SKKN Một số giải pháp nâng cao năng lực giải toán về diện tích các hình tam giác cho học sinh lớp 5

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài:
Chương trình toán của Tiểu học có vị trí và tầm quan trọng rất lớn. Nó góp phần quan trọng trong việc đặt nền móng cho việc hình thành và phát triển nhân cách học sinh. Trên cơ sở cung cấp những tri thức khoa học ban đầu về số học, các số tự nhiên, các số thập phân, các đại lượng cơ bản, giải toán có lời văn ứng dụng thiết thực trong đời sống và một số yếu tố hình học đơn giản. Nó giúp con người tư duy lô gíc, suy luận chặt chẽ và còn là nhân tố để phát triển trí thông minh, phát triển nhân cách con người.
 Toán học không đơn thuần là những con số, những phép tính mà Toán học là một kho tàng tri thức để các thế hệ kế tiếp nhau cùng khám phá và học hỏi. 
 Trong dạy học môn toán nhiều bài tập về hình học, đặc biệt là những bài tập có liên quan đến diện tích hình tam giác là một trong những bài tập khó đối với học sinh Tiểu học nhưng lại là một mảng kiến thức cần thiết đối với học sinh Tiểu học. Đây chính là cơ sở ban đầu để hình thành cho các em những kiến thức cơ bản về hình học, giúp các em học tốt hơn các lớp trên. 
Qua quá trình dạy học thực tế của bản thân, qua dự giờ và trao đổi cùng đồng nghiệp, tôi thấy rằng việc dạy học và nâng cao các bài toán có nội dung về diện tích hình tam giác ở lớp 5 gặp phải nhiều khó khăn. Những khó khăn đó đều từ hai chủ thể của quá trình dạy học: học sinh và giáo viên. Học sinh rất khó tiếp thu và vận dụng linh hoạt các kiến thức để giải toán dẫn đến tình trạng chỉ làm theo mẫu mà không hiểu nội dung yêu cầu của bài tập; còn giáo viên thì đa số chưa phân loại được các dạng bài cụ thể để từ đó có cái nhìn tổng quát và sâu về các bài toán có nội dung về diện tích hình tam giác. Vì vậy vệc dạy học sinh năng khiếu ở lớp 5 gặp nhiều khó khăn. Chúng ta không thể dạy học sinh theo kiểu áp đặt như: "Cứ gặp dạng thế này là làm thế này...", như vậy vô hình chúng ta biến học sinh thành cái máy dập khuôn, thiếu linh hoạt trong làm bài và thiếu sáng tạo trong thực tiễn cũng giống như xây một tòa lâu đài trên một nền móng không vững vàng. Chính vì vậy muốn dạy học sinh năng khiếu phải đi từ kiến thức cơ bản vững chắc từ đó phát triển dần để các em chiếm lĩnh kiến thức một cách nhẹ nhàng thoải mái và biến nó thành tri thức của mình. Vì những lý do đó tôi đã tìm được “Một số giải pháp nâng cao năng lực giải toán về diện tích các hình tam giác cho học sinh lớp 5".
1. 2. Mục đích nghiên cứu:
- Tìm ra các phương pháp thích hợp để khai thác và phát triển các bài toán từ một bài toán cơ bản về diện tích hình tam giác cho học sinh lớp 5.
 	- Giúp học sinh hình thành kỹ năng, sử dụng thành thạo và vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức về diện tích các hình tam giác.
1. 3. Đối tượng nghiên cứu: 
- Các bài tập “giải toán về diện tích các hình tam giác cho học sinh lớp 5”
- Học sinh lớp 5 trường Tiểu học Liên Lộc.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
	- Phương pháp đàm thoại, trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp với học sinh lớp 5
- Phương pháp nghiên cứu lí thuyết.
- Phương pháp phân tích tổng hợp. 
- Phương pháp nghiên cứu thực tiễn. ( Phỏng vấn, điều tra, thực nghiệm và đối chứng)
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
2.1. Cơ sở lý luận:
Hình học là một thành phần quan trọng trong chương trình giảng dạy môn toán ở bậc tiểu học. Nội dung về một số yếu tố hình học gắn chặt một cách hữu cơ với nội dung của số học và số tự nhiên, các số thập phân, các đại lượng cơ bản và các yếu tố đại số, có trong chương trình.
Vì vậy, những bài tập về hình học, đặc biệt là những bài tập có liên quan đến diện tích hình tam giác là một trong những bài tập khó đối với học sinh Tiểu học nhưng lại là một mảng kiến thức cần thiết đối với học sinh Tiểu học. Đây chính là cơ sở ban đầu để hình thành cho các em những kiến thức cơ bản về hình học, giúp các em học tốt hơn các lớp trên.
2.2. Thực trạng của vấn đề: 
	a. Giáo viên : 
	Qua dự giờ và tìm hiểu một số bạn bè đồng nghiệp, tôi thấy rằng: Thực tế trong quá trình giảng dạy một số giáo viên cũng đã chú ý đến mảng kiến thức này song chưa "bài bản", giải nhiều bài tập nhưng chưa có tính hệ thống. Giáo viên chỉ đơn thuần giải quyết theo yêu cầu của đề bài nêu ra là xong. Để phát triển khả năng tư duy, phát huy tính sáng tạo của học sinh thì phương pháp dạy học đó chưa đạt hiệu quả cao. Với thực trạng như thế, theo tôi vai trò của người thầy giáo là hết sức quan trọng. Làm thế nào để học sinh tiếp thu bài không nhàm chán, để học sinh vẫn thấy mình được "lớn lên" qua các bài giảng, bài thiết kế của thầy? Đó là vấn đề đặt ra của mỗi thầy cô giáo.
	b. Học sinh : 
	Qua thực tế giảng dạy tôi thấy học sinh còn bộc lộ những nhược điểm :
- Các em hiểu bài nhưng dễ quên, lúng túng khi diễn đạt nội dung bài toán như: Không biết phân tích suy luận để thấy được yếu tố gì đã biết , yếu tố gì chưa biết, yếu tố gì cần phải tìm... 
- Làm bài một cách máy móc chưa sáng tạo .
	Cụ thể như khi HS học xong phần diện tích hình tam giác các em biết áp dụng làm những bài toán đơn giản trong SGK, tôi đã cho học sinh lớp 5 khảo sát qua một số bài tập nhỏ trong thời gian 20 phút như sau:
Bài 1: (BT1 SGK toán 5 trang 127)(6 điểm): 
Cho hình thang vuông ABCD (xem hình vẽ) có AB = 12cm, DC = 15cm, AD = 13cm. Nối D với B được hai tam giác ABD và BDC.
a) Tính diện tích mỗi tam giác đó?
A
C
D
M
B
b) Tính tỉ số phần trăm của diện tích hình tam giác ABD và diện tích hình tam giác BDC.
A
B
D
C
	Bài 2 (4 điểm): Cho tam giác ABC. Trên 
cạnh đáy BC lấy điểm D sao cho 
Nối A với D. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho Tính diện tích tam giác ABC, biết diện tích tam giác BMD = 4cm2.
* Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên:
Sau 20 phút làm bài, kết quả thu được từ học sinh như sau:
	- Hoàn thành: 22/27 em = 81,5 %
	- Chưa hoàn thành: 05/27 em = 18,5 %
	Qua chấm bài khảo sát, kết quả cho thấy: 
	* Bài 1: cả 27 em có 25 đúng đáp số chiếm tỷ lệ 88,9%. Tuy nhiên cả 27 em đều làm theo một cách đó là áp dụng công thức để thay số và tính, khi được hỏi cách giải khác thì không có và không em nào biết cách dùng tỷ số hai đáy để tính như: 
- Diện tích tam giác ABD là: 12 x 13 : 2 = 78 ( cm2)
- Diện tích tam giác ABD và BDC có chiều cao bằng nhau (bằng chiều cao hình thang). Tỷ số hai đáy AB và DC là: 12 : 15 = 
Vậy tỷ số diện tích của hai tam giác ABD và BDC là 
Diện tích tam giác BDC là 78 : = 97,5 (cm2)
Tỉ số phần trăm của diện tích hình tam giác ABD và diện tích tam giác BDC là: 4:5 = 0,8
 0,8 = 80%
* Sang bài tập 2 đa số các em vẽ hình đúng, đẹp và chính xác nhưng không có em nào tính được diện tích tam giác ABC bởi vì để giải được bài này thì đòi hỏi các em phải nắm vững mối quan hệ giữa các yếu tố trong một tam giác (đáy, chiều cao (tương ứng với đáy) và diện tích).
Ta thấy trong thực tiễn dạy toán, không phải bài toán nào cũng ở dạng tường minh như bài tập 1 chỉ cần dựa vào công thức là tính ngay được kết quả. Đặc biệt là trong quá trình dạy bồi dưỡng học sinh năng khiếu, để đáp ứng được nhu cầu học tập của học sinh, giáo viên phải sưu tầm, thiết kế những bài toán nâng cao hơn, khái quát hơn thường những bài toán được "ngụy trang" bởi những điều kiện chưa tường minh. Bởi vậy sẽ không tránh khỏi những vướng mắc, khó khăn nếu giáo viên không có phương pháp giúp học sinh nắm vững mối quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác. 
	Từ kết quả thực trạng trên, để chất lượng dạy- học đạt hiệu quả cao hơn trong phạm vi bài viết của mình, với vốn kiến thức còn ít ỏi, tôi đã đưa ra một số vấn đề xây dựng một chuỗi bài tập về diện tích và các yếu tố có liên quan đến diện tích của hình tam giác trên cơ sở của một bài toán cơ bản từ đó nhằm khai thác và phát triển tối đa thành một hệ thống các bài toán khác từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. Từ đó giúp học sinh tích cực suy nghĩ, tìm tòi phát triển năng lực trí tuệ.
2.3. Các giải pháp đã thực hiện : 
 Qua quá trình dạy cho HS tôi nhận thấy để học sinh giải một số bài tập có liên quan đến diện tích hình tam giác thì khi hướng dẫn học sinh (HS) giải một số bài toán được phát triển từ một bài toán cơ bản về diện tích các hình tam giác, người giáo viên cần phải:
	2.3.1. Vận dụng công thức để tính diện tích.
	- Áp dụng trực tiếp công thức.
	- Áp dụng công thức tính diện tích để tính độ dài đoạn thẳng (cạnh đáy, chiều cao)
VD: Cho tam giác ABC có diện tích là 12cm2. Cạnh AB = 8cm và AC = 5cm. Kéo dài thêm AB đến M và AC đến N sao cho BM = CN = 2cm. Hỏi diện tích tam giác AMN là bao nhiêu cm2? (Không làm thay đổi góc tạo bởi hai cạnh AB và AC). 
	 Để giải bài toán này học sinh áp dụng công thức (đã học) tính diện tích tam giác: và công thức triển khai để tính chiều cao hoặc đáy của tam giác đã cho ;như sau 
Chiều cao CH là: 12 ´ 2 : 8 = 3 (cm) 
SACM = (8 + 2) ´ 3 : 2 = 15 (cm2) 
Chiều cao MK là 15 ´ 2 : 5 = 6 (cm)
Vậy: SAMN = (5 + 2) ´ 6 : 2 = 21 (cm2).
2.3.2. Dùng tỷ số (tỷ số về số đo các đoạn thẳng, tỷ số về số đo diện tích). Điều này được thể hiện dưới những hình thức sau:
	- Nếu hai tam giác có cùng diện tích thì đáy của chúng tỷ lệ nghịch với chiều cao (tương ứng).
	VD: Cho hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB bằng 12cm, chiều rộng BC bằng 7cm. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho ; trên cạnh BC lấy điểm M saocho . Nối E với M, M với D. 
	a. So sánh diện tích tam giác EBM và MCD.
A
B
E
D
C
M
	b. So sánh các đoạn BM và MC; EB và DC.
Giải:
Ta có hình vẽ bên:
a/ Độ dài đoạn EB là: 12 x = 9 (cm)
Độ dài đoạn BM là: 7: (3 + 4) x 4 = 4(cm)
Độ dài đoạn MC là: 7 – 4 = 3 (cm)
 => SEBM = 9 x 4: 2 = 18 (cm2) (1)
 SMCD =3 x 12: 2 = 18 (cm2) (2)
Từ (1) và (2) ta có: SEBM = SMCD = 18cm2 
b/ Từ câu (a) HD HS tìm ra tỉ số các đoạn BM (là chiều cao của DEBM) và MC (chiều cao DMCD); EB (đáy củaDEBM) và DC (đáy củaDMCD; CD = AB) 
chiều cao DEBM
=
 đáy của DEBM
chiều cao DMCD
 đáy của DMCD
=>
+ Tỉ số BM và MC là 
+ Tỉ số EB và DC là 
	- Nếu hai tam giác có chung chiều cao thì diện tích của chúng tỷ lệ thuận với đáy (tương ứng).
VD1: Cho tam giác ABC có 
diện tích là 12cm2. Cạnh AB = 8cm
và AC = 5cm. Kéo dài thêm AB 
đến M và AC đến N sao cho 
BM = CN = 2cm. Hỏi diện tích 
tam giác AMN là bao nhiêu cm2? 
(Không làm thay đổi góc tạo bởi hai cạnh AB và AC). 
Giải: So sánh hai tam giác ACM và ACB ta thấy: 
	Chung chiều cao CH, các đáy AB = 8cm; 
 AM = AB + BM = 8 + 2 =10 (cm)
	Suy ra S ACM là 8 phần thì SACB là 10 phần
	Vậy SACM = 12: 8 ´ 10 = 15 (cm2)
	Tương tự, ta có 
	So sánh hai tam giác AMC và AMN ta thấy: 
	Chiều cao MK chung, các đáy AC = 5 cm;
 AN = AC + NC = 5 + 2 = 7 (cm)
	Suy ra S AMC là 5 phần thì SAMN là 7 phần 
	Vậy S AMC = 15: 5 ´ 7 = 21 (cm2)
VD2: Một mảnh vườn hình tam giác ABC (như hình vẽ) có diện tích 90 cm2, cạnh AB dài 10m. Trên cạnh BC có điểm M sao cho BM = 2 MC. Người ta muốn kẻ đường thẳng qua M cắt cạnh AB tại điểm N sao cho diện tích tam giác BMN bằng 15 cm2. Hỏi điểm N cách B bao nhiêu mét?
Giải:	Đoạn BM là 2 phần thì BC bằng: 2 + 1 = 3 (phần)
Hai tam giác ABM và ABC có chiều cao A 
chung (hạ từ A tới BC) nên: 
	SABM = 90 : 3 ´ 2 = 60 (m2) H
mà SABM so với SBMN thì gấp 60 : 15 = 4 (lần)	 N
Hai tam giác ABM và BMN có chiều cao	
chung (hạ từ M tới AB) nên: B M C 
	SABM = ; SBMN = (Có chung MH)
	=> SABM : SBMN = = = = 4 (lần)
	Vậy BN = AB : 4 = 10 : 4 = 2,5 (cm)
- Nếu hai tam giác có chung đáy thì diện tích của chúng tỷ lệ thuận với chiều cao (tương ứng).
VD: Cho tam giác ABC và một điểm O nằm trong tam giác đường thẳng AO cắt BC tại M, đường thẳng BO cắt CA tại N. Cho biết diện tích tam giác AOB là 3 cm2, diện tích tam giác BOM và diện tích tam giác AON đều bằng 1 cm2. Hãy tính diện tích tam giác ABC. (100 bài toán chu vi & diện tích- lớp 4-5)
	2.3.3. Thực hiện phép tính trên số đo diện tích và các thao tác phân tích, tổng hợp trên hình vẽ. Điều này được thể hiện như sau:
	- Một hình được chia ra nhiều hình nhỏ thì diện tích của hình đó bằng tổng diện tích các hình nhỏ.
	- Hai hình có diện tích bằng nhau mà cùng có phần chung hoặc có phần bằng nhau thì phần còn lại tương ứng cũng bằng nhau.
	VD: a. Cho tam giác ABC có cạnh AB = 9 cm và diện tích là 36 cm2. Trên BC, lấy điểm M sao cho BM = 3MC. Qua M người ta vẽ một đường thẳng cắt BA kéo dài tại điểm K sao cho diện tích tam giác KBM cũng bằng 36 cm2. So sánh diện tích hai tam giác OAK và OCM biết AC và MK cắt nhau tại điểm O (100 bài toán chu vi & diện tích- lớp 4-5)
	b. Cho tam giác ABC, An giảm cạnh AB đi 1/4 của nó, sau đó lại tăng cạnh AC thêm 1/4 của cạnh này. Sau khi tính cẩn thận, An thấy diện tích tam giác mới lại nhỏ hơn diện tích tam giác ban đầu là 2 cm2. Hãy tính diện tích của tam giác lúc chưa thay đổi cạnh. (100 bài toán chu vi & diện tích- lớp 4-5)
	2.3.4. Các bài tập phát triển từ một bài toán cơ bản về diện tích các hình tam giác.
	Ở hệ thống các bài tập sau đây, tôi đưa ra 2 ví dụ cơ bản từ đó phát triển 
thành các mẫu bài tập:
	+ Tính và so sánh diện tích các hình tam giác.
	+ Tính và so sánh độ dài các cạnh đáy.
	+ Tính và so sánh độ dài các đường cao.
	+ Các bài tập về chứng minh (hay chứng tỏ).
	Một thực tế chúng ta biết rằng: Muốn làm được bài khó chúng ta phải đi từ những bài cơ bản nắm chắc từng khái niệm, từng dạng bài thì lúc đó mới có cơ sở để tư duy những bài khác phức tạp hơn một cách linh hoạt sáng tạo. 	Chúng ta bắt đầu từ một bài toán đơn giản được đưa ra trong sách giáo khoa như sau:
Ví dụ 1: Cho hình tam giác ABC. Điểm M là điểm chính giữa của cạnh BC. Hãy so sánh diện tích của 2 hình tam giác ABM và AMC.
A
B
M
C
 Giải:
Ta có hình vẽ (H.1)
Kí hiệu S là diện tích.
Hai tam giác ABM và AMC
có chung chiều cao hạ từ A và có đáy (H.1)
BM = MC nên: SABM = SAMC. Từ VD trên ta phát triển được các bài toán sau:
	Bài tập 1: Cho tam giác ABC. Điểm M là điểm chính giữa của BC; BH và CK tương ứng là hai đường cao của 2 tam giác ABM và ACM. 
Chứng tỏ rằng BH = CK.
Giải: Ta có hình vẽ (H.2). Theo ví dụ 1 ta có SABM = SAMC (1)
K
A
B
H
M
C
(2)
Mà 	SBMA = 
	SCAM = 	
Từ (1) và (2) suy ra: = 
Hay . Vậy BH = CK. (đ.p.c.m).	(H.2)
	Từ bài tập 1 ta có thể phát triển các bài tập sau:
(H3)
A
B
M
C
N
 	Bài tập 11: Cho tam giác ABC. Điểm M là điểm chính giữa của BC và N là điểm chính giữa của AC. Tính diện tích tam giác ABC. Biết diện tích tam giác MNC là 2 cm2.
Giải: Ta có hình vẽ (H.3)
Theo ví dụ 1 ta có:	
 SABM = SAMC = SABC // // 
 => SABC = 2SAMC (1) 
Tương tự: SMNC= SAMN = SMAC => SAMC =2SMNC (2)	
 Từ (1) và (2) => SABC = 2S AMC = 2 x 2 SMNC = 4SMNC = 4 x 2 = 8 (cm2)
 Vậy SABC = 8 (cm2)
 A A A
B
 M 
C
N
A
	Bài tập 12: Cho tam giác ABC. Điểm M là điểm chính giữa của BC. Từ M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại N. 
Tính S MNC, biết S ABC = 24 cm2. 
Giải: Ta có hình vẽ (H.4) 
Vì MN // AB (gt) nên ABMN là hình thang. 
(H4)
Suy ra các đường cao hạ từ đỉnh A và B 
xuống MN của 2 tam giác AMN và BMN bằng nhau 
=> SAMN = SBMN (chung đáy MN và đường cao bằng nhau) (1) 
Ta lại có: S MNC = SMNB (chung đường cao hạ từ đỉnh N, BM = MC) (2) 
	Từ (1) và (2) suy ra: S MNC = S MNA = S MAC.
	Mặt khác ta có: SAMC =S ABC (Theo VD1)
	Từ đó => S MNC = S MAC =S ABC = x 24 = 6 (cm2)
	Từ bài tập 12 ta phát triển được các bài tập sau:
	Bài tập 12-1: Cho tam giác ABC có AB = 4cm. Điểm M và N lần lượt là điểm chính giữa của BC và AC. Tính đường cao MK của tam giác MAB.
Biết SMNC = 4cm2.
A 
B
M
C
N
K
Giải:
Ta có hình vẽ (H.5).
Ta có: SAMB = SAMC (chung đường
cao hạ từ đỉnh A; MB = MC); (H.5)	
S MAN = S MNC (chung đường cao 4 cm2 
hạ từ đỉnh M và NB = NC). 
 => S AMB = S AMC = 2S MNC = 2 4 = 8 (cm2) S AMB = 8cm2 
hay (8cm2) => MK = 4(cm )
	Vậy độ dài đường cao MK của D MAB là 4 cm
	Bài tập 12-2: Cho tam giác ABC. Điểm M là điểm chính giữa của BC. 
Nối AM, trên AM lấy điểm N sao cho AN = NM. Tính đường cao NQ
A
B
M
C
N
K
Q
của tam giác NAC. Biết đường cao BK của tam giác BAC là 8 cm .
Giải:
Ta có hình vẽ (H.6).
Theo VD1 ta có: (H.6)
SCNA =SCMN =S AMC và 
S AMC = S AMB = S ABC 
Ta suy ra S CNA = S ABC (*) hay 
 => NQ = = = 2(cm)
A
B
M
C
N
K
I
H
Bài tập 12-3: Cho tam giác ABC. Điểm M là điểm chính giữa của BC. Trên AM lấy điểm I sao cho IM = AI. Nối CI, kéo dài cắt AB tại N. 
Tính S ABC biết S BMN = 24cm2
Giải: L 
Ta có hình vẽ (H.7)
Kẻ đường cao AH của DANC; 
đường cao MK của DMIC;
đường cao CLcủa DCAI và DCMI (H.7) 
Ta có: S CMI = S CIA (*) 
(chung đường cao CL và đáy MI = IA). Lại có, DAIC và DMIC, chung đáy IC nên theo (*) thì đường cao MK = AH. 
Từ đó ta có: S MNC = S ANC (chung đáy NC và đường cao MK = AH). 
Mà S MNB = S MNC và S NAC = S ABC (Theo VD1) 
=> SMNB = SMNC = SNAC = ´ SABC
Do đó S MNB = S ABC hay S ABC = 4S MNB . Vậy S ABC = 4 ´ 24 = 96 (cm2).
Bài tập 2: Cho tam giác ABC. Điểm M là điểm chính giữa của BC. Trên AC lấy điểm N sao cho AN = AC. Nối MN cắt BA kéo dài tại K.
a/ Tính S ABC biết S AKN = 50 cm2
b/ So sánh KN và KM.
A
B
M
C
N
K
Giải:
Ta có hình vẽ (H.9) (H.9)
a/ Tương tự VD1 ta cũng có: 
 S NBM = S NMC ; S KBM = S KMC (1)
Mà 	S KBM = S KNB + S NBM
	S KMC = S KNC + S NMC Do vậy S KNB + S NBM = S KNC + S NMC (2)
Từ (1) và (2) => S KNB = S KNC
Ta lại có: S KAN = S KNC (chung đường cao hạ từ A và AN = NC).
Suy ra: S KNC = 3S KAN = 3 ´ 5 = 150(cm2)
=> S ANB = S KNB - S AKN = 150 - 50 = 100(cm2)
Mặt khác: S BAN = S BAC (chung đường cao hạ từ B và AN = AC).
	=> S ABC = 4S BAN. = 4 ´ 100 = 400(cm2)
b/ Ta có: S NBC = S ABC - S ANB = 400 - 100 = 300(cm2).
Do đó: S NMC = S NBc =´ 300 = 150(cm2)	 (1)	
Và S KNC = 3S KNA = 3 ´ 50 = 150(cm2)	(2).
Từ (1) và (2) suy ra: S CNK = S CMN (3).
2D CNK và CMN lại có chung đường cao hạ từ C nên theo (3) ta có:
	KN = NM. Hay KN = KM. Vậy KN = KM.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. M là một điểm nằm trên AC sao cho 
A
B B
C
M
AM =AC. Tính SABC? Biết SAMB = 2cm2.
Giải: 
 Ta có hình vẽ (H.10) 
Ta có: SAMB = SABC (chung đường cao
 hạ từ B và AM = AC). (H.10) 
Suy ra: SABC = 3SAMB = 3 ´ 2 = 6(cm2.) 	
Từ ví dụ 2 ta phát triển các bài tập sau:
A
B
C
M
H
Bài tập 1: Cho tam giác ABC, cạnh BC = 3cm. Trên AC lấy M sao cho AM = AC. Tính đường cao AH của DABC. Biết SAMB là 2cm2.
Giải:
Ta có hình vẽ (H.11)
Ta có: SABC = 3SAMB (theo ví dụ 2).
áp dụng công thức tính diện tích 
hình tam giác; ta có: (H.11)
 SABC = => AH = .
A
B
C
K
H
E
F
I
Bài tập 2: Cho tam giác ABC. Trên BC lấy điểm F sao cho BF = BC. Trên AB lấy điểm E sao cho AE = AB. Nối A với F và C với E cắt nhau tại H. Biết SAEH = 3cm2. Tính: a/ SHAC ?
 b/ SABC ? 
Giải:
Ta có hình vẽ (H.12)
Từ B kẻ đường cao BI của DBAF.
Từ C kẻ đường cao CK của DCAF.
a/ Ta có: SBHF = SCHF (chung đường (H.12)
cao hạ từ H và BF = CF). => 2SBHF = SCHF 
hay 2 ´ BI ´ HF = CK ´ HF => BI = CK (1)
Ta cũng có BI và CK lần lượt là đường cao của các tam giác BAH và CAH, chung đáy AH (2)
Từ (1) và (2) ta có: SBAH = SCAH => SCAH = 2SBAH hay SHAC = 2SHAB (3)
Mặt khác: SHAB = 3SHAE (chung đường cao hạ từ H và AB = 3AE (gt)) (4)
Từ (3) và (4) Suy ra: SHAC = 2SHAB = 2 ´ 3 ´ SHAE = 2 ´ 3 ´ 3 = 18 (cm2)
b/ Ta có: SCAE = SHAC + SAHE = 18 + 3 = 21(cm2).
	Mà SCAE = SCAB (chung đường cao hạ từ C và AE = AB) 
hay SCAE = SABC. Suy ra: SABC = 3SCAE = 3 ´ 21 = 63(cm2) 
Bài tập 3: 	Cho tam giác ABC. Trên AC lấy điểm M sao cho AM = AC. Trên BC lấy điểm N sao cho BN = BC. Nối AN và BN cắt nhau tại E.
	a/ Chứng tỏ rằng SAEM = SBEN
A
B
C
K
H
N
E
M
 b/ Kẻ đường cao MK của DMEC và đường cao NH của DNEC.
 Chứng tỏ rằng NH = MK.
Giải: Ta có hình vẽ (H.13)
a/ Từ VD2, ta có: 
SABC = 3 SABN 
SABC = 3 SABM =>SABM = SABN (H.13) 
hay SAEM + SAEB = SBEN + SAEB => SAEM = SBEN 
b/ Theo (a) ta có: SAEM = SBEN.
Mà SAEM = SEMC (chung đường cao hạ từ E và AM = MC).
SBEN = SENC (chung đường cao hạ từ E và BN = NC).
Suy ra SMEC = SNEC (1) => MK ´ EC = NH ´ EC => MK = NH
Bài tập 4: Cho tam giác ABC. Trên AC lấy điểm H sao cho AH =AC. Trên BC lấy điểm M sao cho BM = BC. Nối AM và BH cắt nhau tại O. Từ C kẻ
 đường cao CE của tam giác COM, CF là đường cao của tam giác COH.
B
A
C
O
H
F
E
M
Tính CE và CF biết và CE + CF = 14cm.
Giải:
Ta có hình vẽ (H.14)
Theo bài tập 3 ta có: SCHO = SCMO 
Nghĩa l