SKKN Kỹ năng lựa chọn phương pháp hình học để giải các bài toán cực trị trong Hình học giải tích lớp 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT HÀM RỒNG
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
KỸ NĂNG LỰA CHỌN PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC 
ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ 
TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12
Người thực hiện: Nguyễn Bích Thủy
Chức vụ: Phó Hiệu Trưởng.
SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán
THANH HOÁ, NĂM HỌC 2018 - 2019
MỤC LỤC
Trang
1. MỞ ĐẦU 
1.1 Lí do chọn đề tài ...........................................................................
2
1.2 Mục đích nghiên cứu ....................................................................
1.3. Đối tượng nghiên cứu ................................................
1.4. Phương pháp nghiên cứu ..............................................................
1.5. Những điểm mới của SKKN ........................................................
2. NỘI DUNG 
2.1. Cơ sở lí luận .......................................... ......................................
2.2 Thực trạng của vấn đề ........................................ .........................
2.3. Tổ chức thực hiện .........................................................................
2.3.1. Nhắc lại một số dạng toán hay được sử dụng ...
2.3.1.1. Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (α) 
2.3.1.2. Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d....
3. Phương pháp hình học giải một số bài toán cực trị trong hình học giải tích lớp 12
2.4. Kết quả thu được ...................................................................
3. Kết luận và kiến nghị ..................................................................
3.1. Kết luận
3.2. Kiến nghị
 Tài liệu tham khảo .......................................................................
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
9
13
13
14
1. MỞ ĐẦU.
1.1 Lí do chọn đề tài:
Trong chương trình Hình học giải tích lớp 12, bên cạnh các dạng toán quen thuộc như: viết phương trình mặt phẳng, phương trình đường thẳng,. Ta còn gặp các bài toán tìm vị trí của điểm, đường thẳng hay mặt phẳng liên quan đến một điều kiện cực trị. Đây là dạng toán thuộc mức độ vận dụng cao.
Trong quá trình trực tiếp giảng dạy và nghiên cứu tôi thấy đây là dạng toán không chỉ khó mà còn khá hay, lôi cuốn được các em học sinh khá giỏi. Nếu ta biết sử dụng linh hoạt và khéo léo kiến thức của hình học thuần túy, kiến thức véctơ, tìm được vị trí đặc biệt của nghiệm hình để cực trị xảy ra thì có thể đưa bài toán trên về một bài toán quen thuộc, đơn giản giảm nhẹ được tính cồng kềnh của biến đổi đại số.
Đứng trước tầm quan trọng của nội dung và thực trạng trên, dể học sinh dễ dàng, tự tin hơn khi gặp các bài toán về cực trị trong hình học giải tích lớp 12, từ đó giúp các em phát huy được khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, đặc biệt hoá, mở ra một cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức hình học đã học, tạo nền tảng cho các học sinh tự học, tự nghiên cứu. Cùng với sự tích luỹ kinh nghiệm của bản thân qua những năm giảng dạy, tôi đưa ra sáng kiến kinh nghiệm: “ Kỹ năng lựa chọn hương pháp hình học để giải các bài toán cực trị trong hình học giải tích lớp 12”. Sáng kiến này đã được bản thân tôi áp dụng giảng dạy tại trường THPT Hàm Rồng.
1.2 Mục đích nghiên cứu:
- Nâng cao hiệu quả, chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi của các giáo viên.
- Tăng tính linh hoạt, hiệu quả đối với học sinh khi giải toán
- Vận dụng giải quyết các bài toán vận dụng liên quan
1.3. Đối tượng nghiên cứu: 
Phương pháp giải các bài toán cực trị trong hình học giải tích lớp 12.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
 - Phương pháp phân tích
- Phương pháp tổng hợp
- Phương pháp thực nghiệm
- Phương pháp khái quát. 
2. NỘI DUNG:
2.1. Cơ sở lí luận:
Những công thức cơ bản cần nhớ:
- Công thức tính góc giữa hai đường thẳng cosj = trong đó , lần lượt là hai VTCP của hai đường thẳng.
- Công thức tính góc giữa hai đường thẳng và mặt phẳng sinΨ = trong đó lần lượt là hai VTPT và VTCP của mặt phẳng và đường thẳng.
 - Công thức tính góc giữa hai đường thẳng cosj = trong đó trong đó lần luợt là hai VTPT của hai mặt phẳng.
 - Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm A(x; y; z ); B(xB; yB; zB)
 AB= 
 - Khoảng cách từ điểm M(x0;yo;zo) đến mặt phẳng (a) có phương trình
Ax+By+Cz+D=0 là: d(M,(a)) = 
- Khoảng cách từ điểm M1 đến đường thẳng đi qua M0 và có vectơ chỉ phương là: d(M1,) = 
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và’, trong đó đi qua điểm M0 , có vectơ chỉ phương và đường thẳng’ đi qua điểm M1 , có vectơ chỉ phương ’ là: d(,) = .
- Công thức tính diện tích hình bình hành : SABCD= 
- Công thức tính diện tích tam giác : SABC= 
- Công thức tính thể tích hình hộp : VABCD.A’B’C’D =
- Công thức tính thể tích tứ diện : VABCD = 
Chú ý: Các công thức tính góc nêu trên có điều kiện: 0j; Ψ 
2.2 Thực trạng của vấn đề: 
Qua quá trình giảng dạy tôi nhận thấy: Đối với các bài toán về cực trị hình học trong hình học giải tích lớp 12, phần lớn học sinh không nhớ hết các dạng toán, không nhớ hết các phương pháp giải dẫn đến lúng túng, bị động, mất nhiều thời gian.
 Học sinh thường gặp khó khăn với các bài toán cực trị nói chung và các bài cực trị hình học nói riêng. Bên cạnh khó khăn do vốn kiến thức, kinh nghiệm còn ít ỏi, các em học sinh chưa nắm vững kiến thức hình học và cái nhìn tổng quan, phân loại các dạng toán và phương pháp giải. Tháo gỡ được khó khăn đó sẽ đem lại hiệu quả cao trong công tác giảng dạy của các thầy cô cũng như việc học tập của các em học sinh.
2.3. Tổ chức thực hiện: 
2.3.1. Nhắc lại một số dạng toán hay được sử dụng.
2.3.1.1. Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (α)
- Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên (α).
- Viết phương trình đường thẳng MH
(qua M và vuông góc với (α))
- Tìm giao điểm H của MH và (α). 
2.3.1.2. Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d:
- Viết phương trình tham số của d
- Gọi H có tọa độ theo tham số t 
- H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên d khi 
- Tìm t, suy ra tọa độ của H.
3. Phương pháp hình học giải một số bài toán cực trị trong hình học giải tích lớp 12:
Bài toán mở đầu: 
Cho mặt phẳng (P) : x + 3y - z - 2 = 0, A(2; 0; 0), M(1; - 2; 3). Lập phương trình đường thẳng d nằm trong (P) đi qua A và cách M một khoảng lớn nhất,nhỏ nhất: 
Hướng dẫn : 
Cách 1: Dùng phương pháp hàm số
Gọi VTCP của đường thẳng d là: 
d Ì (P) Û 
; 
- TH1: Nếu b = 0 thì 
- TH2 : Nếu b≠0 thì = 
Xét hàm số = 
So sánh TH1 và TH2 
+) Max (d (M,d)) = Û a = -b chọn b = -1 a =1 , c = -1
 Phương trình đường thẳng cần tìm là: 
+) Tương tự cho trường hợp còn lại.
Cách 2: Dùng phương pháp hình học
Gọi H, E lần lượt là hình chiếu của M lên (P) và d
 . Do đó: 
 nhỏ nhất khi d đi qua A, H
 lớn nhất khi d đi qua A và vuông góc với MA
+ Khi lớn nhất: 
+ Khi nhỏ nhất: Gọi (Q) là mặt phẳng (AMH). 
Nhận xét: 
Có rất nhiều bài toán cực trị về toạ độ trong không gian có thể giải bằng cả phương pháp hàm số và phương pháp hình học. Tuy nhiên phương pháp hàm số mất quá nhiều thời gian, phương pháp hình học thể hiện tính nhanh gọn, tiết kiệm thời gian, hợp với xu thế thi THPT Quốc gia bây giờ . Vì vậy theo kinh nghiệm của tôi, tôi thường hướng dẫn học sinh giải quyết theo phương pháp hình học.
Sau đây ta sẽ xét thêm một số bài toán để thấy rõ tính ưu việt của phương pháp hình học giải các bài toán cực trị trong hình học giải tích lớp 12.
Bài toán 1: Cho n điểm A1, A2, ..An, với n số k1, k2,.,kn thỏa k1+ k2+ .+kn = k ≠ 0 và đường thẳng d hay mặt phẳng (α). Tìm điểm M trên đường thẳng d hay mặt phẳng (α) sao cho có giá trị nhỏ nhất.	
Lời giải:
- Tìm điểm I thỏa 
- Biến đổi : 
- Tìm vị trí của M khi đạt giá trị nhỏ nhất
Ví dụ 1: Cho đường thẳng và hai điểm , . Tìm điểm M trên d sao cho có giá trị nhỏ nhất.
Giải:
Gọi điểm J(x; y; z) thỏa 
Ta có: (0 –x; 1 –y; 5 – z) – 4(0 – x; 3- y; 3- z) = (0; 0; 0)
 =>x = 0; y =, z = , vậy J(0;)
Khi đó có giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của J lên đường thẳng d.
Tọa độ M(4+ t; -1+ t; t), khi M là hình chiếu vuông góc của J lên đường thẳng d thì hay 3t – 3 = 0 t = 1
Vậy M( 5; 0; 1) thì có giá trị nhỏ nhất.
Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (α): 2x – 2y + 3z + 10 = 0 và ba điểm , ,. Tìm điểm M trên mặt phẳng (α) sao cho :
1) có giá trị nhỏ nhất. 
2) có giá trị nhỏ nhất.
Giải:
Gọi điểm G thỏa thì G là trọng tâm củaABC và G(0;-2;1)
Ta có == có giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của G lên mặt phẳng (α)
MG nhận làm vecto chỉ phương nên phương trình MG:
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: 4t –2(-2- 2t) +3(1+3t)+10 =0 M(-2; 0; -2) thì có giá trị nhỏ nhất.
Gọi I(x; y; z) là điểm thỏa 
Ta có 
, vậy 
Ta có: == có giá trị nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng (α)
Phương trình tham số MI:
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình:
Vậy với thì đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài toán 2: 
Cho đa giác A1 A2 .An và n số thực k1, k2, ., kn thỏa k1+ k2+ .+ kn = k . Tìm điểm M thuộc mặt phẳng sao cho tổng T = đạt giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất
Lời giải:
- Tìm điểm I thỏa 
- Biến đổi : T = =
= ++ 2
= +
	Do không đổi, Biểu thức T nhỏ nhất hoặc lớn nhất khi MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng hay đường thẳng.
	Chú ý: 
- Nếu k1+ k2+ ...+ kn = k > 0, Biểu thức T đạt giá trị nhỏ nhất MI nhỏ nhất
- Nếu k1+ k2++ kn = k< 0, Biểu thức T đạt giá trị lớn nhất khi MI nhỏ nhất.
Ví dụ 1: 
Cho mặt phẳng (α): x + 2y + 2z + 7 = 0 và A(1; 2; -1), B(3; 1; -2), C(1; -2; 1).
Tìm M trên mặt phẳng (α) sao cho MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất.
Tìm M trên mặt phẳng (α) sao cho MA2 - MB2 – MC2 có giá trị lớn nhất.
Giải:
Gọi điểm I(x; y; z) thỏa thì I là trung điểm AB và 
Ta có: MA2 + MB2 = 
=
Do không đổi nên MA2 + MB2 nhỏ nhất khi MI2 có giá trị nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vuông góc của I lên (α)
Đường thẳng IM qua điểm I và có vtcp 
Phương trình tham số MI: 
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: 
 thì MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất.
Nhận xét: Với I là trung điểm AB thì MA2 + MB2 = 2MI2 + , do AB2 không đổi nên MA2 + MB2 nhỏ nhất khi MI2 có giá trị nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vuông góc của I lên (α).
Gọi J(x; y; z) là điểm thỏa 
Hay 
Ta có: MA2 - MB2 – MC2 =
Do không đổi nên MA2 - MB2 – MC2 lớn nhất khi MJ nhỏ nhất hay M là hình chiếu của J trên mặt phẳng (α).
Đường thẳng JM qua điểm I và có vtcp 
Phương trình tham số MJ: 
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: 
Vậy với thì MA2 - MB2 – MC2 có giá trị lớn nhất.
Bài toán 3: 
Cho mặt phẳng (P) có phương trình: ax + by + cz + d = 0 và hai điểm A,B không thuộc (P) . Tìm điểm M trên (P) sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
Nếu thì A, B nằm về hai phía với (P). 
Để MA + MB nhỏ nhất khi M thuộc AB hay M là giao điểm của (P) và AB.
2. Nếu thì A, B nằm về một phía với (P). 
Khi đó: Ta tìm điểm A’ đối xứng với A qua (α). Do MA + MB = MA’+ MB mà đạt giá trị nhỏ nhất khi M thuộc A’B hay M là giao điểm E của (P) và A’B.
Ví dụ : Cho mặt phẳng (α) có phương trình: x – y + 2z = 0 và ba điểm: A(1; 2;-1), B(3; 1; -2), C(1; -2; -2). Hãy tìm điểm M trên d sao cho: 
MA + MB có giá trị nhỏ nhất 
2) có giá trị lớn nhất.
Giải:
1) Thay tọa độ của A và B vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về một phía của (α).
Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (α), để MA + MB có giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của A’B với (α).
Đường thẳng AA’ đi qua A và vuông góc với (α), AA’ nhận làm vecto chỉ phương => Phương trình tham số AA’:
Tọa độ hình chiếu vuông góc H của A trên (α) ứng với t của phương trình
1 + t – (2 – t) + 2(-1 + 2t) = 0 6t – 3 = 0 hay t =
Do H là trung điểm AA’ nên 
A’B có vtcp => Phương trình tham số A’B: 
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: 
2 + t – 1 + 2(1 – 3t) = 0 hay 
Vậy với thì MA + MB có giá trị nhỏ nhất.
2) Thay tọa độ của A và C vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về hai phía của (α).Vậy nên A’ và C nằm cùng một phía đối với (α).
Ta thấy .
Nên đạt giá trị lớn nhất khi M thuộc A’C nhưng ở phía ngoài đoạn A’C, tức M là giao điểm của A’C và (α).
Đường thẳng A’C có vtcp 
Phương trình tham số A’C: =>Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: 2 - t - (1 – 3t) + 2(1 - 3t) = 0 hay 
Bài toán 4: Cho đường thẳng d và hai điểm phân biệt A,B không thuộc d. Tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất.
Nếu d và AB vuông góc với nhau: Ta làm như sau:
Viết phương trình mặt phẳng (α) qua AB và vuông góc với d
Tìm giao điểm M của AB và (α)
Kết luận M là điểm cần tìm.
Nếu d và AB không vuông góc với nhau: Ta làm như sau:
Đưa phương trình của d về dạng tham số, viết tọa độ của M theo tham số t
Tính biểu thức MA + MB theo t, xét hàm số f(t) = MA + MB
Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số f(t), từ đó suy ra t
Tính tọa độ của M và kết luận.
Ví dụ 1: Cho đường thẳng và hai điểm C(-4; 1; 1), 
D(3; 6; -3). Hãy tìm điểm M trên d sao cho MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
Đường thẳng d có phương trình tham số 
qua điểm N(1; -2; 3), có vtcp và 
Ta có .= 14 -10 – 4 = 0 
Xét mặt phẳng (P) qua CD và vuông góc với d
(P) qua điểm C(-4; 1; 1) và nhận làm vecto pháp tuyến
Phương trình (P): 2(x +4) – 2(y -1) + 1(z -1) = 0 hay 2x – 2y + z + 9 = 0
Điểm M thuộc d thỏa MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất khi M là giao điểm của d và mp(P). 
Tọa độ M ứng với t là nghiệm của phương trình:
2 + 4t + 4 + 4t + 3 + t + 9 = 0
Vậy M(-3; 2; 1) thì MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất bằng: 
Ví dụ 2: Cho hai điểm A(3; 0; 2), B(2; 1; 0). Hãy tìm điểm M trên trục Ox sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất
Giải:
Ox có vtcp qua O(0; 0; 0), AB có vtcp và Ox và AB không vuông góc.
Ta có = (0; 2; 1)(3; 0; 2) = 0 + 6 +2 = 8 nên AB và Ox chéo nhau.
Phương trình tham số của Ox: . 
 S = MA + MB = =
Ta phải tìm t sao cho S đạt giá trị nhỏ nhất
Trong mặt phẳng tọa độ với hệ Oxy xét các điểm Mt(t; 0) và hai điểm At(3;2), Bt(2; 1) thì S = MtAt + MtBt 
Ta thấy At, Bt nằm cùng phía với Ox nên ta lấy At’(3; -2) đối xứng với At qua Ox.
Phương trình đường thẳng At'Bt : 3x + y – 7 = 0
 S = MtAt + MtBt nhỏ nhất khi M là giao điểm của Ox và At'Bt 3t - 7 = 0 hay . Vậy là điểm cần tìm.
Bài toán 5: Cho hai điểm phân biệt A,B. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất.
Lời giải:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên 
mặt phẳng (α), khi đó tam giác ABH vuông tại H và 
khoảng cách d(B; (α)) = BH ≤ AB. 
Vậy d(B; (α)) lớn nhất bằng AB khi A ≡ H, 
Khi đó: (α) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với AB.
Ví dụ : Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm D(1; -2; 3) và cách điểm I(3; -1; -2) một khoảng lớn nhất.
Giải:
(α) cách điểm I(3; -1; -2) một khoảng lớn nhất khi (α) là mặt phẳng đi qua D và vuông góc với DI. (α) nhận làm vecto pháp tuyến
Phương trình mặt phẳng(α): 2(x -1) +1(y +2) –5(z -3 ) = 02x + y – 5z +15=0
Bài toán 6: 
Cho điểm A và đường thẳng ∆ không đi qua A. Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa ∆ sao cho khoảng cách từ A đến (α) lớn nhất
Lời giải:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt 
phẳng (α), K là hình chiếu vuông góc của A lên ∆
Ta có d(A; (α)) = AH ≤ AK lớn nhất thì H ≡ K, 
khi đó (α) là mặt phẳng đi qua ∆ và vuông góc với AK. 
Hay (α) qua ∆ và vuông góc với mp(∆, A).
Ví dụ: Cho ba điểm A(2; 1; 3), B(3; 0; 2); C(0; -2; 1). Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và cách C một khoảng lớn nhất.
Giải:
Mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và cách C một khoảng lớn nhất khi (α) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mp(ABC). ,
(ABC) có véctơ pháp tuyến 
(α) có véctơ pháp tuyến 
Phương trình (α): 3(x– 2) + 2(y – 1) + 1(z – 3) = 0 3x + 2y + z – 11 = 0
Bài toán 7: 
Cho mặt phẳng (α) và điểm A thuộc (α), lấy B không thuộc (α). Tìm đường thẳng ∆ nằm trong (α) đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất, nhỏ nhất.
Lời giải:
Gọi H là hình chiếu của B lên ∆ ta thấy 
d(B; ∆) = BH ≤ AB
Vậy khoảng cách từ B đến ∆ lớn nhất khi 
A ≡ H hay ∆ là đường thẳng nằm trong
(α) và vuông góc với AB.
Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên (α).
 khi đó d(B; (α)) = BH ≥ BK
Vậy khoảng cách từ B đến ∆ nhỏ nhất khi
K ≡ H hay ∆ là đường thẳng đi qua hai điểm A, K.
Ví dụ: Cho mặt phẳng (α): 2x – 2y + z + 15 = 0 và điểm A (-3; 3; -3). Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên (α), qua điểm A và cách điểm B(2;3; 5) một khoảng :
1) Nhỏ nhất	.	 
2) Lớn nhất.
Giải:
Ta thấy (α)có véctơ pháp tuyến 
1) Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên (α).Phương trình BH: 
Tọa độ điểm H ứng với t là nghiệm của phương trình:
	2(2 + 2t) - 2(3 – 2t) + 5 + t + 15= 0 hay H(-2; 7; 3)
Ta thấy d(B; ∆) nhỏ nhất khi ∆ đi qua hai điểm A, H do vậy là véc tơ chỉ phương của ∆ => Phương trình của ∆:
2) Ta thấy d(B; ∆) lớn nhất khi ∆ là đường thẳng nằm trong (α), qua A và vuông góc với AB.
∆ có véctơ chỉ phương 
Phương trình của ∆:
Bài tập áp dụng.
Bài 1: Cho ba điểm A(1; -2; 1), B(-1; 1; 2), C(2; 1; -2) và mặt phẳng (α) có phương trình x + 2y – 2z + 1 = 0.
Tìm điểm M trên (α) sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất.
Tìm điểm N trên (α) sao cho NA + NC có giá trị nhỏ nhất.
Tìm điểm S trên (α) sao cho SA2 + SB2 – 3SC2 có giá trị lớn nhất.
Tìm điểm P trên (α) sao cho có giá trị nhỏ nhất.
Bài 2: Cho đường thẳng và hai điểm A(3; 1; 1), 
B(-1; 2; -3). Hãy tìm điểm M trên d sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 3: Cho đường thẳng và hai điểm A(0; 1; 1), 
B(1; 2; 3). Tìm điểm M trên d sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất.
Bài 4: Cho hai điểm C(1; -2; 2) và đường thẳng d có phương trình 
. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và khoảng cách từ C đến (P) là lớn nhất.
Bài 5: Cho điểm B(2; -1; -2), mặt phẳng (P): x – y + z + 3 = 0 và đường thẳng d:. Trong các mặt phẳng đi qua B và vuông góc với (P), viết phương trình mặt phẳng (α) tạo với d một góc lớn nhất
Bài 6: Cho hai điểm A(2; 1; -3), B(1; 2; 0) và đường thẳng d: 
Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, cắt d sao cho khoảng cách từ B đến ∆ là lớn nhất.
2.4. Kết quả nghiên cứu: 
Qua quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh đã giải quyết các bài toán thuộc các dạng trên một cách nhanh hơn, linh hoạt hơn bằng phương pháp hình học. Thực tế, trong nhiều năm liền tôi may mắn được giảng dạy ở các lớp nâng cao có nhiều đối tượng học sinh khá, giỏi. Vào các tiết luyện tập tôi đã có việc lồng ghép phương pháp này để học sinh giải được các bài tập nâng cao nhằm các em thu thập thêm kiến thức và kinh nghiệm để áp dụng trong các kì thi đại học, cao đẳng.
Sau khi thực hiện chuyên đề tôi đã cho học sinh các lớp 12 C2 và 12 C10 làm bài kiểm tra để đánh giá mức độ hiểu và vận dụng kiến thức bài học, kết quả như sau:
 Năm học 2018 – 2019 tôi được phân dạy môn toán lớp 12C2, 12C10 trường THPT Hàm Rồng. Sau khi thực hiện chuyên đề tại lớp 12 C2; còn tại lớp 12 C 10 không thực hiện chuyên đề, tôi cho học sinh 2 lớp làm bài kiểm tra và thu được kết quả như sau:
Lớp
Sĩ số
Nhận biết và biết vận dụng, giải được bài hoàn chỉnh
Nhận biết và biế