SKKN Khai thác và phát triển bài toán mới từ bài toán ban đầu nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khá, giỏi lớp 6 bậc THCS

MỤC LỤC
 Trang
1. MỞ ĐẦU
 1
1.1. Lí do chọn đề tài
1
1.2. Mục đích nghiên cứu
1
1.3. Đối tượng nghiên cứu
2
1.4. Phương pháp nghiên cứu
2
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
2
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2
2.3. Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
3
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
19
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
 20
1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Ngày nay, sự nghiệp giáo dục và đào tạo đang đổi mới trước yêu cầu phát triển kinh tế - xã hội theo hướng công nghiệp hoá và hiện đại hoá đất nước. Hướng đổi mới của giáo dục và đào tạo là đào tạo con người năng động, sáng tạo, chủ động trong trong học tập cũng như trong lao động để thích ứng với cuộc sống. Bên cạnh việc dạy cho học sinh nắm vững các nội dung cơ bản về kiến thức, giáo viên còn phải dạy cho học sinh biết suy nghĩ, tư duy sáng tạo, biết tạo cho học sinh có nhu cầu nhận thức trong quá trình học tập. Từ nhu cầu nhận thức sẽ hình thành động cơ thúc đẩy quá trình học tập tự giác, tích cực và tự lực trong học tập để chiếm lĩnh tri thức. Những thành quả đạt được sẽ tạo niềm hứng thú, say mê học tập, nhờ đó mà những kiến thức sẽ trở thành “tài sản riêng” của các em. Học sinh không những nắm vững, nhớ lâu mà còn biết vận dụng tốt những tri thức đạt được để giải quyết những vấn đề nảy sinh trong học tập, trong thực tế cuộc sống và lao động mai sau. Đồng thời, học sinh có phương pháp học trên lớp học và phương pháp tự học để đáp ứng được sự đổi mới thường xuyên của khoa học công nghệ ngày nay.
	Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên mang tính logíc, tính trừu tượng cao. Đặc biệt là với phân môn số học nó giúp cho học sinh khả năng tính toán, suy luận logíc và phát triển tư duy sáng tạo. Việc bồi dưỡng học sinh học toán không đơn thuần chỉ cung cấp cho các em một số kiến thức cơ bản thông qua việc làm bài tập hoặc làm càng nhiều bài tập khó, hay mà giáo viên phải biết rèn luyện khả năng và thói quen suy nghĩ tìm tòi lời giải của một bài toán trên cơ sở các kiến thức đã học.
	Qua nhiều năm công tác và giảng dạy Toán 6 ở trường THCS tôi nhận thấy việc học toán nói chung và bồi dưỡng học sinh năng lực học toán nói riêng, muốn học sinh rèn luyện được tư duy sáng tạo trong việc học và giải toán thì việc cần làm ở mỗi giáo viên đó là giúp học sinh khai thác đề bài toán để từ một bài toán ta chỉ cần thêm bớt một số giả thiết hay kết luận ta sẽ có được bài toán phong phú hơn, vận dụng được nhiều kiến thức đã học nhằm phát huy nội lực trong giải toán nói riêng và học toán nói chung. Vì vậy tôi ra sức tìm tòi, giải và chắt lọc hệ thống lại một số các bài tập mà ta có thể khai thác được đề bài để học sinh có thể lĩnh hội được nhiều kiến thức trong cùng một bài toán. 
- Với mong muốn được góp một phần công sức nhỏ nhoi của mình trong việc bồi dưỡng năng lực học toán cho học sinh hiện nay và cũng nhằm rèn luyện khả năng sáng tạo trong học toán cho học sinh để các em có thể tự phát huy năng lực độc lập sáng tạo của mình, nhằm góp phần vào công tác chăm lo bồi dưỡng đội ngũ học sinh giỏi toán ngày một khả quan hơn. Với các lí do trên, tôi xin trình bày đề tài “Khai thác và phát triển bài toán mới từ bài toán ban đầu nhằm phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh khá, giỏi lớp 6 bậc THCS” hi vọng góp phần vào giải quyết vấn đề trên.
1.2. Mục đích nghiên cứu
 Giáo viên tìm cách khai thác bài toán ban đầu để giúp học sinh phát triển thành 
bài toán mới khó hơn, phức tạp hơn.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
 Đề tài nghiên cứu về việc hướng dẫn như thế nào để giúp học sinh khá, giỏi 
lớp 6 bậc THCS khai thác và phát triển bài toán mới từ bài toán ban đầu. 
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu : Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng, sách giáo khoa, sách tham khảo,
- Phương pháp điều tra.
- Phương pháp đối chứng.
- Phương pháp thực nghiệm.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm ở những lớp học sinh trước để rút kinh nghiệm cho lớp học sinh sau.
2. NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 
 Đặc điểm của lứa tuổi học sinh THCS là muốn vươn lên làm người lớn, muốn tự mình khám phá, tìm hiểu trong quá trình nhận thức. Các em có khả năng điều chỉnh hoạt động học tập, sẵn sàng tham gia các hoạt động học tập khác nhau nhưng cần phải có sự hướng dẫn, điều hành một cách khoa học và nghệ thuật của thầy, cô giáo. Hình thành và phát triển tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo cho học sinh là một quá trình lâu dài.
 *Tư duy tích cực, độc lập sáng tạo của HS được thể hiện ở một số mặt sau:
- Biết tìm ra phương pháp nghiên cứu giải quyết vấn đề, khắc phục các tư tưởng rập khuôn, máy móc.
- Có kĩ năng phát hiện những kiến thức liên quan với nhau, nhìn nhận một vấn đề ở nhiều khía cạnh.
- Có óc hoài nghi, luôn đặt ra các câu hỏi: Tại sao? Do đâu? Liệu có cách nào khác nữa không? Các trường hợp khác thì kết luận còn đúng hay không? 
- Tính độc lập còn thể hiện ở chỗ biết nhìn nhận vấn đề và giải quyết vấn đề.
- Có khả năng khai thác một vấn đề mới từ những vấn đề đã quen biết.
 *Khai thác, phát triển kết quả một bài toán nói chung có nhiều hướng như:
- Nhìn lại toàn bộ các bước giải. Rút ra phương pháp giải một loại toán nào đó. Rút ra các kinh nghiệm giải toán.
- Tìm thêm các cách giải khác.
- Khai thác thêm các kết quả có thể có được của bài toán, đề xuất các bài toán mới. 
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Qua quá trình công tác giảng dạy, tôi thấy:
- Đa số học sinh, sau khi tìm được một lời giải đúng cho bài toán thì các em hài lòng và dừng lại, mà không tìm lời giải khác, không khai thác thêm bài toán, không sáng tạo gì thêm nên không phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân.
- Học sinh còn học vẹt, làm việc rập khuôn, máy móc, lười suy nghĩ, lười tư duy trong quá trình học tập. Từ đó dẫn đến làm mất đi tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân.
- Không ít học sinh thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập chưa cao.
- Học không đi đôi với hành, làm cho bản thân học sinh ít được củng cố, khắc sâu kiến thức, ít được rèn luyện kĩ năng để làm nền tảng tiếp thu kiến thức mới, do đó năng lực cá nhân không được phát huy hết.
- Một số giáo viên chưa thực sự quan tâm đến việc khai thác, phát triển, sáng tạo bài toán trong các tiết dạy nói riêng cũng như trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi nói chung.
- Việc chuyên sâu một vấn đề nào đó, liên hệ được các bài toán với nhau, phát triển một bài toán sẽ giúp cho học sinh khắc sâu được kiến thức. Quan trọng hơn là nâng cao được tư duy cho các em học sinh , giúp học sinh có hứng thú hơn khi học toán.
	- Trước thực trạng trên đòi hỏi phải có các giải pháp trong phương pháp dạy và học sao cho phù hợp. Trong năm học 2016 – 2017, tôi được giao nhiệm vụ dạy Toán 6. Khối 6 có 2 lớp với tổng cộng 68 học sinh, số học sinh khá, giỏi toán là 19 em. Giữa học kì I của năm học, tôi kiểm tra kiến thức toán của học sinh với đề kiểm tra khảo sát như sau: (Thời gian: 60 phút)
Bài 1(4 điểm): Tính các tổng sau:
 a. A = 1 + 2 + 3 + ... + 50
 b. B = 1 + 3 + 5 + ...+ 49
 c. C = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + + 49.50
d. D = 1.4 + 2.5 + 3.6 + ... + 99.102
Bài 2(3 điểm): Tính các tổng sau:	
a. A = 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210
b. B = 12 + 22 + 32 + 42 +  + 502 
Bài 3(3 điểm): 
a. Tính tổng: A = 
 b. Cho B = . Chứng minh: B
Kết quả ban đầu khi chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này: 
Số
Học sinh
Số học sinh đạt điểm trung bình trở lên
Số lượng
Tỉ lệ ( % )
19
3
15,8
2.3. Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
Qua những bài toán mà học sinh đã giải được, tôi định hướng cho các em tư duy, tập trung nghiên cứu thêm về lời giải, về kết quả bài toán đó. Bằng các hình thức như:
 	- Kiểm tra kết quả. Xem xét lại các lập luận.
	- Nghiên cứu, tìm tòi, . . . với việc tập trung giải quyết các vấn đề như: Liệu bài toán còn có cách giải khác hay không? từ bài toán đã cho có rút ra được bài toán tổng quát không? Có thể thay đổi dữ kiện bài cho để đề xuất bài toán mới không? Bài toán đã cho có liên quan với các bài toán nào khác không? . . ..
	Trong đề tài này, tôi xin minh hoạ bằng cách khai thác, phát triển từ kết quả ba bài toán tính tổng ở lớp 6 quen thuộc. Nhằm giúp học sinh thấy được cái hay, cái đẹp, sự thú vị trong học toán nói chung và trong số học nói riêng. Từ đó, giúp học sinh tự tin, tích cực, sáng tạo hơn trong học toán; giúp học sinh thêm yêu thích môn Toán hơn, nâng cao chất lượng mũi nhọn. Đặc biệt kết quả học tập môn toán ngày càng được nâng lên rõ rệt.
Từ kết quả của một bài toán ban đầu, nếu chịu khó suy xét tiếp thì ta có thể khai thác theo nhiều khía cạnh như: tìm lời giải khác, phát triển bài toán, tạo ra một chuỗi các bài toán hay và thú vị khác. Sau đây là một vài ví dụ minh hoạ:
1. Dạng 1: Khai thác, phát triển từ một số bài toán liên quan đến tính tổng các số tự nhiên, tổng lũy thừa với các cơ số và số mũ là các số tự nhiên
1.1. Bài toán 1 và các hướng khai thác bài toán 1: 
 Tính tổng: A = 1 + 2 + 3 + ... + 100
Phân tích bài toán: Đây là tổng của các số tự nhiên liên tiếp, khoảng cách giữa chúng bằng 1. Để tính tổng A ta tính xem tổng A có bao nhiêu số hạng rồi sau đó sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp để tính tổng. Từ đó ta có cách giải bài toán như sau:
 Giải
+
	Cách 1: Ta có A = 1 + 2 + 3 + ... + 100
	 A = 100 + 99 + 98 + . . . + 1
	2 A = 101 + 101 + . . . + 101.
	 100 số hạng
	 2 A = 101 . 100 
 A = 101.50
 A = 5050
Giáo viên hướng dẫn cho học sinh làm theo cách khác
	Cách 2: Ta có số các số hạng của tổng trên là:
 (100 - 1) : 1 + 1 = 100
Do đó: 
A = 1 + 2 + 3 + ... + 100
A = (1+ 100) + ... + (49 + 51)
	 50 cặp
A = 101 + 101 + 101 + ... + 101
 50 cặp
A = 101.50
A = 5050
Như vậy: Muốn làm tốt bài toán này ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tìm số các số hạng dựa theo công thức:
(Số cuối - số đầu) : khoảng cách hai số liên tiếp + 1
 Bước 2: Ghép cặp
Có nhiều cách ghép cặp, tuy nhiên thông thường ta nên ghép cặp như sau: số hạng đầu với số hạng cuối.
 Bước 3: Tính tổng đã cho bằng cách chuyển tổng cần tìm về tìm tích
Hướng khai thác thứ nhất: Bài toán tổng quát của bài toán 1.	
Bài toán 1.1: Tính tổng: B = 1 + 2 + 3 + . . . + n (với n Î N*)
Từ cách giải bài toán 1 ta có công thức tính tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n (Với ) như sau:
1 + 2 + 3 + .... + n = với n
Vậy dựa theo công thức tổng quát này để tính tổng dãy số cách đều
Hướng khai thác thứ hai: Thay đổi khoảng cách giữa các số hạng trong dãy của bài toán 1
Bài toán 1.2: Tính tổng: a) C = 1 + 3 + 5 + ...+ 49
 b) D = 2 + 4 + 6 + ...+ 100
Giải
 a) Tổng C có: (số hạng) 
 b) Tổng D có: (số hạng) 
Từ bài toán 1.2 ta có bài toán tổng quát sau :
Bài toán 1.3: Tính tổng: a) 1 + 3 + 5 + ...+(2n – 1) (Với )
 b) 2 + 4 + 6 + ...+ 2n (Với )
Giải
Với cách làm như bài toán 1.2, ta có:
 a) Công thức tính tổng các số tự nhiên lẻ liên tiếp từ 1 đến 2n - 1 (Với ) như sau:
1 + 3 + 5 + ...+ (2n-1) = n2 với n N*
 b) Công thức tính tổng các số tự nhiên chẵn liên tiếp từ 1 đến 2n (Với ) như sau: 
2 + 4 + 6 + ...+ 2n = n(n+1) với n N*
Hướng khai thác thứ ba: Thay đổi yêu cầu bài toán
Bài toán 1.4: Tìm số tự nhiên x biết:
 x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + .....+ (x + 48) + (x + 49) = 1275
Phân tích bài toán: Thoạt nhiên sẽ có nhiều học sinh lúng túng khi gặp bài này, nhưng giáo viên có thể gợi ý học sinh bằng câu hỏi: Em hãy nhóm các số hạng x của vế trái thành một nhóm, các số hạng còn lại thành một nhóm. Nếu học sinh không trả lời được giáo viên có thể viết lại bài toán như sau: 
Tìm số tự nhiên x biết:
 ( x + x + x + .....................+ x) + (1 + 2 + 3 + ..........+ 48 + 49) = 1275
 có bao nhiêu số hạng x
Từ đó hãy vận dụng phương pháp làm của bài toán 1.1 để giải bài toán này? ( giáo viên yêu cầu ). Và ta có cách làm như sau:
Giải
Ta có: 
 x + (x + 1) + (x + 2) + (x + 3) + .....+ (x + 48) + (x + 49) = 1275
 ( x + x + x + .....................+ x) + (1 + 2 + 3 + ..........+ 48 + 49) = 1275
 50 số hạng
50.x + = 1275
50.x + 1225 = 1275
50.x = 1275 - 1225
50.x = 50
 x = 1
Vậy x = 1
1.2. Bài toán 2 và các hướng khai thác bài toán 2: 
* Tính tổng: D = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + + 99.100
Phân tích bài toán: 
Mỗi một hạng tử của tổng là một tích, tích đó có hai thừa số, khoảng cách giữa hai thừa số bằng 1.
Để tính tổng D ta biến đổi D để làm xuất hiện các hạng tử đối nhau để triệt tiêu dần các hạng tử đó. Ta nhân hai vế của D với 3. Thừa số 3 này được viết dưới dạng 3 – 0 ở số hạng thứ nhất, 4 – 1 ở số hạng thứ hai, 5 – 2 ở số hạng thứ ba101 – 98 ở số hạng cuối cùng. từ đó ta có cách giải bài toán như sau:
Giải
3D = 1.2.(3 – 0 ) + 2.3.(4 – 1 ) + 3.4. (5 – 2) + + 99.100 (101 – 98)
 = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + 98.99.100 + 99.100.101) – (0.1.2 + 1.2.3 + 2.3.4 + + 97.98.99 + 98.99.100)
 = 99.100.101
= 99.100.101 : 3 = 333300
Vậy D = 333300
* Các hướng khai thác bài toán 2
Hướng khai thác thứ nhất: Bài toán tổng quát của bài toán 2 
Bài toán 2.1: Tính tổng: E = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 ++ n(n+1)
Từ cách giải bài toán 2 ta có công thức tổng quát: 
1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 ++ n(n+1) = với n N*
Hướng khai thác thứ hai: Thay đổi khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi hạng tử của bài toán 2
Nhận xét:
Trong bài toán 2, các thừa số trong mỗi hạng tử hơn kém nhau (cách nhau) 1 đơn vị ta có thể thay đổi khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi hạng tử của bài toán 1 và phát triển thành một số bài toán sau:
Bài toán 2.2: 
Tính: F = 1.3 + 3.5 + 5.7 +  + 97.99
Giải
6F = 1.3.6 + 3.5.6 + 5.7.6 +  + 97.99.6
 = 1.3.(5 + 1) + 3.5.(7 - 1) + 5.7(9 - 3) +  + 97.99(101 - 95)
 = 1.3.5 + 1.3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 +  + 97.99.101 - 95.97.99
 = 1.3.5 + 3 + 3.5.7 - 1.3.5 + 5.7.9 - 3.5.7 ++ 97.99.101 - 95.97.99
 = 3 + 97.99.101
 F = ( 3 + 97.99.101 ) : 6 = 161 651
 Từ bài toán 2.2 ta có bài toán tổng quát sau:
Bài toán 2.3: 
 Tính tổng: G = 1.3 + 3.5 + 5.7 +  + (2n – 1).(2n + 1) với n N* 
Giải
Với cách làm như bài toán 2.2, ta có công thức tổng quát:
1.3 + 3.5 + 5.7 + ...+ (2n - 1).(2n+1) = với n N* 
Nhận xét: 
Ta thấy khoảng cách giữa hai thừa số trong mỗi số hạng của bài toán 2 là 
2 – 1 = 3 - 2 = 4 – 3 = = 1; 
Ở bài toán 2.2 là 3 – 1 = 5 – 3 = 7 – 5 =  = 2. 
Trong bài toán 2.2 ta đã nhân hai vế của E với 3 ( 3 lần khoảng cách giữa hai thừa số ), trong bài toán 2.2 ta nhân hai vế của F với 6 (3 lần khoảng cách giữa hai thừa số) 
 Từ nhận xét đó học sinh có thể làm được các dạng bài theo hướng khai thác thứ nhất. Giáo viên có thể ra bài tập về nhà theo hướng khai thác này như sau:
Tính G1 = 1.4 + 4.7 + 7.10 +  + 97.100 (Gợi ý: nhân hai vế của G1 với 3 lần khoảng cách )
Tính G2 = 1.5 + 5.10 + 10.15 + + 100.105 (Gợi ý: nhân hai vế của G2 với 3 lần khoảng cách )
Tính G3 = 2.4 + 4.6 + 6.8 + .+ 98.100 ( Gợi ý: nhân hai vế của G3 với 3 lần khoảng cách )
Bài toán 2.4: Tính tổng: H = 2.4 + 4.6 + 6.8 + 8.10 +  + 196.198 + 198.200
Phân tích bài toán : Ta thấy mỗi số hạng của tổng là tích của 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp. Do đó, để tách mỗi số hạng thành hiệu của 2 số nhằm triệt tiêu từng cặp số hạng với nhau ta nhân cả hai vế của H với 6. Thừa số 6 này được viết dưới dạng: (6 - 0) ở số hạng thứ nhất, (8 - 2) ở số hạng thứ hai, (10 - 4) ở số hạng thứ ba, ..........,(202 - 196) ở số hạng cuối cùng.
Giải
6.H = 2.4.6 + 4.6.6 + 6.8.6 +  + 196.198.6 + 198.200.6
6.H = 2.4.6 + 4.6.(8 – 2) + 6.8.(10 – 4) +  + 196.198.(200 – 194) + 198.200.(202 – 196)
6.H = 2.4.6 + 4.6.8 - 2.4.6 + 6.8.10 - 4.6.8 ++ 196.198.200 - 194.196.198 + 198.200.202 - 96.198.200 
6.H = 198.200.202
 H = 198.200.202 : 6 = 1 333 200
Từ bài toán 2.4 ta có bài toán tổng quát sau :
Bài toán 2.5: 
 Tính tổng I = 2.4 + 4.6 + 6.8 +  + (2n – 2).2n với n N*, n > 1
Giải
 Với cách làm như bài toán 2.4, ta có công thức tổng quát:
2.4 + 4.6 + 6.8 + ... + (2n – 2).2n = với n N*, n > 1 
Bài toán 2.6: Tính tổng: K = 1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + 99.101 
Phân tích bài toán: Để tính tổng K ta không nhân cả 2 vế với cùng một số thích hợp mà tách ngay một thừa số trong mỗi số hạng làm xuất hiện các tổng khác mà ta đã biết cách tính hoặc dễ dàng tính được. 
Giải
K = 1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + 99.101 
 = 1(2 + 1) + 2(3 + 1) + 3(4 + 1) + ... + 99(100 + 1) 
 = 1.2 + 1 + 2.3 + 2 + 3.4 + 3 + ... + 99.100 + 99 
 = (1.2 + 2.3 +3.4 +...+ 99.100) + (1 + 2 + 3 + ... + 99) 
 = 
Giáo viên hướng dẫn học sinh biến đổi biểu thức K thành tổng của hai biểu thức có dạng như bài toán 2.3 và 2.5 rồi tính tổng K.
Từ bài toán 2.6 ta có bài toán tổng quát sau :
Bài toán 2.7: Tính tổng: M = 1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + n(n + 2) với n N*
Giải
 Với cách làm như bài toán 2.6, ta có công thức:
1.3 + 2.4 + 3.5 + ... + n(n + 2) = với n N*
Bài toán 2.8: Tính tổng: N = 1.4 + 2.5 + 3.6 + ... + 99.102
Giải
Ta có: N = 1.4 + 2.5 + 3.6 + ... + 99.102 
 = 1(2 + 2) + 2(3 + 2) + 3(4 + 2) + ... + 99(100 + 2) 
 = 1.2 + 1.2 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 3.2 + ... + 99.100 + 99.2 
 = (1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + 99.100) + 2(1 + 2 + 3 + ... + 99) 
 = 
 Từ bài toán 2.8 ta có bài toán tổng quát sau :
 Bài toán 2.9: Tính tổng: P = 1.4 + 2.5 + 3.6 ++ n(n + 3) với n N*
Giải
 Với cách làm như bài toán 2.8, ta có công thức:
1.4 + 2.5 + 3.6 ++ n(n + 3) = với n N*
 Hướng khai thác thứ ba: Làm tăng thêm các thừa số trong mỗi hạng tử của bài toán 1.
Bài toán 2.10:
Tính tổng: Q = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 +  + 98.99.100
Giải
 Q = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 +..+ 98.99.100
4.Q = (1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + + 98.99.100).4 
 = [1.2.3.(4-0) + 2.3.4.(5-1) + 3.4.5.(6-2) + 4.5.6.(7-3) + + 98.99.100(101 – 97)] 
 = (1.2.3.4 - 1.2.3.4+2.3.4.5-2.3.4.5+3.4.5.6 – 3.4.5.6 ++ 97.98.99.100 – 97.98.99.100 + 98.99.100.101)
 = 98.99.100.101
 Vậy Q = = 24 497 550
Từ bài toán 2.10 ta có bài toán tổng quát sau:
Bài toán 2.11: Tính tổng: R = 1.2.3 + 2.3.4 +  + n (n + 1)(n + 2) với n N*
Giải
Ta có: ; ;	
 	............................................................................
n (n + 1)(n + 2) = 
Cộng vế với vế các đẳng thức trên, ta được:
 R = 1.2.3 + 2.3.4 +  + n (n + 1)(n + 2) = 
 Ta có công thức tổng quát:
1.2.3 + 2.3.4  + n (n + 1)(n + 2) = với n N*
Từ bài toán 2.11, ta tiếp tục thay đổi khoảng cách giữa các thừa số trong mỗi hạng tử, ta có bài toán sau: 
Hướng khai thác thứ tư: Vừa làm thay đổi khoảng cách giữa các thừa số, vừa làm tăng thêm các thừa số trong mỗi hạng tử của bài toán 2.
Bài toán 2.12: Tính tổng: S = 1.3.5 + 3.5.7 +  + 5.7.9 +  + 95.97.99
Giải
8S = 1.3.5.8 + 3.5.7.8 + 5.7.9.8 +  + 95.97.99.8
 = 1.3.5(7 + 1) + 3.5.7(9 - 1) + 5.7.9(11 - 3) ++ 95.97.99(101 - 93)
 = 1.3.5.7 + 15 + 3.5.7.9 - 1.3.5.7 + 5.7.9.11 - 3.5.7.9 +  + 95.97.99.101 - 93.95.97.99
 = 15 + 95.97.99.101
 S = = 11 517 600
Nhận xét: 
Ta thấy khoảng cách giữa hai thừa số liên tiếp trong mỗi hạng tử của bài toán 2.11 là: 
2 – 1 = 3 - 2 = 4 – 3 = = 1; 
Ở bài toán 2.12 là: 3 – 1 = 5 – 3 = 7 – 5 =  = 2. 
Trong bài toán 2.10 ta đã nhân hai vế của Q với 4 ( 4 lần khoảng cách giữa hai thừa số ), trong bài toán 2.12 ta nhân hai vế của S với 8 (4 lần khoảng cách giữa hai thừa số). 
Hướng khai thác thứ năm: Làm thay đổi sự kế tiếp lặp lại của các thừa số trong bài toán 2 ta có bài toán sau:
Bài toán 2.13: Tính tổng: T = 1.2 + 3.4 + 5.6 +  + 99.100
Giải
T = 2 + ( 2+ 1).4 + ( 4 + 1)6 +  + (98 + 1).100
 = 2 + 2.4 + 4 + 4.6 + 6 +  + 98.100 + 100
 = (2.4 + 4.6 +  + 98.100 ) + (2 + 4 + 6 + 8 +  + 100)
 = T1 + T2 ( trong đó T1 là dạng toán theo hướng khai thác thứ hai nên học sinh sẽ biết cách tính, T2 là tổng của 100 số chẵn đầu tiên nên học sinh cũng đã biết cách tính). Khi đó 
 T = 98.100.102 : 6 + 102.50:2
 = 166600 + 2550 = 169150
Cách giải khác 
T = 1.(3 - 1) + 3(5 - 1) + 5(7 - 1) +  + 99(101 - 1)
 = 1.3 - 1 + 3.5 - 3 + 5.7 - 5 +  + 99.101 - 99
 = (1.3 + 3.5 + 5.7 +  + 99.101) - (1 + 3 + 5 + 7 +  + 99)
 = T3 + T4 ( trong đó T3 là dạng của bài toán 2.3 nên học sinh đã biết cách tính, T4 là tổng của 100 số lẻ đầu tiên nên học sinh cũng đã biết cách tính )
 = 171650 – 2500 = 169150
Tron