưu nhược điểm về cách dạy nội dung này để đề tài của tôi được hoàn chỉnh hơn. 
Tôi xin chân thành cảm ơn.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
 ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép của người khác.
 Người viết
 Trịnh Văn Thắng