SKKN Một số bài toán về số phức giúp học sinh ôn thi THPT Quốc Gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT LÊ VĂN HƯU
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
TÊN ĐỀ TÀI:
"MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỐ PHỨC GIÚP HỌC SINH ÔN THI THPT QUỐC GIA"
	Người thực hiện: Trương Thị Huệ
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực môn: Toán
 Mục lục Trang 1. Mở đầu
Lí do chọn đề tài..................................................................................3
 Mục đích nghiên cứu..........................................................................3
 Đối tượng nghiên cứu.........................................................................3
 Phương pháp nghiên cứu....................................................................3
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm..........................................................3
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm............................................4
2.2 Thực trạng của vấn đề.........................................................................4
2.3 Các giải pháp.......................................................................................4
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm..................................................19
3. Kết luận và kiến nghị ...........................................................................20 
3.1 Kết luận...............................................................................................20
3.2 Kiến nghị.............................................................................................20
Tài liệu tham khảo.....................................................................................21
1. MỞ ĐẦU
1.1 Lý do viết sáng kiến
 - Đất nước ta trên đường đổi mới cần có những con người phát triển toàn diện, năng động và sáng tạo. Muốn vậy phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và đào tạo , đòi hỏi sự nghiệp giáo dục và đào tạo phải đổi mới để đáp ứng nhu cầu xã hội. Đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào tạo phụ thuộc vào nhiều yếu tố , trong đó một yếu tố quan trọng là đổi mới phương pháp dạy học trong đó có phương pháp dạy học môn toán.
1.2. Mục tiêu của sáng kiến
 Nhằm giúp học sinh ôn luyện thi THPT quoc gia, tôi nghiên cứu và biên soạn nhóm bài tập , đưa ra các phương pháp để học sinh có thể tự ôn luyện. 
2. NỘI DUNG SKKN
2.1. Cơ sở li luạn cua sáng kiến 
Đổi mới phương pháp dạy học là sự thay đổi từ các phương pháp dạy học tiêu cực đến các phương pháp tích cực, sáng tạo. Nhưng không phải thay đổi ngay lập tức bằng những phương pháp hoàn toàn mới lạ mà phải là một quá trình áp dụng phương pháp dạy học hiện đại trên cơ sở phát huy các yếu tố tích cực của phương pháp dạy học truyền thống nhằm thay đổi cách thức, phương pháp học tập của học sinh chuyển từ thụ động sang chủ động. 
Đây là vấn đề mới đối với học sinh phổ thông ,Bộ giáo dục đã chuyển tải nội dung này từ nội dung học đại học năm thứ nhất xuống lớp 12.Với thời lượng cho phép dạy trên lớp môn toán có hạn . Chất lượng học sinh trong lớp không đồng đều , nếu dạy cho các học sinh yếu , trung bình hiểu thì học sinh khá giỏi sẽ chán , và nguồn học sinh thi đậu đại học lại mong manh.
2.2 Thực trạng của vấn đề cần giải quyết
 Trong chương trình giải tích 12 mới hiện nay, chương số phức được đưa vào,trong đó gồm các phần : khái niệm về số phức, cộng trừ nhân chia hai số phức,phương trình bậc hai với hệ số thực chiếm vị trí khá quan trọng và có trong các đề thi THPT QUOC GIA. Phần lớn học sinh còn lúng túng trong việc phân tích đề để tìm lời giải. Chính vì thế mà tôi đã nghiên cứu, biện soạn vấn đề này nhằm giúp học sinh đi đúng hướng và tìm ra lời giải .
2.3. Các giải pháp/biện pháp thực hiện
 Để phát huy tính năng động và sáng tạo của học sinh khá giỏi tôi đã biên soạn nhóm bài tập này và sắp xếp thứ tự các bài tập từ dễ đến khó ,nhằm giúp học sinh làm bài tốt phần số phức trong các kỳ thi sắp tới . 
NỘI DUNG NGHIÊN CỨU :
Dạng 1 :
Tìm mô đun ,căn bậc hai của số phức, giải phương trình ,hệ phương trình trên tập số phức 
Phương Pháp : Cho số phức : z = a + bi với a,b là các số thực
	+ Mô đun của số phức z là : 
	+Gọi w = x + yi với x,y là một căn bậc hai của số phức z
 Ta có giải hệ phương trình trên tìm được các căn bậc hai của số phức z
	+Việc giải phương trình ,hệ phương trình được giải tương tự như giải trên trường số thực nhưng chú ý đến việc tìm căn bậc hai của số âm.
Bài 1:
Tìm môđun của số phức 
Lời giải: Vì 
Suy ra: 
Bài 2:
Cho hai số phức: ; . Tính và 
Lời giải: 
Bài 3:
Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình: .
Tính giá trị của biểu thức A = 
Lời giải: Ta có: = 12 - 10 = -9 = 9i2
Phương trình có các nghiệm: z1 = - 1 - 3i; z2 = - 1 + 3i
Ta có: 
Bài 4:
Tìm số phức z thỏa mãn: và 
Lời giải: Đặt z = a + bi với a, b , ta có:
Vậy có hai số phức cần tìm : z = 3 + 4i , z = 5 + 0i
Bài 5:
Cho số phức z = 4 - 3i. Tìm 
Lời giải: 
Bài 6:
Giải phương trình sau (ẩn z): 
Lời giải: Giả sử ; 
Dạng 2: 
 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức 
Phương pháp : + Gọi số phức có dạng : z = x + yi với x,y là các số thực
	 + Dựa vào giả thiết bài toán tìm xem với điểm M( x; y) thỏa mãn phương trình nào .
	+ Kết luận tập hợp điểm biểu diễn số phức z đã cho.
Bài 13:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện 
Lời giải: Đặt z = x + yi; x, y , ta có:
Vậy tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z = x + yi thỏa mãn điều kiện đã cho là đường tròn tâm I(3; -4); bán kính R = 2
Bài 14: 
Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: 
Lời giải: Gọi z = x + yi (x, y )
Ta có: 
Bài 15:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện 
Lời giải: Đặt z = x + yi (x, y )
Ta có: z - 5i + 2 = (x + 2) + (y - 5)i
Suy ra: 
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(-2; 5), bán kính R = 2.
CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ PHỨC CÓ HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ
Phần 1: Dạng đại số của số phức 
Bài 1: Tính z + và z . với :
a) z = 2 + 3i b) z = -5 + 3i . ĐS: a) 4 và 13 b) -10 và 34
Bài 2: Tìm phần thực và phần ảo của các số phức sau :
a) (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i) b) (1 + i)2 – (1 – i)2 c) (2 + i)3 – (3 – i)3 d) 
 ĐS: a) 1 và 1 b) 0 và 4 c) -16 và 37 d) 
Bài 3: Tính :
a) b) c) 
ĐS: a) b) 2 c) 
Bài 4: Tính: a) (với n là số nguyên dương) 
b) . 
ĐS: a) -2in+1 b) 
Bài 5: Giải các hệ phương trình sau với x, y, z là số phức :
a) b) 
ĐS: a) x = 1 + i , y = i b) x = 2 + i , y = 2 – i 
Bài 6: Tìm các số liên hợp với :
a) Bình phương của chính nó. b) Lập phương của chính nó.
ĐS: a) 0; 1; b) 0; 1; -1; i; -i
Bài 7: Cho số phức z = x + iy (x, y thuộc R). Tìm phần thực và phần ảo của các số phức: 
a) z2 – 2z + 4i b) 
ĐS: a) x2 – y2 – 2x và 2(xy – y + 2); b) 
Bài 8: Giải các phương trình sau (ẩn z) :
a) b) . 
 ĐS: a) b) -1 + i , ½
Bài 9: a) Chứng minh : 
b) Giả sử . Tính tổng zk + zk+1 . ĐS: b) 0.
Bài 10: Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i
a) Với điều kiện nào giữa a, b, a’, b’ thì tổng của chúng là số thực ? số ảo?
b) Cũng câu hỏi trên đối với hiệu z – z’ .
ĐS: a) z + z’ là số thực nếu b = -b’ , là số ảo nếu a = -a’ , 
 b) z – z’ là số thực nếu b = b’ , là số ảo nếu a = a’, .
Bài 11: a) Với điều kiện nào giữa a, b thì bình phương của z = a + bi là số thực, số ảo?
 b) Cũng câu hỏi trên đối với z3.
HD: a) z2 = a2 – b2 + 2abi.
 Z2 là số thực nếu a = 0 hoặc b = 0 hoặc a = b = 0 .
 Z2 là số thuần ảo nếu 
 b) z3 = a3 – 3ab2 + (3a2b – b3)i
 z3 là số thực nếu b = 0 hoặc b2 = 3a2
 z3 là số ảo nếu a = 0, hoặc a2 = 3b2, .
Bài 12: Xác định tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn : 
 a) b) là số ảo
ĐS: a) Đường thẳng y = x b) Trục ảo Oy trừ (i)
Bài 13: Xác định tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn :
a) z2 là số thực âm b) . 
 ĐS: a) Trục thực Ox từ gốc O. b) Elip
Bài 14: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z = x + yi với x, y thuộc R và thỏa mãn :
a) b) 
Bài 15: Chứng minh rằng :
a) Bình phương của hai số phức liên hợp cũng là liên hợp.
b) Lập phương của hai số phức liên hợp cũng là liên hợp.
c) Lũy thừa bậc n của 2 số phức liên hợp cũng là liên hợp.
Bài 16: A, B, C, D là bốn điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số :
1 + 2i , 
Chứng minh rằng ABCD là một tứ giác nội tiếp đường tròn. Hỏi tâm đường tròn đó biểu diễn số phức nào?
HD: vì mỗi cặp số 1 + 2i, 1 – 2i và là cặp số phức liên hiệp nên hai điểm A, D và hai điểm B, C đối xứng qua Ox; phần thực của hai số đầu khác phần thực của hai số sau nên ABCD là một hình thang cân . Do đó nó là một tứ giác nội tiếp đường tròn có tâm J nằm trên trục đối xứng Ox; J biểu diễn số thực x sao cho : 
. Từ đó suy ra tâm đường tròn biểu diễn : z = 1 
* Cách khác: biểu diễn số phức biểu diễn số phức . Mà nên . 
T/tự (hay vì lí do đ/x qua Ox), .Từ đó suy ra AD là một đ/kính của đ/tròn đi qua các điểm A, B, C, D.
Phần 2: Căn bậc hai và phương trình
Bài 1: Tìm các căn bậc hai của số phức: a) z = 200 b) z = - 13. ĐS: a) b) 
Bài 2: Giải các phương trình bậc hai sau đây trong tập hợp các số phức C:
a) z2 – z + 2 = 0 b) 2z2 – 5z + 4 = 0 (Tốt nghiệp THPT 2006)
ĐS: a) b) 
Bài 3: Giải các phương trình :
a) z2 + z + 1 = 0 b) ĐS: a) b) 
Bài 4: Giải các phương trình trong các trường hợp sau:
a) k = 1 b) k = 
 ĐS: a) z = b) z = 
Bài 5: Giải các phương trình trong C:
HD: Đặt z = x + yi dẫn đến hệ phương trình hai ẩn x, y:
Kết quả: z1 = 0 ; z2 = -1 ; z3 = 
Bài 6: Giải các phương trình trong tập C:
a) x4 – 3x2 + 4 = 0 b) x4 – 30x2 + 289 = 0 
ĐS: a) x = b) x = 
Bài 7: Giải phương trình trong C: x3 + 8 = 0
HD: Ta có: x3 + 8 = 0 
Phần 4: Bài tập tổng hợp về số phức
Bài 1: Viết các số phức sau dưới dạng đại số:
a) z = 2i10 + i3 b) z = i2007 + i2008 ĐS: a) -2 –i ; b) 1 – i
Bài 2: Viết dưới dạng a + bi các số phức sau: 
a) z = (1 + i)2– (1 – i)2 b) z = (2 + i)(-1 + i)(1 + 2i)2
c) d) 
ĐS: a) 4i b) 5 – 15i c) -8 d) 1
Bài 3: Tính : a) (1 + 2i)6 b) (2 + i)7 + (2 – i)7 ĐS: a) 117 + 44i ; b) -556
Bài 4: Giải hệ phương trình với ẩn số thực:
 ĐS: x = -2; y = 3/2; z = 2 ; t = -1/2
Bài 5: Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i
Với điều kiện nào giữa a, b, a’ ,b’ thì tích z.z’ của chúng là số thực ?số ảo?
ĐS: ab’ + a’b = 0 và aa’ – bb’ = 0 ; ab’ + a’b 
Bài 6: Tính: a) b) 
 c) d) 
HD: a) b) 2(3 + i2) = 4 c) 2i.8 = 16i d) 
Bài 7: Tìm phần thực và phần ảo của số phức: z = (x + iy)2 – 2(x + iy) + 5 (x, y R)
Với x, y nào thì số phức đó là số thực?
Bài 8: Cho các số phức: z1 = 1 + i , z2 = 1 – 2i. Hãy tính: và 
Bài 9: Thực hiện phép tính: a) b) c) d) e) 
Bài 10: Phân tích ra thừa số phức : a) a2 + 1 b) 2a2 + 3 c) 4a2 + 9b2 d) 3a2 + 5b2 
Bài 11: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn các điều kiện :	
a) b) c) d) 
Bài 12: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z : 
Bài 13: Cho số phức z = a + bi . Một hình vuông tâm là gốc tọa độ O, các cạnh song song với các trục tọa độ có độ dài bằng 4. Hãy xác định điều kiện của a và b để điểm biểu diễn của z:
a) Nằm trong hình vuông b) Nằm trên đường chéo hình vuông.
Bài 14: X/định tập hợp các điểm M trên mphẳng phức biểu diễn các số phức , trong đó .
Bài 15: Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau: a) b) 
Bài 16: Tìm các căn bậc hai của số phức : a) 6 b) -2 ĐS: a) b) 
Bài 17: Giải các phương trình trong tập số phức: a) x2 + 81 = 0 b) x2 – x + 2 = 0 
Phan 5 Luyen tap TNKQ
Câu 1. Tìm số phức liên hợp của số phức: 
A. 	 B. C. 	D. 
Câu 2. Tính mô đun của số phức: 
 A. B. 	C. 	D. 
Câu 3. Tìm số thực x, y thỏa: 
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 4. Thu gọn số phức được: 
A. B. C. 	D. 
Câu 5. Cho số phức . Modun của số phức z là:
 A. 	B. 	C. 	D. 2
Câu 6. Tìm số phức liên hợp của số phức 
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 7. Cho 2 số phức . Số phức bằng:
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 8. Tìm phần thực a và phần ảo b của số phức 
A. 	 B. 	C. 	 D. 	
Câu 9. Cho số phức z thỏa mãn . Phần thực a của số phức là:
A. B. C. D. 
Câu 10. Gọi là hai nghiệm phức của phương trình .Tính ta có kết quả là:
A. .	B. .	C. 	D. .
Câu 11. Gọi là hai nghiệm phức của phương trình . Tính giá trị biểu thức 
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 12. Trong tập số phức. Gọi là ba nghiệm của phương trình .Tính . 
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 13. Tìm phần thực và phần ảo của số phức thỏa và là số thuần ảo
A.	 	B. 	 C. 	D. 
Câu 14. Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện là:
A. Một đường thẳng 	B. Một đường tròn 	 C. Một đoạn thẳng	 	D. Một hình vuông 
Câu 15. Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức . Tam giác ABC là: 
A. Cân. 	B. Đều. C. Vuông .	D. Vuông cân
Câu 16. Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm . Tìm tất cả các giá trị m để khoảng cách từ đến  : bằng .	
A. 	 B. 	C. 	D. 
Câu 17. Trong tập số phức, phương trình có nghiệm là:
A. 	B. 	 C. D. Vô nghiệm
Câu 18. Cho số phức . Tìm số phức 
A. = 	B. = 	C. = 1 + 	D. 
Câu 19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện là
A. 	B. 
C. D. 	
Câu 20. Trên mặt phẳng Oxy,tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện 
A. Tập hợp các điểm M là một đường tròn có tâm là gốc tọa độ O và bán kính là 2	
B. Tập hợp các điểm M là một đường thẳng: 
C. Tập hợp các điểm M là một đường tròn có tâm là gốc tọa độ O và bán kính là 4	
D. Tập hợp các điểm M là là một đường thẳng: 
Câu 21. Tính môđun của số phức A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 22. Biết rằng số phức thỏa mãn điều kiện là một số thực. Giá trị nhỏ nhất của |z| là 
A. 	B. C. D. 1
Câu 23. Trong mặt phẳng phức cho vuông tại . Biết rằng lần lượt biểu diễn các số phức : ; . Khi đó, biểu diễn số phức: 
A. 	B. 	C. 	D. 
Câu 24. Cho số phức thỏa mãn: .
 Tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z là
A.d:B. d’:C.(C): D. d’’:
Câu 25. Tìm tích các nghiệm thuần ảo của phương trình 
A. 	B. C. 	D. 
2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm :
Kết quả thử nghiệm cuối năm học 2014-2015 ,tôi đã chọn 30 học sinh dự thi khối A ,tôi đã khảo sát và kết quả cụ thể như sau :
Lớp
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
12C1
2
6,7%
8
26,7%
5
16,7%
15
50%
12C2
1
3,3%
5
16,7%
6
20%
18
60%
Kết quả thử nghiệm cuối tháng 4 năm học 2015 - 2016 ,tôi đã chọn ngẫu nhiên 30 học sinh dự thi khối A và đã khảo sát và kết quả cụ thể như sau :
Lớp
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
12C5
10
33,3%
12
40 %
6
20 %
2
6,7%
12C7
8
26,7%
10
33,3%
5
16,6%
7
23,3%
Kết quả thử nghiệm cuối tháng 4 năm học 2016 - 2017 ,tôi đã chọn ngẫu nhiên 30 học sinh dự thi khối A và đã khảo sát và kết quả cụ thể như sau :
Lớp
Giỏi
Khá
Trung bình
Yếu
12C2
12
36,6%
12
40 %
4
17 %
2
6,7%
12C6
9
29,7%
10
33,3%
4
13,6%
7
23,3%
Rõ ràng qua ba năm thực hiện đề tài này, kết quả là học sinh học phần số phức có tiến bộ rõ rệt.
3. Kết luận và kiến nghị 
 3.1 Kết luận 
 Việc viết sáng kinh nghiệm là một trong những vấn đề cấp thiết nhất cho gian đoạn hiện nay ,giai đoạn công nghiệp hóa hiện đại hóa đất nước, một đất nước đang phát triển như Việt nam ta nói chung ,riêng đối với ngành giáo dục cần phải đổi mới nhanh chóng, song ở mỗi bộ môn đặc biệt các môn tự nhiên điều cốt lõi mà chương trình lớp trên kế thừa và áp dụng thì mỗi giáo viên chúng ta nên chỉ ra và tạo mọi điều kiện để các em nắm bắt được. Có như vậy, tình trạng hỏng kiến thức cơ bản mới hạn chế và dần khắc phục được.Hy vọng rằng với đề tài này có thể giúp học tự học và thích học phần số phức .
3.2 Kiến nghị 
Đề tài này cần thiết giới thiệu rộng rãi cho học sinh và đồng nghiệp dạy 12. Tuy nhiên các ví dụ cũng cần được sưu tập thêm, với sự cộng tác của độc giả chắc chắn đề tài sẽ đem lại nhiều lợi ích . Ngoài ra phương pháp giải các ví dụ có thể chưa tối ưu cần sự góp ý bổ sung của bạn đọc. 
Tài liệu tham khảo
Sgk giải tích 12 Nhà XBGD
Sách Bài tập Giải tích 12 Nhà XBGD
Các dạng toán và phương pháp giải Giải tích 12 ( Tự luận và trắc nghiệm) Nhà XBGD
Thiệu hóa, ngày 10 tháng 5 năm 2017
Ngươì thực hiện
Trương Thị Huệ