SKKN Kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi phần dãy số và giới hạn

MỤC LỤC
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
1.3. Đối tượng nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4. Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm, giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề . . . . . . 3
- Hướng dẫn học sinh tìm hiểu kỹ đề bài, gợi ý cho các em theo định hướng phát
hiện và giải quyết vấn đề.
- Luôn hướng dẫn học sinh thực hiện tương tự hóa để tìm lời giải cho bài toán mới.
- Rèn luyện cho học sinh thực hiện phân chia ra thành các công đoạn để dễ thực
hiện giải toán.
- Luôn linh hoạt trong giải toán, kết hợp thành thục giữa các phương pháp.
- Nội dung chi tiết sáng kiến kinh nghiệm: 6 phương pháp chung giải bài toán giới
hạn và bài tập rèn luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân,
đồng nghiệp và nhà trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2. Kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .16
1
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
Trong chương trình của các lớp chuyên toán và kì thi học sinh giỏi quốc gia trung
học phổ thông, bài toán về giới hạn dãy số thực đóng một vai trò quan trọng. Để
giải được bài toán về giới hạn dãy số, đòi hỏi các em bước đầu có tư duy về giải tích;
biết vận dụng các kiến thức về hàm liên tục, đạo hàm. Hơn nữa, chúng ta mong mỏi
là tạo ra sự hứng thú trong học tập, đồng thời giúp các em rèn luyện phương pháp
xử lí những bài về giới hạn mà còn vận dụng thành thạo tư duy đó cho các loại bài
tập khác. Trong khuôn khổ đề tài “Kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi phần
dãy số và giới hạn”, tác giả chỉ nêu một số phương pháp thường dùng để các em
giải quyết bài toán một cách khoa học hơn, có cơ sở và có tính sáng tạo hơn. Từ đó
giúp các em củng cố kiến thức, rèn luyện khả năng nghiên cứu khoa học, trang bị
thêm kiến thức nhằm chuẩn bị tốt cho kỳ thi Học sinh giỏi năm học 2018-2019.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Mục đích nghiên cứu của Sáng kiến kinh nghiệm là tìm ra các phương pháp giúp
học sinh tiếp cận và có nền tảng kiến thức cơ bản để xử lí bài toán dãy số, rèn luyện
khả năng suy nghĩ độc lập, tìm tòi, và phát hiện vấn đề.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đối tượng nghiên cứu của Sáng kiến kinh nghiệm là các đội tuyển học sinh giỏi
môn Toán Trường THPT chuyên Lam Sơn.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu các tài liệu về Dãy số, Giới han, Phương pháp dạy
học môn Toán, ... có liên quan đến đề tài Sáng kiến kinh nghiệm.
Quan sát: Quan sát thực trạng Dạy - Học của các lớp chuyên Toán 10,11 nói chung
và đội tuyển HSGmôn Toán nói riêng phần Dãy số-Giới hạn ở Trường THPT chuyên
lam Sơn.
Thực nghiệm sư phạm: Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và
hiệu quả của việc vận dụng dạy học một số nội dung trong phần Dãy số-Giới han
vào dạy các lớp chuyên Toán 10,11 và đội tuyển học sinh giỏi Toán ở Trường THPT
chuyên Lam Sơn.
2
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm .
1. Định lí Weierstrass. Một dãy số đơn điệu và bị chặn thì có giới hạn hữu hạn (hội
tụ).
2. Định lí Lagrange. Cho hàm f : [a; b] → R, có đạo hàm trên tập xác định, khi đó
tồn tại c ∈ (a; b) sao cho
f(b)− f(a) = f ′(c)(b− a)
3. Nguyên lí kẹp.Nếu 3 dãy (an), (bn), (cn) thỏa mãn an ≤ bn ≤ cn và lim an = lim cn = b
hữu hạn thì (bn) cũng hội tụ, hơn nữa lim bn = b.
4. Định lí Stolz-Cesaro.Cho 2 dãy số thực (an), (bn). Giả sử rằng dãy (bn) đơn điệu,
không hội tụ (tức là bn → ±∞) và
lim
an+1 − an
bn+1 − bn = k
Thế thì lim
an
bn
= k.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm .
Học sinh các lớp chuyên và đội tuyển thường gặp khó khăn khi gặp bài toán dãy
số. Các tài liệu chưa đưa ra hệ thống các bài tập, phương pháp hiệu quả để giải bài
toán dãy số.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm, giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
- Hướng dẫn học sinh tìm hiểu kỹ đề bài, gợi ý cho các em theo định hướng phát
hiện và giải quyết vấn đề.
- Luôn hướng dẫn học sinh thực hiện tương tự hóa để tìm lời giải cho bài toán mới.
- Rèn luyện cho học sinh thực hiện phân chia ra thành các công đoạn để dễ thực
hiện giải toán.
- Luôn linh hoạt trong giải toán, kết hợp thành thục giữa các phương pháp.
- Nêu ra 6 phương pháp chung để giả bài toán dãy số với hệ thống bài tập và các ví
dụ mẫu mực.
- Đưa ra các phân tích tư duy, tại sao và thế nào, cách nghĩ chung nhất để phát
hiện lời giải.
Sau đây là phần nội dung chi tiết sáng kiến kinh nghiệm.
3
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM: BÀI TOÁN DÃY SỐ VÀ GIỚI HẠN
BÀI TOÁN. Đối với một dãy số (an), người ta quan tâm đến sự tồn tại giới hạn (hội
tụ) của dãy và nếu có giới hạn thì lim an =?.
Trường hợp 1. Dãy (an) cho dưới dạng công thức tổng quát
Ví dụ 1. an =
n+ 1
2n+ 3
thì (an) có giới hạn và lim an =
1
2
.
Trường hợp 2. Dãy (an) cho dưới dạng công thức truy hồi
Ví dụ 2.
a) a1 = 1, an+1 = 2an + 3,∀n ≥ 1.
b) a1 = 2, an+1 =
√
2an + 3,∀n ≥ 1.
Ở trường hợp 1 việc tìm giới hạn hay chứng minh một tính chất gì đó của dãy sẽ
thuận lợi vì ta đã có sẵn công thức của an. Với dãy số được xác định như ở trường
hợp 2 thì trong nhiều bài toán, việc chứng minh sự tồn tại giới hạn và tính giới hạn
đó sẽ phức tạp hơn. Sau đây chúng ta đưa ra vài phương pháp hay sử dụng để giải
quyết vấn đề này cho trường hợp 2.
Một vài phương pháp tìm giới hạn dãy số.
Phương pháp 1. Đưa dãy về công thức tổng quát.
Bài tập 1. Cho dãy (an) được xác định như ở Ví dụ 2a). Tìm lim
an
2n
.
Giải. Đặt bn = an + 3 thì bn+1 = 2bn, b1 = 4. Ta có bn = 2n+1, suy ra an = 2n+1 − 3.
Từ đó lim
an
2n
= 2.
Bài tập 2. Cho dãy (un) được xác định như sau :
u1 =
1
5
, un+1 =
2016un
2015un + 1
, ∀n ≥ 1.
Tìm số hạng tổng quát của dãy số trên, từ đó tìm giới hạn limun.
Giải. Đặt xn =
1
un
thì ta thu được x1 = 5, xn+1 =
2015
2016
+
xn
2016
, ∀n ≥ 1. Và sau đó ta có
xn+1 − 1 = 1
2016
(xn − 1) = ... = 1
2016n
(x1 − 1) = 4
2016n
Từ đó xn = 1 +
4
2016n−1
và như vậy un =
2016n−1
4 + 2016n−1
,∀n ≥ 1.
4
Suy ra limun = 1.
Hai bài tập ở trên chúng ta tính toán trực tiếp để tìm ra công thức tổng quát của
dãy rồi tìm giới han. Ở bài tập sau đây chúng ta sẽ tìm giới hạn gián tiếp - tìm công
thức tổng quát của một dãy khác, phụ thuộc dãy ban đầu rồi tìm giới hạn. Công cụ
với dạng bài tập này là chúng ta đưa ra một công thức sai phân rồi sau đó cộng tổng
để rút gọn.
Bài tập 3. Cho dãy số thực xn xác định bởi
x1 =
1
2
, xn =
√
x2n−1 + 4xn−1 + xn−1
2
, ∀n ≥ 2.
Với mỗi số nguyên dương n đặt yn =
∑n
i=1
1
x2i
.
CMR dãy số yn có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Giải. Từ giả thiết ta có xn > 0,∀n ≥ 1.
+) xn − xn−1 = 2xn−1√
x2n−1 + 4xn−1 + xn−1
> 0,∀n ≥ 2,
Suy ra (xn) là dãy tăng.
+) Nếu dãy (xn) bị chặn thì limxn = a hữu hạn, lấy giới hạn 2 vế của phương trình
dãy suy ra a = 0, điều này không thể xảy ra. Do đó limxn = +∞.
+) Cũng từ phương trình dãy suy ra x2n = (xn + 1)xn−1, và ta có
1
x2n
=
1
xn−1
− 1
xn
. Do
đó yn =
1
x21
+
1
x1
− 1
xn
= 6− 1
xn
.
+) Do xn −→ +∞ nên suy ra lim yn = 6.
Bài tập 4. Cho dãy xn xác định bởi:
x1 = 2019, xn+1 =
1
2018
x2n +
2017
2018
xn,∀n ≥ 1.
Đặt un =
x1
x2 − 1 +
x2
x3 − 1 + ...+
xn
xn+1 − 1 ,∀n ≥ 1. Tìm limun .
Giải.
+) Ta cũng chứng minh được dãy xn tăng ngặt và xn −→ +∞ khi n→ +∞.
+) Hơn nữa
xn
xn+1 − 1 = 2018
(
1
xn − 1 −
1
xn+1 − 1
)
,∀n ≥ 1.
+) Từ đó un = 2018
(
1
x1 − 1 −
1
xn+1 − 1
)
,∀n ≥ 1.
+) Suy ra limun = 1.
Phương pháp 2. Chứng minh dãy đơn điệu và bị chặn.
Đây là phương pháp rất cơ bản để chứng minh một dãy hội tụ. Khi gặp bất kì bài
5
toán giới hạn nào, ý tưởng đầu tiên chúng ta nghĩ ngay đến là kiểm tra xem dãy có
đơn điệu không, ước lượng dãy bị chặn bởi số nào. Đây cũng là phương pháp dùng
để giải quyết các bài toán khó hơn như đánh giá nghiệm, kiểm tra tốc độ hội tụ
nghiệm trong nhiều công trình về tối ưu hay phương trình đạo hàm riêng...
Nhắc lại. Nếu một dãy (an) đơn điệu và bị chặn thì dãy đó có giới hạn hữu hạn.
Từ đó để chứng minh dãy có giới hạn ta chỉ ra dãy tăng và bị chặn trên hoặc dãy
giảm và bị chặn dưới.
Trở lại Ví dụ 2b), bằng quy nạp ta có
+) 2 ≤ an < 3,∀n.
+) an < an+1,∀n ( tức là dãy tăng).
Từ đó ∃ lim an = b(2 < b ≤ 3). Lấy giới hạn 2 vế phương trình dãy ta được b =
√
2b+ 3.
Suy ra b = 3.
Bài tập 5. Cho dãy (xn) xác định bởi x0 = 1, 2xn+1 − 2xn + x2n = 0.
Chứng minh dãy hội tụ và tìm limxn.
Giải.
+) Từ công thức xác định dãy ta có xn+1 = xn − x
2
n
2
≤ xn, suy ra (xn) là dãy giảm.
+) Chứng minh bằng quy nạp ta được 0 ≤ xn ≤ 1.
+) Suy ra dãy hội tụ và ta tìm được limxn = 0.
Ta xét một bài tập khó hơn như sau.
Bài tập 6.(VMO 1998) Cho dãy (xn) xác định bởi
x1 = a ≥ 1, xn+1 = 1 + ln xn(x
2
n + 3)
1 + 3x2n
.
Chứng minh (xn) hội tụ và tìm limxn.
Giải.
• Nếu xn ≥ 1 thì xn+1 = 1+ ln(1+ (xn − 1)
3
1 + 3x2n
) ≥ 1+ ln 1 = 1. Mà x1 = a ≥ 1 nên ta suy
ra xn ≥ 1 ∀n, tức là dãy bị chặn dưới.
• (xn) là dãy giảm. Thật vậy
xn+1 = 1 + ln(1 +
(xn − 1)3
1 + 3x2n
) ≤ 1 + (xn − 1)
3
1 + 3x2n
=
xn(x
2
n + 3)
1 + 3x2n
≤ xn
(sử dụng ln(1 + x) ≤ x với ∀x ≥ 0 và xn ≥ 1)
Suy ra ∃ limxn = b. Thay vào phương trình dãy rồi giải ta tìm được b = 1.
Một phương pháp chúng ta cũng hay sử dụng và khá hiệu quả là dùng đánh giá
kiểu Lipschitz. Phương pháp này đặc biệt có tác dụng với những dãy mà chúng ta
6
không kiểm soát được dãy tăng hay giảm, bị chặn hay không. Cụ thể như sau:
Phương pháp 3. Dùng hàm số kiểu Lipschitz.
Ý tưởng: Ta chỉ ra tồn tại hằng số K ∈ (0, 1) sao cho |an − b| ≤ Kn−1|a1 − b|. Suy ra
lim an = b.
Bài tập 7(VMO 2018). Cho dãy số (xn) xác định bởi
x1 = 2, xn+1 =
√
xn + 8−
√
xn + 3.
Chứng minh dãy (xn) hội tụ và tìm limxn.
Giải.
Từ công thức xác định dãy ta có nhận xét: nếu dãy (xn) có giới hạn thì giới hạn đó
bằng 1.
Dễ thấy xn > 0,∀n ≥ 1. Ta có
|xn+1 − 1| = |
√
xn + 8− 3− (
√
xn + 3− 2)| = |xn − 1|
∣∣∣∣ 1√xn + 8 + 3 − 1√xn + 3 + 2
∣∣∣∣
< |xn − 1||1
3
+
1
2
| = 5
6
|xn − 1| < ... <
(
5
6
)n
|x1 − 1|,∀n ≥ 1
Từ đó limxn = 1.
Bài tập 8. Xét (an):
a1 = a ∈ R, an+1 = 1
2
ln(1 + a2n)− 1,∀n ≥ 1.
Chứng minh (an) hội tụ.
Giải. Ta có
- Hàm số f(x) =
1
2
ln(1 + x2)− 1 có |f ′(x)| = | x
1 + x2
| ≤ 1
2
- Hàm số g(x) = x− f(x) đồng biến vì g′(x) > 0, hơn nữa g(0).g(−1) < 0 nên g(x) có
nghiệm duy nhất là x = b.
Khi đó |an+1 − b| = |f(an)− f(b)| = |f ′(c)(an − b)| ≤ 1
2
|an − b| ≤ ... ≤ (1
2
)n|a1 − b|
Từ đó lim an = b.
Phương pháp 4. Sử dụng nguyên lí kẹp.
Nhắc lại. Nếu 3 dãy (an), (bn), (cn) thỏa mãn an ≤ bn ≤ cn và lim an = lim cn = b hữu
hạn thì (bn) cũng hội tụ, hơn nữa lim bn = b.
7
Bài tập 9. Xét phương trình xn = x+ 1, với n ≥ 2.
a. Chứng minh trên khoảng (1,+∞), phương trình có duy nhất nghiệm xn.
b. Tìm limxn.
Giải.
a. Xét f(x) = xn − x− 1 thì f ′(x) ≥ 0,∀x ≥ 1. Suy ra f(x) đồng biến trên [1,+∞).
Mà f(1) < 0, lim
x→+∞
f(x) = +∞ nên f(x) có nghiệm duy nhất xn ∈ (0,+∞).
b. Lại có (1 +
1
n
)n > (1 +
1
2
)2 ≥ 1 + (1 + 1
n
), ∀n ≥ 4.
Từ đó xn ≤ 1 + 1
n
, ∀n ≥ 4.
=⇒ 1 < xn ≤ 1 + 1
n
Như vậy limxn = 1.
Bài toán sau cũng có câu hỏi tương tự và xuất hiện trong đề thi VMO 2002.
Bài tập 10. Xét phương trình
1
x− 1 +
1
4x− 1 + ...+
1
n2x− 1 =
1
2
ở đó n là tham số nguyên dương.
a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, trên khoảng (1;+∞) phương trình
có duy nhất nghiệm, kí hiệu nghiệm đó là xn.
b) Chứng minh rằng limxn = 4.
Giải. Đặt
fn(x) =
1
x− 1 +
1
4x− 1 + ...+
1
n2x− 1
thì
+) f ′n(x) < 0 khi x ∈ (1;+∞), tức là fn(x) nghịch biến trên (1;+∞),
+) limx→1+ fn(x) = +∞, limx→+∞ fn(x) = 0.
Từ đó suy ra, trên khoảng (1;+∞)phương trình fn(x) = 1
2
có duy nhất nghiệm xn.
a) được chứng minh.
Để chứng minh để ý rằng fn(4) =
1
2
(1− 1
2n+ 1
) <
1
2
,∀n ≥ 1. Do đó xn < 4,∀n(1).
Lại có
fn((2− 1
n
)2) >
1
(1− 1/n)(3− 1/n)+
1
(3− 1/n)(5− 1/n)+...+
1
(2n− 1− 1/n)(2n+ 1− 1/n) =
=
1
2
(
1
1− 1/n −
1
2n+ 1− 1/n) >
1
2
,∀n ≥ 2
8
Vì vậy xn > (2− 1
n
)2,∀n ≥ 2(2).
Kết hợp (1) và (2) ta suy ra limxn = 4.
Bài tập 11(VMO 2015). Cho dãy số (un) xác định bởi
u1 = 3, un+1 =
1
2
un +
n2
4n2 + a
√
u2n + 3,∀n ≥ 1
Chứng minh với mọi a ∈ [0; 1] dãy số có giới hạn hữu hạn.
Giải. Bài toán này khó ở chỗ là trong công thức truy hồi của dãy có 2 tham số n và
a nên việc tìm ra công thức tổng quát là không hề dễ dàng. Việc kiểm tra dãy tăng
hay giảm phức tạp hơn rất nhiều so với các bài trước. Tuy nhiên từ cách cho tập xác
định của a của đề bài lại gợi ý cho chúng ta cách tiếp cận giải quyết. Đó là ta xét 2
trường hợp đặc biệt khi a = 0, a = 1. Ta sẽ chứng minh dãy hội tụ trong cả 2 trường
hợp này, và dùng nguyên lí kẹp ta thu được điều phải chứng minh.
Xét 2 dãy số (an), (bn) xác định như sau:
a1 = 3, an+1 =
1
2
an +
1
4
√
a2n + 3,∀n ≥ 1,ứng với a=0
b1 = 3, bn+1 =
1
2
bn +
n2
4n2 + 1
√
b2n + 3,∀n ≥ 1,ứng với a=1
Dễ có an ≥ un ≥ bn,∀n ≥ 1.
• Bằng quy nạp ta chứng minh được dãy (an) giảm, bị chặn dưới nên có giới hạn, và
tính được lim an = 1.
• Cũng bằng quy nạp ta chứng minh được bn ≥ 1− 2
n
,∀n ≥ 2.
Và từ an ≥ bn, lim an = lim(1− 2
n
) = 1, suy ra lim bn = 1.
Ta có thể làm cách khác là đánh giá
|bn+1 − 1| ≤ (3
4
)n|b1 − 1|
để thu được lim bn = 1.
• Kết luận limun = 1.
Bài toán kiểu này còn tiếp tục xuất hiện trong VMO 2017 và gây ra rất nhiều khó
khăn cho các thí sinh. Chúng ta bắt buộc chặn trên ( hoặc chặn dưới), rồi đánh giá
hoặc kẹp dãy đã cho qua một dãy khác phụ thuộc tham số n tương tự như cách làm
với dãy (an) ở trên. Bạn đọc hãy thử sức với Bài tập 27 ở phần dưới.
Phương pháp 5. Sử dụng giới hạn của dãy con.
Ý tưởng của phương pháp này là : Nếu các dãy con của dãy ban đầu có cùng giới
9
hạn và các dãy con có bộ chỉ số rời nhau, hợp của các bộ chỉ số là N thì dãy đã cho
có cùng giới hạn đó. Chẳng hạn như sau
• limx2n = limx2n+1 = b, suy ra limxn = b.
• limx3n = limx3n+1 = limx3n+2 = b, suy ra limxn = b.
• limx4n = limx4n+1 = limx4n+2 = limx4n+3 = b, suy ra limxn = b.
và nhiều trường hợp khác.
Bài tập 12. Cho (xn) xác định bởi xn+2 =
√
xn+1 +
√
xn,∀n, x0 ≥ 4, x1 ≥ 4. Chứng
minh dãy hội tụ và tìm limxn.
Giải. Từ giả thiết dễ có xn ≥ 4.
Giả sử x1 ≤ x0. Khi đó x2 = √x1 +√x0 ≤ 2√x0 ≤ x0
x3 =
√
x2 +
√
x1 ≤ √x1 +√x0 = x2
Bằng quy nạp, ta chứng minh được
x2n+2 ≤ 2√x2n ≤ x2n, x2n+1 ≤ x2n, ∀n
Suy ra (x2n) giảm, bị chặn dưới bởi 4. Như vậy ∃ limx2n = a. Mà a ≤ 2
√
a nên a = 4.
Lại do 4 ≤ x2n+1 ≤ x2n nên limx2n+1 = 4.
Kết hợp lại ta được limxn = 4.
Bài tập 13(VMO 2008). Cho dãy số thực (xn) được xác định như sau
x1 = 0, x2 = 2, xn+2 = 2
−xn +
1
2
,∀n ≥ 2
Chứng minh dãy (xn) có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.
Giải. Xét hàm số f(x) = 2−x +
1
2
. Ta có xn+4 = f(xn+2) = f(f(xn).
• Dễ có 0 ≤ xn ≤ 2,∀n.
• Đặt g(x) = f(f(x)) thì do f giảm nên g là hàm số tăng.
Suy ra, với mỗi k ∈ {1, 2, 3, 4}, dãy (x4n+k) là dãy đơn điệu. Từ đó với mỗi k ∈
{1, 2, 3, 4}, dãy (x4n+k) là dãy hội tụ.
• Phương trình g(x) = x chỉ có duy nhất nghiệm x = 1 trên đoạn [0; 2] nên suy ra
limx4n+k = 1,∀k = 1, 2, 3, 4.
• Do đó ta có limxn = 1.
Phương pháp 6. Sử dụng định lí Stolz-Cesaro.
Nhắc lại định lí. Cho 2 dãy số thực (an), (bn). Giả sử rằng dãy (bn) đơn điệu, không
hội tụ (tức là bn → ±∞) và
lim
an+1 − an
bn+1 − bn = k
10
Thế thì lim
an
bn
= k.
Các trường hợp riêng của định lí trên là khi bn = f(n), với f(n) là hàm số đơn điệu
và dần ra vô cùng, ví dụ khi f(n) = n, f(n) =
√
n, ...
Bài tập 14. Cho dãy số (xn) xác định bởi x0 =
1
2
, xn+1 = xn − x2n,∀n ≥ 1.
Chứng minh rằng limnxn = 1.
Giải. +) Ta chứng minh được limxn = 0.
+) Khi đó
1
xn+1
− 1
xn
=
xn − xn+1
xnxn+1
=
x2n
(xn − x2n)xn
=
1
1− xn → 1
tức là
lim
1
xn+1
− 1
xn
n+ 1− n = 1,
Áp đụng đính lí Stolz-Cesaro cho an =
1
xn
, bn =
1
n
ta được
lim
1
xn
n
= lim
1
nxn
= 1
Vậy limnxn = 1. 
Ngoài các bài toán trên, còn có lớp bài toán tìm điều kiện của tham số để dãy hội
tụ. Lớp bài toán này đòi hỏi học sinh phải vận dụng tổng hợp các kiến thức và
các phương pháp đã học, nói chung sẽ khó hơn các bài toán chỉ đơn thuần tìm giới
hạn. Ở bài toán cụ thể dưới đây thì chúng ta dùng định lí Stolz-Cesaro để giải quyết.
Bài tập 15(TST Việt Nam 1993). Cho dãy số (an) xác định bởi
a1 = 1, an+1 = an +
1√
an
,∀n ≥ 1
Tìm tất cả số thực α để dãy số
(
aαn
n
)
có giới hạn hữu hạn khác 0.
Giải.
• Dễ chứng minh được an → +∞.
• Xét hiệu
a
3
2
n+1 − a
3
2
n =
(
1
x
2
3
n
+ x
1
3
n
) 3
2
− 1
xn
=
(1 + xn)
3/2 − 1
xn
=
x2n + 3xn + 3
(1 + xn)3/2 + 1
→ 3
2
(
xn =
1
a
3/2
n
)
Từ đó theo định lí Stolz-Cesaro
lim
a
3/2
n
n
=
3
2
11
Viết lại
aαn
n
=
a
3/2
n
n
.aα−3/2n , và chú ý lim an = +∞
Ta suy ra
+) Nếu α > 3/2 thì lim
aαn
n
= +∞.
+) Nếu α < 3/2 thì lim
aαn
n
= 0.
Vạy giá trị duy nhất thỏa mãn bài toán là α = 3/2.
Trên đây là một số phương pháp thông dụng nhất để xử lí bài toán giới hạn dãy số.
Có thể còn một vài công cụ khác nhưng chúng ta sẽ đề cập đến ở dịp khác. Sau đây
là một số bài tập để chúng ta rèn luyện.
Bài tập tự luyện.
Bài tập 16. Cho dãy số (un) xác định như sau x1 = 5, xn+1 =
1
7
(x2n− xn+16),∀n ≥ 1.
Đặt yn =
∑n
i=1
1
xi + 3
, tìm lim yn.
Bài tập 17. Cho dãy số (un) xác định bởi u1 > 2, un+1 = 1 +
2
un
.
Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Bài tập 18. Cho dãy số thực (xn) xác định bởi x1 =
1
3
, xn+1 =
x2n
2
− 1, n = 1, 2, ...
Chứng minh dãy (xn) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Bài tập 19. Cho dãy số thực (xn) xác định bởi
x1 = 3, xn =
n+ 2
3n
(xn−1 + 2) với mọi n ≥ 2
Chứng minh rằng dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn khi n→∞ và tính giới hạn đó.
Bài tập 20. Cho dãy số thực (an) xác định bởi :
a1 = 1, an+1 = 3− an + 2
2an
,∀n ≥ 1.
Chứng minh rằng dãy (an) có giới hạn hữu hạn. Hãy tìm giới hạn đó.
Bài tập 21. Cho hai dãy số dương (xn), (yn) xác định bởi x1 = 1, y1 =
√
3 vàxn+1yn+1 − xn = 0,x2n+1 + yn = 2
CMR hai dãy số trên hội tụ và tìm giới hạn của chúng.
12
Bài tập 22. Cho dãy số thực (xn) xác định bởi
x1 = 1, xn+1 =
2n
(n− 1)2
n−1∑
i=1
xi,∀n ≥ 2
Với mỗi số nguyên dương n , đặt yn = xn+1 − xn.
Chứng minh rằng dãy số (yn) có giới hạn hữu hạn.
Bài tập 23. Cho số thực a > 2. Đặt fn(x) = a10xn+10 + xn + ...+ x+ 1, (n = 1, 2, ...)
Chứng minh rằng với mỗi n, phương trình fn(x) = a có đúng một nghiệm xn ∈
(0;+∞) và dãy số (xn) có giới hạn hữu hạn khi n tiến tới vô cực.
Bài tập 24. Cho (un) là dãy số được xác định bởi u1 = a, un+1 = u2n − un + 1,
a) Tìm a sao cho dãy số (un) hội tụ.
b) Tìm giới hạn của dãy số khi nó hội tụ.
Bài tập 25.Cho (un) là dãy số được xác định bởi u1 = a, un+1 = un + (un − 2018)2,
a)