SKKN Một số kinh nghiệm dạy chương khối đa diện ở trường THPT Lê Hồng Phong

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ KINH NGHIỆM DẠY CHƯƠNG KHỐI ĐA DIỆN 
Ở TRƯỜNG THPT LÊ HỒNG PHONG
 Người thực hiện: Vũ Thị Hoài Yên
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
THANH HÓA NĂM 2019
PHỤ LỤC
MỤC LỤC
NỘI DUNG
TRANG
PHẦN I: MỞ ĐẦU
2
1. Lý do chọn đề tài
2
2. Mục đích nghiên cứu
2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
2
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
2
5. Phương pháp nghiên cứu
3
PHẦN II: NỘI DUNG
3
1. Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
3
2. Cơ sở thực tiễn của sáng kiến kinh nghiệm
3
3. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
3
4. Giải pháp thực hiện
4
Giải pháp 1: Ứng dụng công nghệ thông tin vào dạy học
4
Giải pháp 2: Dùng sơ đồ tư duy để giúp học sinh ghi nhớ kiến thức
9
Giải pháp 3: Xây dựng hệ thống bài tập tính thể tích khối chóp 
11
5. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
15
PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
16
1. Kết luận
16
2. Kiến nghị
16
TÀI LIỆU THAM KHẢO
17
PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Mỗi môn học trong chương trình toán phổ thông đều có vai trò rất quan trọng trong việc hình thành và phát triển tư duy của học sinh. Trong quá trình giảng dạy, giáo viên luôn phải yêu cầu học sinh nắm được chuẩn kiến thức cơ bản, hình thành phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo, từ đó tạo thái độ và động cơ học tập đúng đắn.
Học sinh trường THPT Lê Hồng Phong đa phần các em có học lực trung bình, nên hầu hết các em sợ học môn toán đặc biệt là phần hình học không gian. Là giáo viên dạy toán, đã có nhiều năm gắn bó với nghề, tôi rất thông cảm và trăn trở trước thực tế đó. Bởi vậy, trong quá trình giảng dạy tôi luôn học hỏi đồng nghiệp, nghiên cứu tài liệu tham khảo và tìm tòi những phương pháp thích hợp để giúp các em học sinh yêu thích và học tốt môn toán hơn, tự tin bước vào kỳ thi THPT quốc gia. 
Trong đề thi của các năm bài toán hình học không gian hầu như không thể thiếu, nhưng đối với học sinh bài toán này lại là một trong những bài toán tương đối khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt kiến thức từ các lớp dưới đặc biệt cần trí tưởng tượng và khả năng suy luận tốt. Thực tế cho thấy đa số học sinh không thể giải quyết được các bài toán này dẫn đến tâm lý sợ học hình không gian do không thể dựng được hình biểu diễn của các hình không gian. Ngoài ra sự liên kết giữa các kiến thức cũ và mới là rất kém dẫn đến không có cơ sở làm được bài tập trong cả trường hợp học sinh dựng được hình vẽ. Qua thực tế giảng dạy nhiều năm tôi nhận thấy rất rõ điểm yếu này của học sinh trường THPT Lê Hồng Phong. Xuất phát từ thực tế trên tôi mạnh dạn trình bày đề tài “Một số kinh nghiệm dạy chương khối đa diện ở trường THPT Lê Hồng Phong”. 
2. Mục đích nghiên cứu
Giúp học sinh nắm được kiến thức cơ bản nhất của chương, phân biệt khối đa diện, thể tích khối đa diện, các đa diện đều. Tất cả học sinh rèn được kỹ năng tính toán các đại lượng hình học, tính được thể tích khối đa diện tương đối đơn giản. Trên cơ sở đó học sinh nắm được kiến thức cơ bản và rèn kỹ năng giải các bài tập khó hơn về khối đa diện.
- Giúp các em hiểu rõ hơn và nắm vững kiến thức một cách có hệ thống. 
- Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh, tạo hứng thú học tập cho học sinh. Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Một số kinh nghiệm dạy chương khối đa diện” sẽ góp phần vào việc hệ thống lại những kiến thức của chương, giúp học sinh tự học, tự ôn tập nhằm nắm vững trọng tâm của bài tập hơn.
- Phân loại từng dạng bài tập, nêu được trọng tâm của chương học và có bài giải mẫu cụ thể nhằm giúp học sinh tự học khi ở nhà.
- Áp dụng việc dạy học trên sẽ nâng cao chất lượng học tập và làm tăng thêm hiệu quả dạy học môn Toán. 
4. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 
a. Về kiến thức
- Sách giáo khoa hình học 12 hiện hành.
- Sách giáo khoa hình học chuyên ban, các tài liệu tham khảo của NXBGD.
- Các đề thi đại học những năm trước đây.
b. Về học sinh
Học sinh lớp 12C4, 12C5 trường THPT Lê Hồng Phong
5. Phương pháp nghiên cứu 
Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các phương pháp sau:
- Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm, quản lí có liên quan đến đề tài.
- Phương pháp quan sát (công việc dạy - học của giáo viên và học sinh).
- Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn,).
- Phương pháp đàm thoại phỏng vấn (lấy ý kiến của giáo viên và học sinh thông qua trao đổi trực tiếp).
- Phương pháp thực nghiệm.
PHẦN II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Cơ sở lý luận của đề tài
a. Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi một hình đa diện , kể cả hình đa diện đó 
b. Khái niệm về thể tích khối đa diện: Thể tích khối đa diện (H) là một số dương duy nhất V(H) thỏa mãn các tính chất: 
- Nếu (H) là khối lập phương có cạnh bằng 1 thì V(H)=1
- Nếu hai khối đa diện (H1) và (H2) bằng nhau thì VH1 = VH2
- Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa diện (H1) và (H2) thì: V(H)=V(H1)+V(H2) 
c. Các công thức tính thể tích khối đa diện
- Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là: V=13Bh
- Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là: 
V=Bh [1], [2]
2. Cơ sở thực tiễn của đề tài
Các bài toán về thể tích khối đa diện xuất hiện nhiều trong các đề thi THPTQG, đồng thời đây là một trong ba chương của chương trình hình học khối 12 nhưng kết quả đạt được lại rất thấp. Đối với giáo viên tâm lý là ngại dạy phần này vì thiếu mô hình dạy học. Vì vậy hiệu quả, chất lượng giảng dạy phần “Thể tích khối đa diện” còn thấp chưa đạt mục tiêu chương trình.
Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh sẽ giúp các em tự tin hơn, biết cách tự đánh giá việc học của mình cũng như biết đánh giá kết quả học tập của các bạn khác. Từ đó, các em có tính chủ động trong học tập và biết phấn đấu thi đua nhau để việc học có kết quả cao hơn. 
3. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
* Thuận lợi:
- Các lớp học đều có máy tính, máy chiếu học sinh dễ thực hiện và quan sát.
- Một số phần mềm được phổ biến rộng rãi nên đã hỗ trợ cho giáo viên và học sinh khi trình bày một bài toán trên máy chiếu.
* Khó khăn:
- Các kiến thức cơ bản về hình học không gian lớp 11 còn rất hạn chế.
- Kỹ năng tư duy phân tích giả thiết và các quan hệ giữa các đối tượng trong hình không gian và hình học phẳng còn quá yếu.
- Kỹ năng vẽ hình trong không gian còn yếu.
- Học sinh có kiến thức không đồng đều nhau.
4. Giải pháp thực hiện
Giải pháp 1: Ứng dụng công nghệ thông tin và mô hình khối không gian trong giảng dạy
Nên sử dụng công nghệ thông tin tích hợp trong dạy học và việc đưa ra những tình huống có vấn đề kích thích sự tò mò của học sinh là vô cùng quan trọng. Kết hợp công nghệ thông tin trong giảng dạy cũng góp phần giúp học sinh có hứng thú hơn khi học; nhưng chúng ta cũng đừng quá lạm dụng công nghệ, vì nó có thể sẽ làm loãng kiến thức trong bài, học sinh hăng hái chơi nhưng cuối cùng thì không đúc rút gì được cho mình. Công nghệ chỉ là phương tiện hỗ trợ, còn người giáo viên vẫn đóng vai trò vô cùng quan trọng trong việc đổi mới phương pháp dạy học “lấy học sinh làm trung tâm” và tạo hứng thú cho học sinh hiện nay. 
Đặc biệt khi dạy chương “Khối đa diện” tôi thường xuyên ứng dụng công nghệ thông tin và các mô hình có sẵn, mô hình tự làm trong những tiết học lý thuyết, sao cho thiết kế bài giảng thật đẹp, thật sinh động, dùng những phần mềm vẽ hình không gian 3D để giúp học sinh thấy hình học không gian thật dễ dàng tưởng tượng và đầy thú vị. 
Ngoài việc kích thích sự tò mò và hứng thú học tập như trên, giáo viên cần tập trung nghiên cứu bài giảng trước khi lên lớp để đáp ứng giảng dạy cho từng đối tượng học sinh để các em hiểu hết nội dung bài giảng. Khi học sinh hiểu bài và làm được bài tập thì chắc chắn các em sẽ có hứng thú học tập.
a) Dùng máy chiếu kiểm tra kiến thức cũ bằng hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan.
 Dùng máy chiếu để kiểm tra kiến thức cũ
 Dùng máy chiếu để kiểm tra kiến thức cũ
Hiện nay nhà trường đã có một số mô hình về các hình không gian xong chỉ có thể sử dụng được trong một số ít các tiết lý thuyết, rất khó vận dụng khi học sinh khi giải toán. Vì vậy trong quá trình giảng dạy giáo viên cần mạnh dạn thiết kế và làm thêm các mô hình để phục vụ cho các bài toán cụ thể. 
 Các mô hình có sẵn trong phòng thiết bị
Một số mô hình hình học không gian tự làm
Ngoài ra tôi cũng tích cực sưu tầm các hình ảnh, ví dụ thực tế cũng như các trò chơi được thiết kế trên các thiết bị điện tử thông minh như tivi, điện thoại. Cùng học sinh chơi trò chơi xếp hình, cho học sinh xem các đoạn video clip giới thiệu kim tự tháp Ai Cập, xem các hình ảnh về khối đa diện trong thực tế. 
	 Kim tự tháp ở Ai Cập Hình ảnh khối đa diện
 Khối rubick 3 x 3 Quả dưa hấu tạo khối lập phương
b) Dùng phần mềm Cabri 3D để dạy phần phân chia lắp ghép các khối đa diện. Sử dụng một số hình ảnh dạy phần phân chia và lắp ghép khối đa diện.
 Phân chia, lắp ghép khối đa diện
Phân chia, lắp ghép khối đa diện
 Giải trí: trò chơi xếp gạch 
Bên cạnh việc ứng dụng công nghệ thông tin trong giảng dạy như dùng PowerPoint, sử dụng các mô hình hình dạy học có sẵn trong phòng thiết bị, mô hình hình học không gian tự làm. Tôi cũng mạnh dạn ứng dụng các phần mềm vẽ hình không gian vào giảng dạy Bài phân chia lắp ghép các khối đa diện. Giúp học sinh tập trung, hứng thú và sôi nổi hơn trong giờ học.
Phân chia và lắp ghép khối lăng trụ tam giác.
Phân chia và lắp ghép khối lăng trụ tứ giác.
Giải pháp 2: Dùng sơ đồ tư duy để giúp học sinh ghi nhớ kiến thức.
Với mong muốn thay đổi cách giảng dạy truyền thụ tri thức một chiều sang cách tiếp cận kiến tạo kiến thức và suy nghĩ. Ý tưởng là “sơ đồ tư duy” được xây dựng theo quá trình từng bước khi người dạy và người học tương tác với nhau. Vì đây là một hoạt động vừa mang tính phân tích vừa mang tính nghệ thuật nó làm cho học sinh gợi nhớ các kiến thức vừa mới học hoặc đã được học từ trước. Để thực hiện được điều như trên, bản thân tôi xác định phải luôn bám sát các nguồn tư liệu như: chuẩn kiến thức, sách giáo khoa, sách giáo viên và các sách tham khảo khác. Ngoài ra tôi luôn chuẩn bị một hệ thống câu hỏi và bài tập dựa trên mục tiêu của từng bài, từng chương cụ thể, giúp học sinh định hướng và nắm được kiến thức trọng tâm bài học. Thông qua đó học sinh nắm vững kiến thức cũ, lĩnh hội kiến thức mới nhanh hơn.
Trong quá trình giảng dạy trên lớp tôi thường xuyên sử dụng sơ đồ tư duy trong các tiết ôn tập và các tiết phụ đạo nhằm giúp học sinh tổng hợp được kiến thức theo chương, theo dạng bài tập giúp học sinh nắm và hệ thống kiến thức tốt hơn đồng thời cũng nhằm gây hứng thú và tạo động lực cho các em
 Tổng hợp kiến thức chương I - Thể tích khối đa diện hình học 12
Phân dạng toán chương I
Trong các tiết bài tập và các tiết ôn tập nếu có thể tôi thường cho học sinh tự xây dựng sơ đồ tư duy để giải một dạng bài tập nhằm gây hứng thú và giúp các em hệ thống tốt hơn phương pháp làm bài.
Ví dụ: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. [6]
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc BAC=120o, tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a. (Đề thi THPTQG năm 2018 )
Giải pháp 3: Xây dựng hệ thống bài tập tính thể tích khối chóp.
Dạng 1: Khối chóp đa giác đều
Phương pháp: Xác định đường cao của hình chóp (hạ từ đỉnh xuống tâm của đa giác đáy). Tính đường cao và diện tích đáy. Từ đó áp dụng công thức để tính thể tích khối chóp.
Ví dụ: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC biết cạnh bên bằng a2, góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng 45o. Tính thể tích khối chóp S.ABC. [5]
Lời giải:
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có SO(ABC) nên SO là đường cao của hình chóp S.ABC. Xét tam giác SOA vuông tại O ta có góc giữa SA và mặt phẳng (ABC) là góc
SAO=45o=>AO=SA.CosSAO=a
=>SO=SA.SinSAO=a
Gọi M là trung điểm BC ta có:
Vậy thể tích của khối chóp là
Dạng 2: Khối chóp có cạnh bên nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy
Phương pháp: Xác định đường cao của hình chóp (chính là cạnh bên vuông góc với đáy). Tính độ dài đường cao và diện tích đáy. Từ đó áp dụng công thức để tính thể tích khối chóp.
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC trong đó SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA = a, tam giác ABC vuông tại B và BA = BC = b. Tính thể tích khối chóp S.ABC. [3]
Lời giải
Ta thấy SA (ABC) nên SA là đường cao của hình chóp S.ABC
Vậy thể tích của khối chóp là
Dạng 3: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy
Phương pháp: Xác định đường cao của hình chóp (hạ từ đỉnh xuống cạnh đáy là giao giữa mặt bên đó với mặt đáy). Tính đường cao và diện tích đáy. Từ đó áp dụng công thức để tính thể tích khối chóp
Ví dụ: Cho hình chóp S.ADCD có đáy ADCD là hình thang có đáy lớn là AB = 2a, AD = CD = a và hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) vuông góc với nhau, tam giác SAB đều. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. [7]
Lời giải:
Gọi H là trung điểm của AB khi đó
hay SH là đường cao của hình chóp
Gọi K là hình chiếu vuông góc của D trên AB khi đó
Vậy thể tích của khối chóp là
Dạng 4: Khối chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vuông góc với mặt đáy
Phương pháp: Xác định đường cao của hình chóp (chính là cạnh chung của hai mặt bên cùng vuông góc với mặt đáy). Tính độ dài đường cao và diện tích đáy của hình chóp. Từ đó áp dụng công thức để tính thể tích khối chóp.
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có hai mặt bên (SAB), (SAD) vuông góc với đáy. SA = a, đáy ABCD là hình thoi cạnh a có góc A=120o. Tính thể tích khối chóp S.ABCD. [4]
Lời giải:
Vì (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy ABCD nên SA vuông góc với đáy hay SA là đường cao của hình chóp S.ABCD. 
Ta có: 
mà
Vậy thể tích của khối chóp là
Dạng 5: Khối chóp có hai mặt phẳng đi qua đỉnh (không chứa mặt bên) cùng vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy
Phương pháp: Xác định đường cao của hình chóp. (nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt đáy). Tính độ dài đường cao và diện tích đáy của hình chóp. Từ đó áp dụng công thức để tính thể tích khối chóp.
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, AB = AD = 2a, CD = a, góc giữa SC và (ABCD) bằng 60o. Gọi I là trung điểm cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. [6]
Lời giải:
Vì (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt đáy ABCD nên SI vuông góc với đáy hay SI là đường cao của hình chóp S.ABCD
IC là hình chiếu vuông góc của SC xuống mặt phẳng (ABCD) nên góc giữa (ABCD) và SC là góc SCI=60o 
Theo định lí Pitago ta có
Tứ giác ABCD là hình thang cân nên
Vậy thể tích của khối chóp là
Dạng 6: Thể tích khối chóp – Tỉ số thể tích giữa hai khối chóp
Ví dụ: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60o. Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. 
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) Tính thể tích khối chóp S.AEMF [5]
Lời giải:
 a) VS.ABCD=13SABCD×SO
Với 
 + Xét ΔSOA có: 
 Vậy: 
VS.ABCD=a366
b) Phân chia chóp tứ giác ta có
VS.AEMF=VSAMF+VSAME=2VSAMF
 VS.ABCD=2VSACD=2VSABC
Xét khối chóp S.AMF và S.ACD 
Ta có: 
ΔSAC có trọng tâm I, EF // BD nên:
5. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy của bản thân tại trường THPT Lê Hồng Phong với nội dung và phương pháp nêu trên đã giúp học sinh có cái nhìn toàn diện hơn về thể khối đa diện nói riêng và Toán học nói chung. Tôi thấy học sinh khá, giỏi rất hứng thú còn học sinh trung bình yếu cũng bước đầu bắt nhịp được khi được giáo viên nêu và chỉ ra cách suy luận giải quyết vấn đề để giải bài toán hình học không gian. Qua đó học sinh khắc sâu hơn những kiến thức theo chuẩn yêu cầu, sẽ góp một phần nhỏ vào việc hệ thống lại những mảnh rời rạc của một chương giúp học sinh tự học, tự ôn tập nhằm nắm vững trọng tâm của bài tập hơn. 
Để kiểm chứng kết quả học tập của học sinh, tôi đã thu thập các dữ liệu ở học sinh qua bài kiểm tra 
a. Đề kiểm tra
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc đáy. Góc giữa SC và đáy bằng 60o và M là trung điểm của SB.
	1) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD
	2) Tính thể tích của khối chóp MBCD [7]
b. Kết quả bài kiểm tra: 
* Trước khi sử dụng đề tài ở lớp 12 C5 (sĩ số 40), kết quả đạt được: 
Từ 8 - 10 điểm
Từ 5 - 7,5 điểm
Từ 3,5 - 4,5 điểm
Từ 0 - 3,0 điểm
3 Học sinh
chiếm 7,5%
23 Học sinh
chiếm 57,5%
10 Học sinh
chiếm 25%
4 Học sinh
chiếm 10%
* Sau khi sử dụng đề tài ở lớp 12 C4 (sĩ số 40, mặt bằng chất lượng hai lớp bằng nhau) nhưng kết quả làm bài có sự thay đổi rõ rệt:
Từ 8 - 10 điểm
Từ 5 - 7,5 điểm
Từ 3,5 - 4,5 điểm
Từ 0 - 3,0 điểm
10 Học sinh 
chiếm 25%
27 Học sinh 
chiếm 67,5%
3 Học sinh
chiếm 7,5%
0 Học sinh 
chiếm 0%
PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
1. Kết luận
Việc viết đề tài “Một số kinh nghiệm dạy chương khối đa diện ở trường THPT Lê Hồng Phong”, theo kinh nghiệm của bản thân cũng như việc tham khảo ý kiến của nhiều đồng nghiệp khác, đó là một việc làm rất có hiệu quả về gây hứng thú cho học sinh, nhất là trong giai đoạn hiện nay, khi việc tự hệ thống, tự học của học sinh đang có chiều hướng giảm sút.
Qua kết quả đạt được sau khi áp dụng sáng kiến tôi nhận thấy rằng chất lượng giáo dục có sự tiến triển tốt hơn, các em tự tin hơn trong học tập và đạt được kết quả cao khi làm bài kiểm tra và giải các đề thi. Bởi vậy việc áp dụng nội dung sáng kiến sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy và học của học sinh trung học phổ thông.
2. Kiến nghị 
- Sở Giáo dục và Đào tạo Thanh Hóa cần có các buổi tập huấn: “Kinh nghiệm dạy học toán hình không gian”. 
- Trường THPT Lê Hồng Phong cần đầu tư kinh phí để giáo viên làm mô hình dạy học. Trong các buổi họp tổ, giáo viên toán cần đưa ra các kinh nghiệm dạy học cho từng bài, từng chương đặc biệt là chương khối đa diện. 
Thanh Hóa, ngày 12 tháng 04 năm 2019
CAM KẾT KHÔNG COPY.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG 
ĐƠN VỊ
Người viết sáng kiến
Vũ Thị Hoài Yên
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Sách giáo khoa hình học 12, NXBGD năm 2008.
[2] Sách giáo viên hình học 12, NXBGD năm 2008.
[3] Võ Đại Mau, Tuyển tập 170 bài toán hình học không gian, NXB Trẻ.
[4] Đặng Phúc Thanh, Trọng tâm kiến thức và phương pháp giải toán hình học không gian, NXB Giáo dục Việt Nam 2009.
[5] Trần Minh Quang, Phương pháp và bài giải 27 chủ đề toán hình học không gian, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 2009.
[6] Trần Văn Thương, Phân loại và phương pháp giải Toán hình không gian, NXB Đại học quốc gia thành phố Hồ Chí Minh 2001.
[7] Trần Văn Hạo, Chuyên đề luyện thi vào đại học Hình học không gian, NXBGD 2001.