SKKN Một số dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số f(x)

1- MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài.
	Toán học có vai trò và vị trí đặc biệt quan trọng trong khoa học kĩ thuật và đời sống, giúp con người tiếp thu một cách dễ dàng các môn khoa học khác. Thông qua việc học Toán, học sinh nắm vững được nội dung toán học và phương pháp giải toán từ đó vận dụng vào các môn học khác nhất là các môn khoa học tự nhiên. Chính vì thế toán học có vai trò quan trọng trong trường phổ thông, nó đòi hỏi người thầy giáo mọi sự lao động nghệ thuật sáng tạo để có được những phương pháp dạy học giúp học sinh học và giải quyết bài toán, đồng thời vận dụng vào thực tế.
	Các bài toán có liên quan đến đồ thị của hàm số là các bài toán khó, một vấn đề nan giải đối với học sinh THPT, đặc biệt là đối với các học sinh dự thi THPT Quốc Gia các năm gần đây. Năm học 2016-2017, Bộ Giáo dục và Đào tạo thực hiện đổi mới trong kỳ thi Trung học Phổ thông Quốc gia (THPTQG). Trong đó môn toán được đổi từ hình thức thi từ tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm. Việc thay đổi đã tạo nên nhiều bỡ ngỡ cũng như khó khăn cho cả giáo viên và học sinh trong việc ôn luyện. Hình thức thi trắc nghiệm môn toán đòi hỏi một số cách tiếp cận vấn đề mới so với hình thức thi tự luận. Khi làm một bài toán yêu cầu học sinh phải có kỹ năng, có suy luận và tư duy toán học nhanh nhạy đồng thời phải nắm chắc kiến thức cơ bản .
	Trong chương trình THPT vấn đề giải quyết các bài toán về hàm số có liên quan đến đồ thị của hàm có nhiều khó khăn đối với học sinh. Trong quá trình dạy và đọc các tài liêu tham khảo, tôi đã rút ra kỹ năng nhỏ giúp học sinh giải các bài toán liên quan đến đồ thị . Xây dựng chương trình giải là một bước rất quan trọng, để có được chương trình giải tối ưu trước hết phải nghiên cứu thật kĩ cấu trúc của bài toán, xem xét dưới nhiều góc độ, nắm chắc kiến thức cơ bản từ đó định ra hướng giải phù hợp. Các bài toán liên quan đến đồ thị của hàm số luôn là các bài toán khó có nhiều tư duy logic tổng hợp được nhiều kiến thức trong chương trình THPT, giáo viên cần trang bị cho học sinh để giúp các em giải quyết tốt các bài toán trong chương trình thi THPT Quốc Gia góp phần nâng cao tư duy toán học, tạo điều kiện cho việc học toán nói riêng và trong quá trình học tập nói chung.
	Trong quá trình dạy học, ôn thi THPT Quốc Gia tôi nhận thấy phần các bài toán liên quan đến đồ thị của hàm học sinh còn lúng túng khi làm toán. 
	Với đề tài này tôi hy vọng sẽ giúp học sinh không bỡ ngỡ khi gặp các bài toán liên quan đến đồ thị của hàm đồng thời hình thành ở học sinh tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiên và giải quyết vấn đề, rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức vào hoạt động thực tiễn. 
1.2. Mục đích nghiên cứu. 
 Để cho học sinh thấy được mối liên hệ của đồ thị hàm số với các vấn đề của hàm số . Từ đó có thể làm tốt các dạng toán này, mang lại kết quả cao trong các kì thi, đặc biệt là kì thi THPTQG.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
 Đối tượng nghiên cứu của đề tài là vận dụng một số lý thuyết trong chương trình SGK 12 để giải quyết các dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số .
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
 Nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1 Cơ sở lý luận
Định lý: Nếu hàm số có đạo hàm tại là và hàm số có đạo hàm tại là thì hàm hợp có đạo hàm tại là: .
 Dấu của hàm số trên từng khoảng: 
Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Khi đó 
+) với 
+) với 
+) 
Như vậy: 
a/ thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành thì trong khoảng đó hàm số đồng biến.
b/ thuộc khoảng tương ứng với phần đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành thì trong khoảng đó hàm số nghịch biến.
2.1.1.Tính đơn điệu của hàm số
Định lý: Giả sử hàm số có đạo hàm trên 
	a) Nếu thì hàm số đồng biến trên .
	b) Nếu thì hàm số nghịch biến trên .
+) Dấu hiệu hận biết tính đơn điệu của hàm số bằng bảng biến thiên
x
a b c
y’
 + 0 -
y
 f(b)
f(a) f(c)
- Hàm số đồng biến trên khoảng .
- Hàm số nghịch biến trên khoảng .
2.1.2. Cực trị của hàm số.
Dấu hiệu nhận biết cực trị của hàm số bằng bảng biến thiên. 
a 
b
f’() 
 + 0 -
 f() 
f() 
 (Cực đại)
a 
b
f’() 
 + 0 -
f() 
 (Cực tiểu)
 f() 
2.1.3. Giá trị lớn nhất nhỏ nhất 
Dấu hiệu nhận biết giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng bảng biến thiên.
a 
b
f’() 
 + 0 -
 f() 
f() 
f() 
f(b) 
Ta có: 
a 
b
f’() 
 + 0 -
f() 
f(b) 
f() 
 	 f() 
Tacó: 
a 
b
f’() 
 + 
f(b) 
f() 
 f() 
Ta có: ; 
a 
b
f’() 
 - 
f() 
f() 
f(b) 
Ta có: ; 
2.1.4. Các bài toán liên quan đến tích phân.
+) Diện tích hình thang cong: 
2.2 Thực trạng của vấn đề
	Do sự giảm tải của kiến thức ở bậc THPT mà số lượng bài tập SGK dùng phương pháp này để giải còn rất ít, do đó Phương pháp này không mang tính chất phổ biến và bắt buộc. Chính lẽ đó mà đại đa số học sinh sử dụng phương pháp này một cách máy móc hoặc chưa biết sử dụng.
	Đối với học sinh khá giỏi việc tiếp cận phương pháp này để giải toán là một vấn đề cần thiết giúp cho các em có kỉ năng, kỉ xảo trong việc giải bài tập vận dụng 
cao đồng thời chuẩn bị cho các em một kiến thức vững vàng và đạt kết quả cao trong các kì thi THPTQG.
Hòa chung vào sự phấn đấu của các tổ chuyên môn trong nhà trường đội ngũ giáo viên của tổ Toán đã không ngừng phấn đấu và đóng góp đáng kể vào thành tích chung của nhà trường . Tuy nhiên thực trạng dạy học toán ở trường THPT nói chung và trường THPT Tĩnh gia 1 nói riêng đang là điều trăn trở.
Về phiá học sinh:
+ Mặc dù học sinh đã ý thức được tầm quan trọng của toán học, tuy nhiên chất lượng học tập môn Toán chưa thật sự cao và chưa đồng . Chất lượng chỉ tương đối ổn định ở một số lớp khối
+ Vẫn còn học sinh chưa xác định đúng động cơ và mục đích học tập, học không thể hiện được ý thức phấn đấu, vươn lên. Môn toán học sinh thường mắc phải những sai lầm từ các phép biến đổi đơn giản, cách giải các bài toán về đồ thị của hàm số , có quá nhiều lỗ hổng kiến. Khả năng tiếp thu của học sinh còn hạn chế.
	- Về phía giáo viên: Trong những năm gần đây chúng ta đã thay đổi hình thức thi từ tự luận sang trắc nghiệm nên lượng kiến thức cũng rộng hơn. Bên cạnh đó hệ thống các bài tập chưa đáp ứng được nhu cầu của thực tiễn, chưa có chiều sâu, mới chỉ dừng lại ở việc cải tiến phương pháp. Trong quá trình giảng dạy chúng ta chú ý nhiều đến việc truyền thụ khối lượng kiến thức mà chưa chú trọng đến cách dẫn dắt học sinh tìm hiểu khám phá và lĩnh hội kiến thức từ đó chưa khơi dậy được niềm đam mê và hứng thú học tập, chưa gợi được động cơ học tập cho hoạc sinh.
2.3 Một số biện pháp
Dạng 1: Tính đơn điệu của hàm số.
Phương pháp chung: 
+) Nếu đồ thị của hàm số nằm trên trục hoành thì 
+) Nếu đồ thị của hàm số nằm phía dưới trục hoành thì 
Từ đó suy ra tính đơn điệu của hàm số.
Đối với hàm hợp chúng ta sử dụng lưu ý thêm: đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại thì . Từ đó ta có thể thiết lập bảng biến thiên của hàm số . Từ bảng biến thiên của hàm số ta suy ra tính đơn điệu.
Ví dụ 1. Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên. Khẳng định nào sau đây sai ?
A. Hàm số đồng biến trên 
B. Hàm số đồng biến trên 
C. Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng .
D. Hàm số nghịch biến trên 
Phân tích bài toán: 
Ta thấy rằng đồ thị của hàm số nằm trên trục hoành khi nên với và 
Đồ thị của hàm số nằm phía dưới trục hoành khi 
Lời giải. Dựa vào đồ thị của hàm số ta thấy:
● khi đồng biến trên các khoảng , .
Suy ra A đúng, B đúng.
● khi nghịch biến trên khoảng . Suy ra D đúng.
Dùng phương pháp loại trừ, ta chọn C.
Nhận xét: Như vậy từ đồ thị của hàm số ta có thể biết được giá trị của hàm số . Từ đó đưa ra lời giải chính xác cho bài toán.
Ví dụ 2. Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên dưới
Hàm số nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
	A. 	B. 	C. 	D. 	
Phân tích bài toán: 
Thứ nhất : Ta thấy hàm số là một hàm hợp nên 
Thứ hai: Đồ thị của hàm số có dạng giống như đồ thị của hàm số 
Thứ ba: Đồ thị của hàm số nằm trên trục hoành thì giá trị của nó dương, nằm dưới trục hoành thì giá trị âm. và bằng không tại giao điểm của nó với trục hoành.
Lời giải. 
Ta có 
Ta có 
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C.
Lưu ý: Ở ví dụ này ta có thể không cần lập bảng biến thiên mà dùng suy luận ta cũng tìm được kết quả cụ thể: 
Dựa vào đồ thị, suy ra 
Ta có 
Xét 
Vậy nghịch biến trên các khoảng và Chọn C.
Nhận xét: Dấu của được xác định như sau: Ví dụ ta chọn suy ra Khi đó 
Nhận thấy các nghiệm của là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu.
Ví dụ 3. ( Đề thi THPTQG năm 2018)
Cho hai hàm số , . Hai hàm số và có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số .
Hàm số đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. .	B. .	C. .	D. .
Phân tích bài toán: Hàm số là tổng của hai hàm hợp do đó ta cần tìm x để : 
Lời giải
Ta có .
Dựa vào đồ thị, , ta có , ;
, do đó .
Suy ra . Do đó hàm số đồng biến trên .Chọn B.
Nhận xét: Ở bài toán này ngoài việc dựa vào đồ thị của các hàm số , ta còn chú ý đến giá trị của nó ở trên từng khoảng mà đề bài cho.
Ví dụ 4. Cho hàm số , đồ thị hình bên là đồ thị của hàm số . Xét hàm số . Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. Hàm số nghịch biến trên khoảng 
B. Hàm số đồng biến trên khoảng 
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng 
D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 
Hướng dẫn: 
Ta có: 
Ta chọn đáp án C.
Bài tập rèn luyện:
Dạng 1: Tính đơn điệu của hàm số
Bài 1: Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên dưới
Hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Bài 2: Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên dưới
Hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Bài 3: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên Đồ thị hàm số như hình bên dưới
Hàm số đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây ?
	A. 	B. 	C. 	D. 
Dạng 2: Cực trị của hàm số
Phương pháp chung: 
Từ đồ thị của hàm số ta tìm giao điểm của đồ thị với trục hoành. 
Tìm giá trị của để đổi dấu và thiết lập bảng biến thiên. 
Từ bảng biến thiên ta sẽ giải quyết được yêu cầu của bài toán.
Ví dụ 1. Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị hàm số Số điểm cực trị của hàm số là 
	A. 	B. 	C. 	D. 
Phân tích bài toán: 
 Đồ thị cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm.
 Giá trị của dương khi nào? âm khi nào? 
Lời giải. Ta thấy đồ thị hàm số có điểm chung với trục hoành nhưng chỉ đổi dấu qua hai điểm là và 
Bảng biến thiên
Vậy hàm số có điểm cực trị. Chọn A.
Nhận xét: Ta thấy đồ thị của có điểm chung với trục hoành nhưng chỉ đổi dấu qua hai điểm nên có hai cực trị.
Ví dụ 2. Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình bên. Tìm số điểm cực trị của hàm số 
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Phân tích bài toán: Hàm số là hàm hợp nên Đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại hai điểm và đổi dấu qua một điểm.
Lời giải. Ta có 
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B.
Nhận xét: Dấu của được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng 
= 	 
= 	
Từ và suy ra trên khoảng nên mang dấu . 
Nhận thấy các nghiệm và là các nghiệm bội lẻ nên qua nghiệm đổi dấu; các nghiệm là nghiệm bội chẵn (lí do dựa vào đồ thị ta thấy tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng ) nên qua nghiệm không đổi dấu.
Ví dụ 3. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và đồng thời đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới
Số điểm cực trị của hàm số là:
	A. 	B. 	C. 	D. 
Phân tích bài toán:
Hàm số là một hàm hợp nên 
 cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?
Lập bảng biến thiên của hàm số 
Lời giải. Dựa vào đồ thị, ta có 
Bảng biến thiên của hàm số 
Xét 
Bảng biến thiên của hàm số 
Vậy hàm số có điểm cực trị. Chọn C.
Nhận xét: Dấu của được xác định như sau: Ví dụ chọn 
= 	 
= Theo giả thiết 	
Từ và suy ra trên khoảng 
Nhận thấy là các nghiệm đơn nên đổi dấu khi qua các nghiệm này. Nghiệm là nghiệm kép nên không đổi dấu khi qua nghiệm này, trong bảng biến thiên ta bỏ qua nghiệm vẫn không ảnh hưởng đến quá trình xét dấu của 
Ví dụ 4. Cho hàm số có đạo hàm trên Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới
Số điểm cực trị của hàm số là
	A. 	B. 	C. 	D. 
Lời giải. Ta có 
Dựa vào đồ thị hàm số suy ra phương trình có nghiệm đơn duy nhất. Suy ra hàm số có điểm cực trị. Chọn A.
Bài tập rèn luyện
Bài 1. Cho hàm số có đạo hàm trên Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới. Hỏi hàm số đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây ?
	A. 	B. 
	C. 	D. Không có điểm cực tiểu. 
Bài 2. Cho hàm số có đạo hàm trên Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới.Hàm số đạt cực đại tại :
A. .	B. .	C. .	D. .
Bài 3. Cho hàm số . Đồ thị hàm số như hình vẽ dưới đây
Số điểm cực trị của hàm số là
	A. 	B. 	C. 	D. 
Bài 4: Cho hàm số Đồ thị hàm số như hình vẽ bên dưới.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số để hàm số có điểm cực trị ?
	A. 	B. 	C. 	D. Vô số.
Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và so sánh các giá trị của hàm số.
Phương pháp chung:
- Từ đồ thị của hàm số ta thiết lập bảng biến thiên , từ bảng biến thiên ta sẽ giải quyết được yêu cầu của bài toán 
Ví dụ 1. Cho hàm số xác định và liên tục trên , có đồ thị của hàm số như hình bên. Tìm giá trị để hàm số đạt giá trị lớn nhất trên .
A. . B. .
C. . D. .
Phân tích bài toán:
 Ứng với x thuộc khoảng nào thì ?
Từ đó thiết lập bảng biến thiên.
Hướng dẫn: 
Từ đồ thị ta có bảng biến thiên:
 + 0 + 0 - 
Ta chọn đáp án D.
Ví dụ 2. ( Đề thi ĐH Vinh lần 4 năm 2017) Cho hàm số có đạo hàm là . Đồ thị của hàm số được cho như hình vẽ bên. Biết rằng . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của trên đoạn 
A. 	B. 
C. 	D. 
Phân tích bài toán : Học sinh dựa vào đồ thị hàm số để thiết lập bảng biến thiên.
Hướng dẫn: 
 3 
0 0 
 và ;
Ta chọn đáp án D.
Ví dụ 3. Cho hàm số , , có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. .
B. .	
C. .
D. .
Hướng dẫn:
Pương pháp: Đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại 
những điểm là các điểm cực trị của đồ thị hàm số 
Tìm giao điểm của các đồ thị hàm số với trục hoành ( nếu có) sau đó dựa vào tính chất sau: 
 tăng trên I. giảm trên I
Hàm số , , có đồ thị là đường theo thứ tự là .
Từ đồ thị ta thấy:
Ta chọn đáp án B.
Bài tập tự luyện.
Bài 1. Cho hàm số có đạo hàm là . Đồ thị của hàm số được cho như hình vẽ bên. Biết rằng . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của trên đoạn 
A. B. 
C. D. 
Bài 2. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và đồ thị của hàm số trên đoạn như hình vẽ bên. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau.
A. .	B. .	
C. .	D. .
Dạng 4: Các bài toán liên quan đến tích phân.
Phương pháp: 
Ví dụ 1.(Đề thi THPTQG năm 2017) số . Đồ thị của hàm số như hình bên. Đặt . Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
	A. . B. .
	C. . D. .
Hướng dẫn: 
Ta có . 
Ta vẽ đường thẳng .
Như vậy ta có: Ta chọn đáp án C.
Ví dụ 2. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và đồ thị của hàm số như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. và 
B. và 
C. và 
D. và 
Hướngdẫn:
Ta chọn đáp án B.
Ví dụ 3. Cho các số thực , , , thỏa mãn và hàm số . Biết hàm số có đồ thị như hình vẽ. Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
 A. . B. .
 C. . D. .
Hướng dẫn: 
Ta có bảng biến thiên:
 - 0 + 0 - 0 + 
So sánh 
So sánh .
. Ta chọn đáp án A.
Ví dụ 4. Cho hàm số có đồ thị (C). Biết rằng đồ thị (C) tiếp xúc với đường thẳng tại điểm có hoành độ dương và đồ thị hàm số cho bởi hình vẽ bên. Tìm phần nguyên của giá trị diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành?
A. 2.	B. 27.	C. 29.	D. 35.
Hướng dẫn: 
Ta có . Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số đi qua 3 điểm ta tìm được: .
Suy ra: .
Do (C) tiếp xúc với đường thẳng tại điểm có hoành độ dương nên ta có:
Như vậy (C) đi qua điểm ta tìm được .
Xét phương trình trình hoành độ giao điểm và trục hoành: .
 Ta chọn đáp số C.
Bài tập tự luyện.
Bài 1. Cho hàm số xác định và liên tục trên đoạn , có đồ thị của hàm số như hình vẽ sau. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. B. 
C. D. 
Bài 2. Cho hàm số xác định và liên tục trên , có đồ thị của hàm số như hình vẽ sau. Đặt Mệnh đề nào sau đây đúng ?
A. 	B. 
C. 	D. 
Một số bài toán khác.
Gọi S là quãng đường mà vật đi được, v là vận tốc và t là thời gian. Ta có : 
Bài toán 1:( Mã Đề 101- Đề thi THPTQG năm 2017) Một vật chuyển động trong 3 giờ với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc như hình bên. Trong khoảng thời gian 1 giờ kể từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị đó là một phần của đường parabol có đỉnh và trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian còn lại đồ thị là một đoạn thẳng song song với trục hoành. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 3 giờ đó (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
	A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn:
Giả sử phương trình chuyển động của vật theo đường parabol .
Ta có: .
Ta có suy ra phương trình chuyển động của vật tốc theo đường thẳng là . Vậy quãng đường mà vật di chuyển được trong 3 giờ là:
 Ta chọn đáp án B.
Bài toán 2: Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị là một phần của đường parabol với đỉnh và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi bắt đầu chạy.
	A. 	B. 
	C. 	D. 
Hướng dẫn:
Giả sử phương trình chuyển động của vật theo đường parabol .
Ta có: .
Vậy quãng đường mà vật di chuyển được trong 45 phút là:
. Ta chọn đáp án C.
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
 Đối với học sinh khối 12, khi các em đã nhận thức một cách đầy đủ về hàm số và tích phân thì phương pháp này có thể áp dụng một cách phổ biến và bài tập ra cho học sinh mang tính phong phú, đa dạng và khó hơn.
 Kết quả nhận thấy số lượng học sinh khá giỏi rất hứng thú với phương pháp giải toán này và bài tập ra ở dạng này các em giải khá thành thạo.
 Trong năm học 2017-2018, 2018-2019 qua các buổi dạy tôi đã sử dụng đồ thị của hàm số giúp học sinh giải quyết các bài tập về các bài tập có liên quan đến hàm số nhanh hơn, gọn hơn, đẹp hơn. Sử dụng đồ thị của hàm số là một công cụ rất mạnh để giải các bài toán có liên quan. Đặc biệt là đối với các bài toán hàm số. Kết quả là học sinh nắm được kiến thức, hiểu bài và áp dụng được vào các bài tập tương tự. Cụ thể khoảng 30- 35% học sinh đạt kết quả trung bình, khoảng 65-70% học sinh đạt kết quả Khá, Gỏi.
Năm học
Lớp
Số HS
Loại Giỏi
Loại Khá
Loại TB
SL
%
SL
%
SL
%
2017-2018
12A1
45
15
33,3
16
35,5
10
31,2
12A3
45
10
22,2
21
46,7
13
31,1
2018 - 2019
12A2
45
12
26,7
18
40,0
15
33,3
12A6
45
9
20,0
21
46,7
15
33,3
3. Kết luận, kiến nghị
3.1 Kết luận:
Sử dụng một số dạng toán liên quan đến đồ thị của hàm số thường là phương pháp rất hay, độc đáo, tổng hợp được nhiều kiến thức cho học sinh, nhưng do không được phổ biến ở bậc THPT. Qua quá trình tham khảo, nghiên cứu và học hỏi tôi sử dụng phương pháp này để dạy cho học sinh và nhận thấy có hiệu quả cao đối với học sinh. 
3.2 Kiến nghị: 
Duy trì hoạt động viết sáng kiến kinh nghiệm trong từng năm học, đây là hoạt động bổ ích thiết thực cho mọi giáo viên, nhất là trong công tác chuyên môn.
Cần động viên kịp thời để phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm ngày càng phát triển sâu rộng.
Cần trang bị cho giáo viên dạy các tài liệu tham khảo phù hợp với chương trình mới.
 Tĩnh Gia, ngày 28 tháng 5 năm 2019
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
 Tôi xin cam đoan toàn bộ nội dung đề tài trên là do bản thân tôi nghiên cứu và thực hiện, không sao chép nội dung của bất kỳ ai.
NGƯỜI VIẾT SKKN
Lê Đình Sơn
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Đoàn Quỳnh – Nguyễn Huy Đoan, Sách giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo Dục 
2. Trần Văn Hạo, Giải toán đại số và giải tích 11 (Tái bản lần thứ nhất), NXB Giáo Dục .