SKKN Một số dạng toán về cách đọc các yếu tố của đồ thị hàm số f’(x) cho học sinh ôn thi THPT Quốc gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 2
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ CÁCH DỌC CÁC YẾU TỐ CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ F’(X) CHO HỌC SINH ÔN THI THPT QUỐC GIA 
 Họ và tên : Nguyễn Thị Mai
 Chức vụ chuyên môn: Giáo viên
 SKKN thuộc môn: Toán
	 THANH HOÁ, NĂM 2019
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI : 
Từ năm học 2016-2017 cho đến nay Bộ Giáo dục và Đào tạo thực hiện đổi mới trong kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc gia (THPTQG). Trong đó môn toán được đổi từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm. Việc thay đổi đã tạo nên nhiều bỡ ngỡ cũng như khó khăn cho cả giáo viên và học sinh trong việc ôn luyện. Hình thức thi trắc nghiệm môn toán đòi hỏi một số cách tiếp cận vấn đề mới so với hình thức thi tự luận. Nó đòi hỏi học sinh không những phải có vốn kiến thức chắc chắn mà còn phải có một lượng kiến thức rộng và đặc biệt phải linh hoạt trong cách tiếp cận các dạng toán. Chẳng hạn như khi học về hàm số và đồ thị nếu như hình thức thi tự luận thì cách đặt câu hỏi và cách tiếp cận bài toán hoàn toàn khác so với cách tiếp cận của bài toán trắc nghiệm vì thế ta cần phải biết phân tích bài toán , loại bỏ các phương án gây nhiễu để có được kết quả chính xác nhất. Có những bài học sinh dễ dàng đưa ra đáp án nhưng có những bài việc lựa chọn lại vô cùng khó khăn và phức tạp như bài toán sau: Nếu cho đồ thị của hàm số thì có thể kết luận về tính đơn điệu của hàm số không? Ta xét ví dụ sau: Cho hàm số . Đồ thị của hàm số như hình bên. Đặt . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 
A. . B. .	
C. . D. .
Khi gặp bài toán này học sinh sẽ gặp phải một số khó khăn :
- Hiểu nhầm đây là đồ thị hàm số 
- Thiếu kỹ năng đọc đồ thị, mà đây lại là đồ thị hàm số 
Đứng trước các vấn đề trên tôi thấy trong quá trình giảng dạy cần phải tổng quát hóa để phân dạng và đưa ra phương pháp giải cho học sinh dễ dàng nhận biết và từ đó biết cách đọc các yếu tố trên đò thị f’(x). Vì thế mà tôi chọ đề tài “ Một số dạng toán về cách đọc các yếu tố của đồ thị hàm số f’(x) cho học sinh ôn thi THPTQuốc gia” 
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU :
Để cho học sinh thấy được mối liên hệ của đồ thị hàm số với các vấn đề của hàm số . Từ đó có thể làm tốt các dạng toán này, mang lại kết quả cao trong các kì thi, đặc biệt là kì thi TN THPT QG 2018 – 2019 và các năm tiếp theo
III. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU : 
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là vận dụng một số lý thuyết trong chương trình SGK 12 để giải quyết các dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số .
IV. CÁCH TIẾP CẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU : 
Sử dụng các phương pháp nghiên cứu chuyên ngành lý luận và phương pháp giảng dạy môn toán đã học tôi tập trung vào các phương pháp sau:
Nghiên cứu lý luận
Điều tra quan sát thực tiễn
Thực nghiệm sư phạm
PHẦN II. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
 1. Sự tương giao giữa đồ thị hàm số và trục hoành.
Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm 
Ví dụ minh hoạ:
Hàm số có đồ thị như hình bên.
Suy ra phương trình có 3 nghiệm 
2. Dấu hiệu nhận biết điểm cực đại, điểm cực tiểu của hàm số bằng bảng biến thiên.
Bảng 1:
Hàm số đạt cực đại tại điểm .
Bảng 2:
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm .
3. Dấu hiệu nhận biết giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số bằng bảng biến thiên.
Bảng 3:
Ta có: .
Bảng 4:
Ta có: .
Bảng 5: Bảng 6:
Ta có: . Ta có: .
4. Xét dấu của tích phân xác định khi biết giới hạn miền phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số dưới dấu tích phân, trục hoành và hai đường thẳng .
5. 
6. Phép biến đổi đồ thị.
Cho hàm số có đồ thị (C). Khi đó, với số ta có:
1) Hàm số có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của lên trên đơn vị.
2) Hàm số có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của xuống dưới đơn vị.
3) Hàm số có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của qua trái đơn vị.
4) Hàm số có đồ thị (C’) là tịnh tiến (C) theo phương của qua phải đơn vị.
5) Hàm số có đồ thị (C’) bằng cách:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục , bỏ phần (C) nằm bên trái .
+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục qua .
6) Hàm số có đồ thị (C’) bằng cách:
+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm trên .
+ Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm dưới qua và bỏ phần đồ thị (C) nằm dưới trục Ox
II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ 
 - Trong chương trình toán học phổ thông ở SGK; SBT thậm chí một số sách đọc thêm cũng chỉ nói rất sơ sài về phần này nếu có chỉ một vài ví dụ và nó không mang tính tổng quát.
- Nhiều học sinh tuy rằng nắm rất vững kiến thức toán học về mặt lý thuyết nhưng khi gặp những dạng toán này cũng rất lúng túng không biết vận dụng như thế nào.
- Thực tế trong cách đổi mới thi cử hiện nay thì việc đưa các bài toán đồ thị đạo hàm là những bài toán vận dụng cao là nhiều gặp những bài toán đó thì đòi hỏi học sinh ngoài việc thành thạo các công thức toán học mà phải hiểu biết và làm nhiều để có kinh nghiệm có thể suy luận giải quyết các bài đã ra một cách đầy đủ và chính xác.
 Trước thực trạng nói trên tôi rất băn khoăn và tự đặt câu hỏi làm thế nào để giúp học sinh khi đứng trước những bài toán có đồ thị đạo hàm như thế.
III. GIẢI PHÁP ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ.
Dạng 1: Tìm khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số 
Bài 1: Hàm số liên tục trên khoảng , biết đồ thị của hàm số trên như hình vẽ bên. Tìm số cực trị của hàm số trên .
A. B. C. D. 
Hướng dẫn:
Đối với dạng này ta chỉ cần tìm xem đồ thị cắt trục tại mấy điểm mà thôi, không kể các điểm mà đồ thị tiếp xúc với trục . Ta chọn đáp án B.
Nhận xét: xét một thực dương. Ta có thể đổi yêu cầu lại là: Tìm số cực trị của hàm số hoặc trên , thì đáp án vẫn không thay đổi. Chú ý số cực trị của các hàm số , và là bằng nhau nhưng mỗi hàm số đạt cực trị tại các giá trị khác nhau!
Giả thiết ở bài 1 và các bài sau có thể thay đổi theo hướng như sau:
Hàm số liên tục trên khoảng và có đồ thị như hình vẽ. Biết là một nguyên hàm của hàm số . Tìm số cực trị của hàm số trên .
Bài 2: Cho hàm số có đồ thị của nó trên khoảng như hình vẽ. Khi đó trên hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1. B. 4. C. 3. D. 2.
Bài 3: Cho hàm số xác định trên R và có đồ thị của hàm số như hình vẽ bên. Hàm số có mấy điểm cực trị?
A. .	B. . C. . D. .
Hướng dẫn: 
đồ thị hàm số là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số theo phương trục hoành nên đồ thị hàm số vẫn cắt trục hoành tại 3 điểm.Ta chọn đáp án C.
Bài 4: Cho hàm số xác định trên R và có đồ thị của hàm số như hình vẽ . Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1.	B.2.	C. 3.	D.4.
Hướng dẫn: có đồ thị là phép tịnh tiến đồ thị hàm số theo phương lên trên 4 đơn vị.
Khi đó đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm, ta chọn đáp án A.
Bài 5: Cho hàm số xác định trên R và có đồ thị của hàm số như hình vẽ . Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 1.	 B.2.	C. 3.	D.4.
Hướng dẫn: 
 có đồ thị là phép tịnh tiến đồ thị của hàm số theo phương xuống dưới 3 đơn vị. Khi đó đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm, ta chọn đáp án C.
Bài 6: Cho hàm số liên tục trên . Hàm số có đồ thị như hình vẽ. Hàm số có bao nhiêu cực trị?
A. 	B. 	 C. 	D. 
Hướng dẫn: 
Ta có . Suy ra đồ thị của hàm số là phép tịnh tiến đồ thị hàm số theo phương xuống dưới đơn vị. 
Ta có và dựa vào đồ thị của hàm số , ta suy ra
đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm. Ta chọn phương án D.
Bài 7: Cho hàm số xác định và liên tục trên , có đồ thị của hàm số như hình vẽ sau. Đặt . Tìm số cực trị của hàm số ?
A. 1. 	B. 2. 	 C. 3. 	D. 4. 
Hướng dẫn:
Ta có . Đồ thị của hàm số là phép tịnh tiến đồ thị của hàm số theo phương lên trên 1 đơn vị, khi đó đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt, ta chọn đáp án B.
Bài 8: Cho hàm số . Biết có đạo hàm và hàm số có đồ thị như hình vẽ. Đặt . Kết luận nào sau đây đúng?
A. Hàm số có hai điểm cực trị.
B. Hàm số đồng biến trên khoảng .
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng .
D. Hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
Hướng dẫn: 
Cách 1 : 
 2 4 
 - 0 + 0 - 0 + 
Ta chọn đáp án C.
Cách 2: Đồ thị hàm số là phép tịnh tiến đồ thị hàm số theo phương trục hoành sang trái 1 đơn vị.
Ta thấy trên khoảng đồ thị hàm số nằm bên dưới trục hoành nên hàm số nghịch biến trên khoảng , ta chọn đáp án C.
Bài 9: Cho hàm số . Đồ thị của hàm số như hình bên. Đặt .
 Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.. B. .
C.. D. .
Hướng dẫn: 
Ta có: 
 Ta vẽ đường thẳng .
Như vậy ta có: Ta chọn đáp án A.
Dạng 2 ; Tìm giá trị nhỏ nhất , giá trị lớn nhất hoặc so sánh các giá trị của hàm số 
Bài 1: Cho hàm số xác định và liên tục trên , có đồ thị của hàm số như hình bên. Tìm giá trị để hàm số đạt giá trị lớn nhất trên .
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn: Từ đồ thị ta có bảng biến thiên:
 + 0 + 0 - 
Ta chọn đáp án D.
Bài 2: Cho hàm số có đạo hàm là . Đồ thị của hàm số được cho như hình vẽ bên. Biết rằng 
. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của trên đoạn 
A. B. 
C. D. 
Hướng dẫn: 
 3 
 0 0 
 và 
Bài 3 : Cho hàm số có đạo hàm là . Đồ thị của hàm số được cho như hình vẽ bên. Biết rằng . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của trên đoạn 
A. B. 
C. D. 
Hướng dẫn:
 1 3 
 0 0 
Dựa vào BBT ta có , GTNN chỉ có thể là hoặc 
Ta lại có: 
Ta chọn đáp án A.
Bài 4: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên R và đồ thị của hàm số trên đoạn như hình vẽ bên. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A. B. .C. .D. .
Hướng dẫn: Từ đồ thị của hàm số ta có bảng biến thiên như sau:
 6 
 0 0 
Ta có: 
.Ta chọn đáp án C.
Bài 5: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên R và đồ thị của hàm số như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. và 
B. và 
C. và 
D. và 
Hướng dẫn:
Ta chọn đáp án A.
Bài 6: Cho các số thực , , , thỏa mãn và hàm số . Biết hàm số có đồ thị như hình vẽ. Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. B.. C.. D. .
Hướng dẫn: 
Ta có bảng biến thiên:
 - 0 + 0 - 0 + 
 * 
So sánh 
 So sánh .
. Ta chọn đáp án A.
Bài 7 :  Cho hàm số xác định và liên tục trên đoạn , có đồ thị của hàm số như hình vẽ sau. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. B. C. D. 
Hướng dẫn :
 - 0 + 0 - 0 + 
 * 
 .
.
Ta chọn đáp án B.
Dạng 3 : Nhận biết mối liên hệ giữa đồ thị của các hàm số , , 
Phương pháp: sử dụng 1 trong 2 phương pháp hoặc kết hợp cả 2 phương pháp.
PP1: Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại những điểm là các điểm cực trị của đồ thị hàm số .
PP2: Tìm giao điểm của các đồ thị hàm số với trục hoành (nếu có). Sau đó dựa vào tính chất sau. 
 tăng trên ; giảm trên .
Minh hoạ bằng hàm số .
Bài 1: Cho đồ thị của ba hàm số được vẽ mô tả ở hình dưới đây. Hỏi đồ thị các hàm số theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào ?
A. .	B. . 
C. . D. .
Hướng dẫn:
Từ hình vẽ ta thấy: đồ thị cắt trục tại 2 điểm là 2 điểm cực trị của của đồ thị hàm số 
Đồ thị cắt trục tại 1 điểm là điểm cực trị của của đồ thị hàm số Ta chọn đáp án A.
Bài 2: Cho đồ thị của ba hàm số được vẽ mô tả ở hình dưới đây. Hỏi đồ thị các hàm số theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào ?
A. B. . 
C. . D. .
 Bài 3 Cho đồ thị của ba hàm sốđược vẽ mô tả ở hình dưới đây. Hỏi đồ thị các hàm sốtheo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào ?
A. B. 
C. . D. .
Hướng dẫn:
Dựa vào phương pháp 1 có hai khả năng : hoặc . Quan sát đồ thị ta thấy ứng với các khoảng mà đồ thị nằm trên trục hoành thì đồ thị “đi lên” và ngược lại; còn ứng với các khoảng mà đồ thị nằm trên trục hoành thì đồ thị “đi lên” và ngược lại. Ta chọn đáp án D .
Bài 4: Cho đồ thị của ba hàm số được vẽ mô tả ở hình dưới đây. Hỏi đồ thị các hàm số theo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào ?
A. . B.. C. . D. . 
Hướng dẫn:
Dựa vào phương pháp 1 có hai khả năng : hoặc . Quan sát đồ thị ta thấy ứng với các khoảng mà đồ thị nằm trên trục hoành thì đồ thị “đi lên” và ngược lại; còn ứng với các khoảng mà đồ thị nằm trên trục hoành thì đồ thị “đi lên” và ngược lại. Ta chọn đáp án D .
Bài 5: Cho đồ thị của ba hàm số được vẽ mô tả ở hình dưới đây. Hỏi đồ thị các hàm sốtheo thứ tự, lần lượt tương ứng với đường cong nào ?
A.. B. 
C. . D. .
Dạng 4: Đồ thị hàm số y = f’(x) và bài toán thực tế
Bài 1: Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó.
	A. B. C. D. 
Hướng dẫn:
Giả sử phương trình chuyển động của vật theo đường parabol .
Ta có: .
Vậy quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ là:
 Ta chọn đáp án C.
Bài 2: Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị là một phần của đường parabol với đỉnh và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi bắt đầu chạy. 
	A. B. C. D. 
Bài 3: Cho hàm số có đồ thị (C). Biết rằng đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng tại điểm có hoành độ dương và đồ thị hàm số cho bởi hình vẽ bên. Tìm phần nguyên của giá trị diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành?
A. 29.	B. 27.	C. 2.	D. 35.
Hướng dẫn: Ta có . Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số đi qua 3 điểm ta tìm được: .Suy ra: .
Do (C) tiếp xúc với đường thẳng tại điểm có hoành độ dương nên ta có: 
Như vậy (C) đi qua điểm ta tìm được .
Xét phương trình trình hoành độ giao điểm và trục hoành: .
 Ta chọn đáp số A.
Bài 4: Cho hàm số có đồ thị (C), đồ thị hàm số như hình vẽ. Biết đồ thị hàm số đạt cực tiểu tại điểm . Đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm. Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành?
A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn:
Từ đồ thị của hàm số và ta dễ dàng có được đồ thị hàm số như sau: Ta có 
. Đồ thị hàm số đi qua ta tìm được .
Do (C) tiếp xúc với trục hoành nên . Do (C) đối xứng qua trục tung nên (C) tiếp xúc với trục hoành tại 2 điểm .
Do đó: 
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) với trục hoành: Ta chọn đáp án D.
IV. HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỐI VỚI HOẠT ĐỘNG GIÁO DỤC.
1. Kết quả thực hiện
 Đây là vấn đề mà đã được tôi áp dụng vào giảng dạy cho học sinh trường THPT Triệu Sơn 2 cụ thể là học sinh các lớp 12A3, 12A4 (khoá học 2014-2017), lớp 12B3 (khoá học 2015- 2018) và thu được kết quả tốt đa số các em thực hành thành thạo và tự tin hơn trong các bài toán đọc đồ thị hàm số liên quan đến đạo hàm, tích phân. Sáng kiến kinh nghiệm này có thể áp dụng đối với tất cả học sinh lớp 12, tuỳ theo từng chương mà ta chia nhỏ nội dung của SKKN ra để giảng dạy. Sau khi áp dụng tôi cảm thấy hài lòng với kết quả trên, đa số các em hiểu và giải quyết tốt được vấn đề.Kết quả thu được như sau
Lớp
Dưới trung bình
Trung bình
Khá
Giỏi
Thời gian
Lần 1
12A3
13/43
21/43
7/43
2/43
Đang chậm
12A4
15/40
19/40
5/40
1/40
Đang chậm
12B3
10/42
23/42
8/42
1/42
Đang chậm
Lần 2
12A3
2/43
6/43
22/43
13/43
Nhanh hơn nhiều
12A4
6/40
8/40
22/40
4/40
Nhanh hơn
12B3
11/42
22/42
9/42
Nhanh rõ rệt
PHẦN 3. KẾT LUẬN
1. Kết luận
 - SKKN đã tương đối thể hiện đầy đủ các dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số và phương pháp giải.
- SKKN cũng đã đưa ra mộ số bài tập liên quan đến vật lý.	
- SKKN cũng đã góp phần thay đổi tư duy từ tự luận sang trắc nghiệm.
- Là một dạng toán tổng hợp nên giúp học sinh thấy được mối liên hệ giữa các kiến thức đã học, từ đó giúp học sinh hình thành tư duy phân tích, tổng hợp.
- Tôi hy vọng SKKN này sẽ giúp học sinh tự tin hơn khi giải quyết các dạng bài tập liên quan đến đồ thị của hàm số từ đó đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới.
2.Kiến nghị 
- Tạo điều kiện để tổ chuyên môn được thường xuyên trao đổi rút kinh nghiệm để dần nâng cao trình độ 
- Tổ chức nhiều các hoạt động ngoại khoá toán học cho học sinh.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Triệu Sơn, ngày 22 tháng 5 năm 2019
Tôi xin cam đoan đây là SKKN mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
Người viết
NGUYỄN THỊ MAI
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Giải tích và bài tập Giải tíchb12; tác giả Trần Văn Hạo (Tổng Chủ biên), nhà xuất bản Giáo dục. 
 Đề TN THPTQG năm học 2017-2018 của bộ GDĐT. 
 Đề minh hoạ 001 môn toán tháng 1 năm 2018 của bộ GDĐT. 
 Đề thi thử của một số trường chuyên và không chuyên trong nước. 
Single variable CALCULUS early transcendentals, seventh edition-James Stewart.
MỘT SỐ TỪ VI ẾT TẮT
HS: Học sinh
GV: Giáo viên
THPT: Trung học phổ thông 
SKKN: Sáng kiến kinh nghiệm 
TN: Tốt nghiệp